Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Математические методы и программные средства для исследования и решения задач, формализуемых системами линейных дизъюнктных неравенств

Диссертация: Математические методы и программные средства для исследования и решения задач, формализуемых системами линейных дизъюнктных неравенств
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

К настоящему времени накопился значительный опыт в разработке и использовании алгоритмов, вкладывающихся в общую схему метода ветвей и границ. Эти алгоритмы отличаются между собой способами ветвления, вычислением оценок (границ). В предлагается комбинировать метод ветвей и границ с другими методами. Однако решение многих практических задач большой размерности с помощью алгоритмов ветвей и границ… Читать ещё >

Математические методы и программные средства для исследования и решения задач, формализуемых системами линейных дизъюнктных неравенств (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ И
  • ДИСПЕТЧЕРИЗАЦИИ. ИХ ФОРМАЛИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
    • 1. 1. Модель задачи оперативного регулирования производственного процесса
    • 1. 2. Модели задач теории расписаний и планирования
    • 1. 3. Модель задачи распределительного типа
    • 1. 4. Принадлежность задачи линейных дизъюнктных неравенств к классу NP
    • 1. 5. Возможные варианты сведения системы линейных дизъюнктных неравенств к системе простых неравенств
    • 1. 6. Выводы
  • ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВЕ СТРАТЕГИИ УСТРАНЕНИЯ НЕВЯЗОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СИСТЕМАХ ПРОСТЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
    • 2. 1. Стратегия устранения невязок и ее использование для создания математической платформы для решения задач планирования и диспетчеризации
      • 2. 1. 1. Существо стратегии устранения невязок
      • 2. 1. 2. Доказательство финитности стратегии устранения невязок
      • 2. 1. 3. Градиентный метод для повышения скорости сходимости стратегии устранения невязок
      • 2. 1. 4. Анализ скорости сходимости градиентного метода
      • 2. 1. 5. Вариант реализации стратегии устранения невязок без неравенствО-блока
    • 2. 2. Задача линейного программирования
    • 2. 3. Выводы
  • ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВЕ СТРАТЕГИИ УСТРАНЕНИЯ НЕВЯЗОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ ДИЗЪЮНКТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
    • 3. 1. Стратегия устранения невязок для решения задач на системах линейных дизъюнктных неравенств в вещественных числах
    • 3. 2. Построение модели времени счета задач на линейных дизъюнктных неравенствах
    • 3. 3. Задача оптимизации на системах линейных дизъюнктных неравенств, е- приближенный подход
    • 3. 4. Статистически оптимальный алгоритм для задач линейных дизъюнктных неравенств
    • 3. 5. Использование стратегии устранения невязок для систем линейных дизъюнктных неравенств для решения целочисленных и булевых задач
    • 3. 6. Выводы
  • ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ
  • АВТОМАТИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ФОРМАЛИЗУЕМЫХ СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ ДИЗЪЮНКТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
    • 4. 1. Объектно-ориентированные технологии в автоматизации прикладных задач
      • 4. 1. 1. Иерархия классов
      • 4. 1. 2. Диаграмма классов
    • 4. 2. Синтаксис спецификаций в форме Бэкуса-Наура
    • 4. 3. Реализация
    • 4. 4. Примеры моделей задач практической реализации
      • 4. 4. 1. Технологический процесс изготовления изделий на заводе крупно-панельного домостроения №
      • 4. 4. 2. Технологический процесс изготовления плат
      • 4. 4. 3. Задача раскроя материала
    • 4. 5. Выводы

