Системный анализ и методы исследования устойчивости управляемых объектов с неполной информацией

Диссертационная работа посвящена системному анализу, развитию существующих методов и разработке новых методов исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией.

Актуальность темы

Бурное развитие техники и новые компьютерные технологии, разработка программного обеспечения и систем сбора и обработки данных определяют значительное усложнение структуры проектируемых промышленных систем и управляемых технических систем. В связи с этим возникает проблема системного анализа сложных управляемых систем, позволяющего определять условия безопасного и устойчивого их функционирования с обеспечением заданного режима работы, влияние параметров системы на ее устойчивость. Значительное место в исследовании этой проблемы занимает разработка математических методов построения управляемых систем с учетом различных особенностей, таких как структура, неполнота информации о состоянии окружающей среды и параметрах системы, запаздывание в обработке этой информации. Кроме того, в связи с повышением требований к точности прогнозирования свойств исследуемых систем, к качеству функционирования проектируемых систем повышаются требования и к адекватности их математических моделей.

Как при эксплуатации современных технических систем, так и при внедрении новых технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязей между ними, увеличивается число отказов и, соответственно, число технических и техногенных катастроф. Кроме того, ситуация, сложившаяся к настоящему времени, характеризуется и значительным износом оборудования. Часто это приводит к авариям, для ликвидации которых привлекается достаточно большое количество ресурсов.

Актуальной проблемой теории управляемых систем является проблема управления объектами с неполной информацией. Системы управления с неполной информацией применяются в случаях, когда объект управления достаточно сложен для его точного описания и существует дефицит априорной информации о поведении системы. Вопросам алгоритмического конструирования и устойчивости систем управления с неполной информацией посвящены работы Е. Мамдани [89], М. Суджено [97], Т. Такахи [99], К. Танаки и Х. О. Ванга [102], М. де Гласа [71], Ле Ван Хиена [76], Д. Дрянкова [73], А. Пегата [44], Р. Дорфа и Р. Бишопа [14], Б. Лю [33], К. А. Пупкова [51], Н. Н. Моисеева [41], Д. А. Поспелова [49], С. Н. Васильева [9], А. Н. Аверкина, И. З. Батыршина,.

A.Ф. Блишуна, В. Б. Силова и В. Б. Тарасова [1], P.A. Алиева [4],.

B.И. Гостева [12], В. Н. Афанасьева [6], A.A. Шестакова [62], В. В. Круглова [30], В. В. Дикусара и A.A. Милютина [13] и других исследователей.

Как известно, система управления состоит из управляющего объекта (регулятора), предназначенного для осуществления управления, и объекта управления, подвергаемого управляющим воздействиям. Нечеткий регулятор осуществляет процесс выработки управляющих воздействий на базе нечеткой логики, при этом для описания системы используются знания экспертов.

Знания о взаимодействии такого регулятора с объектом управления представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО (ответная реакция). Часть ЕСЛИ означает сопряжение нечетких операций, а часть ТО представляет собой указание лингвистической величины для выходного воздействия (управляющего воздействия на объект управления) регулятора.

При решении задач управления системами с неполной информацией на основе нечетких регуляторов возникает проблема исследования устойчивости этих систем. Начиная с работ А. М. Ляпунова [34], Н. Е. Жуковского [18], А. Пуанкаре [50], Дж. Биркгофа [8], теория устойчивости динамических систем развивалась в работах В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [43],.

A.A. Красовского [26, 27], H.H. Красовского [28], A.A. Шестакова [62], Ю. Н. Меренкова [39], В. В. Румянцева и A.C. Озиранера [53], В. М. Попова [48],.

B.М. Матросова [36], А. Ф. Филиппова [60] и в работах других отечественных и зарубежных ученых.

Тридцатые и сороковые годы двадцатого столетия были ознаменованы плодотворной деятельностью двух крупных научных школ по теории устойчивости: научной школы ГАИШ (В.В. Степанов, Н. Д. Моисеев, Г. Н. Дубошин, Н. Ф. Рейн и другие) и казанской научной школы (Н.Г. Четаев, К. П. Персидский, И. Г. Малкин, Г. В. Каменков и другие). Ученые этих школ внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости по Ляпунову. Возникшие в более поздний период научные школы по качественной теории, теории устойчивости и теории нелинейных колебаний в Москве, Киеве, Екатеринбурге, Минске, Санкт-Петербурге, Самарканде, Нижнем Новгороде внесли дальнейший крупный вклад в развитие теории устойчивости.

