Математическое моделирование процессов фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости на параллельных вычислительных системах

Выбор темы исследования обусловлен тем, что в современных условиях совместная фильтрация несмешивающихся жидкостей является одним из ключевых разделов в подземной гидродинамике, а определяющим инструментом по получению новых знаний выступает математическое моделирование. Важность проблемы интенсификации добычи нефти продиктована истощением месторождений и необходимостью снижения остаточной нефтенасыщенности и обводнённости продукции.

Использование именно моделирования при освоении нефтяного месторождения позволяет проводить анализ рисков и своевременно минимизировать их, совершенствовать технологии, обосновывать стратегические направления доразработки, улучшать показатели добычи, находить наилучшие интервалы вскрытия, исследовать поведение скважин и их групп, определять остаточные запасы, а также застойные зоны на конкретный период времени. Это связано с тем, что реализация изложенных задач с помощью проведения реальных экспериментов весьма затратна, а большое количество используемых при этом параметров влияет на их результаты. В свою очередь представленные выше задачи являются задачами оптимизации для эффективного управления процессами разработки нефтяного месторождения и требуют многократного повторения операций моделирования. В связи с этим возникает необходимость разработки таких алгоритмов и средств моделирования, которые позволят решать задачи по освоению нефтяного месторождения в приемлемые сроки.

Качество вычислительного эксперимента в значительной степени зависит от правильно выбранной математической модели явления. При построении модели двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости в качестве основного уравнения движения для каждой фазы используются обобщенные законы Дарси (законы сохранения импульса), которые включают законы сохранения массы. Одной из самых распространенных моделей этого типа является модель Баклея-Леверетта, предполагающая равенство фазовых давлений. Эта модель подробно изучалась в работах А. Н. Коновалова [16, 58], 3. Узакова [32, 34], И. А. Чарного [35], М. И. Швидлера [39] и других. Уравнение для насыщенности поро-вого пространства какой-либо фазой в модели Баклея-Леверетта является нелинейным уравнением в частных производных гиперболического типа. Для этого уравнения характерно наличие разрывов в решении.

Другой распространенной моделью фильтрации является модель Маскета-Леверетта. В этой модели, в отличии от модели Баклея-Леверетта учитываются капиллярные силы, которые определяются характеристиками пористой среды и жидкостей и выражаются формулой Лапласа. Модель Маскета-Леверетта интенсивно исследовалась такими учеными как С. Н. Антонцев [1], Г. И. Баренблатт [5], В. М. Ентов [9, 10], Н. В. Зубов [12, 13], А. Н. Коновалов [15, 58], В. Н. Монахов [23],.

3. Узаков [33, 34], А. Н. Чекалин [36, 37] и другими. В модели Маскета-Леверетта возможен богатый набор комбинаций искомых функций [58]. Наиболее удачные искомые функции для исследования качественных свойств модели предложили в свое время С. Н. Антонцев и В. Н. Монахов [2] (в — водонасыщенность, р — эффективное давление). Уравнение для насыщенности в модели Маскета-Леверетта является квазилинейным уравнением в частных производных параболического типа. Обращение относительных фазовых проницаемостей в нуль, как показывают исследования приведенные в монографии С. Н. Антонцева, А. В. Кажихова и В. Н. Монахова [4], приводит модель к вырождающейся системе дифференциальных уравнений. Последнее порождает сложности как при постановке граничных условий, так и при численной реализации модели. Этот анализ подробно проведен А. Н. Коноваловым в [58].

В данной работе, разработан подход, в котором модель Маскета-Леверетта формулируется в смешанной обобщенной постановке (см. [47] и цитируемую там литературу) в терминах «скорость-давление-насыщенность». В такой постановке отсутствует проблема вырождаемости краевых условий для насыщенности: в смешанной постановке для насыщенности не требуется задавать какие-либо краевые условия. При этом конструкция функций фазовых проницаемостей такова, что в любой момент времени уравнения для суммарной скорости и давления удовлетворяют условию коэрцитивности на множестве соленоидальных функций. Отметим, что смешанная формулировка для поиска скорости и давления использовалась в ряде работ Р. Ювинга с соавторами (см. [56] и цитируемую там литературу). В отличие от [56] в данной работе рассматривается полная смешанная постановка, ключом к которой является представление всех пространственных производных от векторных полей только как дивергенций искомых функций. Кроме того, для используемых ниже аппроксимаций на основе элементов Равьяра-Тома [62] не возникает проблем с описанием фронта насыщенности благодаря наличию в модели капиллярной диффузии.

