В последние годы в России принят ряд директивных документов, которые значительно ужесточают нормативные требования к теплопотерям в зданиях различного назначения как вновь проектируемых и строящихся, так и реконструируемых.
Для создания более совершенных строительных конструкций с повышенными теплозащитными свойствами необходимо всестороннее изучение механизма теплопереноса в многослойных стенах зданий и сооружений при переменной во времени температуре наружного воздуха. В большинстве инженерных расчетов процессов теплообмена в составных конструкциях тепловой контакт в месте соприкосновения / - го и (/ +1) — го слоев принимается идеальным (равенство температур и тепловых потоков). На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно широкого класса задач моделирования физических процессов в неоднородных структурах. Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов.
Кроме того, создание новейших нанотехнологий в области экологического очищения и разделения жидкости и газа, создание экологически чистых веществ и продуктов ставит целый ряд задач исследования механизмов кинетики неизотермического массопереноса в адсорбционных средах нанопористой структуры, требует развития новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в однородных и неоднородных пористых средах.
Таким образом, задачи математического моделирования процессов массои теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес.
Рассмотрим изотропную упругую неограниченную трехслойную пластинку /2 = {х| х е (- оо, 0) и (0,/)и (/,+оо)}, через боковые поверхности г = ±-д которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт. Требуется по известному закону распределения температурного поля в трехслойном неограниченном стержне в момент / = определить распределение температуры в начальный момент времени. Моделирование процесса теплопереноса в рассматриваемой среде приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки вида и,.{Р, х) = ^-" л<�р1 (х, Л) е-^0[)<�р](#, Х)/, ш + -СО -<ю.
I +00 N.
О / у относительно /)•(?), у = 1,2,3.
Ранее рассматривались задачи пересчета гравитационного поля в однородном слое осадочных пород (Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П.). Моделирование процесса пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли, также приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки.
Возникает вопрос о численном решении подобных задач. В нашей работе метод итерации и метод регуляризации применены для разработки численных алгоритмов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в задачах интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах. С целью применения указанных численных методов в работе развит метод операторов преобразования для решения прямых и обратных задач математической физики неоднородных структур.
Актуальность метода операторов преобразования в том, что он позволяет упростить вычислительные схемы при применении методов итерации и регуляризации для решения задач кусочно-однородных сред. С помощью операторного метода задачу для неоднородной среды можно свести к задаче для однородной области. Операторный подход дает возможность получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: последовательные приближения с помощью отражения от экранов. Аналитическая форма получаемого таким методом решения удобна для изучения его асимптотических свойств.
Цель работы: разработать алгоритмы численного решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки теории интерпретации результатов косвенных наблюдений, представляющих обобщение уравнений в свертках. Построить операторы преобразования, позволяющие по известным решениям классических модельных задач математической физики получить решения краевых задач в кусочно-однородных пространстве и полупространстве.
По мнению автора, новыми являются следующие результаты:
— построены операторы преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах: прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля;
— найдены граничные операторы преобразования, позволяющие по ди известному граничному условию ки + дх /(у), Л<0, найти значение х=0 функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе (например, температуру);
— получены новые выражения для интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжениядля двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряженияпостроены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки;
— на основе методов итераций и регуляризации и метода операторов преобразования разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений для кусочно-однородных сред, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;
— программно реализованы схемы численного решения следующих задач: а) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном бесконечном стержнеб) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойной бесконечной пластинев) векторной кусочно-однородной обратной задачи теплопроводностиг) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в трехслойном бесконечном стержнед) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном ограниченном стержнее) задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.
Дадим характеристику основных результатов диссертационной работы, состоящей из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Главы 1 — 3 посвящены теории операторов преобразования, в главе 4 разработаны схемы численного решения обратных задач теплопроводности в неоднородных средах.
В главе 1 рассмотрена задача пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли. Моделирование данного процесса приводит к следующей математической постановке.
Пусть функция и (х, у) = в (- х) щ (х, у)+в (х)и2 (х, у) — ограниченная в области = х е (-со, 0) и (0,+оо), у € (0,+оо)}, где в (х) — единичная функция.
Хевисайда.
Пусть в слое у>к, у — глубина под поверхностью Земли, расположены источники аномального гравитационного поля, а при 0<�у<�И их нет. х — горизонтальная координата. и{х, у) — вертикальная компонента напряженности гравитационного поля, порожденного этими источниками. Тогда функция и (х, у) — решение уравнения Лапласа д2и, д2и,.
1 + —? = о / = 1? Эх2 Зу2 ' - ' ' регулярное в полуплоскости у < к. При этом на прямой х = 0 выполняются идеальные условия сопряжения щ (0,у) = и2(0,у), к^(0,у) = ^(0,у), к> 0. ох ох.
