Метод конечных элементов для задач конвекции-диффузии с преобладанием конвекции

Математические модели многих процессов в физике, химии, технике описываются дифференциальными уравнениями, содержащими малые параметры, которые появляются как множители перед некоторыми членами уравнений. Если незначительное возмущение параметра в таком уравнении вызывает резкое изменение решения, то зависимость решения от малого параметра называется сингулярной, а само уравнение с малым параметромсингулярно возмущенным.

Данная работа посвящена численным методам решения сингулярно возмущенных задач для уравнений конвекции-диффузии с малым параметром при старших производных, характеризующих процесс диффузии. Поскольку в этом случае невозмущенное (вырожденное) уравнение имеет порядок на единицу меньше исходного (возмущенного) уравнения, то существенным отличием невозмущенной задачи от исходной является невозможность выполнения всех поставленных краевых условий. Часть из них оказывается лишней, что приводит к быстрому изменению решения в малой окрестности соответствующих участков границы.

В результате стандартные методы конечных разностей и конечных элементов на равномерной сетке либо неустойчивы, либо дают неудовлетворительную точность при малом значении параметра диффузии. В то же время, построение эффективных численных алгоритмов для решения этого класса задач имеет большое практическое и теоретическое значение. С одной стороны, исследуемые в работе задачи часто выступают как элементы математических моделей при исследовании широкого круга прикладных задач физики, химии, радиоэлектроники, гидродинамики, техники, биологии, теории управления. С другой стороны, они могут рассматриваться как модельные, обладающие характерными чертами целого класса сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений.

Некоторые сведения по асимптотическому анализу влияния малых параметров в дифференциальных уравнениях восходят к Л.Эйлеру. Начало современного теоретического и практического исследования соответствует работам А. Н. Тихонова в 40-х годах ([55], [56], [57]). Систематическое изучение методов решения сингулярно возмущенных задач началось несколько позднее, в конце 60-х годов.

При исследовании свойств дифференциальной задачи применяются методы асимптотического разложения по малому параметру (см. монографии [14], [41], [16], [49], [17], [44], [48], [50], [94], [18] и обзоры литературы в них), такие как метод внешних и внутренних разложений ([14] - 67 г.), метод М. И. Вишика и Л. А. Люстерника ([19] - 52 г., а также [51], [19], [59]) и его обобщение — метод пограничных функций ([15] и [16] - 60-е годы, а также [И], [17], [13], [18]).

Использование стандартных методов конечных разностей и позднее конечных элементов для решения сингулярно возмущенных задач оказалось малоэффективным или невозможным ввиду плохой точности или неустойчивости дискретных аналогов. Подробные исследования на эту тему можно найти в работах [116], [80], [108], [69], [23], [4], а также монографии [124], довольно полно освещающей современное состояние проблемы численного решения сингулярно возмущенных задач.

Отмеченные неприятные эффекты связаны с тем, что константы в оценках сходимости классических методов для рассматриваемых задач как правило зависят от малого параметра и неограниченно возрастают при его уменьшении ([4]). Для преодоления этих трудностей предложено несколько подходов. Условно их можно разделить на два класса. Первый класс составляют различные методы подгонки, когда коэффициенты разностной схемы в методе конечных разностей или параметры билинейной формы и вид базисных функций в методе конечных элементов выбираются с использованием априорной информации о поведении решения исходной дифференциальной задачи (см., напр., [23]). Ко второму классу следует отнести приемы, использующие стандартные методы на неравномерных сетках, априорно заданных или апостериорно адаптируемых в процессе численного интегрирования (см., напр., [5], [64], [43]).

Первые идеи улучшения точности численных методов связаны с использованием разностных схем с направленными разностями. Основная идея этого метода заключается в применении удачной аппроксимации конвективного члена (направленными разностями) и введении искусственной вязкости в направлении распространения процесса. Доказано, что такой подход приводит ко второму порядку сходимости при умеренных значениях малого параметра и только к первому порядку, когда значение параметра становится сравнимо или меньше шага сетки ([109], [134], [131], [65], [76]).

Важной проблемой численного интегрирования задач с пограничным слоем является построение методов, равномерно сходящихся относительно малого параметра. Этим свойством обладают методы экспоненциальной подгонки, которые при построении конечно-разностных и конечно-элементных схем используют информацию о виде погранслойной составляющей решения ([25], [26], [24], [66], [85], [86], [87]). Еще один прием построения равномерно сходящихся разностных схем основан на использовании аналитических решений уравнений с постоянными коэффициентами. Это подход Д. Аллена и Р. Саусвелла [66], опирающийся на близость исходной задачи и аппроксимирующей ее задачи с кусочно-постоянными коэффициентами, который дает дискретную задачу, аналогичную схеме экспоненциальной подгонки А. М. Ильина [25]. Сюда же следует отнести метод интегральных тождеств [45] со специальными весовыми функциями, аналогичный построению усеченных разностных схем А. А. Самарского [52].

Дальнейшее повышение точности вне пограничного слоя в методе конечных разностей связано с увеличением шаблона ([22], [89], [112]), что затрудняет анализ устойчивости и обобщение на двухи трехмерные случаи.

