Социально-культурные факторы развития математического знания

Актуальность исследования.

В истории науки математике всегда отводилось особое место: с ней связывался идеал научной истины. Математическое знание трактовалось как «божественное знание», как чистая деятельность мышления, как беспристрастное выведение заключений из аксиом и т. д. Лишь после глубокого кризиса оснований математики конца XIX — начала XX в. стало приходить понимание, что математика представляет собой творение человеческого духа и, как все остальное в культуре, подвержена действию самых разнообразных внешних факторов. «С самого начала я понял, — писал Д. Стройк в своем „Кратком очерке истории математики“, — что история математики — не только история развития понятий, но одна из частей истории человеческой деятельности, в которой отражается борьба человека с природой, притом не абстрактного человека, а человека как члена общества. Существует тесная зависимость между математикой и общекультурными устремлениями эпохи, устремлениями которые сами отражают, непосредственно или опосредствованно, преобладающие общественные и экономические условия. Мы можем утверждать, что важные направления математического творчества (или отсутствие такового) можно понять только в связи, косвенной или непосредственной, с социально-экономическими условиями».1.

Сегодня уже не приходится доказывать, что математическое знание, представляя собой продукт наиболее чистой и абстрактной рациональной деятельности человеческого интеллекта, глубоко укоренено в социально-культурном творчестве человечества. Множество связей соединяют результаты математического творчества с основополагающими цивилизационными процессами, с мировоззренческими основаниями эпохи и национальной.

1 Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М., 1990, с. 4. культуры, со всеми сферами социального бытия, включая условия материальной жизни, информационные и коммуникационные возможности, образовательный потенциал общества, политико-идеологическое устройство, структуру социальных потребностей, этическую природу человеческих взаимоотношений и т. д. Хотя все эти связи не образуют собственного содержания математики, их осознание должно составлять самостоятельный предмет научной рефлексии — рефлексии столь необходимой для математической науки, как и само математическое творчество. Высокий интерес к проблеме, подкрепляемый стремительным ростом специальной науки, — социологии математики, — и в то же время реальный недостаток в фундаментальных исследованиях по данной теме обусловливают высокую актуальность предмета исследования настоящей диссертации.

Степень изученности проблемы и теоретическая база исследования.

Несмотря на молодой возраст социологии математики, процесс изучения социально-культурного измерения математики на протяжении последнего столетия проделал значительные шаги. Вплоть до конца XIX в. история математики мыслилась исключительно как история идей и открытий. Развитие исторической науки привело постепенно к появлению работ, отражающих биографические аспекты и историко-культурное окружение эпохи.2 Серьезный поворот в истории математики произошел в начале XX в. в связи с задачей комплексного изучения математического развития. В работах классиков истории математики, таких, как Е. Белл, Г. Вусинг, Ф. Клейн, Г. Сартон, Д. Стройк, К. Рыбников, А. Юшкевич и др., а также монографиях, посвященных отдельным периодам развития математики, 4 ставится целью, как прави.

2 Golems Е. Von Pytagoras bis Hilbert. Berlin, 1935; Sarton G. The Study of the History of Mathematics. Cambridge, 1936; библиографический материал печатается с 1932 г. в журнале Scriota Mathematica, N.Y.

3 Bell E.T. The Development of Mathematics. N.Y., London, 1945; Cajori F.A. History of Mathematics. N.Y., 1938; Цейтен Г. История математики в XVI и XVII вв. М.-Л., 1933; Sarton G. Introduction to the History of Science. V. l-5, Waschington, 1927;1948; Sarton G. The Study of the History of Mathematics. Cambridge, 1936; Wu? ing H. Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik, Berlin, 1979; Рыбников К. А. История математики Т. 1−2, 1960;63- Юшкевич А. П. История математики в России (до 1917 г.). М., 1968.

4 Heiberg J. Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaft in Altertum. Munchen, 1960; Никифоровский В, А. Рождение новой математики, М., 1988; Benhke Н. Strukturwandel der Mathematik in erster Halfte des XX. Jh. 1956; Вилайтер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1960; ло, не только выявить математическое содержание теорий и наук, но и проследить основные значимые для социума и культуры параметры развития математического знания.

