Методы расчета рассеяния света несферическими частицами с использованием разложения полей по волновым функциям

Начнем с краткого обоснования актуальности работы, формулировки ее целей, научной новизны и практической ценности, а также описания основных полученных результатов и их апробации. Затем кратко изложим содержание работы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы

Дистанционное исследование мелко дисперсных сред играет важную роль в физике атмосферы, экологии, биофизике, астрофизике и других дисциплинах. При этом все актуальнее становятся оптические методы, в которых данные различных измерений анализируются путем их сопоставления с результатами расчетов для различных ансамблей несферических частиц. Достоинствами таких методов являются их универсальность, относительно низкая стоимость, высокая эффективность, слабое воздействие на объекты и т. д. Серьезное препятствие в применении оптических методов для изучения дисперсных сред создается в основном недостаточным развитием теории рассеяния света несферическими частицами. Несмотря на гигантский скачок в производительности вычислительных систем, до сих пор нет эффективных алгоритмов для расчета оптических свойств сильно вытянутых/сплюснутых частиц, нет достаточно быстрых способов определения этих свойств для несферических рассеивателей произвольной формы.

Наиболее перспективным подходом решения этих проблем является развитие методов теории рассеяния света, в которых используется разложение полей по волновым функциям. В этом случае удается наилучшим образом учесть геометрию рассеяния и, как следствие, получаются наиболее точные и быстрые алгоритмы решения задачи рассеяния света. Подобными методами являются метод разделения переменных (Separation of Variables Method, SVM), метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, EBCM) и метод поточечной сшивки (Point-Matching Method, PMM). Хотя методы основываются на одинаковом разложении полей по волновым функциям, они используют принципиально разные формулировки задачи рассеяния света несферическими частицами и, как следствие, развивались и рассматривались всегда независимо. Между тем эти методы должны существенно дополнять друг друга. Другим неисследованным в достаточной степени вопросом является эффективность применения разных базисов в рамках данных методов. До сих пор методы в основном использовали сферический базис, причем метод SVM применялся почти исключительно к рассеивателям в виде шара, а метод РММ — после нескольких первых работ был на долгое время незаслуженно забыт. Сфероидальный базис использовался исключительно в рамках метода SVM для рассмотрения рассеяния сфероидами, которые являются достаточно упрощенной моделью реальных несферических частиц.

Таким образом, дальнейшее развитие и исследование наиболее эффективных (быстрых и точных) методов теории рассеяния света — методов SVM, ЕВСМ и РММ являются актуальными задачами, решение которых необходимо для расширения возможностей оптического зондирования различных сред в научных исследованиях и промышленных приложениях. Важное значение имеет, в частности, определение областей применимости данных методов, особенно при использовании разных базисов, и разработка единого теоретического подхода к методам, поскольку это необходимо для их комбинирования, что представляется сегодня крайне перспективным.

Целью работы является развитие в рамках единого подхода трех наиболее известных методов (SVM, ЕВСМ и РММ) решения задачи рассеяния света песферическими частицами, а также численно-аналитическое исследование областей их эффективного применения.

Задачи работы. 1. Решение задачи рассеяния света несферическими (осесимметричными) частицами методами SVM, ЕВСМ и РММ с использованием волновых сферических функций в рамках единого подхода.

2. Обобщение единого подхода к решению задачи рассеяния света несферическими частицами на случай применения сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде разложений по волновым сфероидальным функциям.

3. Численное и аналитическое исследование построенных решений, включающее анализ областей применимости данных методов в зависимости от выбранного базиса.

Положения, выносимые на защиту. 1. Подход, объединяющий принципиально разные методы БУМ, ЕВСМ и РММ, широко применяемые для решения задачи рассеяния света несферическими частицами, с использованием разложения полей по сферическим волновым функциям.

2. Обобщение разработанного подхода для сферического базиса на случай сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде рядов по сфероидальным волновым функциям.

3. Анализ областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ со сферическим и сфероидальным базисами, который показал, что они существенно дополняют друг друга.

Научная новизна. Предлагается новый подход к решению задачи рассеяния электромагнитных волн осесимметричными телами, объединяющий методы ЕВСМ, БУМ и РММ, которые до сих пор рассматривались раздельно. Основные идеи подхода сохраняются при переходе от одного базиса к другому, в частности, когда базисными вместо сферических выбираются сфероидальные функции.

