Научные основы создания сепараторов на постоянных магнитах

В области магнитного обогащения Россия занимает одно из ведущих мест в мире. Промышленное использование магнитного обогащения подготовлено многочисленными фундаментальными исследованиями и проектными работами, выполненными институтами: Механобр, Механобрчермет, Гипромашуглеобогащение, ЭНИН, ВНИИПВторчермет, МИСиС, СКГТУ и другими.

Общим технологическим преимуществом магнитных методов обогащения является возможность достижения больших извлекающих сил и высокой селективности действия на частицы минералов. По принципу использования магнитного поля для разделения минералов процессы магнитного обогащения разделяются на прямые и косвенные (комбинированные) методы. Современные теоретические и экспериментальные исследования, практика проектирования и промышленной эксплуатации показали, что наиболее перспективным для вышеуказанных руд и продуктов является развитие и освоение косвенных процессов магнитного обогащения с использованием магнитостатической сепарации в псевдоутяжеленных коллоидных феррожидкостях.

Магнитогидростатическая сепарация возникла практически в шестидесятых годах XX века. Теоретические и практические исследования показали, что низкая вязкость феррожидкости и возможность в широких пределах изменять ее эффективную плотность определили технологические преимущества по точности сепарации минералов, возможности контроля й автоматизации процессов. Значительно повысилась технико-экономическая эффективность обогатительного оборудования.

Появление нового класса магнитных жидкостей в виде ферромагнитных коллоидов дало возможность практического применения магнитогидростатической сепарации в отечественной и зарубежной практике и выявило значительные преимущества перед методами сепарации 6 в псевдоутяжеленных средах на электролитах, диэлектрических жидкостях и парамагнитных растворах, которые не нашли широкого практического применения.

Появление современных постоянных магнитов, в частности, самарийкобальтовых, с высокими техническими характеристиками способствует созданию принципиально новых сепараторов.

Развитие теории и практики магнитной, в частности магнитогидростатической, сепарации, увеличило число исследований, позволяющих выявить основные закономерности процессов, их основные возможности и перспективы, в результате чего в последние годы создан целый ряд сепараторов различного назначения и производительности. Сепараторы стали выпускать серийно для обогащения золотосодержащих продуктов и вторичного сырья цветных металлов.

Разработка аналитических методов расчета магнитостатических полей и пондеромоторных сил велась на основе фундаментальных разработок по теории электромагнитного поля, в частности расчет магнитостатических полей основан на математической теории поля и потенциалов.

Для анализа физики процесса сепарации необходимо иметь аналитическое описание динамики разделения минералов, а это можно выполнить при наличии аналитического описания поля сил, действующих на частицу минерального сырья. А это, в свою очередь, возможно лишь в том случае, если известно поле индукций.

Изложенное современное состояние теоретических и технологических исследований в области процессов магнитогидростатической сепарации в псевдоутяжеленных средах определило постановку задач и исследований, методов и математического аппарата для их осуществления.

Актуальность проблемы. Вопросы добычи минерального сырья были и остаются основой развития промышленности любой страны. В связи с истощением запасов минерального сырья требуется более полное 7 извлечение полезных минералов. В России магнитными сепараторами ежегодно обогащаются сотни миллионов тонн минерального сырья. Основным недостатком магнитного метода обогащения является значительное потребление электрической энергии для создания магнитного поля, поэтому применение постоянных магнитов, с этой точки зрения, является перспективным направлением в связи с появлением постоянных магнитов с сильными магнитными полями.

Исследования выявили основные закономерности магнитной, в том числе и магнитожидкостной (МЖ), сепарации, которая позволяет обогащать диамагнитные минералы. В последние годы определены технологические возможности и перспективы МЖ-сепарации, выявлены основные конструктивные параметры сепараторов с магнитной разделительной средой, создан ряд МЖ-сепараторов разного масштаба и назначения. Некоторые типы сепараторов выпускаются серийно и применяются в разных отраслях народного хозяйства.

Широко развиты магнитные методы обогащения и их исследования во многих странах: США, Германии, Великобритании, Франции, ЮАР, Швеции и ДР.

Повышение извлечения и комплексное использование железных, редкоземельных, оловянных, полиметаллических руд и золотосодержащих продуктов является одним из основных направлений в области обогащения.

Общим технологическим преимуществом магнитных методов обогащения является возможность достижения больших извлекающих сил и высокой селективности действия на частицы минералов.