Современные системы автоматизации решения задач характеризуются широким спектром используемых моделей. К числу важнейших относятся модели задач диспетчеризации (оперативного регулирования) и планирования. Задачи планирования отличаются от задач диспетчеризации большей неопределенностью и большей длительностью временного интервала. Оперативное регулирование призвано обеспечить требуемую динамику производственного процесса с целью выхода на установленные директивные сроки и плановые показатели. Эти задачи имеют сложный математический характер, особенно для многономенклатурных дискретных производств (электронное машиностроение и оборудование, вычислительная техника и радиотехника, приборостроение и т. п.). Для решения этих задач применяются разнообразные методы теории оптимизации, как дискретной, так и вещественной, теории расписаний, теории очередей, массового обслуживания и другие, включая также эвристические и приближенные методы. Это разнообразие подходов и принципов не позволяет решать задачи планирования и управления современным производством на основе единой достаточно универсальной платформы. Наличие множества методик, подходов и алгоритмов, реализованных, как правило, на разных теоретических платформах не позволяет выбрать и единую программную платформу, и уже незначительное изменение условий производства при переходе от одних систем к другим связано зачастую с выбором новых пакетов и новых математических методов. Таким образом, создание универсальных программно-математических платформ является одним из важнейших направлений в автоматизации решения задач планирования, диспетчеризации и управления.

В настоящее время в развитии математических методов решения прикладных задач можно выделить два направления. С одной стороны, разрабатываются общие методы решения задач, содержащих большое количество переменных и ограничений, при этом рассматриваются задачи без учета их специальной структуры. С другой стороны, создаются методы, способные эффективно учесть особенности структуры конкретных классов задач, часто встречающихся в приложениях. Хотя область применения таких методов ограничена, они имеют и неоспоримое преимущество: позволяют решать узкие классы задач с высокой эффективностью. Первым представителем подобных методов явился метод потенциалов, созданный для решения транспортной задачи линейного программирования. Специальная реализация симплекс-метода позволила во много раз повысить его эффективность в применении к транспортным задачам, которые имеют специальную структуру ограничений.

Отметим наиболее значимые работы в развитии численных методов решения задач математического программирования.

Юдин Д.Б., Гольштейн Е. Г., Немировский А. С., Шор Н. Э. [81, 82] разработали методы типа эллипсоидов для решения задач выпуклого программирования, а также указали случаи их эффективного решения.

Хачиян Л.Г. [76] разработал вариант метода эллипсоидов для задач линейного программирования. Метод совершенно отличается от большинства предыдущих подходов к линейному программированию тем, что в нем почти полностью игнорируется комбинаторная природа задачи, имеет полиномиальную оценку сложности. Несмотря на большое теоретическое значение алгоритма, он оказался на практике менее эффективным в своей реализации по сравнению с симплекс-методом, характеризующимся с точки зрения теории сложности экспоненциальной временной сложностью. Наиболее очевидным среди большого числа препятствий является требование большой точности вычислений. С другой стороны нет убедительных свидетельств в пользу того, что алгоритм эллипсоидов заведомо не может использоваться на практике.

Н. Кармаркар [41] создал метод проективных преобразований, как основу полиномиальных алгоритмов в линейном программировании. Его сложность, однако, лишь незначительно меньше сложности метода эллипсоидов.

Большое распространение получил метод внутренних точек [87, 88] для линейной оптимизации, использующий эффективные алгоритмы, базирующиеся на ньютоновском подходе.

К сожалению, эти методы не удалось распространить на целочисленные и нелинейные задачи оптимизации в общем случае.

Отличительная особенность большинства исследований по дискретной оптимизации состоит в том, что значительная часть их базируется на использовании ранее предложенных алгоритмических схем, например:

1) последовательного анализа вариантов (разработанного Михалевичем B.C. и Шором Н. З. [50, 51]);

2) методов ветвей и границ (предложенного Лэндом и Дойгом и развитого Литтлом, Мурти, Суини и Кэрелом);

3) методов отсечений (идея которого предложена Данцигом [34] и развита в работах Гомори).

4) локальной оптимизации (предлагаемого Сергиенко И. В. 65]).

Разработанная методология последовательного анализа вариантов оказала влияние на развитие вычислительных методов оптимального управления (например, метода локальных вариаций, предложенного Н. Н. Моисеевым и его учениками [53]), с успехом использована для решения широкого класса дискретных задач оптимизации в работах В. А. Емеличева и его учеников [37].