Другим направлением, в котором начинают изучаться социально-культурные факторы, стали работы по философским основаниям математики и по истории философии математики. Благодаря этим исследованиям стало очевидно глубокое различие культурно-философских оснований математики различных эпох. Среди исследований этого характера следует назвать работы Д. Беккера, Л. Витгенштейна Г. Мешковского, Ф. Рамсея, Г. Фрея, В. Катасонова, О. Кедровского и др.5 Вместе с работами философского плана выдвигаются работы, в которых математическое творчество начинает рассматриваться как духовная деятельность, в комплексе культурных, психологических и творческих связей отдельных открытий, мыслителей, систем.6 Они значительно расширяют проблематику истории математики.

С совершенно другой стороны приближаются к рассматриваемой проблематике социологи науки. Здесь возникают основные оригинальные идеи и концепции развития научного знания. Историки и теоретики философского плана, такие как Т. Кун, И. Лакатос, Р. Мертон, К. Поппер, С. Тулмин, П. Фейрабенд, разрабатывают методологическую основу социологии науки и стимулируют исследования, ставящие целью применение этих теорий к ис.

5 Becker D. Grundlagen der Mathematik in der Entwicklung, Frankfurt, 1975; Frey G. Einfurung in die philosophische Grundlage der Mathematik, Paderborn, 1968; Meschkowski H. Wandlungen des Mathematischen Denkens, Braunschweig 1961; Ramsey F.P. The Foundations of Mathematics. London, 1926; Wittgenstein L. Lectures on Foundations of Mathematics. Sussex, 1976; Катасонов B.H. Метафизическая математика ХУЛ в. М., 1993; Кедровский О. Взаимоотношения философии и математики в историческом развитии, М., 1976.

6 Bense М. Konturen einer Geistgeschichte der Mathematik und der Wissenschaften Hamburg, 1948; Bense M. Die Mathematik in der Kunst. Hamburg, 1949; Frey H. Entwicklung der mathematischen und intellektuellen Leistungsfahigkeit durch moderne Mathematik? Henn, 1978; Mine M. Mathimatics in western culture, Harmondsworth, 1982; Meschkowski H. Denkweisen gro? er Mathematik Braunschweig, 1990; Pfeiffer J. Wege und Irrwege. Munchen, 1983; GrauertH. Was erforschen die Mathematiker? Stuttgart, 1986; Popp W. Wege des exacten Denkers, Augsburg, 1987; Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 19⁰. тории математики.7 Не последнее значение имеют и общие методологические работы философов и социологов культуры, — М. Вебера, В. Зомбарта, К. Ман-гейма, 8 рассматривающие глобальные духовные тенденции европейской культуры, а также работы социологов, разрабатывающих концепции социальных систем, таких как Т. Парсонс, Н. Луман, Ю. Хабермас и др.9.

Названные направления в той или иной степени касаются общих подходов к рассматриваемой проблеме. Начиная со второй половины XX в. появляются работы, ставящие целью конкретный содержательный анализ социально-исторического измерения науки вообще и математики в частности. Первой из них была работа историка и социолога науки Е. Цильзеля: «Социальные источники новоевропейской науки».10 В ней автор ограничивается историческими рамками ХУ1-ХУН вв., рассматривая различные направления культурных воздействий на развитие научного знания: религиозных, социальных, технических. К сожалению, проблематика математических наук в значительной степени выпадает из поля зрения автора. То же можно сказать о более поздней работе Е. А. Мамчура «Проблемы социокультурной детерминации научного знания».11.

Ближе к математической проблематике работы американца С. Рестиво: «Социальные отношения физики, мистицизма и математики», «Математика в.

19 обществе и истории". Беря за основу марксистский историко-материалистический подход, он анализирует особенности социальной обу.

7 Lakatos I. Mathematik, empirische Wissenschaft und Erkenntnistheorie. Wiesbaden, 1982; Merton R. Social Theory and Social Structure. N.Y., 1951; Toulmin S. Human Understanding. Part 1: The Collective Use and Evolution of Concepts. Oxford, 1972; Revolutions in Mathematics / Ed. D. Gillies, Oxford, 1992; Кун Т. Структура научных революций. M., 1995; Лакатос И. История науки и ее рациональные реконструкции // Структура и развитие науки. М., 1985 — Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967; Поппер К. Логика и рост научного знания. М., 1983; Фейерабенд П. Избранные труды по методологии науки. М., 1986. Как и другие работы этого плана, книги И. Лакатоса, опирающиеся на большое количество математического материала, ограничиваются методологической проблематикой.

