Обзор
В настоящее время теория конечно-зонного интегрирования является одним из основных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. Отправной точкой развития этой теории послужила серия работ Дубровина и Новикова ([59], [43], [44], [47]), в которых был разработан метод обратной задачи и построена эффективная спектральная теория для операторов Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом. В частности, было показано, что потенциалы операторов с конечным числом лакун в спектре (так называемые конечно-зонные потенциалы) отвечают стационарным точкам высших потоков иерархии Кортевега-де Фриза. Работы Новикова и Дубровина сделали возможным построение периодических решений уравнения Кортевега-де Фриза в рамках метода обратной задачи.
Предпосылки для появления этого метода были созданы работой Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [19], в которой были найдены полиномиальные интегралы уравнения Кортевега-де Фриза, и работой Лакса [32], показавшего, что причиной возникновения этих интегралов является наличие у уравнения Кортевега-де Фриза определенного коммутационного представления. Более точно, уравнение Кортевега-де Фриза эквивалентно условию коммутации оператора Штурма-Лиувилля и некоторого дифференциального оператора 3-го порядка. Подобные коммутационые соотношения получили впоследствии название представления в виде Лакса. Уравнение Кортевега-де Фриза, таким образом, эквивалентно наличию у двух линейных дифференциальных уравнений большого запаса общих решений. Проблема их нахождения традиционно называется вспомогательной линейной задачей. Основываясь на представлении в виде Лакса, можно предложить метод построения решений уравнения Кортевега-де Фриза. Именно, уравнение Кортевега-де Фриза описывает динамику оператора Штурма-Лиувилля и, соответственно, динамику его спектральных данных. Последняя оказывается линейной и, таким образом, легко интегрируется. Основная трудность этого метода заключается в обратном переходе от спектральных данных к оператору Штурма-Лиувилля. Для операторов с быстроубывающим потенциалом этот переход носит название обратной задачи рассеяния. Эта задача была решена Гельфандом, Левитаном, Марченко и Фаддеевым в работах [42],[58] и [60].
Работы Новикова и Дубровина и изученные в них аналитические свойства собственных функций оператора Штурма — Лиувилля с периодическими коэффициентами были переосмыслены в работах Кричевера ([54],[55]), в которых была предложена алгебро-геомет-рическая схема построения решений нелинейных уравнений. Ключевую роль в этом подходе играют так называемые функции Бейкера — Ахиезера — функции на алгебраических кривых, однозначно определяемые своими аналитическими свойствами. Так, например, по любой римановой поверхности и специальному набору данных на ней с помощью алгебро-геометрической аксиоматики можно единственным образом построить функцию Бейкера-Ахиезера и вспомогательную линейную задачу для уравнения Кадомцева-Петвиашвили (одной из редукций которого является уравнение Кортевега-де Фриза), решением которой будет являться эта функция. Соответствующее решение уравнения Кадомцева-Петвиашвили также определяется алгебро-геометрическими данными и может быть явно вычислено по ним.
Следует отметить универсальность алгебро-геометрического метода. Во-первых, он применим к широкому классу нелинейных уравнений, обладающих представлением в виде Лакса. Во-вторых, он позволил решать двумерные уравнения, методов решения которых до той поры не существовало. Более того, с точки зрения алгебро-геометрического подхода двумерные уравнения представляются наиболее естественным объектом, в то время как одномерные системы расматриваются как редукции двумерных на случай специальных наборов алгебро-геометрических данных. В-третьих, применимость алгебро-геометрического метода далеко выходит за рамки теории интегрируемых систем. В частности, он имеет приложения в моделях топологической теории поля [8], [29] и теории Зайберга-Виттена [36], [20].
Подробное описание истории развития метода алгебро-геометрического интегрирования можно обнаружить в обзорах [45], [46].
Алгебро-геометрический метод.