Развитие теории и практики магнитной, в частности, магнитогидростатической сепарации, увеличило число исследований, позволяющих выявить основные закономерности процессов, их основные возможности и перспективы, в результате чего в последние годы создан целый ряд сепараторов различного назначения и производительности. Сепараторы стали выпускать серийно для обогащения золотосодержащих 8 продуктов и вторичного сырья цветных металлов. Ликвидированы вредные и трудоёмкие операции амальгамирования, ручной отдувки и разборки проб под бинокуляром.

Для анализа физики процесса сепарации необходимо иметь аналитическое описание динамики разделения минералов, а это можно выполнить при наличии аналитического описания поля сил, действующих на частицу минерального сырья. А это, в свою очередь, возможно лишь в том случае, если известно поле индукций магнитных полей.

Наиболее бурное развитие аналитических методов расчета наблюдается в электротехнике. Созданием электротехнических САПР заняты университетские лаборатории, например: FLUX 2D и FLUX 3D в Электротехнической лаборатории в Гренобле, MAGNET II в Макджиле и Имперском колледже, РЕ 2D в Лаборатории Резерфорда. Занимаются подобными проблемами и промышленные лаборатории, MAGGY на фирме «Филипс», СЕ 2D на фирме «Дженерал Электрик».

Регулярно проводятся международные конференции INTERMAG и COMPYMAG, которые способствуют тому, что всё большее количество университетских и промышленных лабораторий прилагают усилия для создания новых систем автоматизированного проектирования в электротехнике. Математические модели, применяемые в современных электротехнических САПР, основаны на универсальной форме описания различных полевых задач. Используемые в моделях дифференциальные уравнения в частных производных решаются только численными методами. Наиболее широкое применение в электротехнических САПР находит метод конечных элементов.

Однако, к сложностям возникающим при применении таких численных методов можно отнести: отсутствие стандартных алгоритмов выбора плотности расположения конечных элементов сети, что служит причиной высокой погрешности решенийгромоздкость используемых алгоритмов, что приводит к необходимости использования мощной компьютерной техники. 9.

Анализ исследований показывает, что до настоящего времени не существовало аналитических методов расчета полей постоянных магнитов на плоскости. Методики расчета основывались на приближенных методах или применялись эмпирические формулы, что не давало возможности исследовать динамику процесса, прогнозировать оптимальные параметры сепараторов, а в некоторых случаях получать необходимую точность получаемых результатов. Исследований по трехмерному движению в литературе нами не обнаружено.

Работа проведена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Северо-Кавказского государственного технологического университета.

Целью настоящей диссертации является повышение технологической и экономической эффективности обогащения на основе теоретических и экспериментальных исследований динамики разделения минералов, полей пондеромоторных сил и магнитных индукций, действующих в рабочей зоне сепараторов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать и исследовать аналитическую модель поля систем постоянных магнитов. Для этого необходимо:

— создать общую магнитостатическую модель,.

— получить на основе общей магнитостатической модели, как частный случай, на плоскости модель магнитных полей систем постоянных магнитов в виде произвольных многоугольников на основе интегралов Коши и типа Коши с приближениями, принятыми в теории электромагнитного поля,.

— разработать метод расчета систем постоянных магнитов, создать пакет программ расчета и графического изображения магнитных полей на ЭВМ,.

— исследовать магнитные системы различных устройств, в частности, сепараторов сухого типа и с ферромагнитной жидкостью,.

— получить модель для магнитных систем с магнитопроводами по приближенному методу зеркальных отображений,.

— аналитически доказать адекватность модели постоянных магнитов.

2. Получить закономерности для полей пондеромоторных сил. Для чего необходимо:

— вывести формулы для полей сил в ферромагнитных коллоидах с учетом разработанной магнитостатической модели ,.

— выявить особенности взаимодействия ферромагнитных тел с магнитным полем,.

— разработать методы и устройства для моделирования магнитных характеристик реальных ферромагнитных тел в неравномерном магнитном поле,.

— создать пакет программ расчета и графического изображения полей сил на ЭВМ,.

— исследовать поля сил в рабочем пространстве магнитожидкостных сепараторов с использованием математической модели,.

— построить картины линий равных эффективных плотностей, удельных горизонтальных сил и модулей сил, выявить зоны зависания и недоступности минералов.

3. Создать основы теории динамики разделения минералов в сепараторах с постоянными магнитами. Для этого необходимо:

— разработать системы дифференциальных уравнений движения минералов на плоскости и в трехмерном пространстве с учетом полученных закономерностей для пондеромоторных сил,.