8 Вебер М. Избранные произведения. М., 1990; Зомбарт В. Буржуа. М., 1994; Мангейм К. Избранные работы. М., 1994.

9 Habermas J. Theorie des Kommunikatives Handels, 2 Bd., Frankfurt, 1981; Luhmann N. Soziale Systeme. Grundri? einer allgemeinen Theorie. Frankfurt, 1984; Parsons T. The Sociologycal Structure and Modern Society. N.Y., 1967.

10 Zilsel E. Die soziale Ursprunge der neuzeitlichen Wissenschaft, Frankfurt, 1976.

11 Мамчур E. А. Проблемы социокультурной детерминации научного знания. М., 1987.

12 Restivo S. P. The Social Relations of Physics, Mysticism, and Mathematics. Boston, 1983; Restivo S.P. Madumatics in society and history, Dordrecht, 1992; словленности специфики математического знания в различные эпохи истории, а также разрабатывает методологические аспекты социально-культурного исследования математики. Работам С. Рестиво, однако, свойственен фрагментарный характер и практическое отсутствие анализа современного математического знания.

Этот недостаток отчасти восполняет работа немецкого ученого Ю. Мааса «Математика как социальная система. История и перспективы математики с точки зрения системной теории».13 В данном труде автор опирается на методологические установки социальной теории Н. Лумана, ставя целью раскрыть содержание процесса системообразования математического знания, в результате которого математика становится частью социальной системы общества. Несмотря на ряд интересных результатов, подход автора не раскрывает культурно-философского значения математики как социальной системы. Кроме того, исследование ограничивается периодом XVIIIXIX вв. и исключительно рамками развития немецкой математики.

Достаточно большой объем литературы составляют отдельные статьи и публикации, некоторые из которых повлекли за собой активную научную дискуссию.14 Среди них заслуживает внимания сборник под редакцией К. Боса и К. Мертена «Социальная история математики девятнадцатого века». В нем в историографическом ключе рассматриваются отдельные моменты и аспекты социальной истории математики.

Интерес к социальной проблематике математики в последние несколько десятилетий переживает заметный рост, о чем говорит выпуск в 1994 году энциклопедического издания «Grattan-Guinness Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences», авторы которого попытались обобщить и синтезировать наработанное в области истории и фи.

13 Maa? J. Mathematik als soziales System. Geschichte und Perspektiven der Mathematik aus systemteoretischer Sicht. Diss., Essen, 1985;

14 Bos H.J., Mehrtens H. Social History of Nineteenth Century Mathematics. Basel, 1981; Studien zur Wissenschaft: SozialBildungsgeschichte der Mathematik, Gottingen,? 985 — 1990; лософии математики.15 Существует ряд работ в отечественной литературе, посвященный изучению проблем философии и социологии математики.16.

Таким образом, настоящее исследование опирается на достаточно широкую теоретическую базу, включающую как разнообразный предметный срез проблемы, так и плюрализм методологических подходов. Тем не менее, остается очевидным дефицит специальных работ по систематизации и всеобъемлющему анализу проблем социально-культурного значения и социокультурных детерминант развития математического знания. Подробному анализу данных вопросов и посвящена настоящая диссертация.

Методологическая основа исследования.

Методологическую основу настоящей диссертации составляют принципы культурно-исторического и системного подхода, обеспечивающие возможность комплексного исследования проблемы в синхроническом и диахроническом аспекте. Исходя из синтеза этих подходов, предполагающего изучение культурных явлений в срезе социальной жизни, математическое знание рассматривается в настоящей работе в трех аспектах: 1) как историческое явление, с необходимостью включенное в исторический процесс и обладающее способностью к самостоятельному, относительно автономному, внутреннему развитию- 2) как культурное явление, являющееся продуктом культурного творчества и обусловленное множеством социокультурных детерминаций- 3) как социальное явление, включенное в структуру социальных взаимодействий и обладающее основаниями для собственного институционального развития. Комплексное исследование проблемы предполагает использование методологических наработок социологии и философии науки и культуры, теории социальных систем, материалов из истории и философии математики, методов исторического и социологического анализа.

15 Grattan-Guinness Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. N.Y., 1994.

16 На историко-научном и историко-философском уровне эта тема разрабатывалась М. К. Петровым, П. П. Гайденко, В. Г. Кузнецовым, А. П. Огурдовым, Н. И. Кузнецовой, В. В, Казютинским, И. Д. Рожанским и др. См. Степин B.C. Философская антропология и философия науки. М., 1992; Косарева Л. М. Предмет науки: социально-философский аспект проблемыКосарева Л. М. Наука и культура. М., 1984.

