Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках

В.1. Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований.

Одним из наиболее интенсивно развиваемых в настоящее время направлений автоматизации научных исследований, исследовательского и конструкторского проектирования сложных технических объектов является исключительно широкое применение разнообразных комплексов математических моделей, методов и алгоритмов, реализуемых с использованием современных средств вычислительной техники. Особую значимость указанное направление приобретает при исследовании и разработке систем автоматического управления в силу их существенной сложности, широты круга решаемых задач, высоких требований, предъявляемых к качеству динамических процессов, к эффективности и надежности замкнутых систем в целом и их отдельных элементов.

При разработке математического обеспечения для реализации моделей и методов на ЭВМ особое внимание уделяется вопросам автоматизации анализа устойчивости и качества динамических процессов, аналитического поиска законов управления, технической реализации управляющих устройств на базе цифровых и аналоговых элементов. При этом решающую роль играют математические методы оптимизации характеристик качества систем управления, позволяющие существенно повысить эффективность научных исследований в указанной области с использованием современных формализованных подходов для решения практических задач.

Среди сложных технических объектов, привлекающих в последнее время внимание специалистов по автоматизации научных исследований, особое место занимают системы управления термоядерными реакторами на основе токамаков.

Среди известных подходов, применимых при автоматизации анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы, могут быть использованы методы и алгоритмы теории аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах А. М. Летова, В. И. Зубова, В. В. Солодовникова, Р. Кал-мана и многих других исследователей. В частности, могут быть использована методы синтеза среднеквадратичных оптимальных регуляторов для линейных динамических объектов со стационарными внешними возмущениями случайного характера. Большой вклад в развитие данного направления внесли такие известные ученые, как В. В. Солодовников [52,53], В. С. Пугачев [50], А. А. Красовский [34,35], А. А. Первозванский [48], X. Квакернаак [31] и многие другие. Существенные результаты в рамках данной проблемы приведены в работах [1,36,37], [2,3], [22], [23], [42], [46], [47], [58].

Тем не менее необходимо отметить, что среди опубликованных работ сравнительно мало источников, связанных с адаптацией известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках. К ним следует отнести монографию [44], а также статьи [59], [60], [61], [63], [65], [67] и ряд других работ. Это связано с относительной новизной сформированного в последние годы комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости в вертикальном направлении с помощью обратных связей.

При реализации методов оптимального квадратичного и среднеквадратичного синтеза стабилизирующих управлений в токамаках необходимо учитывать, что, как и все подходы, связанные с минимизацией нормы элементов пространства Н2, указанная оптимизация является сравнительно грубым математическим аппаратом в теории динамических систем. Однако даже в самых сложных случаях этот подход даёт определённую информацию о свойствах объекта, которая может быть полезной при использовании более тонких и глубоких методов теории управления.

В связи с относительной простотой методов и алгоритмов Н2оптимизации, их программная реализация в принципе возможна на базе современных ПЭВМ средней мощности.

Тем не менее, известные методы среднеквадратичного оптимального синтеза не ориентированы на широкое применение в условиях вычислительной поддержки указанными средствами, что обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на ПЭВМ, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов решений. Необходимо заметить, что известные способы модификации указанных методов, приведенные в работах [8−18], и направленные на преодоление их недостатков, непосредственно не могут быть применены для решения задач стабилизации формы плазмы. В первую очередь, это связано с многомерностью вектора управляющих воздействий, обусловленной конструкцией полоидальной управляющей магнитной системы.

Отмеченные недостатки известных подходов к решению проблем, связанных с оптимизацией по норме Н2, а также новизна их применения к решению вопросов стабилизации формы плазмы в токама-ках, определяют актуальность соответствующего развития теории и ее адаптации к решению комплекса конкретных прикладных задач с построением соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

