Математическое и программное обеспечение для решения нелинейных задач динамики систем управления с упругостью и сухим трением

Современное состояние производства характеризуется использованием широчайшего спектра всевозможных систем управления: от сложнейших робототехнических, транспортных, технологических и других промышленных систем до электромеханических систем бытового назначения. Одним из основных требований, предъявляемых к каждому техническому устройству, является его надежная, устойчивая работа при заданных управляющих воздействиях в реальных условиях эксплуатации. Поэтому при проектировании ноеых систем (или модификации старых) одним из этапов разработки является исследование динамики проектируемой (или модифицируемой) системы.

Решению вопросов динамики различного типа устройств, машин, систем управления посвящена обширная литература [12−14,1719,23−29, 35, 44−47, 4 9, 51,52, 55, 57, 58, 62, 64, 65, 67, 68,7 9, 80, 82 и др. ]. Анализ представленных в литературе расчетных методов позволяет констатировать следующее.

Классические методы, основанные на преобразованиях Лапласа и Фурье (частотные методы) [17,32,46,58,67,79 и др,], были и остаются наиболее распространенным аппаратом при оценке динамического поведения. Однако указанные методы допустимо применять лишь в тех случаях, когда поведение системы достаточно хорошо описывается в рамках линейной или линеаризованной динамической модели.

Между тем многие системы содержат элементы, которые обуславливают скачкообразный характер происходящих в этих системах динамических процессов [4,5,7,10,11,16,21,22,30,32−34,3641,48,53,56,63,66,68,69,71,73,81−83,85 и др.]. В качестве таких элементов можно назвать люфты, упоры, реле и т. д. Сухое трение в узлах машин выступает как еще один источник подобной скачкообразности. Задачи динамики с отмеченными особенностями являются существенно нелинейными. Следует также отметить, что нелинейности в формулировках задач динамики могут иметь и гладкий характер. Типичными примерами служат механическая характеристика электродвигателя переменного тока и нагрузочная характеристика гидропривода.

В литературе по динамике машин и системам управления представлены разнообразные аналитические методы исследования отдельных нелинейных систем [1−4,6−9,11, 14,15,17,18,20,21,32, 39,43,45,46, 51,52,54−57, 59−62,66−69,71,72,8 0−83 и др.]. Однако эти подходы способны дать лишь приближенную оценку динамических свойств. Точность подобной оценки остается при этом под вопросом.

Кроме того, имеющиеся аналитические методы не являются универсальными, пригодными для исследования любых нелинейных динамических систем. При использовании таких методов каждая нелинейная задача динамики требует индивидуального подхода.

В этой ситуации наиболее эффективным путем построения общих подходов к решению нелинейных задач динамики с разрывными особенностями представляется применение методов численного интегрирования [17,27,31,42,45,46,70,79,84,90,94−96,101 и др.], на основе которых можно создавать универсальные алгоритмы решения широких классов динамических проблем. Наибольшее распространение при этом получили явные схемы численного интегрирования (чаще всего явная схема Эйлера), отличающиеся простотой и универсальностью программной реализации.

Между тем известно [45,70,79,84], что явные схемы численного интегрирования являются лишь условно устойчивыми в вычислительном отношении (в смысле нарастания ошибки округления от шага к шагу). Для обеспечения надежного вычислительного процесса исследователь должен указать размер шага по времени, который га6 рантирует вычислительную устойчивость явного алгоритма. Однако оценка величины такого шага представляет собой достаточно сложную задачу, особенно в случае нелинейных дифференциальных уравнений. Исследователи предпочитают обходить эту проблему, надеясь обеспечить устойчивый счет выбором достаточно мелкого шага.

В случае «жестких» систем дифференциальных уравнений [70] к выбору шага по времени предъявляются повышенные требования. В этой ситуации отсутствие априорной оценки размера временного шага существенно снижает надежность явного алгоритма. В литературе отмечается, что алгоритмы, основанные на яеных схемах численного интегрирования, не обладают достаточной надежностью и требуют очень осторожного применения, особенно в случае «жестких» систем. При этом указывается, что надежные (безусловно устойчивые в вычислительном отношении) алгоритмы могут быть построены на пути использования неявных схем. Однако подобные алгоритмы не получили развития применительно к нелинейным задачам динамики с особенностями типа сухого трения и ограничениями по функциональным параметрам. По-видимому, такая ситуация обусловлена трудностями, связанными с необходимостью построения итерационных процедур для решения возникающих на каждом временном шаге нелинейных систем алгебраических уравнений.

