Исследование пространств Соболева в областях с особенностями

Пространства функций с производными из Ьр, называемые пространствами Соболева, занимают важное место в различных областях современного анализа, например, в теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории аппроксимации, теории потенциала. Начиная с тридцатых годов, указанные функциональные классы интенсивно изучались, и к настоящему моменту многие проблемы, связанные с ними, уже решены. Была построена более или менее завершённая теория пространств Соболева, на, всём евклидовом пространстве или на областях с регулярной границей, нашедшая отражение в книгах С. Л. Соболева [63], Ч. Б. Морри [113], И. М. Стейна [66], Р. А. Адамса [77], О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [8], С. М. Никольского [52], Ю. Г. Решетняка [59], В. М. Гольдштейнаи Ю. Г. Ре-шетняка [20], В. Г. Мазья [37], Д. Р. Адамса и Л. И. Хедберга [76], В. И. Бу-ренкова [83] и других. Однако современное состояние теории пространств Соболева в областях с негладкой границей нельзя назвать удовлетворительным. В настоящей диссертации делается попытка частично заполнить этот пробел.

Диссертация содержит семь глав. В первой главе приводятся предварительные сведения. Здесь, как правило без доказательств, но с необходимыми ссылками и комментариями формулируются используемые далее известные факты из теории пространств Соболева. В этой главе дан также краткий обзор результатов по продолжению функций из классов Соболева за пределы области определения с сохранением класса и обзор некоторых обобщений классической теоремы вложения Соболева. Приведённые в первой главе сведения служат материалом для ссылок в последующих главах.

Главы 2 и 3 посвящены изучению пространств Соболева в областях, завися щих от малых или больших параметров таким образом, что гргшица области теряет гладкость при стремлении указанных параметров к своим предельным значениям. Естественно ожидать, что при этом «хорошие» свойства пространств Соболева вырождаются. Нас интересует скорость вырождения оператора продолжения во внешность области и оператора сужения на границу области, т. е. мы должны выявить зависимость подходящих характеристик этих операторов (на, пример, их норм) от упомянутых выше параметров. Такой анализ интересен не только сам по себе: он оказывается полезным при обосновании формальных асимптотик решений краевых задал для дифференциальных уравнений в сингулярно возмущённых областях (см. книгу В. Г. Мазья, С. А. Назарова и Б. А. Пламеневского [105]).

В частности, для малого положительного параметра е мы даём в главе 2 точные двусторонние, зависящие от е оценки нормы оператора продолжения, переводящего функции из пространства Соболева на малой n-мерной области диаметра е или на тонком цилиндрическом //-мерном слое ширины е в функции из пространства Соболева на всём R". Эти оценки используются в главе 4 при построении ограниченного оператора продолжения, переводящего функции из пространства Соболева на области с внешним пиком в весовое пространство Соболева на R," с оптимальным весом.

Глава 3 содержит (среди прочих результатов) точные двусторонние, зависящие от малого положительного параметра оценки нормы оператора сужения на границу, действующего в пространстве Соболева первого порядка на внутренности или внешности малой области, а также на внутренности или внешности тонкого цилиндра. Эти оценки используются в последующих главах при исследовании граничных следов функций из пространств Соболева в нелипшицевых областях.

В главах 4−7 изучаются свойства пространств Соболева в областях, имеющих особенности на границе. В частности, такими особенностями могут быть изолированные пики, направленные как внутрь области, так и в её внешность. Предметом нашего исследования являются теоремы^{вложения} пространств Соболев-! в пространство Lp и некоторые другие функциональные пространства (включая выяснение условий полной непрерывности операторов вложения), теоремы о продолжении функций из пространств Соболева за пределы области определения и описание граничных значений функций с градиентом из L}).

Эти теоремы с помощью известных рассуждений общего характера приводят к условиям разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных и к описанию структуры спектра соответствующих дифференциальных операторов (см. О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева [29], Д. Гилбарг и Н. Трудингер [16], В. Г. Мазья [37]). Некоторые приложения упомянутых теорем к теории дифференциальных уравнений в частных производных рассматриваются в § 5.6 и в § 7.5.

Перечислим основные результаты работы. Пусть Q — область в Rn, т. е. открытое связное множество. При 1 < р < оо и натуральном I обозначим через Vj (II) пространство Соболева., состоящее из определённых в О функций с конечной нормой.

