В данной работе рассматривается метод канонической матрицы в применении к теории модельных кинетических уравнений, возшжашщих при рассмотрении пржжщньк задач кинетической теории газа и плазмы, теории аэрозолей, экологии, а также авиационной и космической промышленности.
При решении граничных задач, вознишюнщх в этих областях, возникает необходимость построения решений векторных краевых задач йтмашЛшиьберта. Теория таких задач в свое время развившись НИ Мусхешштюи, Ф. Д Гаховым, ИН и НГХ Векуа^ ВС. Вщдимнровым, тем не менее достаточно удовлетворительной методами создано ihk и не бьшо. Таким образом, решение целого класса физических задач сводится к разрешению чисто математической проблемы В предлагаемом исследовании рассматривается методика решения именно таких векторных краевых задачполученные результаты применяются к граничным задачам теории кинетических уравнений.
Интеф (эдафффенциальное уравнение, описывающее поведение разреженного газа (так называемое уравнение Болыцмана), ошсхжшльно функции распределения f (x,$, t) молекул разреженного газа по координатам х и скоростям? в момент времени t dffdt + § -д/ fdx+ Xdfid% = Q (f, f), (0.1) где у (/. /) — бишпгейъъш оператор, называемый оператором столкновений, ахдействующая на молеюшы внешняя сила отнесенная к единице массы, было введено Людвигом 1юлшмаж>м в 1872 г. [4, КХ 51]. Так как уравнение Больцмана содержит щсшые произведшее функции / по координатам и времени, то для его решения: следует задать начальные и краевые условна, что означает постановку для уравнения (0.1) нанажно-краевой (смешанной) задачи.
Одна из основных арудносгей, возникающих при решшж уравнения Больцмана, обусловлена сложной структурой интеграла столшовений (см., напримф, [3]). Поэтому дота него были предложежл другие, более простые выражения — так называемые модели интеграла стожновений (соответственно уравнение (0.1) с модельным интегралом столкновений называется модальным кинетическим уравнением) [23, 24, 25] Модель сохраняет основные свойства, интеграла столкновении, давая возможность облегчить исследование конкретных особенностей решения уравнения Больцмана. Наиболее известную из таких моделей ншывашг модель".) Кхатнагара, Гросса и Крука (НГК-модешью), хотя Вешавдер предаожил ее примерно в то же время [5, 53]. Основньм прешллществом нш использовании БПС-оператора является возможность сведения любой эдни к линшной системе интегральных уравнений.
Наминая с 60-х годов XX столетия к уравнению Бождаана с интегралом столкновений в форме НТК ннчали проявлять значительный интерес. Толчком для этого послужило развитие Кейзом техники синглшярньж. обобщенных ообегоенных функций [11, 30]:. предложенной им первоначально для применения в теории переноса нейтронов. Метод Кейза состоит в разложении решения по обобщенным собственным функциям и широком применении мощных методов теории функщш комплексного переменного. Используя этот метод, Чфчинъянн [32] построил в 1962 году анал итическое решение БПС-уравнения для частного ~ скалярного — случая. Г|>и этом центральным звеном пр^цложешюго подхода стало решение краевой задачи йшша-Гипьберга, опираовэщееся на теорию Мусэеалшнвили [23]. Однако механический перенос методов.
Черчиньяни на общий (векторный) случай — то есть случай именно системы интегральных уравнений — не представлялся возможным, посжольку на тот момент не существовало вполне удовлетворительной теории ранения векторной задачи ймшаьГильбертв с матричным коэффициентом, дивгонажотрующая матрица которого имела бы точки ветвления в комплексной плоскости (см. также работы И. Г1 Вежуа и Ф. Д. Гахова [б. 9]).
Следующие 20 жт ушли на попытки решить возникшую проблему. Цетрапьньм поняшем, вокруг которого предлагалось построить новую теорию, было понятие матрицы каношгсеошх решений юи просто кшонической матрицы [б, 21]. В работах [28, 44] Э. Бернисгон и Ч. Зиверт сфорл! улировшти и доказали несколько теорем об основных свойствах канонической матрицы (см, также [29]), после чего в [38] был предложен способ определения поведения канонической матрипььфш-ащии на бесконе’шосш. Только в 1980 г., основываясь на результатах [31, 38], 4. Зиверт и С. Келли сумели построить матрицу канонических решений для уравнения БГТС для случая одноатомного газа [45], а годом позже совместно с Р. Гарсии — и для уравнения переноса [46]. Еще через год Черчиньяни и Зивертом [33] был предложен орипшшшный алгоритм, уточнявший предьщущую теорию. Однако применить ее для решения конкретных задач в результате не удалось ни в указанных работах, ни позже в теории переноса [37, 54] или в задачах о распространении звука [48, 49]. Так или иначе решение сводшюсь к численному алгоритму, преддаженному Зивертом и Бернистоном в [43]. При этом вводится и существенно используется-матрица Чащгозеекара удовлетворяющаянелинейно^ векторному интегральному уравнению.