Изучаемое явление было бы не полным без моделирования нагнетательных и добывающих скважин. Очень часто число узлов густой сетки возле прискважинного пространства не меньше числа узлов грубой сетки всей задачи. В нашем случае, отсутствие вырождаемости краевых условий дает корректную математическую постановку и при переходе к численной модели не требует сгущать сетку возле каждой скважины, что позволяет уменьшить число узлов сетки. Еще одной проблемой является то, что диаметр скважины во многих работах должен быть соизмерим с шагом сетки. Это, в свою очередь, требует введения очень мелкой сетки и использования неявных схем по времени. Согласно работе Ю. М. Лаевского [20] скважины можно моделировать в виде задания граничных условий не на самих скважинах, а на границах ячеек, внутри которых они расположены. Предложенный способ позволяет избежать использование неявных схем по времени, численное решение которых является достаточно трудоемким процессом.

Но в рамках вычислительного эксперимента совершенно недостаточно иметь просто корректную математическую модель. Последняя должна допускать численную реализацию. Выбор оптимального численного алгоритма немыслим без конкретных характеристик вычислительных систем, на которых решается задача. В результате активного развития вычислительной техники производительность существующих на данный момент многопроцессорных систем измеряется уже сотнями терафлопс. Однако новая архитектура предъявляет особые требования к алгоритмам и их реализациям. Попытки выполнения обычных последовательных алгоритмов на параллельных вычислительных системах во многих случаях не приводят к повышению быстродействия. Для реального уменьшения времени решения задач требуется применение специальных параллельных вычислительных алгоритмов, учитывающих архитектурные особенности многопроцессорных кластерных систем. Большое количество процессов требует высокой степени масштабируемости (scalable) алгоритма, многоядерные узлы — особенного внимания к оптимизации доступа к памяти. Передача данных между узлами должна осуществляться с использованием сетевых карт, которые имеют низкую задержку (latency) и высокую пропускную способность (throughput) и происходить без участия операционной системы. В этом случае исключается участие CPU в обработке кода переноса и необходимость пересылки данных из памяти приложения в буферную область ОС, то есть данные пересылаются напрямую на соответствующий сетевой контроллер.

В настоящее время нет доступных пакетов, обеспечивающих использование терафлопных вычислительных систем для решения задач совместной фильтраций несмешивающихся жидкостей. Статьи в соавторстве Б. Н. Четверушкина [17, 27, 51, 52] являются первыми российскими работами, посвященными распараллеливанию задач фильтрации. В них приведен алгоритм распределенной обработки глобальной информации и модельные примеры. Однако в этих работах не были представлены методы реализации и результаты по распараллеливанию. В работе Б. Т. Жумагулова [11] предлагается расщепление на отдельные этапы физических процессов в общем итерационном цикле для систем уравнений, но прирост производительности показан только для четырех процессов. В статье П. А. Мазурова и А. В. Цепаева [22] описывается алгоритм распараллеливания для решения задач двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости на сетках со сгущающимися участками, однако данный алгоритм увеличивает число узлов сетки и приведенные результаты показывают не слишком хорошую масштабируемость, так как алгоритм является не полностью распределенным по процессам. В работах в соавторстве Е. А. Ярошенко [42, 43] численное решение строится на использовании неявной схемы для давления и явной для насыщенности, что усложняет процесс распараллеливания задачи. Приведенные результаты показывают плохую масштабируемость для малого числа узлов сетки. В статье В. И. Дробышевича и С. А. Литвиненко [55] предлагается полностью распределенный по данным алгоритм, однако он описан лишь для двумерного случая и использует метод редукции, который на этапе обмена данных при большом числе процессов не является масштабируемым, поскольку требует выполнения вычислений на одном процессе. Среди иностранной литературы выделим работы Alberto F. de Souza, Cao Jianwe, Cordovil A.G.D.P., Edik Hayryan, Fadi N. Sibai, Joao P. De Angeli, Hashir Karim Kidwai, Miron Pavlu, Neyval C., Schiozer D.J., Raul.

H. C. Lopes, Reis Jr. l, Ribeiro C.M. [48, 53, 57, 59, 60]. В этих работах рассматриваются общие методы решения задач подземной гидродинамики, в особенности двумерные постановки задачи фильтрации для модели Баклея-Леверетта. Результаты распараллеливания приводятся для малого числа процессов и грубых сеток.

В процессе работы не было найдено статей, в которых для большого числа процессов были бы получены хорошие показатели масштабируемости. Многие работы просто предлагают параллельные решения некоторых частных модельных задач, с использованием известных тулов, не учитывая специфику задачи и не исследуя адекватность моделей фильтрации известным явлениям, сопутствующим процессу вытеснения нефти водой. В литературе не были обнаружены способы распараллеливания и результаты масштабирования для трехмерных задач фильтрации с произвольным числом скважин.

С учетом всего выше сказанного расчет конкретных задач механики сплошной среды, в том числе и задач фильтрации многофазных жидкостей, укладывается в схему, которую часто называют «технологической цепочкой» [58]. Схематически эта цепочка выглядит следующим образом: от изучаемого явления — к его математической моделизатем — к аппроксимационной моделидалее — к эффективному численному алгоритму, использующему всю мощь существующих многопроцессорных системпрограмме, реализующей этот алгоритми, наконец, к вычислениям на суперкомпьютерах, анализу полученных результатов, уточнению в случае необходимости математической модели.

