Магические квадраты

Учебно-исследовательская работа по математике на тему

Магические квадраты

Работу выполнила

Дудник Елена учащаяся 10 — А класса, СОУВК школы — лицея «ОКЛ»

Руководитель

Пилосова Людмила Владимировна

Симферополь, 2004

Введение

Актуальность: магические квадраты всегда привлекали внимание не столько своими математическими, сколько скрытыми в них по мнению многих мистическими свойствами. В современном мире от мистики уже давно отказались, но так и не отказались от теории магических квадратов, которая теперь нашла своё новое применение в науке и обучении. На сегодняшний день важно рассмотреть теорию в других возможных аспектах с целью поиска ещё не активизированных способов её применения.

Объект исследования: магические квадраты.

Предмет исследования: процесс развития теории магических квадратов, свойства, практическое применение.

Цель: изучить предмет исследования, их свойства, рассмотреть способы их применения в жизни человека.

Задачи: определить свойства магических квадратов, рассмотреть возможные сферы их применения на практике.

В методологи были использованы труды нескольких авторов справочников и пособий, методический материал, сведения, полученные из Интернета с привлечением информации, предоставленной квалифицированным специалистом в области математики. Работа выполнена сравнительно-литературным способом.

С незапамятных времён, научившись считать, наши далёкие предки заметили, что числа имеют различные загадочные свойства, которые они не могли объяснить. Оказалось, например, что, складывая различные числа, можно получить одно и тоже число. Оказалось также, что, располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно складывать числа слева направо (в строках), сверху вниз (в столбцах), а также наискось (в диагоналях) и каждый раз получать одно и тоже число. Затем придумали разделить числа линиями и получили квадрат, обладающий, по их мнению, магической силой. Такие квадраты стали изготовлять из различных материалов и продавать верующим. Зашитый в ладанку, он становился талисманом или амулетом.

Магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица, содержащая n последовательных чисел (от одного до n) натурального ряда, расположенных так, что суммы от сложения чисел каждой строки, каждого столбца и двух больших диагоналей равны между собой. Эта сумма называется магическим числом и равна ½n (n2+1). Если же в квадрате получается одно и то же число только от сложения чисел в строках и столбцах, то такой квадрат называется полумагическим.

магический квадрат

Рис. 1. Пример магического квадрата, где n=3 (талисман Сатурна).

В Китае и Индии магические квадраты были известны ещё за 4−5 тысяч лет до нашей эры. В Индии разработка математической теории построения магических квадратов достигла значительных успехов, в частности, там знали общий метод построения магических квадратов при любом нечётном n.

Арабы заимствовали у народов Индии сведения о магических квадратах. Через арабов магические квадраты становятся известными в Греции и Византии. Так, например, византийский учёный Мануил Мосхопус (XIII-XIV вв.) написал трактат о магических квадратах, где сообщал правила их построения для n=2m+1 и n=4m. Наконец, магические квадраты и вся магия чисел в Средние века проникают в Западную Европу.

Вот один из древнейших памятников почти 2000;летней давности (рис. 2).

Рис. 2 (талисман Юпитера)

В Европе этот квадрат с магическим числом 34 был долго неизвестен. В начале XVI века о нём узнал знаменитый немецкий художник Альфред Дюрер (1471 — 1528гг.). Он был им так очарован, что даже воспроизвёл его, правда, в несколько изменённом виде, в одной из своих гравюр («Меланхолия», 1514 г.). Этот квадрат обладает интересными дополнительными свойствами: сумма чисел, расположенных по его углам, равна магическому числу 34; суммы чисел в каждом из пяти маленьких квадратов (в четыре клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже равны 34; в каждой его строке есть пара чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара рядов стоящих чисел, сумма которых равна 19.

С глубокой древности и до наших дней сохранилось поверие о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием различных планет. Каждой планете, Солнцу и Луне астрологи приписывали магический квадрат определённого порядка: Сатурну — третьего, Юпитеру — четвёртого, Марсу — пятого, Солнцу — шестого, Венере — седьмого, Меркурию — восьмого, Луне — девятого. Уже в 1533 г. немецкий гуманист Генрих Корнелий Агриппа из Неттенхейма в своём сочинении «О сокровенной философии» описал семь магических квадратов, имеющих в основании 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 клеток. Число квадратов было выбрано равным числу птолемеевых планетных сфер. Агриппа назвал эти квадраты «планетарными таблицами». Агриппа не дал никакого способа построения этих таблиц, но советовал гравировать их на пластинках или дисках из различных металлов и носить на себе как амулеты. Значительное распространение получили амулеты, на одной стороне которых был изображён бог, именем которого названа соответствующая планета, а на оборотной — магический квадрат этой планеты, заключённый в n-угольную пентаграмму.

