Модель развития пластической области при нормальном отрыве

В настоящее время исследование проблем прочности и разрушения твердых тел представляется важной задачей, как в теоретическом, так и в прикладном плане. Под разрушением понимается макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего окружения. Ввиду отсутствия единой теории процесса разрушения, закономерности этого явления принято рассматривать на разных масштабных уровнях. Однако наибольшее развитие получили модели, описывающие разрушение в рамках теории трещин. В этом случае трещиноподобный дефект моделируется математическим разрезом. Но, как правило, точно описать поведение среды представляется возможным до вершины трещины (особой точки). Дальнейшее решение строится на определенной модели разрушения, включающей в себя модель трещины и критерий разрушения.

Основы механики разрушения были заложены английским ученым Аланом Гриффитсом [64,65]. Он постулировал, что для образования единицы новой свободной поверхности под действием приложенной нагрузки уменьшение потенциальной энергии тела (вследствие подрастания трещины) должно быть равно поверхностной энергии, затраченной на образование новой свободной границы тела (вследствие приращения длины трещины). Таким образом, согласно Гриффитсу, трещина растет, если освобождающейся потенциальной энергии достаточно для преодоления взаимодействия слоев атомов и образования новой свободной поверхности. Этот подход получил название энергетического критерия разрушения.

Важно отметить, что после достижения критического значения напряжения для поддержания роста трещины при определенных условиях не требуется увеличение прикладываемой нагрузки — рост трещины является лавинообразным. Такие трещины называются неравновесными, а рост трещины — неустойчивым. Условие устойчивого роста трещины — требование малого увеличения внешней нагрузки для малого увеличения длины трещины. Такие трещины называют равновесными.

Идеализированный критерий хрупкого разрушения Гриффитса был предложен для трещины нормального отрыва в линейно упругом теле. В большинстве случаев существенны процессы нелинейного деформирования в окрестности вершины трещины. Поэтому Орован [79] обобщил концепцию Гриффитса на случай металлов, где возникают необратимые деформации в зоне предразрушения, и ввел в рассмотрение работу пластической деформации. Ирвин установил [66−68], что процесс разрушения материала при распространении трещины обуславливается напряженно-деформированным состоянием в окрестности вершины трещины, которое в свою очередь, в линейно упругом теле определяется коэффициентом интенсивности напряжений. Поэтому естественно предположить, что трещина получает возможность распространяться при достижении коэффициентом интенсивности напряжений некоторого критического значения. Критические значения коэффициентов интенсивности напряжений являются постоянными материала, характеризующими его трещиностойкость при заданной температуре, внешней среде и т. п. Этот критерий разрушения получил название силового критерия разрушения.

Вышеприведенные подходы являются эквивалентными и формируют критерии хрупкого разрушения.

В механике упругопластического разрушения предполагается образование зоны пластических деформаций у вершины трещины и в процессе роста трещины энергия, ассоциированная с локализованным полем пластических деформаций, значительно превышает поверхностную энергию, которую необходимо затратить, чтобы образовалась новая свободная поверхность. Важно отметить, что критерий Ирвина используется и для упругопластических материалов в ' предположении, что область пластического деформирования не влияет на характер решения в окрестности особой точки, определяемого в рамках соотношений линейной теории упругости. Однако работа разрушения в этом случае ассоциируется не с поверхностной энергией, а с энергией диссипации (работой пластического деформирования) в концевой зоне. Для того чтобы подчеркнуть упругопластический характер разрушения, предельное значение коэффициента интенсивности напряжений получило название вязкости разрушения. Расчеты коэффициентов интенсивности для различных типов начальных трещин и внешних сил и последующая экспериментальная реализация этих задач позволили определить условия начала разрушения различных тел при плоском напряженном или деформированном состояниях [41].

Дальнейшее развитие механика разрушения получила в работах Ф. Макклинтока [74], В. В. Новожилова [45], Д. Д. Ивлева [19−21], Л. В. Ершова [51], Ю. Н. Работнова [50], А. Ю. Ишлинского [23], Н. А. Махутова [34,72], Н. Ф. Морозова [41], Е. М. Морозова [47,73,76], В. И. Астафьева [57], В. З. Партона [47], A.M. Линькова [31], Р. В. Гольдштейна [12−17,62], Ю. Г. Матвиенко [72,73], Болотина В. В. [59] и ряда других отечественных и зарубежных исследователей [42−44,46,49,58, 70,71,75,77,78,80,82,86−91]. Ограниченность критерия Ирвина обусловлена использованием для описания докритического и критического состояний аппарата линейной теории упругости и необходимостью существования дефектов типа математического разреза. Более общие интегральные критерии разделения, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Раиса [83−85], Г. П. Черепанова [53].

Описание разрушения в рамках нелинейной теории упругости приводится в работах К. Ф. Черныха [41]. Использование интегральных критериев для упругопластических материалов ограничено, как и применение критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки. Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластического деформирования был проведен М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком [30] и несколько позже Д. С. Дагдейлом [61]. Существенным отличием подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла Я была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоны. Это позволило использовать деформационный критерий начала процесса образования новых поверхностей. Для определения критического состояние в данных работах требовалось два параметра (постоянных материала) — критическое раскрытие трещины и притягивающие противоположные берега напряжения. Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С. А. Христиановичем, Г. И. Баренблаттом [58], В. М. Битовым и Р. Л. Салгаником [18]. Модель развития трещины с учетом сил сцепления в упругопластических телах была предложена И. М. Лавитом [28,29].