Как уже отмечалось, альтернативным приемом построения равномерно сходящихся методов является использование специально сконструированных сеток. Прежде всего это сетки, предложенные в работе Н. С. Бахвалова [5], логарифмически сгущающиеся внутри области погранслоя. Их построение в общих чертах основано на использовании оценки производной решения или равномерности по параметру скачка решения в любых соседних узлах сетки ([42], [43]). Как правило, этот подход приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Это привело к использованию различных аппроксимаций логарифмической функции для построения сеток Бахвалова ([136], [137], [138], [6], [7], [92], [93]).

В работах Г. И. Шишкина [61], [130] описан довольно общий класс разностных схем для задач с параболическим погранслоем, для которого доказана невозможность построения разностной схемы с подгонкой на компактном шаблоне, равномерно сходящейся относительно малого параметра. В работе [61] была предложена неравномерная сетка с кусочно-постоянным шагом, более мелким в области погранслоя, на которой схема с направленными разностями имела порядок сходимости NIn N, что несколько хуже, чем в предыдущем случае (N + 1 — количество узлов сетки). Общие принципы доказательства равномерной сходимости классических разностных схем на этом классе сеток для сингулярно возмущенных задач были разработаны в монографии Г. И. Шишкина [64]. В работах [62], [63], [96], [97], [98], [88] этот подход применен к широкому кругу задач в сочетании с методом конечных разностей, а в работах [120], [126], [132], [118] сетки Шишкина обсуждаются в рамках конечноэлементного подхода.

Эти подходы, примененные к методу конечных элементов, в совокупности со специфическими конечноэлементными приемами дают еще один спектр методов решения сингулярно возмущенных задач.

Метод направленных разностей в применении к методу конечных элементов приводит к нескольким модификациям. Например, в методе Петрова-Галеркина ([69]) используются стандартные кусочно-линейные пробные функции, но кусочно-квадратичные тестовые функции ([81], [99], [100], [101]). Известна также идея К. Мортона о построении пространства тестовых функций так, чтобы получаемая дискретная задача становилась симметричной (или почти симметричной), поскольку в этом случае метод Галеркина-Ритца оптимален в энергетической норме [108]. Этот прием, хорошо проработанный для одномерного случая ([115], [116], [117]) оказался труднореализуем в двумерном случае и обобщения не получил. В рамках этого же подхода следует отметить метод, предложенный М. Табата в [133], в котором конвективный член аппроксимируется только в элементах по направлению распространения процесса ([78], [67], [68]).

Метод, основанный на внесении дополнительной вязкости в направлении распространения процесса был предложен Т. Хагисом и А. Бруксом в [79], [102] и предполагает рассмотрение в методе Петрова-Галеркина вместо обычной билинейной формы ее некоторой аппроксимации с дополнительным слагаемым, вносящим численную вязкость вдоль потока. В результате на ориентированных в направлении потока сетках поточечная сходимость может достигать в узлах сетки второго порядка ([114], [105], [106], [107], [67], [139], [140], [141]). Этот подход эквивалентен рассмотрению метода Га-леркина на пространстве, являющимся ортогональным произведением пространства кусочно-линейных функций и некоторого пространства функций, учитывающих погранслойный характер решения (в иностранной литературе — «bubble functions») [77].

Известен также метод аддитивного выделения функций пограничного слоя ([3], [1], [2]). Его суть состоит в добавлении к стандартному кусочно-линейному базису одной или двух экспоненциальных базисных функций с нелокальным носителем, позволяющих хорошо аппроксимировать погран-слойную составляющую.

В рамках подхода с искусственной вязкостью применяется также метод наименьших квадратов ([103], [104], [90], [91]). Следует отметить, что при его использовании на кусочно-полиномиальных конечных элементах принадлежности пространств пробных и тестовых функций пространству Соболева необходимо использовать конечные элементы класса C^Q). Их использование на произвольной триангуляции задача весьма непростая, при этом матрица жесткости получается менее разреженной.

Прием экспоненциальной подгонки в методе конечных элементов трансформируется в два различных метода. Первый из них ([119], [122], [123]) заключается в использовании специальных базисных функций кусочно-экспоненциальной формы. Они аппроксимируют гладкую составляющую решения несколько хуже, чем кусочно-линейные, зато гораздо лучше аппроксимируют погранслойную составляющую. В целом, порядок точности приближенного решения в методе Галеркина возрастает. Сюда же следует отнести и неконформный метод конечных элементов, рассмотренный в [125], использующий разрывные экспоненциальные конечные элементы.

Второй подход, обобщающий разностную экспоненциальную подгонку, предложен для одномерного уравнения конвекции-диффузии в [128]. Дальнейшая его разработка и обоснование и являются главным предметом обсуждения в данной работе. Его суть состоит в использовании стандартных кусочно-линейных конечных элементов на регулярной сетке с последующим применением специальных квадратурных формул, учитывающих по-гранслойный характер решения. В итоге приближенное решение сходится к кусочно-линейному интерполянту точного решения не только в среднеквадратичной, но и равномерной норме.

В последнее время в рамках методов конечных разностей или конечных элементов используются адаптивные сетки, подстройка которых осуществляется на основе апостериорной информации о приближенном решении, предварительно найденном на равномерной или другой, более грубой сетке. В настоящее время имеется много функционалов, оценивающих качество решения — эстиматоров ([70], [71], [74], [72], [82], [73], [83], [84], [135], [95]), на основании которых вырабатывается рекомендация о построении сетки.

