Интерполяционные теоремы и теоремы об эквивалентных нормах в пространствах гладких элементов

Работы СЛ. Соболева, С. М. Никольского, Л. Н. Слободецкого, О. В. Бесова и их сотрудников дали мощный толчок к изучению пространств функций, обладающих той или иной степенью гладкости в смысле интегральных метрик. Эти пространства нашли многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений, математической физике, вычислительной математике. Естественным обобщением задач, рассмотренных в указанных работах, явились задачи о построении и исследовании в произвольном банаховом пространстве линейных подмножеств, состоящих из элементов, обладающих той или иной степенью гладкости относительно заданного неограниченного линейного оператора, действующего в этом пространстве. Ж. Л. Лионе и Ж. Петре [28] с помощью развитых ими интерполяционных методов констант и средних построили промежуточные пространства между банаховым пространством Еи областью определения степени производящего оператора ограниченной полугруппы операторов, действующей в? .П. Грисвард [24] распространил их метод на более широкий класс операторов — позитивных операторов (см. [18], [I]). С. Г. Крейн ([14],[253) несколько обобщил конструкцию указанных авторов, введя понятие сглаживающего аппроксимационного процесса, с помощью которого и вводятся промежуточные пространства гладких элементов.

Другим стимулом многочисленных исследований явилась знаменитая интерполяционная теорема Ж. Марцинкевича, доказательство которой было восстановлено и опубликовано А. Зигмундом [34]. Отметим здесь лишь результаты С. Г. Крейна и Е. М. Семенова [1б], получивших обобщения теоремы Ж. Марцинкевича в классе симметричных в смысле Е. М. Семенова пространств (см., также,[15], теоремы 6.1,.

6.1У, гл. П) и результаты К. К. Головкина [4], построившего абстрактные аналоги теоремы Марцинкевича и распространившего её на интерполяцию по гладкости (?^4], теорема 7).

В результате синтеза идей работ [1б] и ?4] во второй главе диссертации получено обобщение интерполяционных неравенств К. К. Головкина. Вместо степенных весов рассмотрены произвольные веса, вместо функционалов типа максимизации (в ?^4] так называются нормы в пространствах функций на полуоси, инвариантные относительно операторов растяжения и операторов возведения аргумента в степень) — нормы в произвольных симметричных пространствах, обладающие порядковой полунепрерывностью.

В третьей главе полученные интерполяционные неравенства применяются к доказательству новых интерполяционных теорем для пространств гладких элементов, построенных по сглаживающему аппрок-симационному процессу. В качестве примеров рассмотрены пространства, строящиеся по резольвенте позитивного оператора, по ограниченной полугруппе операторов, по оператору обобщенного сдвига, связанного с обыкновенным дифференциальным оператором второго порядка.

Важной проблемой в теории промежуточных интерполяционных пространств является установление эквивалентности норм, построенных различными способами. Теоремы об эквивалентности норм позволяют при исследовании конкретной задачи выбирать ту из эквивалентных норм, которая для этого наиболее удобна. В теории интерполяции наиболее сильным орудием для установления эквивалентности норм являются так называемые теоремы о реитерации (см.р8|, [I], [15], [22]).Оригинальный метод, не связанный с интерполяцией, был предложен К. К. Головкиным ([з],[б]) для дифференциально-разностных норм в пространствах скалярных гладких функций. Этот метод основан.

— б на некоторых нетривиальных алгебраических тождествах, берущих своё начало от работы А. Маршо 1927 г. ([зо]). В четвертой и пятой главах диссертации методы и результаты К. К. Головкина переносятся на пространства гладких элементов банахова пространства, построенных по ограниченной полугруппе операторов и по системе коммутирующих групп операторов.