Значительный интерес для практики представляют дискретные и дискретно непрерывные задачи большой размерности, для которых Н. З Шором предложены процедуры, сочетающие методы ветвей и границ и обобщенного градиентного спуска [80].

Определенный интерес представляют исследования, связанные с решением широкого класса задач комбинаторного типа. Для решения такого рода задач к настоящему времени разработан ряд алгоритмов, сочетающих процедуры симплекс-метода и ветвей и границ, базирующихся на алгоритме В. А. Трубина для решения целочисленных задач специального вида [71]. Близким к методам ветвей и границ является алгоритм Балаша [5], предназначенный для решения целочисленных задач с булевыми переменными, и его модификации.

К настоящему времени накопился значительный опыт в разработке и использовании алгоритмов, вкладывающихся в общую схему метода ветвей и границ. Эти алгоритмы отличаются между собой способами ветвления, вычислением оценок (границ) [43, 51, 74]. В [67, 78] предлагается комбинировать метод ветвей и границ с другими методами. Однако решение многих практических задач большой размерности с помощью алгоритмов ветвей и границ проблематично, при точном решении задач дискретной оптимизации обнаруживаются патологические задачи, для которых объем вычислений близок к полному перебору.

Эффективность методов отсечений находится в прямой зависимости от эффективности различных подходов построения отсечений. Реализация различных подходов к построению отсечений породила целое множество методов этой группы [85]. Однако методы отсечений показали свою непредсказуемость, меняющуюся от задачи к задаче, в частности, известны примеры задач, решение которых методом полного перебора всех допустимых значений переменных требует меньше времени, чем методами отсечений [7].

В [7, 67] отмечается, что трудности решения задач дискретной оптимизации носят не технический, а принципиальный характер, с ростом размерности задач трудности их решения весьма быстро возрастают.

В работах Габасова Р. и его учеников [1, 2, 3, 13, 14] развивается адаптивный метод, который возник в результате анализа классического симплекс-метода. Основная цель обобщения — избавиться от некоторых недостатков симплекс-метода и создать метод, который можно использовать для решения динамических задач линейного программирования. Идеи адаптивного метода получили развитие в алгоритмах решения различных задач математического программирования и оптимального управления. Они легли в основу разработанного Габасовым Р., Кирилловой Ф. М., Костюковой О. И. метода опорных задач, который также был обобщен на различные типы экстремальных задач.

Теория расписаний даже в пределах исследуемого ею класса задач характеризуется ярко выраженной спецификой и индивидуальным подходом к конкретным задачам. При этом очевидно, что именно теория расписаний является одной из главных математических платформ для производственного планирования. В таких условиях велико удельное «содержание» эвристических методов, что можно считать, вообще говоря, аномальным.

Для разработки достаточно универсальной математической платформы необходимо выделить класс задач, для которого можно сформулировать общий и эффективный подход к решению. Можно перечислить разнообразные, известные из литературы, задачи планирования, диспетчеризации и управления, модели которых формально сводятся к системам линейных дизъюнктных неравенств. Анализ литературы показывает, что методов решения дизъюнктных задач, учитывающих их специфику, нет, а число работ, посвященных их решению незначительно. В [7, 43, 57] решение таких задач сводится к решению частично целочисленной задачи. Задача целочисленного линейного программирования (ЦЛП) (а тем более частично целочисленная) является NP-полной (при ограничении на размер величин переменных), такие задачи, по общему мнению, не разрешимы за полиномиальное время [30, 33, 47, 66]. Т. е. сведением дизъюнктных задач к задачам дискретной оптимизации, мы, возможно, получаем более сложную задачу. В [38] решение дизъюнктной задачи предлагается сводить к решению некоторой совокупности задач линейного программирования.

Таким образом, актуальность разработки «собственных» методов решения дизъюнктных задач очевидна.