Однако, помимо мистического смысла учёные стали анализировать их математически. В сочинении немецкого математика Штифеля «Полная арифметика», вышедшем в 1544 г., указывается, что некоторые магические квадраты обладают чудесными и дополнительными свойствами, а именно, у них может быть выведена срединная часть, которая также является магическим квадратом. Если взять срединную его часть (кроме рамки шириной в одну клетку), то снова получим магический квадрат. В частности, он построил магический квадрат «72 — квадрат», срединная часть которого есть магический «52 — квадрат», заполненный натуральными числами от 13 до 37. Если взять срединную его часть, то получим магический «32 — квадрат», заполненный натуральными числами от 21 до 29 (рис. 3).

Рис. 3 (талисман Венеры) Это был первый случай анализа математической формы магических квадратов. На этом исследования не завершились и о математических квадратах ещё писали такие математики, как Баше де Мезириак (1581 — 1683 гг.), Блез Паскаль (1623 — 1662 гг.), Пьер Ферма (1601 — 1665 гг.), Френикль де Бесси (!602 — 1675 гг.), Антуан Арно (1662 — 1694 гг.). В частности, де Бесси дал общий метод построения магических квадратов и проделал огромную работу по составлению всех 880 вариантов магических квадратов четвёртого порядка.

Начиная с Пьера Ферма, Френикля де Бесси и их современников, сочинения о магических квадратах теряют не только свой мистический характер, но и развлекательный. Теория магических квадратов развивается одновременно с развитием общей теории чисел и становится её ответвлением. Ею занимается выдающийся математик, механик и физик, один из основоположников гидродинамики Леонард Эйлер (1701 — 1783 гг.). С помощью магических квадратов большого порядка он пытался построить единую картину мира и физических процессов, основывая свои рассуждения на том, что в мире должен существовать совершенный баланс сил, который можно заключить в математическую таблицу. Король математики Карл Гаусс (1777 — 1855 гг.) и многие другие известные учёные также не раз прибегали к помощи магических квадратов, при сведении в единую таблицу данных, имеющих между собой строгую циклическую взаимосвязь. Их поиски позволили не только дополнить известные из теории чисел общие свойства квадратов, но и найти неизвестные до сих пор типы квадратов.

В настоящее время теория магических квадратов несколько видоизменилась, приняла сугубо прикладной характер и теперь представляет собой уже приём занимательности. Магические квадраты и их модификации используются как метод решения заданий, облекая их в занимательную форму. Эта форма может представлять собой необычные чертежи или увлекательные схемы. Такие приёмы особенно распространены при работе с учащимися средней ступени для закрепления навыков оперирования простыми числами, дробями, степенями, корнями и т. д. Эти таблицы стали основами многих заданий, развивающих логику.

В этом направлении магические квадраты преображаются в несколько другой тип квадратов. Как правило, это квадраты с n=3, каждая клетка которого представляет собой элемент (число, многочлен), а сумма или произведение элементов по вертикальным, горизонтальным столбцам и диагоналям удовлетворяют некоторому единому условию. Рассмотрим несколько примеров таких заданий:

Нам даны одночлены х, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8 и х9. Расположить их в клетках квадрата (n=3) так, чтобы их произведение по вертикали, горизонтали и диагонали равнялось х15.

Решение такого задания сводится к построению магического квадрата из чисел от 1 до 9. Нужно только помнить, что при умножении показатели степеней складываются.

В пустые клетки квадрата вписать такие числа, чтобы их сумма по вертикали и горизонтали равнялась 100.

В свободных клетках квадрата расположить дроби со знаменателем 11 и числителями от 1 до 9 так, чтобы их сумма по горизонтали, вертикали и диагонали равнялась 15/11.

Решение аналогично примеру 1. Знаменатель здесь не играет никакой роли, поэтому необходимо только построить квадрат из чисел от 1 до 9 (числители) согласно данного условия.

Подобные задания рассчитаны на учеников 5−6 классов, т.к. не содержат сложных вычислений и уже снабжены подсказками, без которых задание всё же решаемо.

Приложение

Рис. 4 (талисман Марса); магическое число 65.

Рис. 5 (талисман Луны); магическое число 369

Рис. 6 (талисман Солнца); магическое число 111

Рис. 7 (талисман Меркурия); магическое число 260.

Следует отметить, что диагонали, идущие слева сверху вниз вправо, часто состоят из правильной последовательности чисел (см. рис. 1, 4, 5).

На рис. 5 два центральных столбца состоят из чисел, оканчивающихся нулями и единицами. В дальнейших столбцах всё ещё сохраняется подобная закономерность, но уже с некоторыми сбоями.

На рис. 6 в каждой строке есть по паре последовательных рядом стоящих чисел. На рис. 7 таких пар в каждой строке три.

Список использованной литературы Папюсъ. Практическая магiя. — С.-Петербург, 1912. — 736 с.

Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математике. — Москва: «Просвещение», 1996. — 182 с.

Число и мистика. — Москва: «Просвещение», 1968. — 208 с.