Следует отметить, что гладкие элементы обычно выделяются следующим образом: по элементу строится некоторая функция на полуоси, норма которой (называемая К. К. Головкиным параметрической полунормой) должна принадлежать некоторому идеальному банахову пространству Р, функций на полуоси. Во всех перечисленных выше работах требовалось чтобы оператор растяжения имел в пространстве р норму, равную единице (в большинстве работ Р ~ ЗС). В диссертации удалось избавиться от этого ограничения и рассмотреть тот случай, когда Р — произвольное (иногда сепарабельное) симметричное пространство.

Перейдем к формулировкам основных результатов.

Первая глава диссертации носит вводный характер, в ней приведены основные определения и теоремы других авторов, используемые в работе. Сформулируем основной результат второй главы.

Определение I. Параметрические полунормы ^(^" Ь) и ^ЫЛ) называются (- эквивалентными относительно симметричного пространства Р и неотрицательной функции ^(4:), если существуют такие постоянные, , что для любого ЯЛ? ЗС, имеем.

Определение 2. Будем говорить, что параметрическая полунорма ^(и^) удовлетворяет — условию относительно.

Р^ХСЙ) * если ^ лю^ого найдется такое разбиение произвольного и вХ • и-ЯА^чЯДу^, при котором соответствующие параметрические полунормы ^(и^^ ((.удовлетворяют оценкам г ^ ч где и (0</с<°°) ~ некоторые функции, совпадающие при <тг = 1, а полунормы ^(яд.,^) и ^('и.,^) эквивалентны относительно (Р > ^ Л) •.

Будем обозначать через — оператор растяжения: к } МсС0(*>, 1 о-, и при выполнении условия.

С. ^ (и^) V < 4: <, и^, О <Л <1г.

1 КЛ / / яЛ г / л"Л.

Предположим, что.

II и № + II е^Ч (?)• и («с) II о» .

Теорема I. Пусть линейный оператор Т действует из векторного пространства ЗС, на котором задана параметрическая полунорма в векторное пространство У с параметрической полунормой. Пусть удовлетворяет.

— условию относительно 5 условию (I) (Х140 полумультипликативная функция) и выполнены оценки где ^¿-(^О, ^¿-и)>0. Тогда, если 26, 5(4:} измеримое и положительное решение системы то для любого симметричного пространства Р" с порядково полунепрерывной нормой (см. стр. 142) выполнено неравенство я.

Сформулируем основные результаты третьей главы. Во многих случаях для сглаживающего аппроксимационного процесса^ С^ (см. выполнено соотношение следующего вида.

I- ' (2) о '? где > Л/(*>"0 — равномерно ограниченные по, А и.

Ь операторнозначные функции, коммутирующие с ~ А 'и при всех ^>0 — с1{) и /К >0 — ограниченные возрастающие скалярные функции на (0,1] и [?>13 соответственно. Будем обозначать о ^ < °° и предположим, что стоЛ^/Л' от г.

Теорема 2. Пусть линейный оператор Т* действует из ба.

Ел (МрМ1%11г + Ш1Л нахова пространства ид векторное про-и странство «У с параметрической полунормой^р (^Л) выполнены оценки.

Тх «а где ¿-сС*) и — положительные функции. Тогда, если выполнено соотношение (2), условия (з), (4), ае (~0, измеримое и положительное решение системы то для любого симметричного пространства Р лунепрерывной нормой с порядково по.

Тх.

Во втором параграфе третьей главы для сглаживающего аппроксимационного процесса, построенного по резольвенте неограниченного замкнутого оператора В в банаховом пространстве Е с плотной в С ~ областью определения SXB), для которого sap l|X (b+>3tL < 00 > >0 Ь введена параметрическая полунорма.

Будем обозначать 1.

S/Ц (/^У ^ ^ о < ^^ 1.

В предположении, что оо.

5) доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть линейный оператор Т действует из банахова пространства Е^Лв векторное пространство «У с параметрической полунормой и выполнено условие (5) и оценки с-и^^И^в^в-ЛИ^ («Л оС оо) где ск.1 С’с) и — положительные функции. Тогда, если.