На поверхности Земли {у = 0) величина и (х, 0) = ?(:*:), = может быть измерена гравиметром. Требуется найти значения функции и](х, к) = / = 1,2. Решение поставленной задачи приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки.
21 М = л.
10 кх-^У+к1 к +1 (х + %)2+к х<0, 7.
82 М = к ж.
2к °г к + 1(х-^У+к1 1 к — I 1 х> 0.
С целью подготовить поставленную задачу к численному решению итерационным методом и методом регуляризации построена теория операторов преобразования для решения смешанных краевых задач для уравнения эллиптического типа в кусочно-однородных средах.
В качестве модельной задачи рассмотрена первая краевая задача для уравнения Лапласа: найти решение дифференциального уравнения д2й д2й 0 ас2 ду2 в полуплоскости О — е (0-+оо)-у е (- оо,+оо)| по граничным условиям и (М=/М Ии=0.
Оператором преобразования будем называть правило, которое ставит в соответствие функции и = й (х, у) из однородной области В определенную функцию и = и (х, у) из кусочно-однородной области ?)*. Область ?)* будет уточнена для каждой задачи.
В работе построены операторы преобразования для следующих краевых задач:
1) Общая краевая задача для уравнения Лапласа.
Найти решение уравнения Лапласа = 0 в области ?> по граничному условию где Г — действительный перестановочный с оператором — граничный к линейный оператор.
Рассмотрены частные случаи поставленной задачи: а) Третья краевая задача для уравнения Лапласа с граничным оператором.
Г = к +—, Н<0. (к.
Оператор преобразования по переменной х Рх: й{х, у) -" и (х, у).
00 имеет вид и (х, у) = Рх [й](д, у) = - екЕ й{х + ?, у) йе. о.
Кроме того, был получен оператор преобразования по переменной у.
00 и (х, у) = Ру[йх, у) = ?У (т1)й (х, у-?1)с1т],.
— 00 где л/2 ж.
У ел-, где С ¡-(у) = -1-ёа, 57(у) = |-с1а. у, а о ос б) Задача со спектральным параметром для уравнения Лапласа с граничным 2 оператором вида Г = к + — + /г, —-, где коэффициенты к < 0, к > 0. с1х (к.
Для этой задачи получен оператор преобразования.
00 еРг£ еРе и (х, у) = /ВДх, у) = ?-Т-—-т й (х + ?, у^е, -J-4kk «1 + л/1−4 кк где -$ 2 = ' •.
2 кх 2 кх в) Задача Дирихле со сдвигом для уравнения Лапласа с граничным оператором вида Г = Е + кТ1, 0 < к < 1, где Е — тождественный оператор, Т1 -оператор сдвига 7} и (х, у) ] = и{х + /, у).
Получен оператор преобразования, решающий поставленную задачу и (х, у) = р[йх, >>)=!(-1)" ккй (х + 1к, у).
4=0.
2) Первая краевая задача для уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости: найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочнооднородной полуплоскости Д+, удовлетворяющее граничному условию и (0,.у) = м (0,>>) ды Зы и условиям сопряжения и (/, у) = и+ дх дх.
Оператор преобразования по переменной х приведен вышеоператор преобразования по переменной у имеет вид й (х, у-7])——й (21-х, у-т])ш, 1 + к I.
0 < х < /,.
2* АП-*у-г 41- ^ ь.
21 Г" Г 1, 2,2. «2 *Фиу-щЛц, х>1.
1 + к^\ + к) 4/2/2 + 7]г.
Решены следующие задачи с неоднородными условиями сопряжения. 3) Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости удовлетворяющее граничному условию и (0,у)=0 и условиям сопряжения и (1,у)-и+(1,у)=й (0,у), к>0, кФ. дх ох.
Оператор преобразования, решающий задачу, имеет вид й (х-1 + 2у, у)~ и (х, у) = Ь[йх, у) =.
1 ч х 1 *(-к У к.
1-кн.
VI + к;
-—— м (/ — х + 2//, у) 1 + к v ' 0 < х < /, к. + к й (х-1,у)~.
2к д, й (х-1 + 2У, у), х>1.
4) Найти ограниченное решение уравнение Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости ?>!+, удовлетворяющее граничному условию м (0,у) = 0 и условиям сопряжения и{1,у) = и+(1,у), к>0, к* 1. дх ох ох.
Получен оператор преобразования 1 и (х, у) = Цих, у) =.
1 + к г V и{21-х, у)±—.
1 -км.
1 + к.
1 — к и (х + 2у, у)—и (21-х + 21/, у), 0<х<1,.
1 + к.
1 «й (х, у)+.
2к.
1 + к) й (х + 2Ц, у), х>1.