В работах [34, 35] аналогичная методика была применена к решению односкоросшого уравнения Больцмана с изотропным рассеянием нейтронов. Однако никаких формул для вычисления коэффициентов разложения решения также представлено не было. Решение доводилось только до системы итгегралшых уравнений Фредгольма.
Численные методы, используемые при решении граничных зала5! кинетической теории, подробнее описаны в [2, 23, 24]. Некоторые частью случаи уравнения рассмотрены в [39, 40].
Из других результатов в исслгдовашш векторных уравнений типа модельных кинетических или уравнений перекоса следует выделить прежде всего работу [52]. В ней Ван дер Ми рассматривает уравнения переноса поляризованного света с точки зрения теории полугрупп и функционального анализа Отметим также монографию [36], где при рассмотрении граничных задач кинетической теории и теории переноса используется подход, подобный [53]. В [36] отмечается недостаток метода Кейза, который заключается, кж утверждеют авторы, в трудности реиши векторной краевой задачи, которая возникает при этом. В нашей работе, в частности, методика решения подобных векторных краевых задач разрабатывается по возможности детально.
Во всех вышеперечисленных работах так и не удавалось получить эдаштических решений граничных задач ни для векторных кинетических уравнений, ни для уравнений переноса. Только в гюследнже годы методы Кейза, Черчиньяни, Бернисгона и Зиверш нашли свое развитие в работах отечественных ученых, А В Латышева и, А А Юшканова [13−19, 41 42]. В перечисленных статьях приведены аналитические решения ряда конкретны>: фшичеошх задач, в частности и задачи Смолуховсжого (иначе, задачи о температурном скачке) для случая одаоатомного газа При этом А, В. Латышев как использует собственный, конструктагоный, подход к построению канонической матрицы, так и пользуется результатам амфиканских математиков (шпример, [13, 18]), Латмиев развил метод фундаментальной матрицы для решения векторной краевой задачи Йжана^Потьберш, № метод кшгонической матрицы имеет некоторое преимущество перед методом фуидамштальной матрицы: каноническая матрица не имеет сишулярностей (особенностей) в конечной части комплексной плоскости. Мы устраняем их уже при построении матрицы, и в качестве условий разрешимости общее решение краевой задачи делаем регулярным лишь в бесконечно удаленной точке за счет выбора свободных параметров общего решения. Таким образом, в нашей работе делается попытка объединить методики А. В. Латышева и Зивфта-Бернисгона с целью обобщения и модификации их для случая целого семейства интародис}4'фенциальных уравнений. Решения граничных задач (в часшостк задачи €>жжуж>вскот [50]) для одно-, двухи пошатомного газа шш!1югся ж частные сш (шк ш доказанных в работе теорем.
РЬпомним что называется канонической матрицей (см, [65 21]). Для. этого дадим несколько определений.
Определение 1, (Однородная задача Римана-Гильберта), №йш кудачно-аншжшче<�жую вектор-функцию Ф (г) = (Ф,(г), Ф,(2)) с линией скачков Ь, имоощую конечный порядок на бесконечности, по гршичыому условию наХ: где <3(0 = ?С?аЖ (0| - мазртщ, заданная на Д, удовлетворяющая условию Гельдера и нигде на Ь не особенная, т. е. де о и) го всюду на!, Функция о щ называется коэффициентом (или матричным коэффициентом) задачи.
Определение 2, (Фундаментальная система решений). Пусть.
Ф'(г) = (Ф'(г), Ф^г)) И Ф2(г) = (Ф?(з), Ф^ (г)) — решения ОДНОрОДНОЙ задачи Рт"аш-ГЕШьберта Матрицу ф (г)=||ф?<�г)|| =.
Ф1(а) Ф?(г) Ф (г) ФЦя) столбцами которой служат векторы Ф1(з) и Ф2(г), являкшщесзг решениями однородной задани, бущм называть матрицей системы: решений.
Если определитель этой маярицы не равен тояздестшному нулю, то будем называть ее фундаментальной матрицей, а шстему ее решештйфундаментальной системой.