8 € С" 0 «- измеримое и положительное решение системы то для любого симметричного пространства > на имеет место неравенство г.

В третьем и четвертом параграфах диссертации аналогичные утверждения получены для параметрической полунормы X построенной по оператору обобщенного сдвига, связанному с обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка и для параметрических полунорм построенных по сильно непрерывной ограниченной полугруппе в банаховом пространстве Е.

В четвертой главе изучаются полунормы вида.

6) р — симметричное пространство), соответствующие сглаживающему аппроксимационному процессу.

— г и^ ь X где — сильно непрерывная ограниченная полугруппа операторов в банаховом пространстве Е. С помощью полунорм вида (6) вводятся пространства Е^.

Для полунорм вида (6) доказана важная теорема.

Теорема 4. Если при некотором натуральном I, то вр при оС, ^>0 и натуральном р, причем полунормы Ц^. ||(и^У1ух||р 1|р на пространстве эквивалентны при любых натуральных р и? , удовлетворяющих неравенству р О .

Вводятся банаховы пространства Е^ р^-ь «являющиеся замыканием множества (СГ) по норме банахова пространства.

Р*. и совпадающие с Р-*. если пространство и ^ и ^ г р сепарабельно. Доказана теорема об изоморфизме пространств л/.

Е к*;

Теорема 5. Если функция ^ £г> то пространство р * г-г-ь с точностью до изоморфизма не зависит от г1^-г10>$.

Изучаются пространства Е^ р^-ь при о «установлен тривиальный характер таких пространств. Дадим точные формулировки.

Определение 3. Назовем множество ядром семейства операторов 7(Ц (0<Л <, если Для любогох еД/ТХ/СЩ и всех Ц €(о, оо) .

Теорема 6. Если — сжимающая полугруппа, то при ь>г1+1 или при и, пространство.

Е^р^-5″ совпадает с ядром семейства операторов.

Если |ЦХМ16"М (М>А> 'Р), то при *>ал+1 или при и И^рЧр^! пространство совпадает с ядром семейства операторов .

Во втором параграфе четвертой главы рассматриваются полунормы вида.

— производящий оператор полугруппы исИ и соответствующие им банаховы пространства.

Ей сыь-к) = Ы^еЕ^' оо.

11*11. = Цх|1 + Ш^-1) Ы1Р II «на некотором плотном в «О (^) при любом Кмножестве //= Л» соответствующем полугруппе ТЛЬ) (множество /ZxJch) построено и подробно описано в [Хв]^установлена эквивалентность полунорм вида (7) в случае произвольного симметричного пространства {-. Результат конкретизирован для пространств р являющихся нормально интерполяционными пространствами типа между о?^ и^оо. Сформулируем доказанные теоремы. Через З1' будем обозначать наименьшее целое число, большее либо равное 5.

Теорема 7. Если Б, то для ^ ^ полунормы эквивалентны на ^ пс ме Н^-Шиси-Х^Урпри .Если эквивалентность имеет место для при)|<5'1д]|р<1 .

Теорема 8. Пусть р — нормально интерполяционное пространство типа между о1 ± и сю. Полунормы.

11 h^-lKU^VlY'D^ll Чс эквивалентны на /V полунорме.

V" ^.

11 11 (J.

1. при ДЛЯ О¿-.<¿-<1.

2. при e^S-voi для0^о (.<1.

3. t>l< 1+sV ..

Введены пространства Е-ль «являющиеся замыкау О) г нием множества Л/ по норме банахова пространства и с помощью теорем 7−8, доказан их изоморфизм..

Теорема 9. Пусть F — симметричное пространство. Если функция Yw'^^^V^gF, то пространство р^к с точностью до изоморфизма не зависит от С в следующих случаях:.

1. для i>S-vc>l —.

2. для если <1 ..

Если р — нормально интерполяционное пространство типа oL между сЛ, а и cL, ¿-ж то пространства Е^к о-(<>-к) изоморфны по & в следующих случаях: 5.