1 + к" у'" 1 -к2р1, 5) Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в полуплоскости ?>,+, удовлетворяющее граничному условию и (0,у)+аи (1,у) = и (0,у), 0<а<, и условиям сопряжения.
Ьи (1,у) = и+(1,у), дх дх дх где Ь, с, с1> О, причем с + ас/< тт (д, Л + ас).
Получен оператор преобразования, позволяющий решить задачу:
Я:и (х, у)->и (х, у). и (х, у)= + ] +)(2(с + ас1) ХХ (Ь-(1-ас у=о Л у! сй (х + /(/ + 1)+2/у, д/)+.
Ь + а+ас) Ь + а + ас- + (Ь +й (х + Н + 21}, у)+сй (1-х + И + 21% у)+ (с1-Ь)й (21 -х + Н + 21}, у)), 0<х<1, + -Ч1)!Г 2(с + аЛ) Ч+[(Ь-с1-ас у=о Л у!
Ь + с1 + ас;
Ь + с1 +ас.
Ьсй (х + /(/ +1)+2 /-', .у)+ 2Ъс1 й (х + Н + 21%у)-Ьсй (х-1 + И + 21],.у)), х>1.
6) Решена обобщенная задача Дирихле для кусочно-однородной полуплоскости.
Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости ?),+, удовлетворяющее граничному условию и (0,у)+ки (11,у) = й (0,у), и условиям сопряжения и (1,у)=и+(1,у к>О, дх дх где О < к < гшп г п Рассмотрены два случая, когда 0 </| </ и /?>/. ч к).
Для случая 0 < /| < / оператор преобразования К: й (х, у)->и (х, у) имеет вид и (х, у) =.
I УГ^У. ш=0 fif. pl Х л + к){ + к).
1 — к й (х + /,/ + 21} + (21 -1х)р, у)—и (21 -х + 1]г + 2 у + (21 — /,)р, у).
1 + к.
0<х <1,.
2к — (? + ] + р + 2), 1 + *и!н> И р \ + к){ + к,.
•?(* + /,/+ 2//+ (2/у), х>1.
Если /] >/, то и (х, у) = я[й] = + ./ + 1)!(1-*ЛУ 2кк у=о /.'у! у.
1 +.
1-А: 1 +? й (х + 2И + 1^у)~ й (21 -х + 2Н + 1}], у) 0 <х<1,.
1 + 4,>о ЛУ! и +Л 1 + к).
Получены операторы преобразований для частных случаев: =/ и 1=21, где х = I — линия сопряжения.
7) Решена общая краевая задача сопряжения для уравнения эллиптического типа.
Требовалось определить конструкцию ограниченного на кусочно-однородной полуплоскости д- = х е1+п-уе (- оо,+оо)}, где /я+ = у=о нетривиального решения сепаратной системы дифференциальных уравнений д2и: ¦уд2и1, -^-6,4=0, У = 1,.," + 1, по краевым условиям х=<�ю.
00, и условиям контакта в точках сопряжения интервалов.
Г12[" у ] = Г22[" у+11 Х = 7=1,.,", где Г°, Т/к, 1, к -1,2, у = 1,.,", — действительные перестановочные с Л оператором — линеиные операторы. с1х.
Оператор преобразования, связывающий поставленную задачу с модельной, получен в виде:
2 00 (!" > ^ Иу (х, у) = — 3 т (х, XI /81п Ц у№ Щ,) -1,., п +1, л о чо) где символ Зт обозначает мнимую часть комплексного числа, Vу (х, А) спектральная функция задачи Штурма — Лиувилля о конструкции ограниченного на кусочно-однородной полупрямой I* нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с12у х, Л)+{а]Л2 +Ь2]{х, Л) = О, хеГп,] = ,., п +, ах по краевым условиям.
1 '1Л=/0 1 й+11*=СО и условиям контакта в точках сопряжения интервалов.
Ру ] = Г22 [^-И1 Х = 1,' / = «, с1 где Г°, Г^ - перестановочные с оператором — граничные линейные сЬс операторы, для которых выполняется го ?/ = гр ск с! х т^/ <1 <* •, 1 Л -1.
47 = 74, /Д = 1,2- 7 = 1,.,", ах ах при условиях неограниченной разрешимости задачи [32].
Построены операторы преобразования для следующих задач на кусочно-однородной плоскости:
8) Уравнения Лапласа на плоскости с одной линией сопряжения.
Найти решение дифференциального уравнения Ам (дг, 1у) = 0 в области.
А = е (- оо-0)и (0-+со)-у е (- оо,+оо)}, удовлетворяющее условиям сопряжения иЛо, у)-«Ао, у)=М дх дх.
Оператор преобразования и (х, у) = П[йх, у) =.
— й (-х, у), жО, к +1 к й (х, у), х>0, к +1 решает поставленную задачу.
