Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений

Важные составные части окружающей среды атмосфера и гидросфера Земли, имеющие огромное значение в жизни человека, являются сложными составными системами открытого типа. Для прогнозирования их эволюции создано большое количество физико-математических моделей. В совокупности они включают десятки параметров, отвечающих за макроскопические движения различного происхождения: от механического, вызванного вытеснением жидкости телами или действием сил различной природы, до широкого класса конвективных явлений и диссипативных процессов. В последнее время активно развиваются высокоточные космические средства наблюдения за динамикой широкого набора параметров динамики природных систем [15], что вместе с развитием компьютерной техники сбора и обработки результатов измерений выводит геофизическую гидродинамику на качественно новый уровень развития.

Несмотря на то, что реальные морская вода и атмосфера включают в себя большое число примесей и неоднородны по температуре, в данной работе в качестве основной выбрана модель двухкомпонентной несжимаемой жидкости (вода — соль, водатемпература). В рамках этой модели может быть изучено совместное действие эффектов плавучести и диссипации, которые вместе с силами Кориолиса во многом определяют динамику геофизических систем.

В силу большого числа параметров определяющих геофизические течения характерной особенностью моделирования является стремление к максимальному упрощению модели. На практике это приводит к пренебрежению физическими эффектами, которым отвечают малые значения определяющих параметров. К ним можно отнести коэффициенты кинематической вязкости и диффузии соли, параметр Кориолиса и кривизна Земли, часто к малым эффектам относят и эффекты плавучести. В большинстве аналитически решаемых задач малыми предполагаются эффекты нелинейности. Такие упрощения допускаются даже для эффектов определяющих порядок и тип уравнений движения. Так, например, в геофизике широко распространена модель идеальной жидкости, из-за аналитических трудностей задачи формирования течений не решаются, а исследуются установившиеся волновые процессы, когда момент начала движений отнесен в бесконечно удаленное прошлое.

Однако такие упрощения оказываются справедливыми, если проведенная редукция не приводит к существенной ошибке в прогнозе динамики природных систем, либо можно указать пространственно-временную область применимости модели. Причем используемые математические методы решения задач также не должны вступать в противоречие с обозначенными границами применимости моделей.

Иначе говоря, актуальной оказывается задача устойчивости решений по отношению к малому изменению модели течения (в том числе и за счет полного учета временных производных на начальных этапах развития течения), т.н. структурной устойчивости решений [30]. Кроме чисто «прагматической» цели избежать значительной ошибки в прогнозе, такой подход позволит лучше выявить вклад каждого действующего фактора в общую картину течения, т. е. лучше разобраться в структуре геофизических процессов.

В данной работе будет изучена структурная устойчивость как общих свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальной модели течения к локальной в поле сил тяжести и Кориолиса, так и свойств слоистых течений (на фазе формирования и в режиме периодического движения границ).

Применению теоретико-групповых методов в гидродинамике (включая автомодельные решения [12, 13, 44, 48]) традиционно уделяется большое внимание. В газовой динамике под руководством JI.B. Овсянникова проводится целая программа систематизации и анализа инвариантных решений, создание своеобразной «таблицы Менделеева» в механике сплошных сред [49]. Работам в области механики несжимаемой жидкости (в том числе неоднородной) посвящена монография [3]. Разрабатываются и новые методы и подходы. К ним, например, относится распространение метод поиска инвариантных решений на пространство обобщенных функций и построение на систематической основе функций Грина линейных систем дифференциальных уравнений [2]. Известно, что в задачах теории внутренних волн (как монохроматических, так и присоединенных) широко используются методы на основе функции Грина [27, 28, 49, 102]. Использование методов теории групп в таких задачах позволит расширить их класс на системы со сложной геометрией границ.

В последнее время групповые методы успешно используются совместно с теорией возмущения [11]. Однако, выполненные к настоящему времени исследования в основном касались задач малой размерности. В настоящей работе предпринята попытка распространить новые методы теории групп Ли на задачи теории неоднородной жидкости.

Использование методов компьютерной алгебры позволило в полном объеме изучать общие свойства симметрии уравнений движения распространенных моделей динамики неоднородных жидкостей [3, 9], выявить влияние ряда распространенных приближений на трансформацию базовых принципов механических систем. Однако, такой анализ для уравнений геофизической гидродинамики проведен не был. Представляет интерес развитие существующих методов символьного программирования на задачи поиска приближенных групп симметрии многомерных систем уравнений движения неоднородных жидкостей.