Определение 3. (Нормальная система решений). Нормальной системой решений однородной задачи РймашгГильберта будем называть фундаментальную систему решений Ч’Ч.г) и, если ёе! Ч'(з) нигде в С не равен нулю.
Матрицу нормальной системы решений будем называть нормальном матрицей.
Определение 4. (Каноническая система решений). Пусть — и — /с, есть порядки на беасонечноста соответственно ^(г) и состав лающих нормальною систему ретший. Это ожищ что.
Ш2.
С% д2 таким ооршом. мыш^дм.
1е (?(*) = г, А (г), где.
A (z) — del a, e + —- +. i, о + -— z i/.
Нормальная система решений Т{(г) и Т—(г) называется канонической, если определитель t (z) ф о при 2 = со. Ошешм, что в амершшсжюй лтфатуре, посвященной данному вопросу. в частности в упомянутых работах [38, 44−46, 48]" используется термин «каноническое решение с нормальной формой на бесконечности» (а стопка! solution with normal form at mfinityh по содержанию полностью швпэдаюндай с введенным нами.
Таким образом, маарица Х (и) каноничеокой системы решений должн?! удовлетворять двум условиям [6]:
1. det X (z) ф О ъ<�Х.
2. ?еф'^'ЗДг" '*'3 (*)!*<> Гфи * = «о. Здесь — решения: однородной краевой задачи. а г, — порядок этого решения на бесжонечносш, /? = л .
Каноническая матрица является решением однородной краевой задами. Более того, можно показать, что всякое другое решение данном задачи, имеющее на бесконечности конечный порядок, будет линейной комбинацией с политмиальными коэффйщиемтазш канонических решений, или, проще говоря, любое решение представляется в виде произведения каношиеской матртшы-фзшкщж на вектор с пошжомиальными элементами,.
Ветшчины аг, 9 к2 п|Ж этом называются частыми индексами канонического решения или же частыми индексами однородной задачи йшанЕ^Гильберт, А к = + к2 — сгуммерньм (полным) индексом или просто индексом задачи. Как показал НИ Ь^скеазжшжш! величина.
Л’ммарного индекса зависит исключительно от поведения матричного коэффрщиента и выражается соотношением: с {С.
2 к вд о (я)1 •.
Здесь под [/]г понимается приращение функции /<>) при полном обходе кривой I в положительном напржлении.
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Актуальность исследования обуславливается тем фактом, что решение задач, подобных рассмотренной в работе^, является существенным при получении точных. решений фяничных задач кгшетаческой теории газов.
Цетрачьным моментом получения шашшческих решений является решение векторной краевой задачи РимЕОш^Гильберт.
А* (я) — с?(и)л" (и) + н (и) 5, и, > о, где.
С {//) = [л" (и)}1л" (и), а > 0, а/.Ч-г+ 3 г-."1 ЯЛм) Я (м)Ип.
А (3) = i + —?=• ———-'.
Л" (Л — 3 -единичная матрица, аматршы-фуккции 0(, а) и 0((и) в общем случае имеют вид;
ЯпМ2 + Я1цМ + </и Я1аР* + 9а М + Я и .9пН2 + + Чп ЧпМ2 + ЧпР + Чп где ко^фщиенты д* могут зависеть от действительного пож>житез1Ьного параметра /. Фушация н (р) в (0.2) равна: где Y (u) — произвольная функция веетор-столбеа. удовлетворяющая условию Геяьдера Матрица, приводящая коэффициент .
В настоящей работе рассматривается конкретные матрицы о {и) и в случаях 1 = 1,1 = 2 и / = 5 /2 появляющиеся соответственно при рассмотрении разреженного одно-% двухи полиатомного газа зшшмающего полупространство х > о. В случае i = i порченные результаты сошщпрют с результатами, получшными A.B. Лшьлпекьм [13]. Однако использование конкретных матриц не огражнется на обпщосш полученных результатов, более того, разработшный в работе метод может быть применен и в случае* когда, элементы матрицы Q (m) являются полиномами порядка вьвпе двухестественно, что технические трудности при этом существенно возрастут.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Црлью работы является развитие методов AB Латышева и Зхюерта-Бфнистона на случай одаопфаме! ричеезсого семейсгоа уравнений типа уравнения БГК и построение матрицы каноничесвж: решений векторной паевой задачи Римана-Гиль^ян, вознжающей при их решении.