1. при к>о для —.

2. при дляО^°^<4- -.

3. при (J, >sк>о для, 0 ^ oUi + s-b" ..

Третий параграф четвертой главы посвящен исследованию интерПОЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВ пространств t^-^pt-S и p^Jt p^C-S Доказаны следующие теоремы:.

Теорема 10. Если в симметричном пространстве F норма по-рядково полунепрерывна (см. [I3J, стр. 142) и функция ^ Р, то пространство Е ^ р изоморфно пространству «построенному по интерполяциони Г) г ному методу констант и, следовательно, пространство является интерполяционным между пространствами Е и ..

Из теорем 5, 10 получается важное следствие..

Теорема II. Если симметричное пространство Е сепарабель-но, норма в Е порядково полунепрерывна и функция ,.

УУЧЧ то интерполяционное пространство (Е^Е^К-ь ,-г-ь с точностью до изоморфизма не зависит от Ъ ^ >? и пространство Е^-рг-ь является интерполяционным между Е и Е^..

В пятой главе диссертации исследуются различные полунормы, построенные по системе ограниченных коммутирующих групп в банаховом пространстве Е и соответствующие им пространства..

Введем используемые обозначения.

Ке = П, мхи ."иг. е ^ 1 I.

6- Т..

Е ^ Л С ЧХ. Г1 УГ" ь^р" л,.

УЬ* л где, у.

Доказаны следующие теоремы. р полунормы.

Теорема 12. Пусть ?>>0 — в с — натуральные числа такие, что + при некотором ?^^ • Тогда при с С ^ - ь полунормы V эквивалентны при разных ^ О ..

Теорема 13. Пусть ^ - система ограниченных коммутирующих полугрупп. Если функция.

1 е Г, то пространство «-1 ^ ^ является промежуточным между к' и Е. к>р «.

По множеству «соответствующему системе коммутирующих групп [ (^[Ус] п°ДР°бно описано в С18]), построено пространство Е ^^о с «являющееся замыканием мнол/ жества ** по норме банахова пространства с:. сСМ/О К.

Доказан изоморфизм пространств с: по Т. ..

И, К > Р.

Теорема 14. Если при некотором J ^ ^ и функция игъси, ] ^ ^ I) Р, то пространство Ег^-^1,? с точность] <�¦ >^е-ь до изоморфизма не зависит от 1 ^ О ..

Во втором параграфе пятой главы изучаются полунормы вида и соответствующие им пространства, к Л.

Ь — | К, кКР IК+О у р. .к ад — и.

Ь^И^Ч ь Г" 1 ^ ^ ..

Доказаны следующие теоремы. «.

Теорема 15. Если функция ууллл1^ и К>$>>0, то пространство ^ является промежуточным между.

ОасЧ г.

К^ И Е. к 5 ь Л.

Теорема 16. Пусть И0У1С4 С'^ при некотором и.

Ь и произвольной О О — -. Если.

К" > *=>" > и функция Иуг1ц ^? Р, то при X в полунормы вида (8) и (9) эквивалентны..

Построены банаховы пространства «» являющиеся замыканием множества Л^и"" ^ по Н0Рме пространств г- ««. «VЛ г соответственно. Доказана следующая теорема.

Теорема 17. Если функция УуилД^ ^ то пространсте ^^ во с точностью Д° изоморфизма не зависит от.

К><"><0 • Если при этом || бу|^ ^."'с, то и пространство с точностью до изоморфизма не зависит от УО5><*>0 при ^(0,1)..

Результаты диссертации докладывались на семинарах профессора С. Г. Крейна в Воронежском лесотехническом институте (ВЛТИ), на семинаре по интерполяции линейных операторов под руководством профессора С. Г. Крейна и профессора Е. М. Семенова в Воронежском государственном университете, на ежегодных научных конференциях ВЛТИ, в Воронежских зимних математических школах..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

Отметим некоторые технические особенности текста. Определения, формулы, теоремы и т. д. нумеруются двумя числами, первое из которых соответствует номеру параграфа в главе, второе — номеру определения, формулы и т. д. в параграфе..