Актуальность диссертационной работы определяется необходимостью создания алгоритмов и средств, обеспечивающих эффективное решение задачи совместной фильтрации несмешивающихся жидкостей методами математического моделирования на вычислительных системах терафлопного диапазона в приемлемые сроки.

Целью диссертационной работы является построение «технологической цепочки», соответствующей процессам совместной фильтрации несмешивающихся жидкостей, и создание алгоритмов и компонентов вычислительной среды, обеспечивающих высокую масштабируемость и возможность эффективного решения поставленной задачи на многопроцессорных вычислительных системах терафлопного диапазона.

Научная новизна.

— Реализована и экспериментально обоснована численная модель Маскета-Леверетта в смешанной обобщенной постановке в терминах «скорость-давление-насыщенность» с произвольным числом скважин, моделирование которых не требует сгущения сетки в прискважинных зонах и соразмерности диаметра скважин шагу сетки.

— Создан эффективный алгоритм для обращения сеточного седлового оператора, возникающего в смешанной постановке и являющегося аналогом оператора Лапласа, который использовался в качестве переобуслав-ливателя в итерационном методе сопряженных градиентов при решении эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

— В рамках данной модели разработан и изучен алгоритм распараллеливания двумерной и трехмерной задач на суперкомпьютерах, удовлетворяющий кластерной структуре с использованием МР1 [65] - [68] технологии.

Полученные результаты, приведенные в данной работеявляются новыми и опубликованы в рецензируемых научных журналах.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в возможности использования разработанного комплекса программ для интенсификации разработки месторождений, а также в универсальности предлагаемой методики распараллеливания и ее применимости к другим задачам механики сплошной среды. Ярким примером такой задачи является процесс электромиграции атомов при функционировании устройств микроэлектроники, где одновременно решаются эллиптические уравнения электростатики, стационарной теплопроводности, упругости и параболическое уравнение диффузии атомов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается соответствием рассматриваемой модели фундаментальным законам сохранения. Для предложенной численной модели показано, что используемая аппроксимация в комбинации с явной схемой обеспечивают выполнение уравнения балансаприводятся расчеты, демонстрирующие её аппроксимационные свойства и адекватность хорошо известным явлениям, сопутствующим процессу вытеснения нефти водой. Эти результаты хорошо согласуются с работами Дробышевича, Коновалова, Четве-рушкина. Для разработанной методики распараллеливания приводятся графики, подтверждающие её эффективность.

Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Для удобства чтения каждая глава предваряется кратким введением.

Заключение

содержит резюме о полученных результатах. Ссылки на первоисточники даны во введении. В основной части текста упоминаются лишь работы, содержащие некоторые конкретные факты, используемые для доказательств утверждений. Каждая глава разделена на пункты с трехиндексными номерами. В диссертации принята сквозная трехипдексная нумерация формул, теорем, лемм и ссылок на них. Первый индекс соответствует номеру главы, второй — номеру пункта главы, третий — номеру формулы или утверждения данной главы. Работа содержит 33 рисунка, 10 таблиц, 71 наименование библиографии. Полный объем диссертации составляет 118 страниц.

Заключение

.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. На основе смешанного метода конечных элементов построена численная модель фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости в терминах «скорость-давление-насыщенность». Данный подход позволил избежать в модели Маскета-Леверетта проблему вырождаемости краевых условий для насыщенности.

2. Приведен способ моделирования скважин как в двумерном, так и в трехмерном случае, не требующий сгущения сетки в прискважин-ных зонах и соразмерности диаметра скважин шагу сетки.

3. Создан эффективный алгоритм для обращения сеточного седлово-го оператора, возникающего в смешанной постановке и являющегося аналогом оператора Лапласа, который использовался в качестве переобуславливателя в итерационном методе сопряженных градиентов при решении эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

4. Разработана методика распараллеливания двумерной и трехмерной задач для компьютерных систем, удовлетворяющих кластерной структуре, с использованием МР1 [65] - [68] технологии, которая может быть применена к другим задачам механики сплошной среды.

Продемонстрированы результаты, показывающие высокую масштабируемость и эффективность алгоритма с точки зрения операций и обмена данными на многопроцессорных системах.

5. Создана вычислительная среда, включающая алгоритмы и программы обработки на многопроцессорных вычислительных системах сеточных данных, средства распределенного ввода-вывода. Данный программный комплекс позволяет при освоении нефтяного месторождения проводить анализ рисков и своевременно минимизировать их, совершенствовать технологии, обосновывать стратегические направления доразработки, улучшать показатели добычи, находить наилучшие интервалы вскрытия, исследовать поведение скважин и их групп, определять остаточные запасы, а также застойные зоны на конкретный период времени.