Схематически алгебро-геометрическая конструкция может восприниматься как отображение из пространства алгебро-геометрических данных в пространства решений определенных нелинейных уравнений алгебро-геометрические 1 | решения нелинейного 1 данные I 1 уравнения I.
Обычно вышеупомянутые данные включают в себя алгебраическую кривую Г, несколько отмеченных точек на ней с выбранными в их окрестности локальными параметрами, абелевы дифференциалы с полюсами в отмеченных точках и эффективный дивизор V. Функция Бейкера-Ахиезера мероморфна вне отмеченных точек, дивизор ее полюсов не превосходит V, а вид ее особенностей в отмеченных точках определяется абелевыми дифференциалами .
Одним из основных достоинств алгебро-геометрического метода является то, что он, позволяет выявить взаимосвязь между различными, весьма непохожими на вид, нелинейными уравнениями. Особенно ярко это проявляется при решении задачи построения интегрируемых дискретных аналогов интегрируемых непрерывных систем. Именно она является одной из основных тем данной работы. Следует отметить, что в общем случае эта задача не является корректно поставленной и не имеет универсального решения. Вместе с тем, развитые в рамках теории солитонов методы дискретизации систем, к которым применимы различные формы метода обратной задачи, достаточно универсальны. Они используют естественную дискретизацию вспомогательных линейных задач или еще более естественную замену непрерывных переменных на дискретные в аналитических свойствах функции Бейкера-Ахиезера по вспомогательному спектральному параметру.
Легче всего проследить изменения алгебро-геометрических данных, отвечающие дискретизации исходной задачи, на примере уравнения Кадомцева — Петвиашвили, его частично дискретного аналога — уравнения двумеризованной цепочки Тоды, и его полностью дискретного аналога — уравнения Хироты. Схематически процедура дискретизации может быть изображена так:
На первый взгляд, эти уравнения имеют мало общего. Однако соответствующая модификация алгебро-геометрических данных представляется более чем естественной: уравнение Кадомцева-Петвиашвили /32иуу + {ащ + А их + {иххх + 6 иих)}х = О дискретизация V переменной х I I уравнение двумеризованной цепочки Тода.
I Г, Р, V, г, Р+, Р, V, 1 ^ | Г, Р0, Ри Р2, Р3, V, 1 dfly, dfii J | (Шп, (Ю J 1 dQ, dCl2, (?O3 J.
Здесь dfiy и dilt — абелевы дифференциалы второго рода с полюсами в точке Р порядка 2, 3 и 4 сответственноd (ln — абелев дифференциал третьего рода с простыми полюсами в точках Р±-, и cffij — дифференциалы третьего рода с полюсами в точках Pi и.
Ро.
Решения трех вышеупомянутых уравнений, отвечающие этим алгебро-геометрическим данным, сильно отличаются одно от другого, однако функции Бейкера-Ахиезера, по которым они определяются, задаются фактически одной и той же формулой:
0(A (Q) — А (У) + хУЫ + уУЫ + tV® + Z) U (Z) (Г®- > e{A{Q) — A{V) + ZWxVto + yViv) + Wt" + Z)6XP {JR ^ + ^ +.
6(A (Q) — A (V) + nV («) + t+vW + t-V^ + Z) e (Z) (fQ JO ^.
Фт = g (A (Q) — AiV) + + + t-vu + j) eXP (A ^ + + в{А{0) — А{У) + | ((а + 5 + ц)^1) + 2иуМ + (а + з — ц) У (3)) + ~ 0(А (<2) — А (Х>) + ((а + з + + 2иУ (2) + (а + в — и) У (з)) + 2) * хехр ^ У + 5 + 4- 2шШ2 + (а + з —, где — векторы Ь-периодов соответствующих дифференциалов, А — отображение Абеля и ^ — вектор римановых констант.