INv^ii) = J2k=0 llvHU"w.

Здесь VfcU означает градиент порядка к функции и. Будем говорить, что I1 принадлежит классу EVp, если существует линейный непрерывный оператор

Е: V?(u) -> ^'(R"), который является оператором продолжения, т. е. Ей = и для всех u G V^(ii).

Во второй главе исследуются операторы продолжения, действующие в пространствах Соболева на. областях класса EV^, зависящих от малых или больших параметров таким образом, что предельные области не принадлежат классу EVjr Нас интересует скорость вырождения этих операторов при стремлении упомянутых параметров к своим предельным значениям. В частности, в этой главе устанавливаются двусторонние оценки норм произвольных операторов продолжения.

E:Vi (u?)^V'(Gg), и F: Vi (GeTie)-+Vl (Ge). (1).

Здесь е — малый положительный параметр, и < д < сю,.

0? = {ех: х? ?}, Ge — {дх: х 6 G}, ile С Ge,.

QnGограниченные области в Rw, G содержит начало координат. В случае д — ос полагаем Ge = Ii". Получены следующие результаты.

1°. Пусть R" Q? EVI ж ПУСТЬ dist (fie, Rn Ge) > се, где dist означает расстояние между множествами и с > 0 — постоянная, не зависящая от «сингулярных» параметров t, д. Тогда существует линейный оператор продолжения F, норма которого ограничена равномерно относительно с, д.

2°. Если О (Е EVL то верно соотношение.

-" /?min {д" 1р, еп1р-1} при 1р<�п, inf||E||~ { ?~lmm{gl, | logе{1~р)/р} при 1р = п, ruin {¿-У" /р, 1} при 1р > п.

Символ ~ означает эквивалентность, равномерную относительно ?, д.

При условии il? EVp в гл. 2 изучается также оператор продолжения?: V'(?ls) —> Vp^R") с минимальной нормой. В случае (I — 1) р < п получена асимптотика такой нормы при ?: —> +0. В частности, показано, что если р = 2. I = 1, п > .3, то любой оператор) продолжения? удовлетворяет условию f sn (n — 2) cap 1.

11 11 «V mesn (ii) J e' и существует линейный оператор продолжения ?, для которого sn (n — 2) cap.

OV/2 1 + о (1).

If II < mesn (i2).

Здесь sn — площадь сферы Sn~ '. cap — ёмкость Винера в Rra и of 1) — положительная бесконечно малая при е —> +0.

Аналогичные результаты доказаны для операторов продолжения во внешность и внутрь тонкого цилиндрического слоя. Положим {(y, z) G R" +s: у/е G оС R", г € Rs} ,.

Cre = {{y, z) Е Rn+S: у/q G <7 С R Rs}, где ui ~ ограниченная липшицева область и д ограниченная область, содержащая начало координат. Пусть е означает малый положительный параметр, 1L С G", и пусть Е, F — произвольные операторы продолжения, указанные в (1). Тогда приведённые выше утверждения 1° и 2° верны и для цилиндрических слоёв iL, Ge.

Сформулируем основные результаты третьей главы. Пусть О С R" -ограниченная липшицева область. Через TV J (ft) обозначим пространство следов и | функций и? V* (О) на границе dil области О. По определению.

Ц/ЦтУрЧ^) = inf{IMk-'(fi): м|вп = /}•.

Согласно теореме Гальярдо [91] пространство Т}']1 (ft) совпадает с Li (dil), а при р G (1, ос) пространство TVp (il) совпадает с пространством Tp (dQ) функций на Ш с конечной нормой (//"," ^-^iH^)1''где dsx, dsy — элементы площади поверхности dil. Предположим, что Qeлипшицева область, зависящая от малого положительного параметра е таким образом, что предельная область lime"o Qe не является липшицевой. Тогда эквивалентные нормы.

II • 11хурнМ И II ' Р е (Л00)?

II • llrv'/iii,) И II • IUi (0iis) могут не быть равномерно эквивалентными относительно е. В третьей главе мы находим явно определяемую, зависящую от с норму функции на, dils. которая эквивалентна норме || • \-pv1 (ns) равномерно относительно? для некоторых областей, зависящих от параметров. К числу таких областей относятся, в частности, малые области и тонкие (ширины е) цилиндры или их внешности.