В диссертации излагается достаточно общий подход для некоторого класса моделей задач планирования, формализуемых дизъюнктными неравенствами, дающий возможность автоматизировать их решение, начиная от постановки задачи и кончая программной реализацией решения. Работа развивает общее направление создания систем автоматизации планирования и управления сложными дискретными производственными системами. Результаты работы имеют оригинальный, важный для практики характер.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются модели задач с ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенств, предметом исследования является математический аппарат на основе систем линейных дизъюнктных неравенств.

Цель и задачи исследования

Целью диссертации является разработка математических методов и программных средств для повышения степени универсальности систем автоматизации исследования и решения задач, формализуемых на основе систем линейных дизъюнктных неравенств.

Поставленная цель требует решения следующих задач:

1. Построить математические модели и методы решения задач на основе систем дизъюнктных неравенств.

2. Разработать комплекс программ, позволяющий формулировать и решать различные задачи, сводящиеся к системам линейных дизъюнктных неравенств.

Методы исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании аппарата математического программирования, комбинаторной оптимизации, выпуклого анализа, математической статистики, языков спецификаций, объектно-ориентированного проектирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем: 1. Разработан алгоритм для решения задач оптимизации с линейным функционалом и линейными ограничениями, отличающийся от стандартного симплекс-метода тем, что не использует понятия базисных переменных и не вводит дополнительные переменные при поиске решений в общем случае.

2. Разработан метод для решения задач с ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенств в вещественных числах, позволяющий решать задачи, не используя сведения к более сложным вариантам смешанных вещественно-целочисленных задач математического программирования.

3. Разработан метод для решения задач оптимизации с линейным функционалом и ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенств.

4. Предложен градиентный метод для повышения скорости сходимости стратегии устранения невязок при решении задач с линейными простыми и дизъюнктными ограничениями в вещественных числах, позволяющий существенно увеличить скорость сходимости стратегии устранения невязок.

5. Разработан статистически оптимальный алгоритм для решения дизъюнктных задач на основе предложенных способов сведения к задаче о минимальном взвешенном покрытии, позволяющий решать дизъюнктные задачи большого размера за приемлемое время и регулировать точность результата в установленных пределах.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Математические модели задач производственного планирования и диспетчеризации, формализуемые ограничениями в форме дизъюнктных неравенств.

2. Алгоритм для решения задач оптимизации с линейным функционалом и линейными ограничениями на основе стратегии устранения невязок.

3. Метод для решения задач с ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенств в вещественных числах на основе стратегии устранения невязок.

4. Метод для решения задач оптимизации с линейным функционалом и ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенств.

5. Градиентный метод для повышения скорости сходимости стратегии устранения невязок для задач с линейными простыми и дизъюнктными ограничениями.

6. Статистически оптимальный алгоритм для решения задач с ограничениями в форме дизъюнктных неравенств на основе предложенных сведений к задаче о минимальном взвешенном покрытии.

Практическая значимость полученных результатов.

1. Разработаны математические методы для решения задач оптимизации, формализуемых системами линейных простых и дизъюнктных неравенств.

2. На базе предложенных методов и алгоритмов разработан комплекс программ, который позволяет формулировать и решать задачи планирования и диспетчеризации с ограничениями в форме дизъюнктных неравенств и унифицировать подход к автоматизации решения некоторого класса задач.

3. Разработано программное средство для решения одного варианта задачи оптимального раскроя и упаковки материала, позволяющее повысить точность раскроя на 5−10 фигур в сравнении с эвристическими методами за практически приемлемое время.

Результаты работы внедрены:

1. На заводе крупнопанельного домостроения № 1 (г. Минск).

2. На экспериментально-опытном заводе «Политехник» (г. Минск).

3. В учебный процесс Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники (БГУИР), Международного гуманитарно-экономического института (г. Минск).