Данная работа посвящена построению и обоснованию схем экспоненциальной подгонки в методе конечных элементов в приложении к задаче Дирихле для уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции. Изложим кратко основную идею рассматриваемого подхода.

Пусть О — одномерная или двумерная область с кусочно-гладкой границей Г. Рассмотрим задачу Дирихле д.

1и = -£Аи + — (Ь (х)и) = / в О, (0.1).

С' л> и = 0 на Г, (0.2) где положительный параметр. Перейдем к ее слабой формулировке: найти функцию и ?^(1]), для которой верно тождество а{и->у) — (/?у) (0.3) о о.

Здесь а (-, •): И/21(Г2)х И¹^) —> Я ~ билинейная форма, определенная следующим образом: а (и, у) = / (е^и^у — Ьи^-) ¿-Ю, ^ ' ' лг дх) а (•,•) — обычное скалярное произведение в 1^(0). Решение задачи (0.1)-(0.2) можно представить в виде и = ь + р, (0.4) где у — гладкая составляющая решения, хорошо описывающая его вне по-гранслоя, а р — погранслойная компонента, быстро меняющаяся в малой окрестности некоторых участков границы. Выберем некоторое конечномерное пространство тестовых функций о.

Ти с базисом Рассмотрим дискретную задачу, соответствующую (0.3): найти функцию и? Тк, для которой верно тождество ан (инУ) = (/V) У^ег*. (0.5).

Здесь: х Ть —> Я ~ некоторая билинейная форма, являющаяся аппроксимацией формы а (-, ¦), а Д: Тд —у Е — функционал, являющийся аппроксимацией скалярного произведения (/,•)¦ При стандартном анализе задачи (0.5) используют следующее разложение ошибки: ан (ин-и<�шн) = аЛ (иЛ, гиА) — ан (и1, + а¹, тк).

— а{и и) Н) + а (и, юн) — а (и, шн) (0.6) Л">А) — /(«>*) + (ааЛ)(м7, ъи11) + а{и — и7, где и1 — интерполянт решения в пространстве Тд. В нашем случае оценка последнего слагаемого в (0.6) будет неограниченно возрастать при уменьшении е из-за присутствия в решении погранслойной составляющей р. Основная идея разрабатываемого подхода ([128]) заключается в специальной аппроксимации билинейной формы ан для уменьшения ошибки а (р, шь) — а/г (/9/, в оценке ал («л — м7, «-А) — (/н (юн)-/(юн)) + {а (щтн)-ак (и11тн)) (Л">А) ~ + «К ~ ^(г/,.

Дальнейшее развитие этого подхода заключается, во-первых, в применении более точных квадратурных формул для аппроксимации погранслойной составляющей, во-вторых, в использовании специальной аппроксимации правой части для компенсации главного члена погрешности используемых квадратурных формул на гладкой составляющей.

В первой главе описанный подход применен к одномерной задаче конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной. В первом разделе обсуждаются основные свойства дифференциальной задачи. В частности, рассмотрены две формы асимптотического разложения решения по малому параметру, даны оценки остаточных членов этих разложений. Здесь же введена слабая формулировка задачиописаны пространства пробных и тестовых функций с введенными на них нормамисформулирован метод Петрова-Галеркина, на основе которого в следующих разделах построены сеточные аналогиприведены известные результаты по сходимости метода Петрова-Галеркина. Второй раздел посвящен построению дискретной задачи на основе линейной квадратурной формулы для аппроксимации конвективного члена и использовании специальной квадратурной формулы для правой части. В результате построена дискретная задача, для которой доказан второй порядок сходимости в равномерной норме в области малых значений параметра диффузии. При обосновании результатов сходимости в данном случае использовался факт монотонности коэффициента в конвективном члене. В третьем разделе это ограничение снято за счет применения нелинейной квадратурной формулы. Для построенной в этом разделе сеточной задачи также доказан второй порядок сходимости в равномерном смысле при малых значениях е.

Переход к двумерному случаю во второй главе усложняет поведение решения. Наряду с регулярным погранслоем (локально описываемым обыкновенным дифференциальным уравнением), подробно изученным в главе 1, вблизи некоторых участков области интегрирования может возникать параболический погранслой (локально удовлетворяющий уравнению в частных производных параболического типа).

В разделе 2.1 дана общая характеристика ситуации, доказано выполнение принципов сравнения для рассматриеваемого семейства дифференциальных уравнений с двумя типами краевых условий. Здесь же дана слабая формулировка задачи.

В разделе 2.2 рассматривается задача при таких ограничениях на начальные данные, когда решение не имеет параболических погранслоев нулевого порядка. Рассмотрено разложение решения типа (0.4). С помощью принципов сравнения получены необходимые оценки на входящие в него компоненты и их производные. Далее, на равномерной триангуляции на основе метода Галеркина с кусочно-линейными конечными элементами с использованием подгоночных квадратурных формул на каждом элементе построена сеточная задача. Для нее доказан первый порядок сходимости в равномерном смысле.