9) Уравнения Лапласа на плоскости с двумя линиями сопряжения. Требуется найти решение уравнения Лапласа в области.
А = К*"^ * е и (0-/)и (/-+оо)-у е (-оо,+оо)}, удовлетворяющее условиям сопряжения к^{0,у) = ^(0,у), кх > О, ох ох и{1,у) = и+(1,у), к2^(1,у) = ^(1,у), к2> 0. дх дх.
Получен оператор преобразования П: и (х, у)-+ и (х, у). и (х, у) = гг2(-«У л, Ул 1 У/.
1 + к{ у=о.
1 -кх 1 +.
1 -к? Ч1 + ки.
— к. й (- х + 21), .у)+— й (21 -х + 2 I], у) К.
1 + у'=0.
— 1 Г 1 — А, У (-к.
1 +.
1 + *.
1 -к х<0, й (х + 2Ц, у)—- й (21 — х + 2Ц, у).
1 + к п2.
1НУ.
1-к^ й (х + 2 Ц, у),.
0 <х<1, х>1.
В выражениях операторов преобразования по переменной х, полученных в работе, слагаемые рядов быстро убывают. Вид решения позволяет изучать асимптотические свойства по х на бесконечности и в любой фиксированной точке х.
Операторы преобразования по у позволяют изучить решение при фиксированном значении х.
В качестве примера применения метода операторов преобразования рассмотрена смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в правой полуплоскости с линией сопряжения {(*> у)| * € (0,/)и (/,+оо), з/ е (- оо,+оо)} удовлетворяющего граничным условиям: и (0,у) = е~ау (а > 0) при >> >0,.
-{0,у) = СеЬу (Ь>0) при >> < 0, дх.
ПРИ л: —> оо, и условиям сопряжения и (1,у) = и+(1,у), = к> О, ох ох где и (1,у), и+ (/, у), —-(/, у), —~{1,у) — предельные значения функции дх дх и = и (х, у) и ее производных при х = 1 слева и справа соответственно. В работе теоретически обоснованы свойства операторов преобразования. Определение 1. Определим пространство Щ2 (п) как замыкание множества.
С2 (О) по норме =.
Ф>у)|2+К|2 +.
2 I № |2 «у +К + и.
УУ dydx.
Определение 2. Определим пространство ^Г22(/)я+) как замыкание множества.
Ф:).
II ||(2) по норме ЦиЦ*.
Л*.
Шх, у]2+и'х2 + и.
К + и.
УУ dydx.
Теорема 1. Операторы преобразования осуществляют непрерывное отображение пространства Ж? (О) в пространство № 2[р+п.
Вид, в котором получены точные формулы для решения прямых краевых и смешанных краевых задач, удобен для разработки вычислительных схем.
Для обратных краевых задач разработан алгоритм численного решения, основанный на применении метода операторов преобразования, методов итераций и регуляризации.
В главе 2 рассмотрено моделирование процесса теплопереноса в изотропной упругой неограниченной трехслойной пластинке (задача 1).
2 = {х| х е (-со, 0) и (0,/)и (/,+оо)}, через боковые поверхности z = ±S которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт. Математическая постановка данной модели приводит к сепаратной системе уравнений теплопроводности d2u? где функция u (t, x) = x) ux (t, x)+в (х)в (1 -x)u2(t, x)+e (x)u2(t, x) ограниченная в области Q2 = {(/, х)| t е (0,+сс)-х е /2), в (х) — единичная функция Хевисайда, с идеальными условиями сопряжения.
IM) = u2(i, 0), 0) = %(i, 0), кх > 0, ох дх u2(t, l) = u3(t, l), k2—±(t, l) = -2-(t, l), к2>0, дх дх начальными условиями «Д0,х) = fj (x), j = 1,2,3, х е/2, где aj г ai коэффициент температуропроводности, %) — — > &? — коэффициент.
Я jo теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки (z = ±S), Я. — коэффициент теплопроводности изотропного тела. Если поверхности z = ±8 пластинки теплоизолированы, то = 0.
Рассмотрим задачу: найти закон распределения температуры f (x) = в{- х) /? (х) + в{х)в{1 — x) f2 (х)+в (х) /3 (х) в начальный момент по известному закону распределения температуры «(/?, х) в момент времени t = /3.
Поставленная задача приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки.
Для получения численного решения поставленной задачи итерационным методом и методом регуляризации, построена теория операторов преобразования. В этой главе построены операторы преобразования для решения смешанных краевых задач для уравнений теплопроводности и уравнений колебаний в кусочно-однородных средах. В первом случае в качестве модельной задачи выбрана первая краевая задача для уравнения теплопроводности — = в области О = е (0-+оо), х е (0-+оо)} по дх граничным условиям u (t, 0)=f{t), |й| ^ =0, и по начальному условию и (0,*) = 0.