Методы теории устойчивости нашли применение и в теории управления [2, 3, 6, 19, 29, 32, 35, 38, 41, 46, 49, 51, 61, 63, 64, 67, 71, 73, 78, 79, 83, 92, 103]. Современные вопросы теории устойчивости управляемых систем рассмотрены в работах [12, 14, 30, 44, 56, 59, 66, 72, 74, 76, 86, 90, 91, 93, 95−99, 106, 2*].

В ряде промышленных нормативов в России и за рубежом заложено требование обеспечения устойчивости системы управления. Это требование рассматривается как необходимое условие для использования системы управления. Имеется много прикладных задач, для которых проверка устойчивости управляемой системы оценивается как задача первейшей важности. К этим задачам относятся управляемые системы, влияющие на безопасность людей (стабилизация полета самолета и т. п.), управляющие дорогостоящие объекты и сложные технические процессы, подверженные потере устойчивости. Подобного рода нормативы обеспечения устойчивости должны соблюдаться, независимо от типа регулятора.

Одним из эффективных методов исследования устойчивости и других качественных свойств динамических систем является классический и обобщенный методы функций Ляпунова. В монографии A.A. Шестакова [62] с помощью функций Ляпунова получены необходимые и достаточные условия устойчивости для динамических систем Биркгофа. Вопросы устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями, рассматривались также в работах [15, 16, 28, 39, 53, 107]. Подход к изучению систем, связанный со свойствами дифференциальных включений, предложен в работах [39, 62, 1*]. Теория устойчивости для стохастических систем развита в работах A.A. Шестакова [62], Ю. Н. Меренкова [39] и других ученых. В работах М. Брэа и Д. А. Рузерфорда [67], Д. Дрянкова [73], Jle Ван Хиена [76] содержатся результаты по применению разрывных функций Ляпунова к изучению устойчивости управляемых систем.

Теории общих систем и системному анализу посвящена обширная литература (см., например, [11, 25, 37]). Системный подход к исследованию устойчивости неуправляемых систем описан A.A. Шестаковым [62] и Ю. Н. Меренковым [39]. Указанный подход основан на понятии ключевой математической системы, позволяющей с единой точки зрения рассматривать свойства устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов.

Важным классом управляемых систем с неполной информацией являются нечеткие системы управления. Конструктивными сторонами нечеткого управления являются: 1) естественность требований в том смысле, что описание условий и метода решения задачи осуществляется на языке, близком к естественному- 2) универсальность требований в том смысле, что любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике- 3) эффективность требований в том смысле, что для каждой вещественной непрерывной функции g, заданной на компакте U и для произвольного в > 0 существует нечеткая экспертная система, формирующая выходную функциюХх) такую, что sup||g (x) — /(х)|| < 8. xeU.

Вместе с тем для нечетких экспертных и управляющих систем характерны и определенные недостатки: 1) исходный набор постулируемых нечетких правил формулируется экспертом-человеком и может оказаться неполным или противоречивым- 2) вид и параметры функций принадлежности, описывающих входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно и могут не вполне отражать реальную действительность.

Для устранения указанных недостатков рядом авторов было предложено выполнять нечеткие экспертные и управляющие системы адаптивнымикорректируя, по мере работы системы, и правила и параметры функций принадлежности. Среди нескольких вариантов такой адаптации разработан метод гибридных нейронных сетей [9].

В работах А. Н. Аверкина [1], Р. А. Алиева [4], В. Н. Афанасьева [6], С. Н. Васильева [9], А. Пегата [44], Р. Дорфа и Р. Бишопа [14], В. И. Гостева [12], Т. Тэрано, К. Асаи и М. Суджено [58], Д. Дрянкова [73] смещение исследований систем с неполной информацией в область практических приложений привело к постановке целого ряда задач, таких, как новые архитектуры компьютеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки систем управления. Промышленная реализация управляемых систем оказывается полезной в случаях, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных (числовых) методов или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно.