— разработать программы расчета траекторий и скоростей движения минералов в сепараторах,.

— проанализировать динамику разделения минералов и выявить основные закономерности этого процесса, получить траектории движения минералов с различными геометрическими параметрами и физическими характеристиками,.

— определить процессы динамики разделения минералов, которые снижают технологические параметры обогащения. 4. Оптимизировать конструкции сепараторов. Для чего необходимо:

— поставить задачи оптимизации конструкций сепараторов, выбрать критерии оптимизации и ограничения,.

— выбрать метод оптимизации,.

— оптимизировать конструкции магнитных систем и рабочих зон сепараторов открытого, полузакрытого и закрытого типов,.

— найти оптимальную форму и геометрию расположения магнитов.

5. Испытать и внедрить усовершенствованные сепараторы. Для этого необходимо: провести лабораторные испытания усовершенствованных сепараторов, доказать адекватность динамики процессов в реальных сепараторах результатам математического моделирования,.

— разработать, изготовить и испытать оригинальные образцы магнитных и магнитожидкостных сепараторов на постоянных магнитах,.

— внедрить эти аппараты в практику шлиходоводки на объектах золотодобычи.

Методы исследования. В качестве методов исследования использовались теория электромагнитного поля, математическое моделирование на основе теории функций комплексного переменного с использованием интегралов Коши и интегралов типа Коши.

Применялись лабораторные и производственные экспериментальные исследования, обработка данных с использованием ЭВМ.

Основные научные положения, которые выносятся на защиту:

1. Аналитический метод расчета динамики разделения минералов в сепараторах с постоянными магнитами.

2. Метод и результаты оптимизации конструкций магнитожидкостных и магнитных сепараторов.

3. Разработанные на основе установленных закономерностей принципы конструирования магнитных систем сепараторов, обеспечивающие уменьшение массы магнитов с одновременным повышением устойчивости работы.

4. Аналитический метод расчета поля пондеромоторных сил в рабочем пространстве магнитостатических сепараторов.

5. Метод расчета поля индукций магнитных систем с постоянными магнитами и магнитопроводами.

6. Аналитический метод расчета полей магнитных индукций систем постоянных магнитов с использованием интегралов Коши и интегралов типа Коши на основе теории функций комплексного переменного и методов теории электромагнитного поля.

7. Пакет программ для расчета на ЭВМ полей индукций, пондеромоторных сил и линий равных эффективных плотностей ферромагнитной жидкости и расчета траекторий движения материалов.

Научная новизна заключается:

1. В установлении закономерностей движения минералов в сепараторах на постоянных магнитах с учетом функциональной зависимости пондеромоторных сил от магнитного поля.

2. В определении путей снижения массы магнитов и повышения стабильности работы сепараторов изменением геометрии магнитных систем и рабочих зон.

3. В установлении функциональной зависимости пондеромоторных сил от характеристик постоянных магнитов, намагниченности насыщения ферроколлоида, удельной плотности и магнитных характеристик минералов.

4. В установлении функциональных зависимостей для магнитных индукций, напряженностей магнитного поля и векторного магнитного.

13 потенциала от геометрии магнитной системы и величины вектора намагниченности для произвольных многоугольников с использованием интегралов типа Коши и интегралов Коши.

Практическое значение работы. На основе полученных математических моделей создан пакет программ для ЭВМ, с помощью которого разработаны новые рациональные конструкции МЖ-сепараторов на постоянных магнитах. Промышленное использование новых МЖ-сепараторов позволило повысить эффективность обогащения золотосодержащих шлихов.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается адекватностью экспериментальных исследований результатам вычислительных экспериментов, сходимостью расчетных данных с результатами эксплуатации созданных аппаратов.

Реализация работы. МЖ-сепараторы, изготовленные на базе созданных моделей, испытаны и успешно эксплуатируются в шлиходоводочных отделениях золотодобывающих предприятий Амурской и Иркутской областей и Хабаровского края, что подтверждено актами внедрения. Внедрено более двадцати обогатительных комплексов на базе разработанных сепараторов.