Цели и задачи исследования.

Целью настоящей диссертации является раскрытие социально-культурных факторов с точки зрения их воздействия на развитие и формирование математического знания в ходе исторического процесса. Эта цель предполагает как анализ социально-культурного измерения самой математики, так и выявление значения, которое занимает математическое знание в культуре и для культуры. Ее достижение предполагает решение ряда более конкретных задач в методологическом аспекте:

— поиск методологических подходов к изучению истории математики в социально-культурной перспективе и определение комплекса социальных параметров, описывающих социальное измерение математического знанияв содержательном аспекте:

— раскрытие характера связи между социальным и культурным развитием общества и развитием математического знания;

— анализ общественной потребности в математическом знании, если такая имеется, с одной стороны, и раскрытие социальных функций математики в обществе, с другой;

— раскрытие содержания процесса институализации математики;

— выявление значения математики для основополагающих цивилизацион-ных процессов современности;

Как видно, поставленные задачи не предусматривают исторических или территориальных рамок, но предполагают строгие предметные ограничения применением исключительно методов социального анализа к истории развития математики.

Исследовательские результаты и научная новизна работы.

Несмотря на давно осознанную и высказанную потребность в раскрытии социально-культурного содержания математического знания, такая задача до сих пор не ставилась на уровне диссертационного исследования. Научную новизну настоящей работы определяют следующие исследовательские результаты:

1. На основании синтеза системного и историко-культурологического подходов выработан метод социокультурного исследования. Этот подход заключается в рассмотрении социокультурного бытия в качестве единого континуума, различая в нем области: 1) социальных системных структур (политическая система, экономическая система, система социализации, система гражданского общества), 2) систем культурного производства (религию, искусство, науку, право и др.), 3) комплекса культурных констант (язык, ценности, традиции, обычаи и др.) и 4) механизмов социокультурной динамики (процессы социальной трансформации, коммуникационные процессы и т. д.). Указанной системой параметров с достаточной полнотой описываются взаимосвязи математики с окружающей ее социокультурной средой.

2. В работе показано, что основополагающая связь между математическим знанием и развитием общества определяется тем, что математика служит цивилизационным двигателем развития культуры, определяющим темпы и глубину процессов рационализации и модернизации культуры, что особенно наглядно видно в развитии европейской технической культуры Нового времени. Эта связь осуществляется посредством создания рациональных основ для институализации общества, с одной стороны, и формирования социальных предпосылок для углубления рационализации общества, с другой.

3. При помощи построенной системы социокультурных координат отражены индивидуальные особенности каждой отдельной эпохи в развитии математического знания, состоящие в том, что один и тот же компонент указанной системы в различные эпохи в зависимости от общественных потребностей и функций математики в данном обществе может являться важным фактором для развития математики, либо наоборот — тормозить ее развитие, либо быть не существенным, либо становиться подчиненным развитию математики.

4. Выяснено, что существует четкое соответствие между институциональным развитием математики и общим уровнем развития культуры социума. Возникновение каждой новой эпохи в развитии математики опосредовано новой констелляцией культурных компонентов и новыми культурными открытиями. Показано, что институализация математики обусловлена не только внутренней эволюцией математического знания, но и развитием его институциональной инфраструктуры, позволяющей на каждом новом этапе расширять возможности социума в расширении и углублении математической деятельности.

5. Осуществлена экспликация механизмов, с помощью которых происходит интеграция математического знания в социальную жизнь, состоящая в том, что четыре модуса, в которых традиционно рассматривается современное общество как общество капиталистическое, индустриальное, правовое и информационное, имеют модернизационно-рациональную структуру, поэтому непосредственно связаны с математикой. Математика является стержнем процессов модернизации и глобализации в современной цивилизации, становится одним из основных предметов образования, школой логического и аналитического мышления. В диссертации делается вывод, что математика является одним из условий возможности существования современного общества.