В связи с изложенным, целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оптимизации многосвязных динамических систем по норме Н2 и их адаптацию к особенностям задач стабилизации формы плазмы в термоядерных реакторах-токамаках.а также на разработку алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: развитию новой техники поиска оптимального решения многосвязной (MIMO) задачи среднеквадратичного синтеза в классической постановке, позволяющей построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для исследований формеизучению (на базе принятого представления) особенностей и свойств оптимальных регуляторов для малоисследованных вариантов постановки задачи синтеза с возмущениями неполного ранга и разработке методов поиска этих регуляторовпостроению верхних и нижних оценок экстремального значения среднеквадратичного функционала для М1М0-задач, позволяющих судить об эффективности оптимизации и степени управляемости объектом без непосредственного решения задачи синтеза, и принимать необходимые меры по их повышениюадаптации новых и известных методов оптимизации по норме Н2 для решения задач анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках с учетом комплекса реальных требований, предъявляемых к качеству стабилизации, и реальных ограничений, налагаемых на полоидальную магнитную системуприменению теоретических методов и алгоритмов, полученных в работе, для оценки эффективности тех или иных полоидаль-ных магнитных систем по обеспечению заданных динамических характеристик процессов стабилизации тока и формы плазмырешению конкретных прикладных задач анализа и синтеза систем управления токамаков различного типа с различными управляющими полоидальными магнитными системами.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав с выводами по каждой из них, заключения по диссертации в целом, списка литературы, включающего 74 наименования, и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Содержание диссертационной работы составляет проведение исследований по проблеме анализа и синтеза математических моделей систем стабилизации формы плазмы в токамаках. При этом основное внимание уделяется подходу, основанному на идеях теории оптимизации управляющих устройств для многосвязных динамических объектов, функционирующих в условиях воздействия случайных возмущений и характеризующихся среднеквадратичными функционалами.

Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оптимизации многосвязных динамических систем по норме и их адаптацию к особенностям задач стабилизации формы плазмы в термоядерных реакторах-токамаках. а также на разработку алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: развитию новой техники поиска оптимального решения многосвязной (MIMO) задачи среднеквадратичного синтеза в классической постановке, позволяющей построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для исследований формеизучению (на базе принятого представления) особенностей и свойств оптимальных регуляторов для малоисследованных вариантов постановки задачи синтеза с возмущениями неполного ранга и разработке методов поиска этих регуляторовпостроению верхних и нижних оценок экстремального значения среднеквадратичного функционала для MIMO-задач, позволяющих судить об эффективности оптимизации и степени управляемости объектом без непосредственного решения задачи синтеза, и принимать необходимые меры по их повышениюадаптации новых и известных методов оптимизации по норме для решения задач анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках с учетом комплекса реальных требований, предъявляемых к качеству стабилизации, и реальных ограничений, налагаемых на полоидальную магнитную системуприменению теоретических методов и алгоритмов, полученных в работе, для оценки эффективности тех или иных полоидаль-ных магнитных систем по обеспечению заданных динамических характеристик процессов стабилизации тока и формы плазмырешению конкретных прикладных задач анализа и синтеза систем управления токамаков различного типа с различными управляющими полоидальными магнитными системами.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Предложен новый способ представления решения М1МО-задачи среднеквадратичной оптимизации в частотной области. На его основе предложены новые алгоритмы поиска передаточных матриц оптимальных регуляторов.

2. Получено решение в частотной области М1М0-задачи среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга как при наличии, так и при отсутствии полной информации о векторе состояния объекта управления. Рассмотрен вопрос о неединственности решения задачи в указанном варианте.

3. Исследованы предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в М1МО-постановке. Получены формулы для вычисления верхних и нижних предельных значений этих характеристик без непосредственного решения задачи синтеза. Сформулированы критерии степени управляемости на базе среднеквадратичного подхода.

4. С использованием алгоритмов Н2-оптимизации разработана вычислительная схема синтеза управлений, стабилизирующих форму плазмы, с учетом комплекса требований к динамическим характеристикам переходных процессов и нелинейных ограничений на величины управляющих напряжений. Полученная схема использована для решения задачи стабилизации плазмы в токамаке ITER с поло-идальной системой ТАС4 и токамака MAST.

5. С использованием теоретических результатов по предельным характеристикам, разработана схема оценки эффективности катушек полоидальной магнитной системы по отношению к оптимальной стабилизации формы плазмы. С помощью этой схемы выполнен анализ полоидальной системы FDR2 токамака ITER. По результатам анализа выявлены три неэффективных катушки, практически не влияющие на качество стабилизации.