Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в Rn

1). проблема полиномиальной аппроксимации в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса;

2). разрешимость линейных дифференциальных уравнений с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.

Большая часть работы посвящена описанию сопряженных пространств для введённых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков — Г. Полиа, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Мартино, В. В. Напалкова, В. В. Жаринова, Б. А. Тейлора, Р. С. Юлмухаметова, Г. И. Эскина, A.M. Седлецкого, М. А. Соловьёва, А. В. Абанина, В. А. Ткаченко, X. Коматсу (Н. Komatsu), Роевера (J.W. de Roever), В. А. Державца, С. В. Попенова, Ф. Хаслингера, Р. Майзе,.

М.М. Маннанова, В. И. Луценко, И. Х. Мусина и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс аналитических функций с определенными мажорантами роста. Тем самым, многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, теории обобщённых функций и др. могут быть сведены к задачам из теории аналитических функций. Такой подход систематически использовался в работах Л. Шварца, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмаидера, А. Ф. Леонтьева, B.C. Владимирова, С. Лоясевича, Ю. Ф. Коробейника, А. Мартино, В. В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, В.П. Пала-модова, В. А. Тейлора, A.M. Седлецкого, Ю. Н. Дрожжинова, Б. И. Завьялова, Росвера, Р. С. Юлмухаметова, О. В. Епифанова, В. В. Моржакова, А. В. Абанина, А. С. Кривошеева, С. Г. Мерзлякова, Б. Н. Хабибуллина, С. Н. Мелихова и др.

Цели работы.

1. Изучить весовые пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на замкнутых выпуклых неограниченных множествах в R" и описать сопряжённые к ним пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

2. Описать сопряжённое пространство в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов к пространству бесконечно дифференцируемых функций в М", заданных на открытом выпуклом конусе в М" и удовлетворяющих определённым оценкам роста на бесконечности и вблизи границы конуса.

3. Изучить вопросы сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. В работе используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Среди них метод L2-оценок Л. Хёрмандера в <9-задаче, теория двойственности.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, дополнения и списка литературы.

1. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

2. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенные функций. М.: Наука, 1986.

3. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.

4. Владимиров B.C. Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, № 1. С. 75−100.

5. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF) // Сб. Математика. 1958. Т.2, № 2. С. 77−107.

6. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, № 4. С. 97−131.

7. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свёртки // УМН. 1992. Т.47, выпуск 6(288). С. 3−58.

8. Маннанов М. М. Описание одного класса аналитических функционалов // Сибирский математический журнал 1990. Т. 31, № 3. С. 62−74.

9. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М.: ИЛ, 1955.

10. Мусин И. Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в R" // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 10. С. 83−108.

11. Мусин И. Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 57−86.

12. Мусин И. Х., Федотова П. В. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов с неограниченными носителями // Труды участников Международной школы-семипара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростовский-на-Дону университет. 2006. С. 143−144.

13. Мусин И. Х., Федотова П. В. Пространство гладких функций заданного роста вблизи границы конуса // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. 2006. Т. 34. Казань. С. 165−167.

14. Мусин И. Х., Федотова П. В. О пространстве бесконечно дифференцируемых функций с оценкой роста вблизи границы конуса // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, № 3 (21). С. 31−35.

15. Мусин И. Х., Федотова П. В. Об одном классе пространств быстро убывающих функций на неограниченном выпуклом множестве // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, г. Ростов-на-Дону. 2008.

16. Мусин И. Х., Федотова П. В. Теорема типа Пэли-Винера для ультрараспределений // Матем. заметки. 2009. Т.85, № 6. С. 894−914.

17. Мусин И. Х., Федотова П. В. Об одном классе бесконечно дифференцируемых функций, допускающих голоморфное продолжение в С" Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2008. выпуск 1. Издательство РИЦ БашГУ. С. 165−172.

18. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

19. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.:Мир. 1971.

20. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

21. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т.1, № 1. С. 60−77.

22. Федотова П. В. Преобразование Лапласа функционалов с неограниченным носителем в Сп // VI региональная школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. 2006. Том 2. Математика г. Уфа. БашГУ.

23. Хёрмандер Л.

Введение

в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1966.

24. Хёрмандер Л. Оценки в L2 и теоремы существования для операторов д // Сборник переводов иностранных статей. Математика. 1966. Т. 10, № 2. С. 59−116.

25. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.

26. Юлмухаметов Р. С. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60, № 4. С. 205−224.

27. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division. IV, Amer. J. Math. 1960. V. 82, P. 522−588.

28. Fedotova P.V. The Fourier-Laplace transform of functionals with unbounded supports // Тезисы докладов международной конференции «16th St. Petersburg meeting in mathematical analysis'^. Санкт-Петербург. 2007. С. 21.

29. Fedotova P.V. On the Laplace transform of functionals with unbounded carriers // Тезисы докладов международной конференции «Fifth advanced course in operator theory and complex analysis». Sevilla. 2008.

30. Hansen S. On the «Fundamental Prinsiple» of L. Ehrenpries. В кн.: Partial differential equations. Banach center publicationbs. Warsaw. PWN Polish Scientific Publishers, 1983. V. 10, P. 185−203.

31. Malgrange B. Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1955;56. V. 6, P. 271−355.

32. Roever J.W. de. Complex Fourier transformation and analytic functionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.

33. Roever J.W. de. Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V.9, № 6. P. 996−1019.

34. Taylor B.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24, N°- 1. P.39−51.