Связь работы с крупными научными программами. Работа выполнялась в рамках двух научно-исследовательских работ БГУИР:

1. «Разработка теоретических основ исчисления спецификаций сложных систем». Раздел II. № Гос. регистрации 19 982 351, ГБЦ Т97−321.

2. «Разработка программно-математического обеспечения для быстрого логического вывода в системах принятия решений реального времени». № Гос. регистрации 19 972 927, ГБЦ Т97−8011.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 63-Й научно-технической конференции Белорусского государственного технологического университета (Минск, 1999 г.) — на XXXV, XXXVIII научно-технических конференциях аспирантов и студентов БГУИР (Минск, 1999, 2002гг.) — на Шестой межвузовской научно-теоретической конференции «Человек. Цивилизация. Культура» (Международный гуманитарно-экономический институт, Минск, 2001 г.) — на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ, 2002 г.).

Результаты изложены в 8 научных статьях, в 2 тезисах докладов конференций, в отчете о НИР.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 88 наименований и восьми приложений.

4.5. Выводы.

В данной главе сформулирована и разработана программная платформа для автоматизации исследования и решения задач планирования и диспетчеризации на основе существующих программных технологий и языков, сформулированы практические задачи, возникающие на реальных производствах, как частные варианты общих постановок, изложенных в главе 1.

Предложенная платформа характеризуется двумя основными чертами:

1. Она использует язык спецификаций как средство для записи многочисленных и разнообразных производственных задач. Этот язык вместе с тем по возможности избавлен от перегрузки математическими формализациями. Более того, в качестве основы для языка спецификаций нами предлагается некоторый вариант объектно-ориентированного языка с минимальным набором математических конструкций. В этот язык включены также некоторые операторные конструкции, позволяющие записывать процедурные и вычислительные фрагменты, отображающие динамику функционирования модели.

2. Создана иерархия классов и их виртуальные спецификации на основе которых можно формулировать и решать задачи проектирования систем производственного планирования и диспетчеризации. Эта иерархия является по возможности универсальной, охватывающей широкий класс производственных систем.

Настоящая работа ограничена рамками классов TechnologicalPlan, Tools, Productionltems которые позволяют формализовать достаточно широкий класс задач производственного планирования, формализуемых в рамках задач с линейными простыми и дизъюнктными ограничениями. Разработано программное средство, которое реализует моделирование задач производственного планирования и их решение на основе описанной выше математической платформы. Задача решена практически и подтверждена актом внедрения.

Для задачи резки предложена математическая модель, задача резки материала на прямоугольные формы решена практически и подтверждена актом внедрения. Исходя из прилагаемой оценки сложности математической модели, разработанные методы могут быть рекомендованы при резке листа на 5−10 форм.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на исследование и решение задач с ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенств. Получены следующие научные и практические результаты.

1. Разработан метод и алгоритм для решения задач с ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенств в вещественных числах.

2. Разработан метод и алгоритм для решения задач оптимизации с линейным функционалом и ограничениями в форме линейных простых и дизъюнктных неравенств.

3. Разработан градиентный метод для повышения скорости сходимости стратегии устранения невязок при решении задач на системах линейных простых и дизъюнктных неравенств в вещественных числах.

4. Разработан статистически оптимальный алгоритм для решения задач с ограничениями в форме линейных дизъюнктных неравенствах на основе предложенных способов сведения к задаче о минимальном взвешенном покрытии.

5. Проведены экспериментальные и теоретические оценки сложности алгоритмов.