Раздел 2.3 посвящен построению и исследованию дискретной задачи при наличии и регулярного, и параболического погранслоев. Применение в этом случае методов подгонки в области параболического погранслоя невозможно ([61]). Поэтому наряду с подгоночными квадратурными формулами, хорошо аппроксимирующими погранслой регулярного типа, при построении триангуляции используется сетка, сгущающаяся в области параболического погранслоя. В работе предложена сетка, построение которой связано с оценками производной в области погранслоя. В этом смысле она аналогична сеткам, рассматриваемым в работах Н. С. Бахвалова и В. Д. Лисейкина. Однако в нашем случае построение сетки не использует порождающую функцию, а распределение узлов задается с помощью однопараметрического рекку-рентного соотношения. Параметр находится путем решения нелинейного уравнения и связан с величиной параметра диффузии е. Аналитические исследования устойчивости и сходимости полученной сеточной задачи проведены именно на этой сетке. В численных экспериментах получены результаты, аналогичные по точности результатам на сетках Бахвалова при малых значениях параметра диффузии. В разделе 2.3.3 доказан первый порядок сходимости построенной дискретной задачи в узлах сетки.

В третьей главе рассматриваются различные аспекты, численного решения полученных дискретных задач.

В разделе 3.1 на примере обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной, для которого известно аналитическое решение, проведен сравнительный анализ предложенного метода и нескольких наиболее известных разностных схем. Результаты демонстрируют большую эффективность предложенных методов по точности.

В разделе 3.2 описаны вычислительные эксперименты в двумерном случае.

Раздел 3.3 посвящен сравнению точности сеточных задач, полученных на разных сетках, часто используемых при численном интегрировании. Расчеты проводились на сетках, равномерных в направлении х. В направлении у были рассмотрены два подхода сгущения сеток в области параболического погранслоя. Первый подход, предложенный Н. С. Бахваловым, использует оценки производной решения по нормали к границе. В рамках этого подхода было рассмотрено два вида сеток — с логарифмическим сгущением внутри пограничных слоев и предложенная в главе 2. Второй подход систематически рассматривается Г. И. Шишкиным и использует сетку с кусочно-постоянным шагом, более мелким в области погранслоя.

Для решения полученной сеточной задачи рассматривались покоординатный и блочный методы Гаусса-Зейделя. В разделе 3.4 даны оценки сходимости этих методов и продемонстрировано преимущество блочного метода над покоординатным. При этом наиболее эффективным является реализация каскадного алгоритма, когда на мелкой сетке в качестве начального приближения берется некоторая интерполяция решения с более грубой сетки. При использовании каскадного алгоритма встает вопрос об оценке ошибки интерполяции. Здесь в обоих направлениях проводилась линейная интерполяция по двум точкам. В разделе 3.4 доказано, что на сгущающихся сетках, используемых в этой работе, такая интерполяция не дает потери точности.

В разделе 3.5 обсуждаются результаты численного эксперимента. Поскольку точное решение рассмотренной задачи невозможно выписать в виде конечной комбинации элементарных функций, то для оценки сходимости были использованы два приема. Во-первых, точное решение было рассмотрено в виде бесконечного ряда, для которого была доказана равномерная сходимость и найдена оценка остаточного члена суммы первых членов ряда. Второй прием описания сходимости связан с решением задачи на последовательности сеток и вычислении в равномерной дискретной норме погрешности численного решения по двум соседним сеткам.

Расчеты подтверждают первый порядок сходимости построенных дискретных задач.

В конце главы приведены расчеты, произведенные при применениии специальной квадратурной формулы для правой части, аналогичной рассмотренной в одномерном случае. Отчетливо продемонстрировано преимущество в точности для этого приема. Правда, следует отметить, что в двумерном случае он не приводит к увеличению порядка сходимости до второго, поскольку рассмотренные специальные сетки и квадратурная формула дают только первый порядок сходимости на параболическом погранслое.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Для одномерной задачи конвекции-диффузии с преобладанием конвекции построены и исследованы две сеточные задачи, сходящиеся в равномерной норме со вторым порядком точности в области малых значений параметра диффузии.

2. Построены и обоснованы численные методы, сходящиеся с первым порядком в равномерной норме для двумерной задачи Дирихле в прямоугольнике для уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции в отсутствие параболического погранслоя и при его наличии.

3. Численно и аналитически исследована сходимость итерационных методов типа Гаусса-Зейделя для решения полученных дискретных задач. Доказана их экспоненциальная скорость сходимости для малого параметра.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов для сравнения предлагаемых и известных численных методов решения рассматриваемого класса задач, которые подтвердили эффективность предлагаемого подхода и очертили границы применимости предложенных методов.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: семинаре отдела вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАНМеждународной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1997, 1999) — Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997) — Международной конференции ENUMATH-1997 (Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications), Германия, 1997; Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1997) — Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, Новосибирск, 1998) — Международной конференции.

— 18.

WORKSHOP'98 on the Analitical and Computational Methods for Convection Dominated and Singular Pertrubed Problems (Болгария, 1998) — на конферен циях-конкурсах молодых ученых в Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 1996;1999). По результатам исследований опубликовано 15 работ. Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований № 98−01−704 и грантом № 1/72 342 Фондом Фольксвагена.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю Владимиру Викторовичу Шайдурову.