В работе [9] С. Н. Васильевым выделены шесть уровней систем управления: 1) системы программного управления (разомкнутые системы) — 2) системы с обратной связью (замкнутые системы) — 3) системы идентификационного управления- 4) системы адаптивного управления (системы с самонастройкой) — 5) системы интеллектного управления (СИУ без целеполага-ния) — 6) интеллектуальные системы управления (СИУ с целеполаганием). Каждый класс систем управления включает все предыдущие с точки зрения охвата их возможностей управления. К одному из уровней интеллектуального управления относится и нечеткое управление.

Д.А. Поспеловым [49] дана следующая классификация систем управления по объему необходимой информации о внешнем мире: 1) простые системы управления, состоящие из систем программного управления и систем с обратной связью- 2) системы с адаптацией, состоящие из систем идентификационного управления и систем адаптивного управления- 3) модельные системы управления, состоящие из систем интеллектного управления- 4) семиотические системы управления, состоящие из интеллектуальных систем управления.

Н.Н.Моисеев [41] различает три уровня управления: 1) верхний уровень управления: целеполагание- 2) средний уровень управления: поиск способа достижения поставленной на верхнем уровне цели- 3) нижний уровень управления: реализация выбранного на среднем уровне способа достижения поставленной цели.

В [9] отмечено, что в настоящее время системы интеллектуального управления с нетривиальным верхним уровнем управления существует только в виде человеко-машинных систем, а проблема аппаратно-алгоритмического обеспечения среднего уровня управления и, в особенности, верхнего уровня управления является вызовом для специалистов в области интеллектного управления.

На стыке современной теории управления и искусственного интеллекта интенсивно развивается интеллектное управление. Возможно рассматривать интеллектное управление не только как пограничную область теории управления и искусственного интеллекта, но и как пограничную область теории управления, искусственного интеллекта и исследования операций. Взаимное влияние указанных трех базовых областей исследований и разработок детально рассмотрено в [9]. Отметим, что в монографии Б. Лю [33] показаны возможность и перспективы сочетания указанных областей.

Интеллектными компонентами систем управления для реализации высокоинтеллектуальных функций являются системы, основанные на знаниях. Важно отметить, что в общем случае системы, основанные на знаниях, оперируют с более широкой информацией — логическими, объектно-ориентированными и другими моделями, основанными на знаниях экспертов.

Вместе с тем системы, основанные на знаниях, могут использовать и традиционные алгоритмы, базирующиеся на уравнениях динамики.

К системам, основанным на знаниях, относятся а) системы, основанные на правилахб) системы, основанные на автоматическом доказательстве теоремв) системы, основанные на автоматическом гипотезированииг) системы, основанные на рассуждениях по аналогиид) объектно-ориентированные интеллектные системы [9]. Отметим, что управление на основе знаний образует раздел интеллектного управления и включает, например, управление на основе правил и управление на основе логических моделей.

Относительно пределов использования интеллектного управления следует отметить, что нечеткие регуляторы являются более робастными, чем обычные. Имеются многие приложения, где использование указанных регуляторов обеспечило высокую робастность систем управления [44].

Большой класс нечетких регуляторов представляют регуляторы, в которых выход выражается в виде одноточечного множества (синглетона). Управляемые системы с синглетон-выходом разделяются на дискретные и непрерывные. Эти системы эффективно применяются в задачах управления беспилотным вертолетом, управления железнодорожным транспортом, управления грузовыми лифтами, управления прохождением грузовых судов между островами без вмешательства человека, управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена [9, 12, 44].

В ряде задач управления системами с неполной информацией изучаемые нелинейные явления описываются с помощью систем Такахи-Суджено [99]. Указанные типы систем с неполной информацией, базирующиеся на правилах нечеткого вывода и нечетких регуляторах, находят многочисленные приложения в промышленности, в естествознании, в инженерной практике. Системы Такахи—Суджено эффективно применяются в задачах управления механическими транспортными средствами, управления подъемными и мостовыми кранами, управления роботами-манипуляторами [12, 44, 97, 102].

Динамика большого числа современных промышленных объектов описывается дифференциальными, уравнениями с запаздыванием. Запаздывания возникают и как последействия во внутренних обратных связях объекта, и как временные задержки в измерительных и управляющих устройствах. Большой прикладной интерес представляет задача исследования устойчивости систем Такахи-Суджено при наличии запаздывания в динамической части правил [106].