Все операторы преобразования по переменной х, приведенные в главе 1, позволяют также решать краевые задачи с соответствующими граничными ди д2и условиями для уравнения теплопроводности — = —в кусочно-однородных dt дх средах.
Кроме этого, получены операторы преобразования по переменной t, решающие следующие задачи.
1) Третья краевая задача для уравнения теплопроводности в области Q по граничному условию hu (t, 0)+—(t, 0) = f (t), h< 0, и по начальному условию дх ы{0,*) = 0.
Получен оператор преобразования u (t, x) = Lt[ut, x) = - -jL= + eh2ThErfc (-h4r^u (t-T, x) dT,.
2 °°r ^ где Erfc (u) = —j= е v dv. Vtf «.
2) Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в кусочно-однородной области Qf = {(i, x)(rG (0-+oo), jce (0-/)u (/-+co)} по граничному условию u{t, О) = ü-(í-, О) и условиям сопряжения u (t, l) = u+(t, l), кд-^(!, 1)=Ы, 1 к>0. дх ох.
Оператор преобразования по переменной jc определен в главе 1, а оператор по переменной t П (: u (t, х) -" u{t, х). имеет вид u (t, x) =.
— 1 -kY' И -—(1 -к ГТ ~Гше 7 Щ-т, х) — — u (t-T, 2l-x) dx, 0.
2к ~ f 1 —>tY 'f lj х, rl :—г u (t-Ttx)dv, х>1 l + kj=ol + k) оутгт '.
Иг ли.
Выражения для операторов преобразования по переменной / содержат конечные суммы и собственные интегралы. Решения получены в виде, позволяющем изучить изменение величины во времени при фиксированном значении х.
Возвращаясь к ретроспективной задаче теплопереноса для трехслойной неограниченной пластинки, отметим, что с помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа сверткиоо vоо оо dX, о / относительно / = 1,2,3. Выражения для функций (р^, ср* получены в работе. Схема численное решение полученной системы рассматривается в главе 4.
Для случая уравнения колебаний в качестве модельной задачи рассмотрена «д2й д2й — «первая краевая задача для уравнения колебании —- = —гв области ?2 по дг дх граничным условиям = /(?), й =0, и по начальным условиям и (0,х) = 0, ^(0,х) = 0.
Все операторы преобразования по переменной х, приведенные в главе 1, позволяют также решать краевые задачи с соответствующими граничными условиями для уравнения колебаний д2и д2и в кусочно-однородных средах.
Кроме этого, получены операторы преобразования по переменной решающие следующие задачи.
1) Третья краевая задача для уравнения колебаний = в области О дх по граничному условию дх и по начальным условиям м (0,*) = 0, —(0,-с)=0. Зг.
Оператор преобразования по переменной х определен в главе 1, оператор преобразования по переменной t задан равенством и^, х) = Ц[й]^, х) = -еНг й^-т, х) с!т. о.
2) Первая краевая задача для уравнения колебаний в кусочно-однородной области П}" = б (0-+оо), д: е (0-/)и (/-+оо)} по граничному условию = м (?, 0) и условиям сопряжения = и+ (?,/), А: —(г,/) = —-^, 1), А: > 0. дх дх.
Оператор преобразования по переменной х получен в главе 1, оператор преобразования по переменной / имеет вид ^ ^ и^-21-', х)~-—- й^-2^, 21-х), 0<х<1,.
1 + к) 1.
2к.
1 + А: Д1 + к где суммирование по всем целым у = О,., Г.
3) Третья краевая задача для уравнения колебаний в области О^ по граничному условию ди ох условиям сопряжения.
П (и1)=Ы+(и1 = ?>0, йх ох: и по начальным условиям и (0,*) = 0, ^(0,х) = 0.
Получены оператор преобразования по переменной х.
Пх: и (/,*)-" д:). и.
М =.
00 / ч ¦ /1 -?У+С0.
К-«Пттт о и + к).
00 /.
— 2/1£>)еАе, X + Е + 2Ц).
2к Д/.
1 + к 1 г &.
К-1 г.
Ч1 + *,.
— 2ке) е1>е ы (/, х + е + 216, х>1, где Ь:(х) = —ех—г{х]е~х) — полиномы Чебышева — Лагерра [15], и оператор у! (Ь} преобразования по переменной I.
П, м (/, х) =.
1-^У '-2/> .1 + к? у (-2/гг)еАг й (^-г-2/у, х).
— к 1 + к й^-т-2Ц, 21-х) с1т, 0<х<1,.
1 + л) 1.
— к V '~2/у о где суммирование по всем целым у = 0,.,.
2/.
4) Получен оператор преобразования по переменной /.
П, :м (/, л:)-" и (/, х) для задачи нахождения решения уравнения колебаний на прямой с двумя точками сопряжения.