Апробация работы. Основные положения работы доложены: на международной конференции по магнитным технологиям. Санкт — Петербург, 1991 г., Всесоюзной научной конференции по записи и воспроизведению информации (г. Пенза, 1991 г.) — Ill Международной конференции «Комплексное изучение и эксплуатация месторождений полезных ископаемых», Новочеркасский государственный политехнический университет, г. Новочеркасск, 1997 г., научно-технических конференциях СКГТУ с 1989 по 1999 г. г.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 26 работах, в том числе, в 3 монографиях и 6 авторских свидетельствах.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, библиографического списка из 146наименований, 8 приложений, содержит 310 стр. машинописного текста, 94 рисунка и 5 таблиц .

Выводы.

1.Посталены задачи оптимизации конструкций сепараторов, выбраны критерии оптимизации и ограничения. Для оптимизации применен метод градиентного спуска.

2.Оптимизированы конструкции магнитных систем и рабочих зон сепараторов открытого, полузакрытого и закрытого типов.

3.Найдена оптимальная форма и геометрия расположения магнитов в сепараторах сухого типа для отделения ферромагнитных фракций.

4. В усовершенствованных конструкциях снижена масса магнитов от 15 до 40%, повышена устойчивость работы при изменении характеристик магнитной жидкости в процессе эксплуатации.

1.Проведены лабораторные испытания усовершенствованных сепараторов. Доказана адекватность динамики процессов в реальных сепараторах и результатами математического моделирования.

2.Установлена целесообразность дальнейшего развития методов извлечения золота с помощью магнитных и магнитожидкостных сепараторов. Обоснован вывод о целесообразности перевода сепараторов на постоянные магниты.

3. Разработаны, изготовлены и всесторонне испытаны оригинальные образцы магнитных и магнитожидкостных сепараторов на постоянных магнитах. Внедрение этих аппаратов в практику шлиходоводки на трех объектах золотодобычи в Амурской области и Хабаровском крае позволило существенно увеличить добытого металла и значительно улучшить условия труда. Организовано мало серийное производство созданного оборудования. Рассмотрены многочисленные примеры его промышленной эксплуатации.

4. Получены следующие основные результаты модернизации сепараторов и их внедрения:

Сепаратор Изменения конструкции Результат Внедрение.

1.Изменение формы магнитов. 2. Изменение формы 1. Снижение массы магнитов, повышение устойчивости работы. 2. Устранение зависания Внедрено.

МЖ — сепаратор /-образной формы рабочей зоны и ее использование в качестве вибролотка. 3. Создание конструкции с боковой разгрузкой. тяжелых минералов, увеличение эффективности разделения до 98% 3. Увеличение производительности. Внедрено. Выполнены промышленные испытания.

МЖ — сепаратор открытого типа 1. Изменение формы магнитов. 2. Изменение формы рабочей зоны. 1. Снижение массы магнитов. 2. Повышение устойчивости работы. Выполнены промышленные испытания.

Барабанный сепаратор Разработка конструкции магнитной системы Увеличение производительности и повышение извлечения. Внедрено.

Валковый сепаратор Разработка конструкции магнитной системы. Увеличение производительности и повышение извлечения. Внедрено.

Тарельный сепаратор для отделения ферромагнитных фракций Изменение конструкции магнитной системы Увеличение производительности и повышение извлечения Внедрено.

Тарельный сепаратор для отделения немагнитных фракций Разработка конструкции и технологии. Создание сепаратора и технологии для отделения частиц менее 50 мкм. Внедрено.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе даны разработанные основы теории динамики разделения минералов в магнитных полях постоянных магнитов и псевдоутяжеленных ферроколоидах. Разработаны сепараторы, обеспечивающие повышение технико-экономических показателей и улучшению условий труда при переработке золотосодержащих шлихов.

С целью охвата всех сторон проблемы были аналитически описаны и исследованы поля пондеромоторных сил и магнитные поля систем постоянных магнитов. Разработаны методы оценок предлагаемых математических моделей.

Все поставленные задачи решены и результаты исследований использованы для оптимизации конструкций сепараторов и их внедрения в золотодобывающую промышленность. При этом снижена масса магнитов и стоимость аппаратов при увеличении технологических показателей.

По итогам работы сделаны следующие выводы:

1.Разработаные научные основы создания сепараторов на постоянных магнитах позволили разработать усовершенствованные сепараторы и на их основе впервые создать в отечественной практике и довести до серийного производства универсальный магнитогравитационный сепарационный комплекс на постоянных магнитах" Шлих" .

2. Математические модели динамики разделения минералов для сепараторов с постоянными магнитами содержат дифференциальные уравнения трехмерного движения с учетом полей пондеромоторных сил.