Проводится уникальное одновременное рассмотрение трех методов с исследованием их областей применимости. Впервые версия ЕВСМ со сфероидальным базисом доведена до численной реализации и применена для чебышевских сфероидальных частиц, которые ранее не рассматривались по причине невозможности получения достоверных численных результатов.

Научная и практическая значимость работы. Особую практическую и научную ценность имеет численно-аналитическое исследование с единых позиций областей применимости основных методов, использующих разложения полей по волновым функциям. Эти результаты дают возможность обоснованно применять данные методы именно в тех случаях, когда они наиболее эффективны.

Практический интерес представляет комплекс программ, которые реализуют построенные алгоритмы расчета характеристик рассеянного излучения (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении описывается актуальность темы диссертации, цели работы, научная новизна, научная и практическая ценность, результаты, выносимые на защиту, и их апробация, а также кратко изложено содержание работы.

В первой главе приводятся уравнения Максвелла и материальные уравнения, которые описывают поведение электромагнитного поля в любой среде. Далее вводится понятие скалярных потенциалов, формулируются векторное уравнение Гельмгольца для полей и соответствующее скалярное уравнение Гельмгольца для их потенциалов.

Проблема рассеяния света формулируется в дифференциальной (используемой в методах БУМ и РММ) и интегральной (применяемой в методе ЕВСМ) формах. Описывается идея решения проблемы указанными методами и делается ряд важных замечаний о неверно сложившейся терминологии, связанной с данными методами. Дается обзор работ, посвященных методам ЭУМ, ЕВСМ и РММ, при этом отмечены пионерские работы, а также ключевые работы и недавние обзоры. Даны ссылки на недавние работы, сделанные после появления обзоров, а также на интернет-страницы, где можно найти компьютерные программы расчета рассеяния света, основанные на данных теоретических методах.

Наконец, излагаются основные детали оригинального подхода к решению задачи рассеяния света несферическими (осесимметричными) частицами, который наиболее полно использует геометрию рассеяния в данном случае. Кратко обсуждаются достоинства и недостатки подхода.

Во второй главе развиваются методы ЭУМ, ЕВСМ и РММ при использовании сферического базиса. Приводятся сведения о сферических координатах и записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматривается волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее сферические функции Бесселя и присоединенные функции Лежандра. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.

Дается разложение по сферическим функциям скалярных потенциалов падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемых в данном подходе вместо самих полей. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциала рассеянного поля.

Коэффициенты этого разложения определяются из подстановки в граничные условия, записанные в сферических координатах. При этом различаются осесимметричная и неосесимметричная задачи — определения потенциалов соответствующих частей полей (разделение полей в используемом подходе описано в главе I).

Представлены системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем — поверхностных интегралов.

Показано, что в частном случае сферически симметричных рассеивателей для всех трех методов получается аналитическое решение, близкое к решению Густава Ми (1908). Резюмируются результаты теоретических исследований, приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов. Проводится сравнение областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ, использующих сферический базис.

В третей главе развиваются методы БУМ, ЕВСМ и РММ при использовании сфероидального базиса. Приводятся необходимые данные о сфероидальных координатах и о записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматриваются волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее радиальные и угловые сфероидальные функции. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.

Описываются скалярные потенциалы падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемые в этом подходе, и дается их разложение по сфероидальным функциям. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциалов рассеянного поля.

Коэффициенты определяются из подстановки разложений в граничиые условия, записанные в сфероидальных координатах. При этом мы рассматриваем осесимметричную и неосесимметричную задачи — определения потенциалов соответствующих частей полей (см. о разделении полей в главе I).

Написаны системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем — поверхностных интегралов.

Показано, что в частном случае сфероидальных рассеивателей для SVM и ЕВСМ получается хорошо изученное решение (см. подробнее Фарафонов (1983) и Фарафонов (2001)), а для сферических рассеивателей — решение Ми (1908).