Анализ устойчивости систем Такахи-Суджено изучался в работах [70, 72, 91, 95, 102, 104−106]. Исследование устойчивости указанных систем может быть сведено к задачам, решаемым с помощью свойств линейных матричных неравенств, которые обеспечивают требуемые свойства функций Ляпунова (отрицательность производной функции Ляпунова в силу системы) [102].

Однако, несмотря на возрастающее число применений, развитие систематических методов изучения устойчивости управляемых систем с неполной информацией остается малоизученным направлением в теории управляемых систем.

В связи с указанными обстоятельствами возникает, с одной стороны, необходимость создания новых математических моделей, описывающих динамические процессы, а с другой стороны, необходимость разработки методов, позволяющих оценивать безопасность функционирования динамических систем. Так, в связи с проектированием и внедрением скоростных и высокоскоростных составов актуальными задачами являются изучение качественного поведения и устойчивости математических динамических моделей с учетом различных типов возмущений, возникающих при взаимодействии колеса и рельса, а также вопросы динамической безопасности и управления движением. Вопросы, связанные с надежностью и безопасностью функционирования систем, рассмотрены в работах H.A. Северцева и A.B. Бецкова [55], А. И. Дивеева, В. А. Каштанова, Г. С. Садыхова, Е. А. Воронина и в работах других авторов (см. библиографию в [55]).

Одной из задач, возникающих при описании эволюции взаимодействующих объектов, является задача исследования устойчивости состояний равновесия систем «реакция-диффузия». Для классической системы «реакция-диффузия» получены многочисленные результаты в направлении развития качественной теории и, в первую очередь, теории устойчивости решений [7, 52]. Для обобщенных систем «реакция-диффузия» получено значительно меньше результатов (см., например, [7, 40, 7*] и др.). В работе [7] показана эффективность применения функций Ляпунова для изучения устойчивости решений указанных систем. Устойчивость решений классических и обобщенных систем «реакция-диффузия» в многомерном случае исследована в [7*] методом функций Ляпунова. В работах [15, 28*] вопрос об устойчивости решений обобщенных многомерных систем «реакция-диффузия» изучен с помощью метода, основанного на свойствах дивергенции поля скоростей.

В связи с вышеизложенным проблема исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией является важной и актуальной в области системного анализа, теории управления и теории устойчивости, требующей дальнейшей разработки.

Объектами исследования являются управляемые дискретные и непрерывные системы с синглетон-выходом, системы с нечеткими регуляторами, системы Такахи-Суджено с запаздыванием и без запаздывания, а также нелинейные системы «реакция-диффузия».

Целью работы является повышение эффективности первого и второго методов Ляпунова в сочетании с другими методами для системного анализа управляемых объектов с неполной информацией и в создании на основе этих методов эффективных критериев устойчивости и конструктивных алгоритмов анализа устойчивости управляемых систем. Кроме того, целью работы является обеспечение на основе методов Ляпунова высоких эксплуатационных показателей проектируемых промышленных и технических систем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории управления, методы теории устойчивости, методы функционального анализа, математической логики, теории дифференциальных уравнений, а также разработанные в работе методы: спектрально-бифуркационный метод, комбинированный метод функций Ляпунова, метод дивергентных функций Ляпунова, техника линейных матричных неравенств.

Научная новизна. Диссертация является теоретической научно-квалификационной работой, в которой получены следующие новые результаты: а) введены понятия устойчивости для управляемых систем с неполной информациейб) проведен системный анализ управляемых систем с неполной информациейв) найдены условия устойчивости состояний равновесия управляемых систем с неполной информацией на основе развитого в диссертации спектрально-бифуркационного методаг) определено понятие «запас устойчивости» и разработан алгоритм нахождения запаса устойчивости для многомерных управляемых систем с неполной информациейд) получены условия устойчивости дискретных и непрерывных управляемых систем с синглетон-выходом, систем Такахи-Суджено при наличии и отсутствии запаздывания на основе предложенного в диссертации комбинированного метода функций Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенстве) установлены условия устойчивости состояний равновесия систем с неполной информацией на основе развитого в диссертации метода дивергентных функций Ляпуноваж) найдены условия существования неотрицательных состояний равновесия и проведено качественное исследование решений системы «реакция-диффузия" — з) получены условия устойчивости на основе метода функций Ляпунова и подхода к изучению устойчивости решений, основанного на принципе сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравненийи) доказаны теоремы об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях транспортной системы.