6. Разработан комплекс программ, позволяющий формулировать различные задачи, сводящиеся к системам линейных дизъюнктных неравенств, и реализующий предложенные математические методы. Предложена формальная спецификация элементов и процессов производственных систем на основе средств описания классов в языках объектно-ориентированного программирования.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.В. Математическая экономика. Конструктивная теория: Учебное пособие. Мн.: ДизайнПро, 1998. — 238 с.
  2. В.В., Габасов Р., Глушенков B.C. Оптимизация линейных экономических моделей: Статические задачи: Учебное пособие. Мн.: БГУ, 2000.-210 е.: ил.
  3. В.А., Основы математического программирования. Мн.: Вышэшая школа, 1985. — 173 с.
  4. В.А., Андронов A.M. Экономико-математическое моделирование производственных систем. Мн.: Ушверсггэцкае, 1995. -240 е., ил.
  5. ., Белоусов Е. Г. и др. Математическая оптимизация: Вопросы разрешимости и устойчивости. М.: МГУ, 1986. — 216 с.
  6. А.Б. Планирование параллельных вычислительных процессов в многопроцессорных системах. М.: Машиностроение, 1983. — 400 с.
  7. Буч. Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения: Пер. с англ. М.: Конкорд, 1992. — 519 е., ил.
  8. Буч. Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений на С++. 2-е изд. /Пер. с англ. М.: Издательство Бином, 1998. — 560 е., ил.
  9. Е.П. О представлении непрерывных кусочно-линейных функций //Управляемые системы. Новосибирск: Наука. — 1979. — № 19. -С. 14−21.
  10. Р., Кирилова Ф. М. Методы линейного программирования: В 3 ч. -Мн.:БГУ. 1977−1980.
  11. Р. Кирилова Ф. М., Тятюшкин А. И. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 1. Линейные задачи. Мн.: БГУ. 1983. — 214 с.
  12. О.В. Вариант исчисления противоречивых множеств для экспертных систем //Материалы 1-й Украинской конференции УКРПРО-98. Киев: НАН Украины. — 1998. -С. 519−523.
  13. О.В. Обобщенный статистически оптимальный метод решения задачи о минимальном взвешенном покрытии 0, 1 матрицы // Экономика и математические методы. — 1994. Т. 30. — Вып. 4. — С. 139 150.
  14. О.В. Принцип групповых резолюций в логике предикатов //Человек и экономика. 1995. — № 3. — Деп. в Белинформпрогноз 04.01.95. — № Д19 952. — С. 35.
  15. О.В., Гончарова Е. Н., Дорожкина Н. Н. Статистически оптимальный подход к решению NP-полных задач большой размерности // Вестник Ставропольского государственного университета. 2002. -№ 31.-С. 12−16.
  16. О.В., Дорожкина Н. Н. Метод решения дизъюнктных задач большой размерности // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5−11 сент. 2002 г. /МГУ, РГУ. Ростов-на-Дону, 2002. — С. 239−241.
  17. О.В., Дорожкина Н. Н. Метод решения задач, формализуемых на основе систем линейных дизъюнктных неравенств / БГУ ИР. Минск, 2002, — 9 с. — Деп. в БелИСА 04.07.02, № Д200 261 // Реф. сб. непубл. раб. -2002. -№ 1 (24).-С. 88.
  18. О.В., Дорожкина Н. Н. Об одной общей задаче производственного планирования // Труды Белорусского государственного технологического университета. Вып. VII. — 1999. -С. 29−33.
  19. О.В., Дорожкина Н. Н. Различные приложения стратегии устранения невязок // Вестник Ставропольского государственного университета. 1999. -№ 18. — С. 73−85.
  20. О.В., Дорожкина Н. Н. Статистически оптимальный алгоритм для задач линейных дизъюнктных неравенств // Гуманитарно-экономический вестник. 2002. — № 1. -С. 93−98.
  21. О.В., Дорожкина Н. Н. Стратегия устранения невязок для задач с дизъюнктными неравенствами // Вестник Ставропольского государственного университета. 1999. — № 20. — С. 85−99.
  22. О.В., Кузьмина Н. В., Дорожкина Н. Н. Логические аспекты проблемы распознавания доказательств // Гуманитарно-экономический вестник. -Мн.: ЗАО «Веды». 1998. — № 4. — С. 121−127.