При ссылках внутри одной главы указываются два соответствующих числа, при ссылках в одной главе на другую к соответствующим двум числам добавляется третье означающее номер главы. Например (4.2.10) означает формулу (2.10) четвертой главы. Завершение доказательства теорем в диссертации отмечается символом СИ ..

Автор выражает глубокую благодарность профессору С. Г. Крейну за постановку задач и руководство работой..

1. Берг Й., Лёфстрем Й. Интерполяционные пространства.

Введение

-М.: Мир, 1980, 264 с..

2. Бухвалов A.B. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой.-Сибирск. матем. журн., 1975, т. 16, вып. 3, с. 483−493..

3. Головкин К. К. Некоторые условия гладкости функций многих переменных и оценки операторов свертки. Докл. АН СССР, 1961, т. 139, № 3, с. 19−22..

4. Головкин К. К. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Марцинкевича. Труды МИАН СССР им. В. А. Стеклова, 1967, т. 102, № 5, с. 5−28..

5. Головкин К. К. Об эквивалентных нормировках дробных пространств.-Труды МИАН СССР им. В. А. Стеклова, 1962, т. 66, с. 364−383..

6. Горохов Е. В. Некоторые свойства пространств Ег* t-*" 5,1 гУШ школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов.- Рига: ЛГУ им. П. Стучки, 1983, т. I, с. 6162..

7. Горохов Е. В. Об одном интерполяционном неравенстве. Сб. Операторные методы в дифференциальных уравнениях, Воронеж: Изд. ВГУ, 1979, с. 25−32..

8. Горохов Е. В. 0 пространствах гладких элементов относительно системы коммутирующих групп. Воронеж, 1982, 18 с. Рукопись представлена Воронеж, лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 29 марта 1983, № 1537−83..

9. Горохов Е. В. Об эквивалентных нормах в пространствах гладких элементов. Воронеж, 1983, 21 с. Рукопись представлена Воронеж. лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 29 марта 1983, № 1538−83..

10. Горохов Е. В. Сглаживающий аппроксимационный процесс и интерполяционные теоремы. Сб. Линейные операторы в функциональных пространствах, Воронеж: Изд. ВГУ, 1981, с. 31−45..

11. Дмитриев В. И. О методе Лионса-Петре построения интерполяционных пространств. Докл. АН СССР, 1971, т. 198, № 4,с. 747−750..

12. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с..

13. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 741 с..

14. Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов в пространствах гладких функций. Сб. Теория операторов в функциональных пространствах, Новосибирск: Изд. Наука, Сибирское отделение, 1977, с. 188−205..

15. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов.- М.: Наука, 1978, 400 с..

16. Крейн С. Г., Семёнов Е. М. Интерполяция операторов ослабленного типа. Функц. анализ, 1973, т. 7, вып. 2, с. 89−90..

17. Семёнов Е. М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций. Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 6, с. 12 921 295..

18. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980, 664 с..

19. Хилле Э. и Филлипс Р. М. Функциональный анализ и полугруппы.-М.: Иностр. литерат., 1962, 829 с..

20. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969, 1071 с..

21. Во^с! <£>.А/. 1угоЦ<�хь lu. vLd-ti.ow сигоС- 133 GxroJ. 3 TYlaU ., i S 6 9, * i i, p. i 14 5-fc S14 :22. bua 2.ел. po? -) h. s-emi <�уъои>|>л e-|xvoL (x^pp'xoxCmoL'tLovu. —: ?рп^пхул. > i 86-f j 2>i S p..

22. YYII/^USJJ V.I.oLHvol K/ulLVL SGr. I^t^o-CoL-Uoy^Jj? ©-рдАоЛопл^LoA. -Ltupa.W^U,!^8^^ U, p. Sb-93..