Изучение и параметризация процессов переноса и формирования структур океана и атмосферы являются основными задачами гидродинамики окружающей среды. В силу сложности задач надлежащий выбор определяющих физических переменных и математических моделей в значительной степени предопределяет эффективность и адекватность описания природных явлений. В последние 60 лет основные модели динамики окружающей среды базируются на представлении о турбулентном характере течений в стратифицированном океане и атмосфере [62]. Однако, уже в одной из ранних работ Уолтера Манка было показано, что профили вертикальных распределений потенциальной температуры и концентрации некоторых элементов (углерода, радия, кислорода) в Тихом океане не согласуются с рассчитанными по моделям турбулентности, в которые подставляются океанические значения коэффициентов диффузии и скорости подъема вод [89]. Эта работа стимулировала интенсивный поиск дополнительных механизмов переноса в устойчиво стратифицированных океане и атмосфере, результаты которого нашли свое отражение в большом числе статей и книг [43, 52, 55, 56, 88]. Важнейшими из дополнительных универсальных механизмов переноса энергии и вещества в океане были признаны пограничные течения, существующие на океанических склонах [69, 70, 104]. Их аналогом в атмосфере, в частности, служат долинные и горные ветры [95].

Широкий класс явлений касающихся процессов переноса вещества и энергии изучается в рамках простейшей — плоской геометрии модели. Начиная с пионерской работы Л. Прандтля [47], посвященной природе горных ветров, было предпринято ряд попыток описать придонные течения на основе стационарных моделей, включающих, в том числе и эффекты вращения (см. например [72]).

На круто падающих склонах (угол наклона которых больше отношения частоты вращения к частоте плавучести) пограничное течение является существенно нестационарным, на что обратили внимание специалисты по физической океанографии [60]. В реальных условиях, помимо течений, индуцированных диффузией, заметную роль в прибрежной океанографии играют процессы поверхностного перемешивания [71], взаимодействия с топографией внутренних волн, приливных течений, процессы локального перемешивания и последующего восстановления стратификации [66, 100], а также конвективные течения, возникающие под действием естественных потоков тепла [99].

Стационарные решения задачи о пограничном течении [47, 91, 104 и др.] широко используются для разрешения одного из принципиальных парадоксов прикладной океанографии — несогласованности измеренных значений параметров океанической турбулентности и скорости вертикального (диапикнического) переноса примесей [89]. Пограничные течения на шельфовом склоне (в общем случае турбулентные), эффективно переносят вещество и энергию не только вблизи границ [73, 77, 87], но, в случае их отрыва, и в толще океана [74, 93]. Аналогия между вращением и стратификацией [101] показывает, что данный тип течений может быть как гравитационного, так и инерционного происхождения [65,69].

Формированию течения около наклонной границы в многокомпонентной среде (сахар/соль) посвящена работа [82]. В последнее время получены точные решения задач теории течений индуцированных диффузией на топографии [35, 96], выполнен асимптотический анализ для границ более сложной формы [10]. Использование численных методов позволило детально изучить процесс установления диффузионного течения на сфере и выделить новый класс нестационарных внутренних волн ими порождаемых [8]. В тоже время задачам формирования течения для движущихся границ, а также анализу влияния различных действующих факторов, достаточного внимания уделено не было.

Распространенными объектами моделирования реальных течений в гидродинамики являются внутренние волны и пограничные течения [64, 75]. Традиционно анализ волновых и некоторых других элементов ламинарных течений стратифицированной жидкости проводится с помощью линеаризации уравнений гидродинамики [25, 36, 37, 39, 42]. При этом часто используются методы интегральных преобразований, которые позволяют сводить исходную систему дифференциальных уравнений к алгебраическому уравнению — так называемому дисперсионному уравнению [39]. В рамках линеаризованных моделей было получено большое количество результатов, касающихся не только задач излучения, распространения и отражения внутренних волн, но и задач обтекания тел стратифицированной жидкостью [39]. Широко исследуется вклад диссипа-тивных эффектов в поле внутренних волн и связанных с ними пограничных течений [36, 37]. Иногда, решение ряда линейных задач при соблюдении дополнительных условий может являться также и решением полной нелинейной системы уравнений движения [35,42, 83]. В последнее время появились работы по изучению колебаний и движения тел правильной формы (цилиндр, сфера) [59, 67, 68, 76, 94]. В них теоретические методы сочетаются с экспериментальными методами теневой визуализации течений и компьютерной обработкой информации [67, 68]. Однако, основное внимание, как правило, уделяется установившимся процессам, процессы установления течений не изучаются, процессы диффузии жидкости также в модель не включаются. Учитывая, что при теоретическом моделировании, как правило, используются приближенные методы, представляется актуальным подробно исследовать фазу установления течения и корректность предельного перехода t -> оо, когда даже эффекты, определяемые малыми скалярными параметрами, могут также оказывать существенный вклад в динамику течения.

Цель работыЦелью данной работы является.

Изучение общих свойств распространенных моделей геофизической гидродинамики, отражающих основные физические принципы механических систем, а также свойства пространства и времени.

Исследование влияния гипотез использованных при построении распространенных упрощенных моделей на структуру групп симметрий исходной системы уравнений геофизической гидродинамики.