  23. О.В., Найденко В. Г. Статистически оптимальный алгоритм для задачи о минимальном покрытии // Экономика и математические методы. 1993. Т. 29. — Вып. 4. — С. 662−668.
  24. Э.Х., Глебов Н. И., Перепелица В. А. Исследования по теории расписаний. В сб. Управляемые системы. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1974. — Вып. 12. — С. 3−12.
  25. Э.Х., Глебов Н. И., Перепелица В. А. Алгоритм с оценками для задач дискретной оптимизации //Проблемы кибернетики. 1975. -Вып. 31.-С. 35−42
  26. Н.И. Об одном классе выпуклого целочисленного программирования // Докл. АН БССР. 1983. Т. 27. — № 7. — С. 581−583.
  27. Е.Г., Эльстер К.-Х., Мовшович С. М. и др. Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании. М.: Наука, 1991.-448 с.
  28. В.Н. Оперативное управление производством: (Опыт разработки и совершенствование систем).- М.: Экономика, 1987. 120 с.
  29. О.В. Сильно полиномиальные алгоритмы решения некоторых классов задач математического программирования: Дис. канд. физ.-мат. наук. Мн., 1992. — 137 с.
  30. М.Р., Джонсон Д. С. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. — 416 с.
  31. Д. Линейное программирование, его обобщения и применение. -М.: Прогресс, 1966. 600 с.
  32. Н.Н. Объектно-ориентированные технологии в автоматизации производства //Труды Белорусского государственного технологического университета. Вып. VIII. — 2000. — С. 145−154.
  33. Н.Н. Практическая апробация стратегии устранения невязок для задач линейного программирования //Человек. Цивилизация. Культура: 6-я межвуз. научн.-теорет. конф.: Тезисы докл., Минск, 20 апр. 2001 г. /МГЭИ. Минск, 2002. — С. 286−288.
  34. В.А. Дискретная оптимизация. Последовательные схемы решения // Кибернетика. 1972. — № 2. — С. 102−121.
  35. И.И. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург, 1999. -312 с.
  36. А.Д. Алгоритмы синтеза дискретных автоматов. М.: Наука, 1971.-512с.
  37. А.Д. Логические уравнения. Мн.: Наука и техника, 1975. -96 с.
  38. Н. Новый алгоритм полиномиальной трудности для задач линейного программирования // Кибернетический сборник. Нов. серия. -1989. -№ 29.-С. 84−112.
  39. Р.В. и др. Теория расписаний. М.: Наука, 1975. — 359 с.
  40. А.А., Финкелынтейн Ю. Ю. Дискретное программирование. Под ред. Д. Б. Юдина. М.: Наука, 1969. — 368 с.
  41. А. Методы и модели исследования операций. М.: Мир, 1966. -432с.
  42. А. Методы и модели исследования операций: Целочисленное программирования. М.: Мир, 1977. — 432 с.
  43. О.И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987.-142 с.
  44. В.В., Лисовец Ю. П. Основы методов оптимизации. -М.: МАЦ, 1995.-340 с.
  45. Математический аппарат экономического моделирования. Под ред. Е. Г. Гольштейна. М.: Наука, 1983. — 367 с.
  46. Н.А. Луч-метод и опыт решения задач ЦЛП // Математическое моделирование и дискретная оптимизация. Сб. статей. Вычислительный центр АН СССР. 1988. С. 20−29.
  47. B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение // Кибернетика. 1968. — № 2. — С. 85−89.
  48. B.C. Кукса А. И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов. -М.: Наука, 1983.-208 с.
  49. B.C. Шор Н.З. Численные методы многовариантных задач по методу последовательного анализа вариантов. В. кн.: Научно-методические материалы экономико-математического семинара. — М.: 1962. — Вып. 1. — С. 15−42. — (Ротапринт/АН СССР ЛЭМИ).
  50. Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-424 с.
  51. Д. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984. — 224 с.
  52. А.С., Юдин Д. Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука, 1974. — 383 с.