Впервые эти силы представлены в виде функциональных зависимостей от геометрии магнитной системы и физических характеристик магнитов, ферромагнитной жидкости и минералов шлиха. В результате:

— Разработан аналитический метод расчета динамики разделения минералов, позволяющий определять границы рабочей зоны и учесть законы движения на них. Разработаны программы расчета траекторий и скоростей движения в зависимости от удельной плотности и размеров минералов, начальной скорости и места их подачи. Доказана адекватность динамики движения в полях пондеромоторных сил созданной математической модели.

— Выполненное математическое моделирование магнитожидкостных сепараторов позволило проанализировать динамику разделения минералов и выявить основные закономерности этого процесса. Для конструкции сепаратора открытого типа выявлено, что одним из технологических недостатков является малое расстояние между разделенными золотосодержащими продуктами и пустой породой, что определяет возможность их смешивания в зоне разгрузки. Для увеличения расстояния между потоками золотосодержащих продуктов и пустой породы увеличена ширина рабочей зоны на 20%. В сепараторах закрытого и полузакрытого типа поток шлиха, рассредоточенный по поверхности магнитной жидкости при движении стремится к центру симметрии сепаратора. Такое движение не дает возможность эффективного разделения минералов. Так фракции шлиха, с периферии рабочей зоны, смешиваются с минералами с центра этой зоны. В результате возникают препятствия для движения вниз тяжелой золотосодержащей фракции, она застревает в плотном потоке пустой породы и теряется. В сепараторе наклонного типа с углом между горизонтальной осью и левым магнитом 30^ существуют области рабочего пространства, в которых горизонтальные составляющие пондеромоторной силы направлены встречно движению и препятствуют боковой разгрузке легких фракций, результате происходит засорения отделенных золотосодержащих фракций пустой породой. Здесь существует неустойчивость процесса сепарации при незначительном изменении магнитных характеристик феррожидкости.

— Выведены и решены в явном виде дифференциальные уравнения динамики разделения минералов, в частности для скоростей, в сухих сепараторах, отделяющих ферромагнитные фракции. Моделирование показало, что изменение скорости движения ленты нижнего транспортера в широких пределах незначительно влияет на динамику процесса. Только при очень больших скоростях процесс сепарации не произойдет. Изменение скорости движения ленты верхнего транспортера в сторону уменьшения может привести к нежелательным явлениям. Частица после отрыва от верхнего транспортера может двигаться с отрицательной скоростью и не попасть в приемный бункер. При дальнейшем уменьшении скорости нижнего транспортера частица, перемещается в сторону магнита и снова попадает на верхний транспортер. В результате частицы будут накапливаться на нем до тех пор, пока не произойдет экранирование магнитного поля и силы уменьшатся. Изменение угловой скорости барабана в сторону уменьшения или увеличение магнитной индукции, как и в ленточном сепараторе, приводит к налипанию частиц на барабане .

3.Поставлены задачи оптимизации конструкций сепараторов, выбраны критерии оптимизации и ограничения. Для оптимизации применен метод градиентного спуска. Исследования полей пондеромоторных сил показали, что вблизи вершин магнитов они избыточны. Это дало возможность предположить наличие лишней массы магнитов. Для подтверждения такого предположения выполнена оптимизация полей пондеромоторных сил в магнитной системе сепаратора открытого типа, в результате нижняя сторона и высота магнита уменьшены на 30%. При этом разность вертикальны и горизонтальных составляющих пондеромоторных сил в процентах по отношению к ранее рассмотренной конструкции в большей части рабочего пространства ничтожна мала. Только вблизи вершин магнита она более 0,012%. Расчет траекторий движения всех фракций шлиха показал, что они идентичны с прежними магнитными системами. Уменьшена длина сепаратора. В результате масса магнитов сокращена более чем на 40%, а стоимость обогатительного комплекса уменьшилась на 30%. Для сепараторов закрытого типа необходимо, чтобы фракции пустой породы имели движение к магнитам, а отделяемые золотосодержащие фракции имели движение к центру симметрии сепаратора. Такой характер движения позволил рассредоточить поток минералов и исключить возможность образование сгустков из пустой породы. На основе оптимизации полей сил форма магнитов изменена так, что в верхней их части имеются клинообразные вырезы. Они изменяют магнитное поле и поле пондеромоторных сил, что в свою очередь принципиально изменило траектории движения минералов различной удельной плотности, что позволило реализовать поставленную задачу. В оптимизированной магнитной системе сепаратора наклонного типа Правый магнит выполнен в виде трапеции, а левый в виде параллелограмма. При выбранной форме магнитов поле пондеромоторных сил практически полностью соответствует предъявленных к нему требованиям. Особенно благоприятной оказалась картина горизонтальных составляющих пондеромоторных сил. В большей части рабочего пространства они имеют отрицательный знак, что обеспечивает беспрепятственное движение легких фракций в зону боковой разгрузки. В сепараторах сухого типа принята трапециидальная форма магнита. Он короткой гранью закреплен на магнитопроводе. Длина внешней стороны осталась прежней. В рабочем пространстве поле пондеромоторных сил изменилось незначительно. Участки траектории движения к верхнему транспортеру или барабану для ферромагнитных минералов остались прежними. В случае, когда эти минералы удерживаются на закругленной части транспортера или барабана, отрыв их происходит раньше и это является положительным фактором. В барабанном сепараторе сдвиг магнита от центра симметрии исключило налипание материала. В усовершенствованных конструкциях при снижении массы магнитов от 15 до 50% с одновременным повышением устойчивости работы.