Практическая значимость. Полученные в работе научные результаты могут служить теоретической основой анализа устойчивости управляемых объектов с неполной информацией, возникающих в прикладных задачах промышленности, производства, естествознания, экологии и в технике. Разработанные в диссертации методы могут быть применены в задачах проектирования и разработки промышленных, технических и транспортных управляемых систем с высокими эксплуатационными показателями. К таким задачам, например, можно отнести автоматическое управление технологическими процессами, сопровождающимися химическими реакциями, управление потоками данных в компьютерных сетях и транспортными потоками, космическими летательными аппаратами.

Ряд результатов диссертации получен в рамках работы по гранту РФФИ (проект № 10−08−826-а).

Отдельные результаты диссертации включены в содержание учебных курсов для студентов физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина и для студентов Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ). Кроме того, результаты диссертации используются в научной работе студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, гарантируется строгими доказательствами, опирающимися на методы функционального анализа, математической логики, теории устойчивости и управления.

Личный вклад автора в проведение исследования. Представленные на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно. Результаты, опубликованные совместно с другими авторами, принадлежат соавторам в равных долях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 22 Международных и Всероссийских научных конференциях и семинарах, среди которых наиболее важными являются: Международная конференция им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2006, 2008, 2010 гг.) — Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ» (ЪГОА-З) (Санкт-Петербургский гос. университет, 2007 г.) — IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2007 г.) — Международная конференция «Проблемы системной безопасности» (Москва, ВЦ РАН, 2007 г.) — XVI, XVIII Международные конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010 гг.) — Международная научная конференция, посвященной 80-летию со дня рождения акад. В. А. Мельникова (Москва, ИСП РАН, 2009 г.) — конференция «Управление в технических системах» (УТС-2010) (Санкт-Петербург, ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010 г.) — вторая Международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, МГТУ «СТАНКИН», 2011 г.) — III Международная научная конференция «Фундаментальные проблемы системной безопасности и устойчивости», посвященная 50-летию полета Ю. А. Гагарина (Звездный городок, 2011 г.) — научный семинар по нелинейному анализу и проблемам безопасности Вычислительного центра им. А. А. Дородницына РАН (Москва, 2011 г.) — научный семинар Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) (2010, 2011 гг.) — научно-практическая конференция Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина (Елец, 2006;2011 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы ?1 *—48*] (см.

список литературы

к диссертации), общим объемом 37,9 п.л., в том числе 2 монографии, объемом 21,5 п.л., 19 публикаций — в рецензируемых журналах и изданиях, объемом 6,7 п.л., 27 публикаций в сборниках тезисов и трудов конференций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 243 страницы текста и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 156 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Главы состоят из разделов, в каждом разделе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы,.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Результаты настоящей диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Определены новые понятия устойчивости для систем с неполной информацией и новое понятие «запас устойчивости».

2. Развит системный подход к анализу устойчивости управляемых систем с неполной информацией, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов, на основе ключевой системы. Обобщен принцип сведения задачи об устойчивости дифференциальных включений к задаче об устойчивости нечетких дифференциальных уравнений. Даны условия существования решений дифференциальных включений общего вида.

3. Развиты новые методы исследования устойчивости: спектрально-бифуркационный метод, метод дивергентных функций Ляпунова, комбинированный метод функций Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенств.

4. Получены новые условия устойчивости состояний равновесия многомерных систем с неполной информацией и условия устойчивости систем Та-кахи-Суджено при наличии и отсутствии запаздывания. Разработан новый алгоритм для нахождения запаса устойчивости многомерных управляемых систем с неполной информацией.

5. Построены локальные фазовые портреты и исследована устойчивость состояний равновесия системы «реакция-диффузия». Рассмотрено обобщение и модификация системы на случай дифференциального включения и нечеткого дифференциального уравнения. Получены новые теоремы об устойчивости с помощью принципа сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений и метода функций Ляпунова.

6. Полученные результаты нашли применение при создании и совершенствовании авиационной и ракето-космической техники, а также в создании и совершенствовании наземного и воздушного транспорта.