Переход от алгебро-геометрических данных, определяющих решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили, к данным, по которым строятся решения цепочки Тода, заключается в «раздваивании» точки Р, соответствующей замене дифференциала второго рода на дифференциал третьего рода, и экспоненциальной особенности функции Бейкера — Ахиезера на полиномиальную: ехр ^ х ! dQ. x + у ! dVLy +1J —ехр ^ п ^ <Шп + J (?0+ + ^ .
Алгебро-геометрические решения уравнения Хироты строятся по кривой с четырьмя отмеченными точками. Соответствующая функция Бейкера-Ахиезера имеет во всех этих точках особенности полиномиального типа.
Другим примером построения дискретного аналога непрерывного уравнения по алгебро-геометрическим данным могут служить нелинейное уравнение Шредингера и уравнение.
Абловица-Ладика [1]. В работе [57] была получена схема построения алгебро-геометри-ческих решений нелинейного уравнения Шредингера, а в работе [33] было показано, что процедура раздваивания точки в этой схеме приводит к решениям уравнения Абловица-Ладика.
Еще раз подчеркнем, что описанная выше модификация начальных данных позволяет не просто строить решения дискретных аналогов непрерывных уравнений, но и находить сами эти аналоги. Основной целью настоящей работы является попытка систематического осмысления процедуры дискретизации непрерывных нелинейных интегрируемых систем, обладающих известными алгебро-геометрическими решениями.
Еще одним важным свойством алгебро-геометрической конструкции является то, что отображение Кричевера может быть распостранено на кривые с особенностями. Следует особо отметить, что во всех случаях получающиеся решения могут быть явно вычислены. Решения, соответствующие гладким кривым, выражаются через-функции Римана, по рациональным кривым с самопересечениями строятся тригонометрические решения (в частности, так получаются знаменитые солитонные решения уравнения КдФ), и, наконец, рациональным кривым с особенностями типа касп соответствуют рациональные решения. Мы подробно разберем алгебро-геометрическую конструкцию тригонометрических и рациональных решений уравнения Хироты в Главе 3.
В заключении заметим, что хотя в общем случае алгебро-геометрические конструкции не позволяют строить все решения данного уравнения, зачастую оказывается, что свойства, очевидные для алгебро-геометрических решений, присущи и всем остальным решениям, что существенно облегчает их поиск.
Основные результаты.
Основным результатом работы является построение дискретных аналогов метрик Дарбу-Егорова. Эти аналоги мы будем в дальнейшем называть решетками Дарбу — Егорова. Описанная выше процедура алгебро-геометрической дискретизации играет здесь ключевую роль. Именно она позволила найти дополнительные условия, выделяющие решетки Дарбу — Егорова среди общих дискретных аналогов п-ортогональных плоских метрик. Ею же было подсказано определение аналогов коэффициентов Ламе для решеток Дарбу — Егорова. Отметим, что существование этих аналогов само по себе является весьма нетривиальным фактом, так как они позволяют полностью описать внутреннюю геометрию решеток Дарбу — Егорова в терминах сравнительно небольшого числа функций.
В последнее время задачи построения дискретных аналогов различных координатных параметризаций двумерных поверхностей в трехмерном эвклидовом пространстве [3] и более общие задачи построения дискретных аналогов многомерных сопряженных координатных сетей [13]-[14] стали вызывать значительный интерес.
В первую очередь этот интерес вызван тем, что сами по себе соответствующие (непрерывные) проблемы классической дифференциальной геометрии оказались глубоко связанными с современными проблемами математической и теоретической физики. Так, одна из центральных проблем дифференциальной геометрии прошлого века: проблема построения п-ортогональных криволинейных координат или плоских диагональных метрик п.
82 = и = (иХ,., иП),.
1=1 оказалась связаной с теорией интегрируемых квазилинейных (14- 1)-мерных систем гидродинамического типа, играющих центральную роль в теории усреднения (теории Уизема) конечнозонных решений интегрируемых одномерных эволюционных уравнений типа уравнения Кортевега-де Фриза [17]-[37]. Более того, как было замечено в [15], проблема классификации так называемых метрик Дарбу — Егорова, т. е. плоских диагональных метрик, таких, что дзНг = дгН], дг = эквивалентна проблеме классификации массивных топологических моделей теории поля [8]-[10].