Все сказанное дает основание констатировать, что несмотря на достигнутые результаты в области численного моделирования, проблема разработки надежных в вычислительном отношении алгоритмов для исследования динамического поведения систем с учетом характерных для них нелинейностей остается открытой.

Целью диссертационной работы является:

— разработка алгоритма и программного обеспечения для численного решения нелинейных задач динамики с трением и ограничениями по функциональным параметрам на основе неявной схемы Эйлера;

— проведение исследований динамического поведения реальных систем управления с сухим трением, упругостью и ограничениями по функциональным параметрам при различных воздействиях.

Автор выносит на защиту:

1) Алгоритм численного решения нелинейных задач динамики на основе неявной схемы Эйлера, способный учитывать разрывные особенности типа:

— сухого кулоновского трения,.

— ограничений в форме неравенств, накладываемых на функциональные параметры динамической системы.

2) Программное обеспечение для численного решения задач динамики, сформулированных в виде систем нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством нерегулярностей типа сухого трения и ограничениями по любому из определяющих параметров системы.

3)Результаты численного моделирования динамического поведения реальных систем с трением и ограничениями по функциональным параметрам при различных воздействиях с установлением эффектов и закономерностей по влиянию нелинейностей на характер динамических процессов.

Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Первый раздел посвящен обзору и критическому анализу существующих методов решения задач динамики. Отмечается, что во многих важных для практики случаях задачи динамики являются существенно нелинейными и характеризуются наличием сухого трения и других разрывных особенностей. Известные аналитические методы способны дать лишь приближенную оценку динамического поведения систем с подобного типа особенностями.

При анализе численных подходов применительно к решению существенно нелинейных задач динамики отмечено, что наиболее распространены подходы, основанные на явных схемах численного интегрирования (чаще всего явной схеме Эйлера). Однако такие схемы являются лишь условно устойчивыми, поэтому их надежность 8 особенно в случае «жестких» систем представляется недостаточно высокой.

Подчеркивается, что надежные вычислительные модели в нелинейных задачах динамики могут быть построены на основе неявной схемы Эйлера. И здесь может быть использован опыт, накопленный в области разработок инкрементальных методов решения контактных задач теории пластичности. Аналогия здесь с задачами динамики с разрывными особенностями состоит в наличии ограничения в виде контактирующего инструмента, трения на контактной поверхности и скачкообразного перехода среды из жесткого состояния в пластическое .

На основе проведенного критического анализа существующих разработок в области численного решения нелинейных проблем с разрывными особенностями сформулирован подход к численному моделированию нелинейных задач динамики. Формулировка, в частности, включает регуляризацию особенностей типа сухого кулонов-ского трения, применение неявной схемы Эйлера к регуляризован-ной задаче динамики с получением нелинейной алгебраической системы на временном шаге и ее последующее решение с использованием итерационных схем Ньютона и «переменной вязкости» .

Во втором разделе работы задача динамики формулируется в виде системы, состоящей из нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. По каждому функциональному параметру предполагается наличие ограничения, которое формулируется в виде неравенства. На основе сформулированного в предыдущем разделе подхода представленная система дифференциальных уравнений заменяется путем применения схемы Эйлера соответствующим нелинейным алгебраическим аналогом. Дается описание алгоритма численного решения, основанного на сведении полученной нелинейной системы к последовательности линейных алгебраических систем в рамках итерационных процессов с применением методов Ньютона и «переменной вязкости». Представлено описание программной реализации, учитывающей произвольный порядок системы дифференциальных уравнений динамической модели, произвольное количество особенностей типа сухого кулоновского трения и возможность задания ограничений по каждому из функциональных параметров .

В третьем разделе работы дается приложение разработанного алгоритма к численному моделированию вынужденных колебаний од-номассовых и двухмассовых упругих систем с трением. Расчетные схемы подобного типа широко распространены в практике исследования динамики различных технических устройств. При достаточно больших значениях сил трения движение подобных систем характеризуется прерывистостью с обширными зонами застоя. Возможны ситуации, в которых наблюдаются дополнительные промежуточные торможения и остановы. Как отмечается в литературе, расчетное исследование подобных движений с большим количеством остановов аналитическими методами чрезвычайно затруднено. В случае двух источников трения аналитическое решение для задачи подобного типа с остановами к настоящему времени не получено.