Пусть il С Rn — ограниченная односвязная липшицева область. Для малого положительного е положим ilr — {ж G R": х/е G О}. Оказывается, что норма i I,/' 117 'V71 {Q г) равномерно относительно е эквивалентна норме f) P, aae = a (e)\f\bp{dnE) + (if f (x) — f (y)pQ?(x, y) dsxdsy] ' ,.

J J diiexdns / где dsXldsy — элементы площади поверхности сШ£, а (е) = с1 ^ а весовая функция Qe определена равенством.

2-п-р^ если если р= 1 при г = х — у.

Норма ||/||7'yi (Rrej2) также эквивалентна (равномерно относительно е) норме (f)P, aae, где.

Г mт{е (1-р)/р, е (1~п)/р}, если рфп, а^ ~~ 1 (е| log е){1~р^р, если р = п,.

Qe (x, y) = 0 при р — 1 и Qe (x, y) = Г2~п~р при pG (1, оо).

Пусть Qe — тонкий цилиндр вида iiE — и>е х R1 С Rra, где п >2, шг = {у G R" -1: у? е G oj} и аС R71−1 — односвязная липшицева, область с компактным замыканием. Тогда следовая норма ||/||г V'^fi",) равномерно относительно? эквивалентна норме (f)p, diicесли а (е) — £1^р, г2~п~Рх (г/?) при р G (1, оо), Qe{x, y)=< s1 пх (г/е) при р = 1.

Здесь х ~ характеристическая функция интервала (0,1) и г = х — у|.

Для внешности тонкого цилиндра норма Ц/Цуу^цг,^) оказывается эквивалентной (равномерно относительно е) норме (f)Ptaue при f тЦе'1″ ^', если р ф п — 1, о (£) = ^ (£|1оё£|)(1^')/?, если р=п- 1 и г 0, если р = 1,.

Qe (x, y) г2~п-р, если р? (1, п — 1), r2-ni' + e2(2-n)r-1(log (l + r/?))~p, если р = п — 1, г2-п-р + е2(2-п)гп-2-Р^ еспи р c ^ оо).

Во всех перечисленных выше случаях существует оператор продолжения: Ту1(П?) (или ^(К^а-)), норма которого ограничена равномерно относительно е. Этот оператор линеен при р > 1 и нелинеен при р = 1.

Четвёртая глава посвящена продолжению функций из классов Соболева, определённых в областях, имеющих изолированные пики на границе. Типичной областью с вершиной внешнего пика на границе является область.

П = {х = {у, г) е Кп: г € (0,1), у < <�р (г)}, п > 2, (2) h.z.

Vi /.

Рис. 1 где Iр — функция из С'3 ([0,1]), удовлетворяющая условиям * И (ол] > ^(0) = '(0) = 0, функция (0,1] Э z Н> ipiz)/z не убывает, а кроме того,.

< const.

Нетрудно построить примеры, показывающие, что Q $ EV> при р < ос', п > 2, а также R2 И EV^ в плоском случае при р > 1. С другой стороны, по теореме продолжения П. Джонса [100] имеем R" il f EV^ если п > 2, 1<�р<�оои/=1,2,.

Пусть, а — ограниченная неотрицательная измеримая функция на R", которая отделена от нуля во внешности любого шара, с центром в начале координат. Обозначил! через Vj ^(R") весовое пространство Соболева с нормой ll"llvji.

Это пространство, очевидно, шире, чем V^(Rn}. Оказывается, что при подходящем выборе веса <т существует линейный непрерывный оператор продолжения: Vp{ii) —> Vp CT (Rn). В гл. 4 описан оптимальный выбор а. Именно, перечисленные требования на функцию tp выбраны здесь для простоты формулировок. На самом деле их можно существенно ослабить. для того чтобы существовал линейный непрерывный оператор продолжения: Vp (Q.) —>-), достаточно, а если <�т (х) зависит только от |х| и не убывает вблизи х =0, то и необходимо, чтобы неравенство.

Т (х) < const (<^(|а-|)/|а-|)т!1,^(п-1)/р}, 1р ф п — 1, выполнялось в окрестности начала координат с постоянной, не зависящей от х. В случае 1р = п — 1 некоторые дополнительные ограничения (не исключающие, впрочем, степенные пики) накладываются на функцию (р. В этом случае указанное неравенство заменяется неравенством а (х) < const (^(|Ж|)/|х|)'|1о§(^(|х|)/|Ж!)|(1-р)/р.