Следует подчеркнуть, что классические результаты [6] в теории п-ортогональных криволинейных систем координат носили в основном классификационный характер и были недостаточно эффективны для построения явных примеров. Как следствие, список явных примеров таких координат был весьма невелик. Настоящим прорывом явилась работа [38], в которой было обнаружено, что широкий класс решений уравнений Ламе, описывающих коэффициенты вращений плоских диагональных метрик iфз (0.0.1) может быть получен в рамках процедуры «одевания», широко известной в теории интегрируемых солитонных уравнений. Работы [38], [48] послужили отправной точкой работы [52], в которой была предложена конструкция явных алгебро-геометрических п-ортогональных систем координат и найден новый тип решений уравнений ассоциативности, которые выражаются в терминах тэта-функции Римана вспомогательных алгебраических кривых. Отметим, что формулы, полученные в этой работе для алгебро-геометрических решений уравнений ассоциативности, позволили найти обшее описание решений уравнений «УУЮУУ. Оно приведено в Приложении к Главе 1. Дискретизация алгебро-геометрической конструкции работы [52] приводит к построению решеток векторов х (п) = (ж1 (и),., хп{и)) в стандартном эвклидовом пространстве, параметризованных целочисленными п-мерными векторами и = (и1,., ип), и1 & Ъ, и удовлетворяющих условиям планарности и вписанности. Эти условия были предложены в [5] в качестве естественного дискретного аналога общих п-ортогональных систем координат. Решетки Дарбу — Егорова удовлетворяют дополнительному ограничению, заключающемуся в том, что два угла каждого элементарного четырехугольника решетки являются прямыми.
В непрерывном случае нетрудно доказать, что метрики Дарбу — Егорова полностью описываются начальными значениями функций и своими коэффициентами вращения При этом коэффициенты вращения метрики Дарбу — Егорова не произвольны — они симметричны, ¡-Зц = и удовлетворяют системе уравнений дфгк = гфзфкфг, (0.0.2) п 0. (0.0.3).
1=1.
Эта система в точности означает, что метрика с данными коэффициентами врашения является плоской. В Главе 1 мы докажем, что аналогичный результат верен и для решеток Дарбу — Егорова. В частности, мы определим дискретные аналоги коэффициентов вращения, покажем, что они удовлетворяют определенной системе разностных уравнений и установим взаимно-однозначное, с точностью до калибровочных преобразований, соответствие между решетками Дарбу — Егорова и решениями этой системы. В заключении Главы 1 мы приведем алгебро-геометрическую конструкцию, позволяющую найти в явном виде некоторый клас решеток Дарбу — Егорова.
Глава 2 посвящена изучению уравнения (0.0.2) и его дискретного аналога. Это хорошо изученное уравнение носит название уравнения п-волн. Известна алгебро-геометрическая схема постороения решений непрерывного уравнения п-волн (смотри, например, [45]). Мы предлагаем незначительную модификацию этой схемы, позволяющую по одному набору исходных данных строить семейства решений уравнения п-волн, параметризованных точками некоторой подрешетки Zn. Именно, мы строим семейство коэффициентов вращения Д^-(и), зависящих от мультииндекса г = (к,., кп), к^ = 0 и таких, что при каждом фиксированном г функции удовлетворяют уравнению (0.0.2). Переход от одного мультииндекса к соседнему (мы называем мультииндексы соседними, если они отличаются на единицу в двух позициях) отвечает преобразованию типа Бэклунда решений уравнения п-волн. Мы также показываем, что применение такого преобразования к произвольномунеобязательно алгебро-геометрическому — решению уравнения п-волн приводит к решению того же уравнения. Кроме того, доказано, что при фиксированных г, г и у функции срп = 3 являются решениями уравнения двумеризованной цепочки Тода. Как и выше, переход от мультииндекса г к соседнему отвечает некоторому преобразованию Бэклунда для цепочки Тода. Параллельно, пользуясь описанным выше алгебро-геометрическим методом, мы строим аналогичную теорию для дискретного уравнения п-волн ТуРц ¦ /Зук.