1. Багаев Б. М. Метод Галеркина для обыкновенного дифферециального уравнения с малым параметром // в сб. науч. тр.: Численные методы механики сплошной среды / Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. — 1979. -Т. 10. — № 1. — С. 1−16.

2. Багаев Б. М. Метод Галеркина для уравнения с малым параметром при старшей производной // в сб. науч. тр.: Метод аппроксимации и интерполяции / Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1981. — С. 4−13.

3. Багаев Б. М., Шайдуров В. В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром // В сб.: Сборник научных трудов ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. — 1977. — С. 89−99.

4. Багаев Б. М., Шайдуров В. В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем: В 5ч. // Новосибирск: Наука, 1973. 4 1. 199 с.

5. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // ЖВМ и МФ. 1969. — Т. 9. — № 4. -С. 841−859.

6. Боглаев И. П. Приближенное решение нелинейной краевой задачи с малым параметром при старшей производной // ЖВМ и МФ. 1984. -Т. 24. — № 11. — С. 1649−1656.

7. Боглаев И. П. О численном интегрировании сингулярно возмущенной задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения // ЖВМ и МФ. 1985. — Т. 25. — № 7. — С. 1009−1022.

8. Боглаев Ю. П. Итерационный метод прогонки приближенного решения нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач // Докл АН СССР. 1977. — Т. 228 — № 6. — С. 1241−1244.

9. Боглаев Ю. П. Итерационный метод приближенного решения сингулярно возмущенных задач // Докл АН СССР. 1976. — Т. 227 — № 5. -С. 1009−1022.

10. Боглаев Ю. П. О численных методах решения сингулярно возмущенных задач // Диф. ур. 1985. — Т. XXI — № щ — С. 1804−1806.

11. Бутузов В. Ф. Об асимптотике решений сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области // Диф. ур.- 1975. Т. XI — № 6. — С. 1030−1041.

12. Бутузов В. Ф. О построении пограничных функций в некоторых сингулярно возмущенных задачах эллиптического типа // Диф. ур. 1977. Т. XIII № 10. — С. 1829−1835.

13. Бутузов В. Ф., Никитин А. Г. Сингулярно возмущенная краевая задача для эллиптического уравнения на прямоугольнике в критическом случае // ЖВМ и МФ. 1984. — Т.24 — № 9. — С. 1320−1330.

14. Ван-Дайк М. Методы возмущения в механике жидкости // М.: Мир, 1967.

15. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. 1963. — Т. 18. — № 3. — С. 15−86.

16. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений // М.: Наука, 1973.

17. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях // М.: Изд-во МГУ, 1978.

18. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений // М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

19. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничныйслой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. — Т. 12. — № 5(77). — С. 3−122.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1976, 527 с.

21. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления // М.: Наука, 1984.

22. Гущин В. А., Шенников В. В. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности // ЖВМ и МФ. 1974. — Т. 14. — № 3. -С. 789−792.

23. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем // М.: Мир, 1983, 200 с.

24. Емельянов К. В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старших производных // Числ. методы мех. сплошной среды. 1970. — Т. 1 — № 5. — С. 20−30.

25. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Мат. заметки. 1969. — Т. 6 — № 2. — С. 237−248.

26. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач // М.: Наука, 1989.

27. Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для задачи реакции-диффузии с малым параметром // Деп. в ВИНИТИ. Красноярск. — 1996. — № 2951-В96. — 21 с.

28. Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Метод конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Деп. в ВИНИТИ. Красноярск. — 1997. — № 1252-В97. — 20 с.

29. Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Метод конечных элементов с подгоночными квадратурными формулами для уравнения конвекции-диффузии // Деп. в ВИНИТИ. Красноярск. — 1998. — № 415-В98. — 22 с.

30. Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для задачи реакции-диффузии с малым параметром // Препринт N16 ВЦ СО РАН. Красноярск. — 1996. — 21 с.

31. Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Метод конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Материалы международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике». Томск: ТГУ. — 1997. — Т.1. — С. 200−201.

32. Карепова Е. Д. Метод конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Материалы конференции молодых ученых '97. Красноярск. — 1997. — С. 45−47.

33. Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для сингулярно возмущенных задач // Материалы Сибирской школы семинара «Математические проблемы механики сплошных сред». — Новосибирск. — 1997. — С.69.

34. Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Метод конечных элементов с подгоночными квадратурными формулами для уравнения конвекции-диффузии // Препринт N2. Красноярск. — 1998. — 22 с.

35. Карепова Е. Д. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для конвекции-диффузии с малым параметром // Материалы конференции молодых ученых '98. Красноярск. — 1998. — С. 24−36.

36. Карепова Е. Д. Шайдуров В.В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для двумерной задачи конвекции-диффузии // ИНПРИМ-98: Тезисы и доклады. ч.2. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. — 1998. — С.15−16.

37. Карепова Е. Д. Метод конечных элементов для задачи конвекции-диффузии с регулярным и параболическим слоем // Материалы конференции молодых ученых '99. Красноярск. — 1999. — С. 29−35.

38. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике // М.: Мир, 1972.

39. Лисейкин В. Д., Петренко В. Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями // Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1989, 258 С.

40. Лисейкин В. Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // ЖВМ и МФ. 1996. — Т. 36. — № 1. — С. 3−42.

41. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений // М.: Наука, 1981.

42. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики // М.: Наука, 1977.

43. Марчук Г. И., Агошков В. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы // М.: Наука, 1981, 416 с.

44. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем // М.: Наука, 1979, 320 с.

45. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики // М.: Наука, 1981.

46. Найфэ А. Х. Методы возмущений // М.: Мир, 1976.

47. Найфэ А. Х.

Введение

в методы возмущений // М.: Мир, 1984.

48. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных // Матем. сб. 1952. — Т. 31 — № 1. -С. 104−117.

49. Самарский A.A.

Введение

в теорию разностных схем // М.: Наука, 1971, 656 с.

50. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений // М.: Наука, 1978, 592 с.

51. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач // М.: Мир, 1980, 512 с.

52. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра //Мат. сборник. 1948. — Т. 22(64). — № 2. -С. 193−204.

53. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры //Мат. сборник. 1950. — Т. 27(69). — № 1. — С. 147−156.

54. Тихонов А.H. Системы дифференциальных уравнений, содержащие параметры // Мат. сборник. 1952. — Т. 31(73). — № 3. — С. 575−586.

55. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1972, 735 с.

56. Треногин В. А. Развитие и приложения асимптотического метода Люс-терника-Вишика // УМН. 1970 — Т.25. — № 4. — С. 123−156.

57. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // М.: Наука, 1961, т. 2, 800 с.

58. Шишкин Г. И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных // ДАН СССР. 1979 — Т.245. — m 4. — С. 804−808.

59. Шишкин Г. И. Разностная схема на неравнмерной сетке для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // ЖВМ и МФ. 1983 — Т.23 — С. 59−66.

60. Шишкин Г. И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим погранслоем // ЖВМ и МФ. 1989 -Т.29. — № 7. — С. 963−978.

61. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений // Екатеринбург: УрО РАН, 1992, 232 с.

62. Abrahamsson L., Keller H.B. Kreiss H. О. Difference approximations for singular perturbations of systems of ordinary differential equations // Numer. Math. 1974. — № 22. — P. 367−391.

63. Allen D.N. de G., Southwell R.V. Relaxation methods applied to determine the motion, in 2D, of a viscous fluid post a fixed cylinder // Quart J. Mech. Appl. Math. 1955. — V. VIII. — № 2. — P. 129−145.

64. Angermann L. Numerical solution of second order elliptic equations on plane domains // Math. Modelling Anal. Numer. 1991. — V. 25. — № 2. P. 169−191.

65. Angermann L. Pseudouniform in^-convergence of an elliptic Singularly Perturbed problem // Uni Erlagen: Inst. f. Angew. Math., 1991.

66. Babuska I., Rheinboldt W.C. Error estimates for adaptive finite element computation // SIAM J. Numer. Anal. 1978. — V. 15. — P. 736−754.

67. Babuska I., Szymezak W.G. Adaptivity and error estimation for the finite element method applied to convection-diffusion problems // SIAM J. Numer. Anal. 1984. — V. 21. — P. 910−946.

68. Babuska I., Miller A. A feedback finite element method with a posteori error estimation // J. Comp. Meth. Engrg. 1987. — V. 61. — P. 1−40.

69. Babuska I., Suri M. On lacking and robustness in the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1992. — V. 44. — P. 283−301.

70. Bank R.E., Weiser A. Some a posteriori error estimators for elliptic partial differential equations // Math. Comp. 1985. — V. 44. — P. 283−301.

71. Barret J.W., Morton K.W. Optimal finite element solutions to diffusion-convection problems in one dimension // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1980. V. 15. — P. 1457−1474.

72. Berger A.E., Solomon J.M., Ciment M. Analysis of a uniformly accurate difference method for a singular perturbation problem // Math. Comp. -1980. № 151. — P. 695−731.

73. Brezzi F., Russo A. Choosing bubbles for advection-diffusion problems // Math. Models and Meth. in Appl. Sciences 1994. — V. 4. — P. 571−587.

74. Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind Petrov-Galerkin methods for advection dominaated flowss //in Proceedings: Third International Conference on Finite Element Methods in Fluid Flow. Canada: Banff.- 1980. P. 645−680.

75. Ciarlet P. The finite element method for elliptic problem // North-Holland, Amsterdam, 1978.

76. Christie I., Griffiths D.F., Mitchell A.R., Zienkiewicz O.C. Finite element methods for second order differential equations with significan first derivatives // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1976. — V. 10. — P. 1389−1396.

77. Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R. On the asymptotic exactness of error estimators for linear triangular elements // Numer. Math. 1991. -V.59. — P.107−127.

78. Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R. Asymptotically exact error estimators for rectangular finite elements // SIAM J. Numer. Anal. -1992. V.29. — P.78−88.

79. Eriksson K., Johnson C. Adaptive streamline diffusion finite element methods for stationary convection diffusion problems // Math. Comp.- 1993 V. 60. — P. 167−188.

80. Farrell P.A. Uniformly convergent difference schemes for singularly perturbed turning and non-turning point problems // Ph. D. thesis.- 158 Dublin: Trinity College. 1983.