Изучение процессов формирования однои двумерных слоистых течений и их структурной устойчивости к модификации модели течения по степени сложности от однородной жидкости до стратифицированной жидкости с диффузией;

Исследование зависимости установившихся периодических течений от частоты колебаний тела и их устойчивости по отношению выбранной модели.

Изучение возможности расширения области применения теоретико-групповых методов для построения приближенных решений задач теории стратифицированных течений за счет использования приближенных групп симметрии.

Разработка программ компьютерной алгебры, реализующих процедуру поиска приближенных групп симметрии уравнений геофизической гидродинамики.

В работе получены следующие новые результаты:

На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальных моделей к локальным, выявлено полное механико-кинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничного слоя в неоднородных жидкостях.

Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детально изучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано качественное изменение свойств течений при смене модели (от модели однородной жидкости к модели стратифицированной жидкости с диффузией). В ряде случаев выявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.

Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявлено наличие резонансной частоты колебаний генератора, когда амплитуда колебаний частиц жидкости не затухает с удалением от источника (неравномерный переход к режиму установившихся колебаний);

Показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляется на плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.

Показано, что использование приближенных симметрий в теории неоднородных жидкостей позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных.

На защиту выносятся:

Результаты сравнительного анализа групп симметрий уравнений геофизической гидродинамики и приближенных моделей;

Решение и анализ задач формирования однои двумерных слоистых течений в линейно стратифицированной жидкости.

Решение и анализ задач динамики однои двумерных периодических слоистых течений.

Классификация групп приближенных симметрий уравнений стратифицированного пограничного слоя в зависимости от соотношения между основными безразмерными комплексами (числами Рейнольдса, Фруда, Шмидта) и их применение для решения геофизических задач;

Программы расчета приближенных симметрий уравнений геофизических течений;

Публикации: Результаты работы опубликованы в 9 научных публикациях.

Апробация работы: Основные результаты были представлены на Всероссийской научно-молодежной школе «Возобновляемые источники энергии». (Москва. 2003), Научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, 2004), Четвертой всероссийской научной конференции «Физические проблемы экологии» (Москва, 2004), международной конференции «Fluxes and Structures in Fluids» (Москва, 2005) — неоднократно докладывались на семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Объединенном семинаре «Динамика природных систем», ИПМех РАН.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 105 наименований. Общий объем диссертации 111 страниц, включая иллюстрации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Работа посвящена изучению структурной устойчивости общих свойств моделей геофизической гидродинамики и частных видов течений, по отношению к смене типа модели. Усложнение модели происходит за счет «малых» факторов двух видов: векторных геометрических (размерности задачи, типа обтекаемых препятствий, характера внешних сил) и скалярных динамических (учет эффектов вращения Земли, неоднородности жидкости, диссипативного характера течений). Отдельно исследовались процессы установления течений неоднородной жидкости и их зависимость от выбора модели.

В связи с появлением высокоточных средств глобального мониторинга атмосферы Земли и океана, а также с необходимостью совершенствования качества прогноза динамики геофизических систем и перехода к среднесрочному и долгосрочному прогнозированию, актуальной оказывается задача разработки адекватных физико-математических моделей, учитывающих одновременно большое число определяющих факторов динамического и диссипативного типов, нелинейный и нестационарный характер протекающих процессов, сложную геометрию течения. За более чем вековой период развития геофизической гидродинамики накоплен большой объем наблюдений, теоретически изучены многие важные процессы динамики природных систем. Совместно с появлением новых средств наблюдения, развитием вычислительных мощностей современных компьютеров и появления систем символьных вычислений создан базис для качественного изменения теоретического анализа динамики атмосферы и океана. В настоящее время представляется актуальной задача определения пространственновременных границ действия геофизических моделей характеризуемых малым числом определяющих факторов. Такой подход позволит качественно улучшить анализ данных натурных наблюдений и предоставит средство независимого тестирования результатов численного моделирования.

В ходе выполнения работы благодаря совместному использованию теоретико-групповых и традиционных асимптотических методов были изучены общие свойства системы геофизических моделей и структурная устойчивость течений по отношению к усложнению модели за счет малых параметров.

На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальных моделей к локальным (выявлена трехмерная изотропия глобальных моделей во вращающейся вместе с Землей системе координат), выявлено полное механико-кинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничного слоя в неоднородных жидкостях.

Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детально изучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано качественное изменение свойств течений при смене модели. В ряде случаев выявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.

Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявлено наличие резонансной частоты колебаний генератора, которая приводит к отсутствию затухания возмущений на бесконечности (неравномерный переход к режиму установившихся колебаний) — показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляется на плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.

В методической части работы было показано, что использование приближенных симметрий позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Автор выражает глубокую благодарность профессору К. В. Показееву за постановку задачи и научное руководство работой, а также за постоянную поддержку во время выполнения исследования. Автор особенно признателен В. Г. Байдулову за постоянный интерес к работе и помощь в освоении современных математических методов.