Наилучшее приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди

В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных функциональных пространствах. Это связано, в первую очередь, с задачей отыскания значений поперечников классов функций в этих же пространствах. Так, например, в пространствах Харди Нр, р > 1, задачи наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченной по норме производной изучались в работах К. И. Бабенко, В. М. Тихомирова, Л. В. Тайкова, Ж. Шейка, В. И. Белого, М. З. Двейрина, С. Б. Вакарчука.

Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л. В. Тайкова, Н. Айнуллоева, С. Б. Вакарчука и М. Ш. Шабозова.

Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений колмогоровских, линейных и проекционных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, у которых г-я производная принадлежит пространству Харди Н2 и удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанными со скоростью убывания модуля непрерывности т-го порядка.

Основной целью работы является:

1. Найти новые точные неравенства между наилучшими приближениями комплексными алгебраическими полиномами и интегралами, содержа-, щими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди.

2. Вычислить точные значение колмогоровских, линейных и проекционных поперечников соответствующих классов аналитических в единичном круге функций.

Результаты, полученные в диссертации, имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении еэнтропии классов функций, аналитических в единичном круге.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в ХоГУ (Хорог, 1999;2003 гг.), на семинарах по теории функций в ТГНУ (Душанбе, 2000;2003 гг.), на международной конференции «Развитие горных регионов в XXI веке» (Хорог, Таджикистан, 26−29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции посвященной 10-летию ХоГУ (Хорог, 26−28 октября 2002 г.), на международной научной конференции по «Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами,» посвященной 50 — летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25−28 октября 2003 г.).

Основные результаты опубликованы в работах [42,43−45,46].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 46 наименований и занимает 86 страниц машинописного текста. Главы подразделены на 7 параграфов. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они.

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН Тадж. ССР, т.27, N8, 1984, с.415−418.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 / / ДАН Тадж. ССР, т.28, N6, 1985, с.309−313.

3. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций. // Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сборник научных трудовКалининский госуниверситет, 1986, с. 91−101.

4. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Z/2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. Калининский госуниверситет, 1986, с.3−10.

5. Айнуллоев Н., Тайков JI.B. Наилучшие приближения в смысле А. Н. Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. // Математические заметки, т.40, N3, 1986, с.341−351.

6. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации.-М.: Наука, 1965.

7. Бабенко К. И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, т.22, N5, с.631−640.

8. Белый В. И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр. матем. журнал, 1967, т.19, N2, с.104−108.

9. Белый В. И., Двейрин М. З. О наилучших лигейных методах приближения на классах функций, определяемых союзными ядрами // В кн: Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 2. Киев, «Науково думка», 1971, с.37−54.

10. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди #2 // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, N26, с.799−802.

11. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем. журнал, 1990, т.42, N7, с.873−881.

12. Вакарчук С. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. //Математические заметки, 1995, т.57, N1, с.30−39.

13. Вакарчук С. Б. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций // Укр.мат. журнал, 1990, т.42, N6, с.838−843.

14. Григорян Ю. И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах // Математические заметки, 1973, N5, т.22, с.637−644.

15. Двейрин М. З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. // Теория приближения функций. М. Наука, 1977, с.129−132.

16. Двейрин М. З. Поперечники и 8 энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 1975, вып.23, с.32−46.

17. Двейрин М. З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений, вып.6, Киев «Науково думка», 1975, с.41−54.

18. Двейрин М. З., Чебаненко И. В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. «Науково думка», 1983, с.62−73.

19. Колмогоров А. Н. Uber die beste Annaherug von Funktionen einer gegebe-nen Funktionen klasse // Annalen of Math., 1936, N37, S. 107−111.

20. Корнейчук Н. П. Поперечники в Lp классах непрерывных и дифференцируемых функций и оптимальные методы кодирования и восстановлений функций и их производных // Изв. АН СССР. 1981, т.45, N2, с.266−290.

21. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М. «Наука», 1976, 320с.

22. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М. «Наука», 1987, 424с.

23. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр. М. «Мир», 1984, 364с.

24. Лигун А. А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 //Мат. заметки, 1978, т.24, N6, с.785−792.

25. Лигун А. А. О точных константах в неравенствах типа Джексона // ДАН СССР, 1985, т.281, N1, с.34−37.

26. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М. 1950, 382с.

27. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. -М.-Л. :Наука, 1964.

28. Тайков Л. В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций. //Математические заметки, 1967, т.1, N2, с.155−162.

29. Тайков Л. В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77−85.

30. Тайков Л. В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Ь2 // Мат. заметки, 1977, т.22, N4, с.535−542.

31. Тайков Л. В. Стрктурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Математические заметки, 1979, т.25, N2, с.217−223.

32. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. наук, 1960, т.1, N3, с.81−120.

33. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. -М. :Издательство МГУ, 1976, 304с.

34. Тихомиров В. М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фунда’м. направления / ВИНТИ. -1987, т. 11, с.103−260.

35. Черных Н. И. О неравенствах Джексона в L2 // Труды МИАН СССР, 1967, т.88, с.71−74.

36. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Математические заметки, 1967, т.2, N5, с.513−522.

37. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций. // ДАН Респ. Таджикистан, 1997, т.40, N9−10, с.54−61.

38. Шабозов М. Ш. О поперечниках в пространстве Харди Я2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Респ. Таджикистан, 1998, т.41, N9, с.48−53.

39. Шабозов М. Ш. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди. //Вестник ХоГУ, 1999, N1, серия 1, с.35−44.

40. Шабозов М. Ш., Пиров Х. Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Респ. Таджикистан, 1999, т.42, N4, с.19−24.

41. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди i?2 // Математические заметки, 2000, т.68, N5, с.796−800.

42. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций и значение поперечников некоторых классов функций // Вестник ХоГУ, 2000, N2, серия 1, С.87−93.

43. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Росии, 2002, т.382, N6, с.747−749.

44. Scheick J.Т. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc., 1966, 17, N6, 1238−1243.

45. Юсупов Г. А. О наилучшем приближении одного класса аналитических функций // Вестник ХоГУ, 1999, N1, серия 1, с.69−71.

46. Юсупов Г. А. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Респ. Таджикистан, 2001, N3−4, т.43.