81. Farrell P.A. Sufficient conditions for the uniform convergence of difference schemes for singularly perturbed turning point problem // SIAM J. Numer. Anal. 1988. — № 25. — P. 618−643.

82. Farrell P.A., Hegarty A.F. Numerical rezalts for singularly perturbed linear and quasilinear differential equations using a coarse grid //in Proc. BAILI Conf.: Boundary and Inter. Layers Comput. and Asympt. Meth.- 1980. P. 275−280.

83. Farrel P.A., Miller J.J.H., E. O’Riordan, Shishkin G.I. On the nonexistence of^-uniform finite difference methods on uniform meshes for semilinear two point boundary value problems // Math, of Comp. 1998. V. 67. № 222. — P. 603−617.

84. Fornberg B. Generation of finite difference formulas // Math. Comp. -1988. -Ko 51. P. 702−705.

85. Franca L.P., Frey S.L., Hughes T.J.R. Stabilized finite element method: I. Application to the advective-diffusive model // Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 1992. — V.95. — P. 253−276.

86. Franca L.P., Madureira A.L. Element free stability parameters for stabilized methods applied to fluids // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1993. V. 105. — P. 395−403.

87. Gartland E.C. Graded-mesh difference schemes for singularly perturbed two-point boundary value problems // Math. Comp. 1988. — V. 51. № 184. — P. 631−657.

88. Gartland E.C. Strong uniform stability and exact discretizations of a model singular perturbation problem and its finite difference approximations // Appl. Math. Comput. 1989. — V. 31. — P. 473−485.

89. H. Goering, A. Felgenhauer, G. Lube, H.-G. Roos, L. Tobiska. Singularly Perturbed Differential Equation // Berlin: Acad.-Verlag. 1983, 176 p.

90. Hangleiter R., Lube G. Boundary layer-adapted grids and domain decomposition in stabilized Galerkin methods for elliptic problems // Amsterdam: CWI Quarterly. 1997. — V. 10. — № 3& 4. — P. 215−238.

91. Hegarty A.F., Miller J.J.H., E. O’Riordan, Shishkin G.I. Spetial meshes for finite difference approximations to an advection-diffusion equation with parabolic layers // J. of Comp. Phisics. 1995. — V. 117. — P. 47−54,.

92. Hegarty A.F., Miller J.J.H., E. O’Riordan, Shishkin G.I. Numerical Results for advection-dominated heat transfer in a moving fluid with a non-slip boundary condition // Int. J. Num. Meth. Heat Fluid Flow. -1995. V. 5. — P. 131−140.

93. Hegarty A.F., Miller J.J.H., E. O’Riordan, Shishkin G.I. On a novel mesh the regular boundary layers arising in advection-dominanted transport in two dimansions // Communication in Num. Meth. in Engineering. 1995. — V. 11. — P. 435−441.

94. Hemker P.W. A numerical study of stiff two-point boundary value problems // Amsterdam: Mathematical Center, 1977.

95. Heinrich J.C., Zienkiewicz O.C. Quadratic finite elements schemes for two-dimensional convective transport problems // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1977. — V. 11. — P. 1831−1844.

96. Heinrich J.C., Huyokarh P. S., Zienkiewicz O.C., Mitchell A.R. An upwind finite element scheme for two-dimensional convective ransport problems // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1977. — V. 11. — P. 131−143.

97. Hughes T.J.R., Brooks A.N. A multidimansional upwind scheme with no crosswind diffusion // in: Finite Element Methods Convection DominatedFlows. New-York: American Society of Mechanical Engineers Press. -1980. — V. 34.

98. Hughes T.J.R., Shakib F. Computational Aerodynamics and the finite element method // in: AIAA/AAS Astrodynemics Conf. Reno — 1988. P. 35−48.

99. Hughes T.J.R., Franca L.P., Hulbart G.M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: the Galerkin/least-squares method for advective diffusive equations // Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 1989. — V.73. — P. 173−189.

100. Johnson C. Streamline diffusion methods for problems in fluid mechanics // in: Finite Element in Fluids. Chichester. — 1986. — P. 251−261.

101. Johnson C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method // Cembridge: Cembridge Univ. Press, 1987.

102. Johnson C., Schatz A.H., Wahlbin L.B. Crosswind smear and poinwise errors in streamline diffusion finite element methods // Math. Comp. -1987. V. 49. — P. 25−38.

103. Kellogg R. B, Stynes M. Optimal approximatility of solutions of singular perturbed two-points boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal.- 1997. V. 34. — № 5. — P. 1808−1816.

104. Kellogg R. B, Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points // Math. Comp. -1978. V. 32. — P. 1025−1039.

105. Kratsch F., Roos H.-G. Monotonieerhabtende upwind-schemata in zweidimensionolen fall // ZAMM. 1992. — V. 72. — P. 201−208.

106. Ladyzhenskaya O.A., Ural’tseva N.N. Linear and Quasilinear Elliptic Equations // New York: Academ. Press, 1968.

107. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream integration // Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng.- 1979. № 19. — P. 59−98.

108. Levinson N. The first boundary value problem for sAu + A (x, y) ux + B (x, y) uy + C (x, y) u = D (x, y) for small e // Annal. of Math. 1950. -V. 51. — № 2. — P. 428−445.