В четвёртой главе также найдены точные условия на параметры />, с/, L п и функцию ^ обеспечивающие существование линейного непрерывного оператора продолжения: Vp'(fi) —> V^R") при q < р. Если lq ф п — 1, то существование такого оператора оказывается равносильным неравенству.

1 / z? «/(/"-I) dz.

•<�" = i Ы Т < - С) где l/q — 1/р = l (? — 1)/(?(n — 1) + 1) при lq < п — 1 и l/q — 1/р = (га — 1)(/3 — 1)/гар при lq > га — 1.

В случае lq = п — 1 в подынтегральную функцию In (?) следует добавить множитель | log (c^(2:)/^)|7, где.

7 = (1 — 1/д)/(1/р- 1/9), /? = (rcjp — q) l (q (n — 1)).

Пусть — плоская область, определённая в (2). Сформулируем некоторые результаты о продолжении функций из области R2 Q, также полученные в гл. 4. Если, а — такая весовая функция, что 0″ |r2q = 1 и а (х) < const (lp (z)/z)1 при х = (у, г) е О и всех достаточно малых г, то существует линейный непрерывный оператор продолжения: V/ (R2 О) —у Vp' (R2). Последнее нера-венст'во необходимо для существования указанного оператора продолжения, если <�т (х) зависит только от гг при х <Е Q и не убывает. В частности, имеем R2UG evf.

Предположим для определённости, что замыкание области IU при п = 2 содержится в круге {ж (Е R.2: < 2} и рассмотрим плоскую область D -{х: х 6 R2 О, jх| < 2}. Оказывается, что существование ограниченного линейного оператора продолжения: Vp (D) —У при 1 < q < р < оо равносильно неравенству (3), где и = 2, 1/q 1/р ={l~ 1 /р)(13 — 1)/{3 + 1).

В пятой главе изучается непрерывность и компактность вложений.

Vlp (u) С Lq (tt), V?(U) СОДП (u) для области с вершиной внешнего пика на границе. Сформулируем полученные здесь результаты на примере типичной области О, определённой в (2) и изображённой на рис. 1. Легко убедиться, что для таких областей теорема вложения Соболева неверна.

Мы покалываем, что при р < q < оо неравенство г 1/q / Г1 rC-i)W (P-i) i-i/p пактности того же оператора необходимо и достаточно, чтобы равносильно непрерывности оператора вложения: V^(fi) —> а для ком.

1/9 / Г1 7(l-l)p/(p-l) lim.

— г-1*) (/ ,(>-«/"-"¦^.

Кроме того, оператор вложения: Х’ДО) —С (О), р > 1. компактен одновременно с его непрерывностью, и это имеет место тогда и только тогда, когда о.

В гл. 5 рассматриваются также примеры малых возмущений пиков вблизи вершины. «Улучшим» пик О двумя способами, положив {.г = (е, 1)} и = О и {.г: |я| < е}.

Выясняется, что операторы вложений для предельного соболевского показателя q = пр (п — 1р)~1. lp < п, вырождаются с разной скоростью в том смысле, что их нормы, вообще говоря, не эквивалентны равномерно относительно? при е —у +0.

В шестой главе изучается пространство TV J (Ш следов функций и Е Vp (Q,) для некоторого класса областей, допускающих особенности на границе типа нулевых рёбер, 2тг-рёбер, а также касание гиперповерхностей в точке как показано на рис. 2, 3. Для таких областей теорема Гальярдо [91] может нарушаться. Сформулируем основные результаты шестой главы.

Пусть g — область в R" -1. Предположим, что ip2 — функции на. g. удовлетворяющие условию Липшица (т.е. — v? i (?)| < const |х — для всех ж,? G g и i = 1, 2), а также условиям < с/?2 на g и <р = Lp2 на 3g. Рассмотрим область.

П = {х = (y, z) € R" :УеС, ZE (Ыу), Ыу))}, п > 2- (4).

Уп-1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Нижнюю и верхнюю части дО, обозначим через ?" 1 и ?2 соответственно, т. е. = {(2/,<Му)): г = 1,2, ср. рис. 2). Пусть р &euro-Е (1, оо) и пусть / - функция на ¿-Ш, локально суммируемая на <5^ и ?2- Тогда /? ТУр1^) в том и только в том случае, если правая часть следующего соотношения конечна и, более того, / |/(у, ?"2 (у)) — /(у, VI (у)) Г г- 2 г=1.