П2 = 6 (0-+оо), х е (-оо-0)и (0-/)и (/-+оо)} по условиям сопряжения кх>О, ах: ох и (М)=(г,/), > о, ох ох который имеет вид и (/, х) =.
1 + к. ,.
1ИУ л 7 Ул / УУ 1.
1-*.
— 2!/,-х)+—±- - 21], 21 — х) ,.
2 — х<0,.
1 + *, У к'.
К-1У М.
Л I. УЛ УУ.
1 — Лг, у1 + ки.
12 к-г.
Л /, УУ.
1—&.
— 2/-, х)—1 к (/ - 2/у, 21 — х).
1 + к, 1 V й (/-2/у', х),.
О < х < /, х>/, где суммирование по всем целым у = 0,.,.
В главе 3 построены граничные операторы преобразования, позволяющие ди по известному граничному условию пи + — дх /{у И < 0, найти значение х=0 функции и на границе области при х = 0. Применяя полученные операторы, можно восстановить характеристики материала (например, температуру) на границе, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой. Подобные задачи решены для моделей стационарных и нестационарных температурных полей, для модели волнового поля в однородной и кусочно-однородной полуплоскости.
1) Уравнение Лапласа на однородной полуплоскости.
Пусть функция и = и (х, у) — гармоническая в однородной полуплоскости.
И = е (0,оо)-у е (- оо, оо)} и удовлетворяет граничному условию.
Ии{0,у)^{0,у) = /(у И<0, дх где / = /(у) — заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной оси функция. Требуется найти значение функции и = и (х, у) на границе области ?): и (0,у). Получен граничный оператор преобразования.
00 и (0,у) = фЬ)= РШЬ-Ж??, где.
У (г}) = [2соб (к?])а (-Ит]|)+ Бт (кг])(л: sign (r])+ 25г'(/1^))], л/2 ж а (у) = -1-йа, = I-йа [15]. у, а ¿-а.
2) Уравнение теплопроводности на однородной полупрямой. Пусть функция и = и^, х) — ограниченная в однородной области О = € (0,оо), х е (0, со)} и удовлетворяет уравнению теплопроводности ди д2и граничному условию.
Ц/, 0)+|Цг, 0) = /(>), /г < О, дх и начальному условию м (0, х) = 0.
Граничный оператор преобразования, позволяющий записать решение поставленной задачи, имеет вид:
3) Уравнение колебаний на однородной полупрямой.
Пусть функция и = и (г, х) — ограниченная в однородной области О = е (0,со), хе (0,оо)| и удовлетворяет уравнению колебаний.
14 А д и д и граничному условию йс и начальным условиям и (0, х) = 0, ~ (0, х) = 0.
Требуется найти значение функции и = на границе области О: и (/, 0). Получен граничный оператор преобразования в виде: о.
4) Уравнение Лапласа на кусочно-однородной полуплоскости.
Пусть функция и (х, у)=^в (х~ 1ИМО ~х)и](*>у)+~КК+1 (Х>>0 И ограниченная на кусочно-однородной полуплоскости К = {(^ °о,+оо)}, где =|х|х€и (/7,/.+1)-/0>0,/я+1 =оо,/у+1 -/. < /у+2 — /7+1, У = о,., и -11, и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений д2и, д2и,.
Г + —г = 0> У = 1. я + 1, ах2 V краевому условию.
Ищ (0,у)^(0,у) = /(у), ?<0, дх и условиям контакта в точках сопряжения интервалов где / = /(у) — заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной оси функция. Требуется найти значение функции и = и (х, у) на границе области ?>*: и (0,у) = и{(0,у).
Получен граничный оператор преобразования, позволяющий по известной функции / = /(у) найти значение функции и = и (х, у) на границе области: и (0,у)=Ь"[/Ь)=4=17/(у-п?кц / Гл^/, <*1> где йГ,(0,|Л|)+Г/,(0,|Л|)*0, ^(о,^), ?{х (о, Щ) — значения собственной функции задачи Штурма — Лиувилля на границе х = 0.
5) Уравнение теплопроводности на кусочно-однородной полуоси.
Пусть функция ~ Х) и] ~ К) ип+1 (*> *) н ограниченная в кусочно-однородной области 0.+п = {(/,*)(Г е (0,+со), х е I*} и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений ди, — д2и, краевому условию кщ (и0)+^, 0) = /(г), ?<0, дх условиям контакта в точках сопряжения интервалов и начальному условию и.(0,х) = 0, где / = /(?) — заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной полуоси функция. Требуется найти значение функции и = и^, х) на границе области С1+п: м (/, 0) = и, (/, 0). Получен оператор преобразования, позволяющий найти решение задачи: о где ф (г) = —ТЯе р > а > О, у{(4р, о). при условии, что —/ л— Ч —V , — является функциеи-оригиналом.