109. Mizukami A., Hughes T.J.R. Petrov-Galerkin finite element methods for convecting-dominated flows: an accurate upwinding Technique for Satisfying the Maximum Principle // Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg.- 1985. V. 50. — P. 181−193.

110. Morton K.W. Scotney B.W. Petrov-Galerkin methods and diffusion-convection problem in 2D // in: The mathematics of finite elements and applications, ed. Whitheman. New-york: Academic Press. — 1985. -P. 343−366.

111. Morton K.W. Galerkin finite element methods and their generalizations // in: The State of the Art in Numerical Analysis. Oxford: Clarendon Press. 1987. — P. 645−680.

112. Morton K.W. Murdoch T., Siili E. Optimal error estimation for Petrov-Galerkin methods and diffusion-convection problems in two dimansion // Numer. Math. 1992. — V. 61. — P. 359−372.

113. Miller J.J.H., E. O’Riordan, Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions // ??

114. Miller J.J.H., Wong S. A new non-conforming Petrov-Galerkin finite element methods with triangular elements for a singularly perturbed advection-diffusion problem // IMA J. Numer. Anal. 1994. — V. 14. P. 257−276.

115. Nikolova M., Axelsson O. Uniform in? convergence of finite element method for convection-diffusion equation using a priori chosen meshes // Amsterdam: CWI Quarterly. 1997. — V. 10. — № 3& 4. — P. 253−276.

116. Protter M.H., Weinberger H.F. Maximum Principles in Differential Equations // Berlin: Springer-Vertag, 1984.

117. E. O’Riordan, Stynes M. A uniformly convergent diffrence scheme for elliptic singular perturbation problem // in: Discretization Method of Singular Perturbation and Flow Problems. Magdeburg: Technical Univ. Otto von Guericke. — 1989. — P. 48−55.

118. E. O’Riordan, Stynes M. A globally uniformly convergent finite element method for a singular perturbation elliptic problem in two dimansionsn // Math. Comp. 1991. V. 57. — P. 47−62.

119. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Numerical methods for singular perturbed differential equations // Berlin: Springer-Verlag, 1996, 350 p.

120. Roos H.-G., Adam D., Felgenhauer A. A novel nonconforming Uniformly convergent finite element method in two dimensions // J. of Math. Anal, and Appl. 1996. — № 201. — P. 715−755.

121. Roos H.-G., Skalicky T. A comparison of the finite element mrthod on Shishkin and Gartland-type meshes for convection-diffusion problems // Amsterdam: CWI Quarterly. 1997. — V. 10. — № 3& 4. — P. 277−300.

122. Roos H.-G., Lin (3 T. Sufficient conditions for uniform convergence on the layer-adapted grids // Dresden: Techn. Univ. Dresden. 1998. — Prepr. MATH-NM-13−1998.

123. Shaidurov V., Tobiska L. Special integration formulae for a convection-diffusion problem // East-West J.Numer.Math. 1995. — V. 3 — № 4.P. 281−299.

124. Shaidurov V., Karepova E. Finite Element Method with Fitted Integration Rules for Singulary Perturbed Problem // ENUMATH-1997, Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications. Germany, Heidelberg. — 1997. — P. 223−224.

125. Shishkin G.I. On finite difference fitted schemes for singularly perturbed boundary value problems with parabolic boundary layer // J. of Math. Anal, and Appl. 1997. — Kq 208. — P. 181−204.

126. Stoyan G. Monotone difference schemes for convection-diffusion problems // ZAMM. 1979. — № 59. — P. 361−372.

127. Stynes M., Tobiska L. Error estimates and numerical experiments for streamline-diffusion type methods on arfitiory and Shiahkin meshes // Amsterdam: CWI Quarterly. 1997. — V. 10. — № 3& 4. — P. 337−352.

128. Tabata M. A finite element approximation corresponding to the upwind differencing // Memories Numerical Mathematics. 1977. — V. 1. — P. 4763.

129. Tobiska L. Diskretisierungsverfahren zur Losung singular gestorter Randwertprobleme // ZAMM. 1983. — № 63. — P. 115−123.

130. Verfurth R. A posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques // J. Comput. Appl. Math. 1994. — V. 50. — P. 67−83.

131. Vulanovic R. On a numerical solution of a type of singularly perturbed boundary value problem by using a spetial discretization mesh // Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod. Math. Fak. — Ser. Math. — 1983. — V. 13. — P. 187−201.

132. Vulanovic R. Non-equidistant generations of the Gushchin-Shennikov scheme // ZAMM 1987. — V. 67. — P. 625−632.

133. Vulanovic R. Non-equidistant finite difference methods for elliptic singular perturbation methods // in: Computational methods for boundary and interior layers in several dimansions. Dublin: Boole Press. — 1991. -P. 203−223.

134. Zhou G. Local L2-error analysis of streamline diffusion FE-method for nonstationary hiperbolic systems // Prepr. 94−07(SEB359). Univ. of Heidelberg. — 1994.

135. Zhou G., Rannacher R. Pointwise Superconvergence of the streamline diffusion finite element method // Prepr. 94−72 (SEB359). Univ. of Heidelberg. — 1994.

136. Zhou G. How accurate is the streamline diffusion finite element method? // Math. Comp. 1997. — V.66. — P.31−44.