1/0*0-/(01' dsxds? r. feSirii-iK^MC"^)} k-ei.

1 /р n+p—2 где х = (у, г),? = <1вх, с1з? — элементы площади поверхности 5″ ! и р = Ф2 — фу, А ~ положительная постоянная (которая может быть выписана явно), зависящая только от п и постоянной Липшица для функции <р и.

М (у, г/) =тах{у>(у), (¿->(г/)}.

Знак ~ означает эквивалентность норм. Аналогичный результат имеет место для р = 1:

2 /' интуцп) /, 1 ку, му)) — яу, мушу с1зхс1з?? Ц !./•(•'•)• /(О!

Предположим, что область С из определения (4) ограничена и лшппицева. Тогда пространство Т1у (К" р е (1, оо), описывается соотношением р

1у, а пространство ТУ/(К" 12) совпадает с 1/1 (ЗГ2).

В седьмой главе изучается пространство следов ТУр (Щ в случае, когда область имеет вершину внешнего или внутреннего пика на границе. Выясняется, что для таких областей граничные значения функций из (П) характеризуются конечностью нормы.

1 = ([ Iпх)1>(1(х)сьх + 11 /(х) — тт^.м"^.

Jdii ./¿-дПхдО.

1 /р 1 где <1 и Ц — неотрицательные весовые функции, а с/л, (¡-яс элементы площади поверхности дИ.

Опишем полученные в седьмой главе результаты на примере области О, определённой в (2) при п > 2. Пусть / - функция на ОН с носителем в малой окрестности вершины пика. Тогда /? ТV^ Ш), р? (1,оо), в том и только в том случае, если Ц/Ц^зо < оо, где 0 < q (x) < const.

(C)}. При этом норма ¡-/¡-&bdquo-.дн эквивалентна, норме Ц/Цт!^1 (ii) •.

Необходимым и достаточным условием принадлежности функции / пространству TVp (Rn Q) является неравенство Щ/Ц^аа < ос, в котором p{z)l~p при 1 < р < п — 1,. {v{z)\og (v{z)lz)y~P при р = п- 1, ip (z)2~n при р > п — 1 и Q (x, () ф 0 только если z1 (G (0,1). Для таких пар? dil весовая функция Q определяется следующим образом. В случае р < п — 1.

2 — п—р

Той же формулой значение Q (x, ?) определяется и в случае р > п — 1, ¡-ж — < M (z, ?). Наконец, если — > M (z7 ?), то и.

МО)2 П, Р>п- 1.

Норма l/ljp^n с такими весами q, Q эквивалентна норме ||/||yy-i (Rr, irr При р = п — 1 на функцию ip накладываются некоторые дополнительные условия.

Определенная на дО, функция / с носителем в малой окрестности начала координат принадлежит пространству XV", 1 (Щ тогда и только тогда, когда. ffl/|||i,.

0 < q (x) < const.

M (z, C)1n при z, с e (o, i), ?z — d < M (z, C), [Ов остальных случаях.

Кроме того, нормы ||/||ryi (fi) 11 III/III 1, an эквивалентны.

Большое влияние на автора оказала совместная работа с профессором В. Г. Мазья. Она способствовала более широкому и глубокому пониманию изучаемого предмета, за что автор приносит В. Г. Мазья свою искреннюю благодарность.

Автор благодарен Ю. В. Нетрусову и Ю. К. Демьяновичу за обсуждения и полезные советы.

Исследования автор-! были частично поддержаны РФФИ грантом 96—01 481 и КР грантом ЫУУ-ЗОО.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38−46], [5356], [107−109], [116] а также в монографии [110].

Основные результаты главы 7 были анонсированы в заметке [107] и доказаны в работах [43], [45]. Они также изложены в книге [110], гл. 7.

В случае р = 2 теоремы 7.2, 7.3 и 7.4.2 получены в статье В. Г. Мазья [36] с использованием аппарата преобразования Фурье.

При р > 1 гранитные значения функции класса ¥-р (О) в областях с пиками были также получены в работе М. Ю. Васшшчика [13]. В указанной работе применялась подходящая заменой переменной, сводящая описание пространства следов функций из 1Ур (£2), сосредоточенных в окрестности вершины пика, к исследованию граничных следов функций из некоторого весового класса ¥-р в стандартном цилиндре (или его внешности).