Разработанный в данной работе алгоритм легко справляется со всеми отмеченными трудностями и позволяет получить решение при любых значениях сил трения. В разделе представлены результаты численного моделирования в виде форм вынужденных колебаний и «амплитудно-частотных» характеристик при различных значениях параметров рассматриваемых систем. Продемонстрированы все возможные случаи движения подобного рода систем как с обширными зонами застоя и промежуточными остановами, так и без остановов при достаточно малых значениях сил трения. Дается сравнение полученных результатов с известными численными решениями. О.

В четвертом разделе дается приложение разработанного алгоритма к исследованию динамики рулевого электрогидравлического привода летательного аппарата в соответствии с техническим заданием ГНПЦ «Звезда-Стрела». Принципиальная схема функционирования привода выглядит следующим образом.

Управляющий сигнал вызывает перемещение золотника гидрораспределителя. Открытие окон золотникового гидрораспределителя вызывает расход жидкости через гидроцилиндр. Возникающий при этом перепад давления на поршне преобразуется посредством кинематических связей в момент, действующий на рулевую поверхность. Дополнительными силовыми факторами являются момент, возникающий под действием набегающего воздушного потока, а также моменты, вызываемые силами сухого и вязкого трения в узлах привода. Наличие обратной связи по положению руля призвано обеспечить требуемый угол поворота рулевой поверхности в соответствии с величиной управляющего сигнала.

В традиционных конструктивных вариантах центр давления набегающего воздушного потока располагается за точкой шарнирного закрепления или совпадает с ней (случаи недокомпенсированной и скомпенсированной рулевой поверхности). В рассматриваемом техническом задании принят вариант перекомпенсированной рулевой поверхности (центр давления набегающего воздушного потока располагается перед точкой шарнирного закрепления). Принятая конструктивная особенность коренным образом изменяет поведение привода. Если в первом из упомянутых конструктивных вариантов набегающий поток стремится удерживать руль в нейтральном положении, то в рассматриваемом варианте набегающий поток стремится развернуть рулевую поверхность, поэтому этот конструктивный вариант привода заведомо несет в себе опасность неустойчивой работы. Дать оценку работоспособности привода в условиях переи компенсации рулевой поверхности и составило главную цель проведенных в данном разделе расчетных исследований.

Система дифференциальных уравнений привода включает уравнение вращательного движения руля (совместно со связанными с ним элементами) под действием момента от перепада давления на поршне и других упомянутых выше моментов. Изменение перепада давления на поршне описывается дифференциальным уравнением первого порядка, учитывающим упругую сжимаемость рабочей жидкости. Уравнение включает в себя нелинейную нагрузочную характеристику гидропривода, которая в свою очередь содержит разрывную особенность по перемещению золотника. Движение золотника под действием управляющего сигнала и реакции обратной связи описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Дополнительной особенностью является наличие ограничений, а именно: перепад давления ограничен величиной давления питания, а перемещение золотника ограничено максимальным размером его окна. Представленная нелинейная задача динамики с трением и ограничениями относится к типу «жестких», т.к. наряду с достаточно медленным процессом поворота руля в системе происходят быстрые процессы, связанные со сжимаемостью жидкости в гидроцилиндре .

В первой части раздела приведены результаты параметрических исследований поведения привода при постоянном входном воздействии. Здесь показано, что использование линеаризованной модели нагрузочной характеристики (как это часто делается в инженерных расчетах) может приводить к нереалистичным результатам в описании протекания переходного процесса в приводе. Дается оценка влияния сухого и вязкого трения на качество переходного процесса, а также оценка влияния моментов от набегающего пото— 2 ка на работоспособность привода. Все полученные результаты оформлены в виде удобных для анализа графиков и таблиц.

Во второй части раздела приведены результаты численного моделирования поведения привода при гармоническом входном воздействии. Получаемые результаты по выходному параметру не являются гармоническими. Для того, чтобы получить возможность вести анализ в традиционных терминах амплитудно-частотных и фазочастот-ных характеристик, получаемая на выходе периодическая функция времени аппроксимируется первыми гармониками ряда Фурье с частотой входного сигнала. Оценка коэффициентов Фурье в программе осуществлена путем вычисления соответствующих интегралов по периоду методом трапеций.