Интерес к проблемам разрушения не ослабевает ввиду их огромного прикладного значения. В настоящее время подавляющее число публикаций по механике деформируемого твердого тела в той или иной степени касается проблем разрушения и развития повреждений [1,2,12,14−17,25,26,32,3540,48,52,54−56].

Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании развития пластической зоны в окрестности физического разреза конечной толщины при нагружении типа нормального отрыва в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния.

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах:

1. Рассмотрена модель физического разреза, что позволило описать развитие зоны пластичности в пределах слоя конечной толщины в рамках упругопластической модели. В этом случае, напряженное состояние слоя, а также длина его пластической области получается из решения соответствующих краевых задач, которые показали существенную зависимость напряженного состояния и длины пластической зоны от типа плоской задачи.

2. Сформулированы и решены краевые задачи, позволяющие, в отличие от подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла, отразить перераспределение напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.

3. Установлено, что учет напряжений сжатия-растяжения и упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.

4. Показано принципиальное различие в характере пластического течения. В состоянии плоского деформирования в концевой области трещины наблюдается сильный гидростатический эффект, что приводит к превышению напряжений в окрестности вершины разреза над пределом текучести. Для плоского напряженного состояния напряжения в зоне пластического течения не превосходят предел текучести.

5. С использованием соотношений теории течения и гипотезы полной пластичности поставлена и решена связанная упругопластическая задача о развитии тонкой пластической зоны в окрестности трещиноподобного дефекта для плоского деформирования и случая плоского напряженного состояния.

Достоверность полученных результатов достигается использованием известных математических постановок задач механики разрушения, сравнением с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Создание любых изделий и сооружений неизбежно соприкасается с вопросом прочности. Результаты данной работы могут найти применение в различных конструкторских бюро, а также могут использоваться в теоретических курсах для студентов по направлению «Механика. Прикладная математика».

Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2007;2008 гг.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель — проф. Маркин А.А.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

По материалам работы опубликовано 9 работ, в том числе 6 статей и 3 тезиса. Две статьи опубликованы в изданиях из списка ВАКа.

Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы, включающего 91 наименование.

Во введении приведено историческое развитие рассматриваемой темы, обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Приведена характеристика научной новизны, обоснована достоверность полученных результатов и их практическая ценность.

В первой главе рассмотрена математическая модель трещины типа нормального отрыва в линейно упругой среде. В этом случае трещиноподобный дефект моделируется физическим разрезом с некоторым характерным размером. Данный масштабный уровень выбираем как минимально допустимый с точки зрения выполнения гипотез сплошности. Материал, лежащий на мысленном продолжении физического разреза в сплошной среде, формирует материальный слойслой взаимодействия. На основе концепции слоя взаимодействия получена система интегродифференциальных уравнений, позволяющая учесть напряжения, действующие в слое, не только в направлении отрыва, но и в ортогональном ему направлении. Предложен численный метод дискретного анализа полученной системы. Произведено сравнение результатов расчета с известным асимптотическим решением.

Во второй главе исследуется математическая модель упругопластического деформирования тела с вырезом в условиях плоской деформации. Предполагается, что пластическое течение может быть локализовано в пределах слоя взаимодействия. Вне слоя среда считается линейно упругой. Исследована зависимость длины пластической зоны от внешней нагрузки и напряженно-деформированное состояние слоя. Определено возможное направление распространения пластической области.

В третьей главе рассматривается математическая модель упругопластического деформирования тела с вырезом в условиях плоского напряженного состояния. Проведено сравнение зависимости длин пластических зон от приложенных нагрузок в случае плоской деформации, для плоского напряженного состояния и классического подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла.

В заключении приведены основные выводы по работе.

3.3. Основные результаты третьей главы.

1. Модель дискретного деформирования позволила описать развитие зоны пластичности в пределах слоя конечной толщины для плоского напряженного состояния.

2. Напряженное состояние слоя и длина пластической зоны определяются из решения соответствующих краевых задач, позволяющих, в отличии от ЛПД подхода, отразить перераспределение напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.

3. Установлено, что учет напряжений сжатия-растяжения и упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.

4. Из анализа упругопластического решения следует, что в случае плоского напряженного состояния возможно существование тонкой пластической зоны с длиной, существенно превышающей введенный характерный размер.

5. Проведено сравнение зависимости длин пластических зон от приложенных нагрузок в случае плоской деформации, для плоского напряженного состояния и классического подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла (ЛПД). Анализ результатов показывает, что предлагаемая модель позволяет отразить чисто упругое поведение материала. Развитие пластического отрезка в рамках ЛПД начинается при сколь угодно малой внешней нагрузке.

6. Установлен факт существенно увеличенной длины пластической области при плоском напряженном состоянии по сравнению с плоской деформацией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе получены следующие выводы:

1. Модель физического разреза позволила описать развитие зоны пластичности в пределах слоя конечной толщины в рамках упругопластической модели. В этом случае, напряженное состояние слоя, а также длина его пластической области получается из решения соответствующих краевых задач, которые показали существенную зависимость напряженного состояния и длины пластической зоны от типа плоской задачи.

2. Напряженное состояние слоя и длина пластической зоны определяются из решения соответствующих краевых задач, позволяющих, в отличие от подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла, выделить чисто упругий процесс и отразить перераспределения напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.

3. Установлено, что учет упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.

4. Учет напряжений, действующих ортогонально отрыву (в данной работе сг22), в слое конечной толщины, определил принципиальное различие в характере пластического течения.