  53. Основы современных компьютерных технологий. Учебное пособие. Под ред. проф. А. Д. Хомоненко. СПб.: КОРОНА принт. 1998. — 448 с.
  54. X., Стайтлиц К. Комбинаторная оптимизация: Алгоритмы и сложность. М: Мир, 1985. 510 с.
  55. А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975. — 615 с.
  56. В.А. Об одной задаче теории расписаний // Кибернетика. -1966.-№ 5.-С. 75−78.
  57. .Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. — 319 с.
  58. Разработка теоретических основ исчисления спецификаций сложных систем. Отчет о НИР (заключит.) / БГУИР- Рук. темы Герман О. В. № ГР 19 982 351, ГБЦ Т97−321. — Мн., 2000.
  59. И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.-352 с.
  60. Т. Целочисленные методы оптимизации и связанными с ними экстремальные проблемы. М.: Мир. 1979. — 302 с.
  61. И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. Киев: Наук, думка, 1985. — 384 с.
  62. И.В., Лебедева Т. Т., Рощин В. А. Приближенные методы решения дискретных задач оптимизации. Киев: Наук, думка, 1980. -276 с.
  63. Ю.М. Управление гибкими производственными системами. М.: Машиностроение, 1988. — 351 с.
  64. А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2 т. М.: Мир, 1991. Т. 1- 2. — 702 с.
  65. B.C., Шкурба В. В. Введение в теорию расписаний. М.: Наука, 1975.-256 с.
  66. .Г., Пуусепп М. Э., Таваст P.P. Анализ и моделирование производственных систем. -М.: Финансы и статистика. 1987. 191 с.
  67. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций: В 2 т. М.: Мир, 1985. Т. 1−2.-975 с.
  68. В.А. О методе решения задач целочисленного линейного программирования специального вида // Докл. АН СССР. 1969. — № 5. — С. 952−954.
  69. А.П. Динамические целочисленные задачи оптимизации в экономике. М.: Физматлит. 1995. — 288 с.
  70. М., Скотт К. UML в кратком изложении. Применение стандартного языка объектного моделирования. Пер. с англ. М.: Мир, 1999.- 191 е., ил.
  71. Ю.Ю. Приближенные методы и прикладные задачи дискретного программирования. М.: Наука, 1976. 264 с.
  72. Л.Г. Выпуклость и алгоритмическая сложность задач полиномиального программирования // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1982. — № 6. — С. 46−56.
  73. Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании //ВМ и МФ, 1980. Т. 20. — № 1. — С. 51 -69.
  74. Л.Г. Сложность задач линейного программирования. М.: Знание, 1987.-31 с.
  75. С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. — 488 с.
  76. Шор Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наук, думка, 1979, — 200 с.
  77. Шор Н. З. Метод отсечения с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования //Кибернетика, 1977. — № 1. — С. 94−95.
  78. Д.Б., Немировский А. С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач //Экономика и математические методы, 1976. Т. 12. — № 2. — С. 357−369.
  79. Benchekroun В. A nonconvex piecewise linear optimization problem // Computers Math. Applic., 1991. -V. 21. — № 6/7. — P. 77−85.
  80. Gorokhovik V.V., Zorko O.I. Piecewise affine functions and polyhedral sets // Optimization, 1994. V. 33. — P. 209−221.
  81. Gunluk Oktay, Pochet Yves. Mixing mixed-integer inequalities //Math Programm, 2001. — № 3. — C. 429−457.
  82. Kripfganz A., Schulze R. Piecewise affine functions as a difference of two convex functions // Optimization, 1987. V. 18, — № 1. — P. 23−29.
  83. Lesaja Goran. Interior-point methods and modern optimization codes // Zb. rad. Sveuc. Zagrebu. Fak. organ. I inf., Varazdin, 1999. № 2. — C. 167−196.
  84. J., Roos C., Terlaky Т. Новый и эффективный метод внутренних точек с большим шагом для линейной оптимизации // Вычисл. технолог., -2001.-№ 4.-С. 61−80.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!