Мы показывем, что решения этого уравнения также допускают преобразования типа Бэк-лунда. При этом функции ¦ будут являться решениями билинейного дискретного уравнения Хироты.
Подробному изучению этого уравнения посвящена Глава 3. Билинейные дискретные уравнения Хироты.
Т?(и + 1) Т> -1) — т:+и)тгЧи) = №"!(«), впервые появившиеся в работе [22] и являющиеся полностью дискретизированным аналогом уравнения Кадомцева — Петвиашвили и цепочки Тода, часто, и иногда достаточно неожиданно, возникают в различных вопросах теории интегрируемых систем. Так, например, они описывают т-функцию иерархии КП [34]. Эти уравнения появляются и в теории квантовых интегрируемых систем. Им, как было показано в [24], [31], удовлетворяют трансфер-матрицы.
В первом и втором разделах Главы 3 мы, обобщая конструкцию работы [27], покажем, как по алгебро-геометрическим данным получать рациональные и тригонометрические решения уравнений Хироты. Мы также решаем прямую спектральную задачу, что позволяет по рациональным или тригонометрическим решениям уравнений Хироты строить спектральную кривую. В этой части работы мы во многом следуем логике статей [26], [27]. В третьем разделе мы рассматриваем уравнения Хироты с нулевыми граничными условиями.
Т-и)=Т"(и) = 0.
Мы предъявим алгебро-геометрические решения таких уравнений. Эти решения могут быть получены путем незначительной модификации исходных данных предыдущих разделов. Далее мы покажем, что решения уравнений Хироты со свободными граничными условиями допускают аналог представления Д’Аламбера. Впервые подобные результаты для систем алгебро-геометрического типа были получены в работе [56], где был найден аналог представления Д’Аламбера для периодической двумеризованной цепочки Тода. В работе [30] путем вырождения конструкции [56] было получено сходное представление для цепочки Тода со свободными граничными условиями.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39], [40], [41].
Заключение
.
В работе получены следующие результаты:
• Предложен дискретный аналог метрик Дарбу — Егорова, называемый решеткой Дарбу-Егорова. Для этих решеток введены аналоги коэффициентов Ламе, позволяющие полностью описать внутреннюю геометрию решеток, и аналоги коэффициентов вращения. Показано, что коэффициенты вращения решеток Дарбу — Егорова удовлетворяют определенной системе разностных уравнений. Более того, доказано, что, с точностью до калибровочного преобразования, решетки Дарбу — Егорова находятся во взаимно-однозначном соответствии с решениями этой системы.
• Найдена формула, позволяющая выразить решения уравнений ассоциативности через горизонтальные сечения соответствующей плоской метрики.
• Найдено преобразование типа Бэклунда для уравнения п-волн и его дискретного аналога. Доказано, что любые два решения уравнения п-волн, связанные некоторыми определенными соотношениями, получаются друг из друга этим преобразованием. В трехмерном случае построено графическое представление орбиты преобразования Бэклунда в виде функций на треугольной решетке.
• Показано, что каждой прямой этой решетки отвечает решение уравнения двумеризо-ванной цепочки Тоды (в дискретном случае — уравнения Хироты). Найдено преобразование типа Бэклунда для цепочки Тоды, отвечающее переходу к соседней прямой.
• Решены прямая и обратная спектральные задачи для рациональных и тригонометрических решений уравнения Хироты. Построены алгебро-геометрические решения этого уравнения.
• Решена обратная спектральная задача для рациональных решений уравнения Хироты со свободными граничными условиями и явно найдены его алгебро-геометричес-кие решения.