Далее приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов, проведенных для сравнения областей применимости и вычислительной эффективности методов SVM, ЕВСМ и РММ, использующих сфероидальный базис. Отдельно рассматривается случай (очень) сильно вытянутых рассеивателей, который эффективно решается с помощью созданной программы, основанной на методе ЕВСМ со сфероидальным базисом.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Реализация результатов. Результаты исследований по теме диссертации были использованы при работе над проектом «Разработка новой модели космической пыли», поддержанном грантом РФФИ 07−02−831, а также госбюджетной НИР кафедры прикладной математики ГУАП. Часть исследований, представленных в диссертации, выполнена при поддержке гранта РНП 2.1.1.2852. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс по кафедре прикладной математики ГУАП.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на двух международных конференциях «Естественные и антропогенные аэрозоли» (Санкт-Петербург, 2006 и 2008 г.), международном семинаре «Days on Diffraction» (Санкт-Петербург, 2008 г.), 11-й международной конференции Electromagnetic and Light Scattering (Лондон, 2008 г.), а также обсуждались на научных семинарах Санкт-Петербургского отделения.

Математического института РАН им. А. В. Стеклова и кафедры прикладной математики ГУАП.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано восемь печатных работ, в том числе три статьи:

1. Ильин В. Б., Фарафопов В. Г., Винокуров А. А., Фарафонов Е. В. Единый подход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием волновых сферических функций // Успехи соврем, радиоэл. 2008. N 6. С. 11−28.

2. Фарафонов В. Г., Ильин В. Б., Фарафонов Е. В. Метод расширенных граничных условий с разложением полей по сфероидальным функциям // Опт. спектр. 2007. Т. 102, N 2. С. 316−328.

3. Farafonov V.G., Farafonov E.V., И’in V.B., Vinokurov А.А. Unified approach to the methods using single field expansions // Peer-Reviewed Abstracts of the 11th Conference on Electromagnetic and Light Scattering (ELS-XI). — London, UK: 2008. P. 13−17. и тезисы докладов:

1. Фарафонов В. Г., Винокуров А. А., Фарафонов Е. В. Рассеяние света несферическими частицами: методы, использующие разложения полей по волновым функциям // Тезисы докладов Пятой международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». С-Петербург, 22−26 мая 2006 г. Изд-во СПбГУ, С. 76. 2006.

2. Фарафонов В. Г., Фарафонов Е. В. Метод расширенных граничных условий со сфероидальным базисом // Тезисы докладов Пятой международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». С-Петербург, 22−26 мая 2006 г. Изд-во СПбГУ, С. 77. 2006.

3. Farafonov E.V. A New Approach Using Field Expansions in Terms of Spheroidal Wave Functions to Solve Light Scattering Problems // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). — St. Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.100−101, 2008.

4. Vinokurov A.A., Farafonov E.V. Solution of light scattering problem for layered nonspherical particles // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). — St. Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.16, 2008.

5. Фарафонов В. Г., Фарафонов Е. В. Унифицированный поход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием сфероидальных функций // Тезисы докладов Шестой международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». С-Петербург, 7−10 октября 2008 г. Изд-во СПбГУ, С.69−70, 2008.

Заключение

.

Результаты диссертационной работы можно резюмировать следующим образом:

1. Разработан подход, объединяющий принципиально разные методы БУМ, ЕВСМ и РММ, широко применяемые для решения задачи рассеяния света иесферическими частицами, с использованием разложения полей по сферическим волновым функциям. Найдено, что системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффиициентов разложения рассеянного поля, возникающие в каждом из упомянутых методов, включают одни и те же 14 поверхностных интегралов. Подобная тесная связь методов показана впервые, ранее они рассматривались всегда независимо.

2. Подход обобщен на случай использования сфероидального базиса при разложении полей. Применение такого базиса совместно с разделением полей на две части со специфическими свойствами и выбором соответствующих скалярных потенциалов для каждой из частей позволило получить высоко эффективные решения задачи рассеяния света несферическими частицами с большим отношением наименьшего размера к наибольшему.

3. Проведенное сравнение областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ показало, что они существенно дополняют друг друга. Поэтому предложенный подход к данным методам позволяет создать эффективный алгоритм, совмещающий преимущества каждого из методов. Отмечены также достоинства и недостатки применения методов при использовании разных базисов.

4. Показано, что разработанный подход со сфероидальным базисом позволяет решать задачи рассеяния света для очень сильно вытянутых/сплюснутых частиц с неровной поверхностью. Для таких частиц, как известно, другие методы не позволяют получать сколько-нибудь надежные результаты.