6) Уравнение колебаний на кусочно-однородной полупрямой.
Пусть функция х)=? #(х —)#(/. — х) му. х)+в (х — 1п) ип+] (г, х).
7=1 ограниченная в кусочно-однородной области = х)| ^ е (0,+оо), х € } и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений.
О О д и- 3 и, дГ дх2 краевому условию ох условиям контакта в точках сопряжения интервалов.
ГпкЬГикЛ ri2k]=ri["y+ll X = lj> J = l>->n> и начальным условиям иу (0,*) = 0, dt где / = f{t) — заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной полуоси функция. Требуется найти значение функции и = u (t, х) на границе области Q*: u (t, О) = щ (i, 0). Получен граничный оператор преобразования в виде: Lh [/КО =)f (t ~ т) Ф (т)&, о где ф (г) = —Те'г /][Р'° чф, Re /? > а > О,, при условии, что-т———г является функциеи-оригиналом.
В качестве примера рассмотрена задача о распространении колебаний на кусочно-однородной полупрямой: найти решение дифференциального уравнения —- = —i на граниЦе области Q, х = 0 по граничному условию dt дх hu (t, 0)+^{t, 0) = f (t), h< 0, ахусловиям сопряжения u (t, l) = u+(i, l), k—=-(t, l) = —±-(t, l), к>0, дх дх и по начальным условиям и (0, х) = 0, — (0, х) = 0. dt.
Решение поставленной задачи имеет вид: о и+*У о.
— I (-«Пгтт /"-«¦ -а (/+1)>1г. у=0 1 г ^.
1 и / где I. (х) = — —г (д^е-* ] - полиномы Чебышева — Лагерра. у! ¿-¿-с7.
Полученные граничные операторы применяются и к решению обратных задач. Рассмотрим задачу о структуре стационарного температурного поля в полуограниченной двухслойной пластине ?>,+. Требуется на границе х = 0 по известному значению температуры и{$, у) пластины найти температурное поле окружающей среды /ш, (0, у)+—- (0, у) = /(у), И <0, при условии идеального дх теплового контакта на линии сопряжения слоев х = I.
Применяя граничные операторы преобразования, полученные в работе, приходим к интегральному уравнению I рода.
0,у) = 7/(У" л) еап, , дМйц, щ где + -—-е численное решение которого может быть получено методами итераций и регуляризации.
В главе 4 рассматривается применение операторов преобразования к решению ретроспективных задач теплопроводности. На основе метода операторов преобразования, итерационного метода и метода регуляризации разработаны алгоритмы численного решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений I рода, к которым приводят задачи интерпретации результатов косвенных наблюдений.
Рассмотрим уравнение вида.
4=]*(*-(1) у ¿-я.
Применив к нему преобразование Фурье, имеем К (Л)/(Л) = и (Л). Введем кА сетку узлов Лк = -Л + —, к = 0,1,., 2Ы, где, А — достаточно большое число. Пусть К (Лк) * 0, А: = 0,1,., 2 ЛГ. Рассмотрим итерационный процесс.
Л+, (Л)=Ш)~ п (к (лк)1 (Л) — и (лк)), к = 0,1,.," = 0,1,., где % подбирается из требования, чтобы дк=\-укК (Лк]<~, к-0,1,., При налагаемых на функцию условиях это всегда возможно.
Видно, что при каждом к (к = 0,., 2М) итерации сходятся со скоростью.
Ад^. Затем по квадратурным формулам преобразования Фурье находим функцию /(*). Обоснование итерационного процесса и исследование погрешности реализации этой вычислительной схемы приведено в работах И. В. Бойкова [10].
Приближенное решение уравнения (1) методом регуляризации изучено в работах А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [48].
Если уклонение правой части уравнения (1) оценивать в метрике Ь2(- оо, оо), а уклонение решения /(х) — в метрике С, и полагать, что /(Л)е ?,(-оо, оо), то справедлива.
Теорема 2. Если функция г (Л, а) является стабилизирующим множителем, то определенный с ее помощью оператор 11(и, а)=—?= | /, и (Л)е1Ах с1Л л/2л'00 КЛ) является регуляризирующим оператором для уравнения (1).
Таким образом, функция /(х) = Я (и, а) является регуляризованным решением уравнения (1).
Указанные методы решения уравнения в свертке (1) распространены на случай сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки. Разработанные схемы численного решения применены к решению ретроспективных задач теплопереноса и задачи пересчета потенциального поля. Были найдены новые выражения для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье на действительной оси с одной и двумя точками сопряжения, для двумерных прямого и обратного преобразований Фурье на плоскости с одной линией сопряжения.
Покажем схему численного решения на примере ретроспективной задачи теплопереноса в трехслойной неограниченной пластинке (задача 1). С помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа свертки 1 I 2 2 { 0 -оо —оо оо Л.