Здесь в виде функций времени представлены результаты по всем определяющим параметрам модели привода. Отмечается прерывистый характер протекания динамических процессов в элементах привода вследствие сухого трения и ограничений, накладываемых на функциональные параметры. Обращается внимание на высокочастотные пульсации перепада давления. В результате проведенных параметрических исследований построены логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики при различных значениях момента сил трения и момента набегающего потока, а также при различных значениях амплитуд входного сигнала. Существенные различия частотных характеристик в области больших значений амплитуд входного сигнала указывает на существенную нелинейность рассматриваемой задачи динамики. При достаточно малых значениях амплитуд входного сигнала и отсутствии трения (когда допустимо использование линейной модели привода) полученные результаты полностью совпадают с результатами классического частотного анализа.

1д.

Проведенные на основе нелинейной модели расчеты позволили сделать вывод о том, что динамические свойства данного привода находятся в рамках требований, определяемых техническим заданием.

Результаты всех проведенных исследований в виде графиков и таблиц, а также выработанные рекомендации переданы ГНПЦ «Звезда-Стрела» .

В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложении представлены копии актов, свидетельствующих о внедрении разработанного программного обеспечения в практику. н.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В завершение приведем основные результаты и выводы по выполненной работе.

1. Сформулирован подход к численному решению нелинейных задач динамики с особенностями типа сухого трения и ограничениями в форме неравенств, основанный на регуляризации функций в малых окрестностях особых точек, применении неявной схемы Эйлера и итерационном решении нелинейной системы алгебраических уравнений на временном шаге. Использование неявной схемы обеспечивает надежность вычислительного процесса независимо от степени «жесткости» систем дифференциальных уравнений.

2. На основе указанного подхода разработан и программно реализован алгоритм численного решения нелинейных задач динамики, сформулированных в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством источников сухого трения кулоновского типа. Предусмотрена возможность накладывать ограничения в форме неравенств на любой из функциональных параметров системы. Надежность алгоритма, его способность предсказывать динамическое поведение исследуемых систем в самых сложных случаях, включая ситуации прерывистого движения вследствие сухого трения, подтверждены сравнением с известными решениями.

3. С помощью разработанного алгоритма осуществлено подробное численное моделирование вынужденных колебаний одномассовой и двухмассовой упругих систем с трением в малоизученной области низких частот, где движение имеет прерывистый характер с множеством остановов и торможений (с пульсациями скоростей) на полупериоде. иг.

При этом установлен факт крайне немонотонной зависимости размаха («амплитуды») колебаний, а также длительности застоя на полупериоде от частоты (в области низких частот). В случае двухмассовой модели этот эффект выражается в двухи трехкратном различии длительности застоя для двух близких частот из указанного диапазона. Переход к одномассовой модели снижает такой эффект почти в два раза. Еще большее снижение этого эффекта зафиксировано при включении вязкости в модель.

Путем сравнительного анализа одномассовой и двухмассовой модели с трением (без вязкости и с вязкостью) установлена закономерность по количеству локальных остановов и торможений на полупериоде в зависимости от частоты вынужденных колебаний. Дана также оценка влияния вязкости на картину пульсаций скоростей на полупериоде в зависимости от частоты.

4. Дано применение разработанного алгоритма к оценке работоспособности рулевого электрогидравлического привода с перекомпенсацией рулевой поверхности, в соответствии с техническим заданием ГНПЦ «Звезда-Стрела». Динамическая модель привода включала дифференциальные уравнения: а) вращательного движения руля (относительно угла поворота) под действием моментов сил от перепада давления на поршне гидроцилиндра, аэродинамического шарнирного момента от нагрузки набегающего потока, а также моментов сил сухого трения и вязкого сопротивленияб) баланса расходов в гидросистеме привода (записанное относительно перепада давления и перемещения золотника) с учетом упругой сжимаемости рабочей жидкости и нелинейности нагрузочной характеристикив) движения золотника гидрораспределителя под воздействием сигнала рассогласования. Дополнительными нелинейными факторами модели привода являлись из заданные ограничения, накладываемые на перемещение золотника и перепад давления на поршне.

Выполнены подробные параметрические исследования реакции привода на постоянное и гармоническое входное воздействие. Установлено, что традиционная линейная и линеаризованная расчетные схемы приводят к нереалистичным результатам при тех достаточно больших значениях входного сигнала, которые предусмотрены техническим заданием.

Проведенным расчетным анализом подтверждено устойчивое функционирование привода при значениях параметров, соответствующих техническому заданию.

Оформленные в виде таблиц и графиков результаты исследований и вытекающие из них выводы по работоспособности привода переданы организации — проектировщику.