В ходе работы решались следукящсе задачи;
— 1фивеиение матричного коэффициента задачи к дашювальному виду;
— выделение аналитической ветви мазриць^ приводящей шэффщишт задачи к диягоншшному виду;
— построение фактор-матрицы соответствующей однородной краевой задачи;
— вычисление суммарного индекса задачи и ее частных индексов;
— факторизаиия дисперсионной матршфьфутащии;
— построение матрицы канонических решений однородной задачи;
— решение ышдаородной векторной краевой задачи йгмана-Гилшерте;
— применение полученного решения к доказательству полноты системы собственных функций хфактфистическот уравнении в пространстве футещий, удовлетворяющих условию Гельдера, и построению решения конкретных граничных задач.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Разработан эффективный метод построения канонической матр1шьн|>ункщщ векторной краевой задачи Римана-Гжпьберта путем определения ее поведения в окрестности бесконечно удаленной точки.
Разработан уоовершшствованный метод построения решения дня ттефодафффенщ^апьньш уравнений типа уравнения БГК с вь^зожденным даром, зависящим от действительного положительного параметра /.
Построенная каноническая фоЕстор-зчсатр^пда векторной краевой задачи применена к решению конкретных граничных задач кинетической теории.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Разработанный метод решения векторной краевой задачи РиманаГильберта и собственно построенная каноническая матрица могуч быть применены для решения граничных задан юшетической теории одно-, двухи полиатомных газов. Приведенная методика может быть обобщена на случай уравнения с ядром значительно менее специального вида.
Построенное в работе решение конкреаной граничной задачи можно использовать для вычисления конкретных фгоических характеристик гша в частости сканков температуры и плотности разреженного газа в пристшочном слое (считается, что вдали от стенки в газе поддерживается стационарное температурное поле).
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы были сообщены:
— на VI К^щп^нфодной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г Пущино5 1999г.).
— на IV Российскойниверсагтетско-гяоддемрхческой на^'чно-пракшчесжой конференции (г. Ижевск, 1999 г.).
— на семинарах под руководством проф. А В. Латышева (Мзсжовский педагошчесшш унив^рштег, 1999;2002гг.).
— на семинаре кафедры математического анализа Российского государственного уншерсигета им. А И Герцена (г. С-Петербург, 2001 г.).
— на Международной НЕф’чно-пршстичесжой конференции «Информатика. и информагщонные процессы в образовании» (г. СПетербзрг, 2002 г.).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опзташковано б статей и тезисов докщцов [55−60].
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, зшапочения, списка использованной литературы ж 54 источников, содержит 93 страницы машинописного текст 10 рисунков.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В работе рассмотрена неоднородная краевая задача Римана-Гильберта с матричным коэ4фищ1ентом, зависящим от параметра Данная задача является центральной при получении аналитического решения граничных задач кинетической теории для однодвухи полиатомных газов. В ходе решения выясняется, что матригда-фушоши, даагонащоирукжцая матричный коэффициент, имеет точки ветвления в комплексной плоскости. Этот факт не позволяет воспользоваться стандартными методами для решения краевой задачи. Дм этой цели:
1. Развивается метод решения векторных краевых задач Римана-Гйльберта в случае, когда матрица диагонализирующая матричный коэффициент, имеет точки ветвления в комплексной шюскоста.
2. Разработан эффективный метод построения каноштческой матрицььфункщп-! такой задачи Римана-Гттьберта путем определения ее поведения в окрестности бесконечно >здаленной точки,.
3. Полученное решение краевой задачи применяется для модафикации и обобщяшя метода построения решения жтегродафффшщальных уравнений: типа уравнения БГК с ядром, зависящим от действительного положитального параметра.
— 874. Построенная каноническая фактс^>-ма1рица векторной краевой задачи применена к решению конкретных грашгчньж задач кинеппеской теории. Рассматривается разреженный газ, занимающий гюлуттространство х > 0. Задается темпфатурный режим стенки, лежащей в пжхжосш х = о — вдали от стенки в газе поддерживается стационарное температурное поле.
В заключение отметим, что развитый в работе метод решения: конвретаого однопараметричежого семейства неодаородных векторных краевых зада1-! может бьпъ применен и для решения кражых задач значительно менее специального вщщ, в частности и для задач" возникающих дш целого класса БПС-уравнений с вьфождеяшэ1м ядром.
К (м.м') = Б ?,.Ол)м?м'),.
1=1 где матртш^тч^з^нждаи 1Д&-) и ^Лм') имеют полЕ-шоьп-ильные элементы.