Щ^АШ)^ ¿-а, о I).
3) относительно /Д^), у = 1,2,3.
Схема численного решения:
1) Действуем на систему (3) интегральным преобразованием Фурье на оси с двумя точками сопряжения I.
42Ж +00 о /.
В образах Фурье получим и (РЛ) = е-^7{1). (4).
2) Итерационный метод. Так как К (Л) = е~^л +сто К (Я)-> 0 при Д -> ±-оо и К (Л)^ О при конечных значениях Я. Значит, к уравнению (4) применимы последовательные приближения (2). Находим приближенное решение.
7(я).
Метод регуляризации. Для рассматриваемой задачи выбран стабилизирующий множитель г (Я, а) =.
1, ю4 (<х = к О, |Д|>— где к — величина шага сетки, на которой ищется решение системы (3). Образ Фурье регуляризованного решения имеет вид.
3) Действуем обратным преобразованием Фурье.
Г 1 1 +<ю.
Л (х) = ^ 1Л*) =-ПГ ?9"(*" Я)/М<�И> * < О' г -1 } г (х) = Ру1х) = -к= (рг{хЛ)1(Л)<1Л, 0 <х<1,.
СО +00 зМ = [/](*) = -/== (ръ (х, Л)/{Л)(1Л, х>1.
Интегралы в преобразованиях Фурье аппроксимированы по формуле прямоугольников. Получено приближенное решение поставленной задачи 1.
Подобные схемы разработаны для следующих математических моделей.
1) Ретроспективная задача теплопереноса в двухслойном неограниченном стержне и в двухслойной неограниченной пластине.
2) Векторная кусочно-однородная обратная задача теплопроводности.
3) Ретроспективная задача о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном ограниченном стержне.
4) Задача пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.
Все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, написаны в программной среде BORLAND DELPHI 7.
Различные результаты и разделы диссертации докладывались на Международной конференции по геометрии и анализу (г. Пенза, 2003 г.), на Международных научных конференциях молодых ученых «Ломоносов» в МГУ (г. Москва, 2002, 2005 гг.), на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 2003, 2004, 2006 гг.), на XIV Санкт-Петербургской конференции по математическому анализу (Международный математический институт имени Эйлера, г. Санкт-Петербург, 2005 г.), на VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 2006 г.), на семинарах кафедры математического анализа Пензенского государственного педагогического университета, кафедры высшей и прикладной математики Пензенского государственного университета, на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики МГУ им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (г. Саранск, 2006, 2007 гг.).
Основные результаты диссертации изложены в работах [50] - [72].
На защиту выносятся следующие положения:
1) предложен метод операторов преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах: прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля;
2) предложен метод граничных операторов преобразования, позволяющие по ди известному граничному условию пил- — дх.
— f{y h<0, найти значение о функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе;
3) с целью применения метода регуляризации А. Н. Тихонова и метода итераций И. В. Бойкова к численному решению сепаратных систем интегральных уравнений, возникающих при решении обратных задач кусочно-однородных сред, разработан метод интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения, двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряженияустановлена связь предложенного метода с методом операторов преобразованияпостроены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки;
4) разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений для кусочно-однородных сред, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;
5) программно реализованы схемы численного решения ретроспективных задач о структуре нестационарного температурного поля в различных кусочно-однородных средах и задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.
Заключение
.
Задачи математического моделирования процессов массои теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес. На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно широкого класса задач моделирования физических процессов в неоднородных структурах. Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в слоистых средах.
Ряд вопросов математического моделирования процессов теплопереноса и моделирования потенциальных полей представляют неисследованные проблемы, особенно — численное решение обратных задач в многослойных средах. В работе рассмотрены математические модели нестационарного теплопереноса, модели распределения стационарного температурного поля и волн в неограниченных и полуограниченных неоднородных средах. Построена модель потенциального поля в многослойной области. Впервые получены аналитические решения таких моделей в виде, связывающем решение задач для неоднородных сред с решением соответствующих задач для однородных структур. Разработаны, обоснованы и программно реализованы алгоритмы численного решения сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в обратных ретроспективных задачах теплопереноса и в задаче пересчета гравитационного поля в неоднородных структурах.
Основным математическим аппаратом в работе является метод операторов преобразования, который может быть применен не только в случае двухили трехслойных сред, но и в общем случаене только в случае условий идеального контакта, но и в случае условий сопряжения общего вида. В этом заключается особенность и эффективность результатов, полученных для исследования широкого класса реальных процессов, протекающих в кусочно-однородных средах. Результаты, полученные в работе, позволяют реализовать эффективные процедуры проверки на адекватность параметров моделирования и физического эксперимента, что является перспективным направлением исследований.