4. Разработаны, изготовлены и всесторонне испытаны оптимизированные образцы магнитных и магнитожидкостных на постоянных магнитах. Внедрение этих аппаратов в практику шлиходоводки на трех объектах золотодобычи в Амурской области и Хабаровском крае позволило существенно увеличить добытого металла и значительно улучшить условия.

252 труда, за счет исключения операций амальгамации и ручной отдувки. Всего внедрено более 20 комплексов.

5. Разработана и исследована математическая модель для пондеромоторных сил в системах с постоянными магнитами. При этом :

Выведены основополагающие формулы для полей сил в ферромагнитных коллоидах. Впервые создана математическая модель полей сил с учетом аналитических методов расчета магнитных полей и получены явные функциональные зависимости пондеромоторной силы от параметров магнитной системы: намагниченности насыщения ферроколоида и магнитных характеристик минералов.

— Математическая модель для пондеромоторных сил сепараторов для отделения ферромагнитных частиц позволила определить области рабочей зоны, охваченные линией уровня силы равной силе тяжести минералов. Экспериментально выявлено, что для крупных частиц нельзя использовать понятие магнитной восприимчивости, а необходимо знать интегральную магнитную восприимчивость. Разработаны методы и устройства для моделирования интегральной магнитной восприимчивости, защищенные авторскими свидетельствами. На их основе произведены исследования по определению интегральной намагниченности, которые показали ее зависимость от размеров минералов и степени неравномерности магнитного поля.

— Создан пакет программ расчета и графического изображения полей на ЭВМ. Построены картины уровней равных эффективных плотностей, удельных горизонтальных сил и модулей сил. Выявлены зоны зависания и недоступности минералов в магнитожидкостных сепараторах и и определены способы их устранения. Доказано, что в сепараторах сухого типа без расчета траекторий определяются точки отрыва ферромагнитных частиц от транспортных устройств.

6.Разработана и исследована общая магнитостатическая модель в комплексной форме записи на основе которой получено, как частный случай, описание полей постоянных магнитов. В результате:

— получены уравнения магнитостатики в комплексной форме записи. При этом использовались оператор Коши — Римана и основные уравнения магнитостатики. Выведены граничные условия для магнитного поля в комплексной форме записи с использованием условия непрерывности нормальной составляющей вектора магнитной индукции и тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля.

— впервые разработан аналитический метод расчета полей постоянных магнитов на комплексной плоскости в виде произвольных многоугольников. При этом использовались: интеграл типа Коши, интеграл Коши, формулы Сохотского, фундаментальное решение оператора Коши — Римана, свертки, уравнения магнитостатики и граничные условия в комплексной форме записи. Получены в явном виде выражения для магнитной индукции, напряженности магнитного поля и магнитного векторного потенциала в комплексной форме записи в зависимости от геометрии магнита и его намагниченности. Метод дал возможность аналитически точно рассчитывать магнитные поля, что подтвердил разработанный метод оценки точности разработанной математической модели.

6.3. Методом полных последовательных отображений установлено, что влияния магнитопроводов существенно и в нижних областях рабочих зон оно составляет более 40%. Введена единичная функция Коши для произвольного многоугольника, с помощью которой Выведены магнитная индукция, напряженность магнитного поля для равноотстоящих областей в комплексной форме записи.