Характер новизны имеет общая попытка социокультурной интерпретации развития математического знания с точки зрения теории рационализации и модернизации. Наконец, определенный интерес с точки зрения новизны должны иметь конкретные суждения о влиянии исторических событий и процессов на возникновение и ход развития математических наук, о влиянии философских концепций как отражения мировоззренческих оснований культуры на формирование математических понятий, о содержании эпохи «кризиса оснований» с точки зрения его роли в формировании и закреплении комплекса современной математической науки, о специфике развития математики по сравнению с естественными науками, коренящейся, среди прочего, в различии социальной природы этих наук и др.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. К работе прилагается список литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подводя итог, следует еще раз озвучить главный тезис, который лег в основу настоящей диссертации: математическое знание, представляя собой продукт наиболее чистой и абстрактной рациональной деятельности человеческого интеллекта, глубоко укоренено в культурном творчестве человечества. Множество связей, не видимых, как правило, взгляду даже математика-специалиста, связывают результаты его творчества с основополагающими цивилизационными процессами, с мировоззренческими основаниями эпохи и национальной культуры, со всеми сферами социального бытия, включая условия материальной жизни, информационные и коммуникационные возможности, образовательный потенциал общества, политико-идеологическое устройство, структуру социальных потребностей, этическую природу человеческих взаимоотношений и т. д. Хотя все эти связи не образуют собственного содержания математики, их осознание должно составлять предмет рефлексии — рефлексии столь необходимой для математической науки, как и само мате-матичесше творчество.

Эта истина, осознанная, в первую очередь, в области истории математики и социологии науки, вызвала к жизни поиск методологических путей ее реализации. Такой поиск совершается параллельно гуманитарному повороту в изучении науки, открытию ее исторической и культурной обусловленности. Решающим шагом на этом пути можно назвать концепцию Т. Куна, в которой включение культурных и социальных влияний на развитие науки находит свое методологическое обоснование. Методически обогащенная, социология науки открывает новые подходы к изучению математики, раскрывая содержание ее парадигм, изучая деятельность математического сообщества, характер функционирования ее институтов, социализационные функции, каналы влияния на общество, культурную и образовательную политику и т. д.

Особенность математики, имеющая отношение к ее социальному изучению заключается в том, что математика представляет собой коррелят рациональной природы человека и поэтому служит основным инструментом рационального описания и управления миром. Однако значение этого момента часто преувеличивается. Математическая рациональность, хотя универсальна, тем не менее, имеет особые культурные формы, от которых нельзя абстрагироваться. Разум находит в математике то, что вложил в нее его культурный дух.

Исследование социальных зависимостей при многообразии культурных форм и исторических условий, в которых развивается математическое знание, предполагает существование универсальной модели социально-культурных взаимодействий. Такую модель должны предложить структурно-функциональный анализ и системная теория, в уточненном варианте для конкретного случая с изучением математики. Должна быть выстроена систе1 ма социальных параметров, значимых для математики. Проблему составляет объединение социальных и культурных параметров в единой типологической конструкции, поскольку их изучение принадлежит разным областям и разным научным традициям. Индивидуальные исторические эпохи, в рамках которых изучается развитие математического знания, препятствуют построению единой универсальной системы социально-культурных детерминант развития математики. Эта проблема решается, если придерживаться определенных методологических ограничений и рассматривать социально-культурное бытие в качестве единого континуума, различая в нем регионы: 1) социальных системных структур (политическая система, экономическая система, система социализации, система гражданского общества), 2) сфер культурного творчества (религию, искусство, науку, право и др.), 3) комплекса культурных констант (язык, ценности, традиции, обычаи и др.) и 4) механизма социокультурной динамики (процессы социальной трансформации, коммуникационные процессы и т. д.). Существенные связи между историческим развитием математики и социальными явлениями возникают тогда, ко.

135 уч.

Среди них могут отсутствовать параметры, важные для иных систем, но не существенные для математики, например, мораль. гда математика в данной социальной системе выполняет определенную функцию. Определяющими для математики социально-культурными функциями, по результатам настоящей работы, являются: I. Применительно к системным структурам:

1) в системе социализации и образования: a) функция формирования когнитивных навыков и рационализации b) функция математического образования.

2) в системе гражданского общества: а) функция институализации математической деятельности.

3) в экономической системе: a) функция рационализации распределительно-обменных процессов (в финансовой системе) b) функция рационализации управленческих технологий (в системе менеджмента) c) функция средства технического развития (в системе материального производства).

II. Применительно к механизмам социокультурной динамики:

1) в модернизационных процессах: а) функция рационализации инновационной деятельности.

2) в коммуникационных процессах: а) функция усовершенствования информационных техноло-1 гий.

III. Применительно к комплексу культурных констант:

1) в системе языка: а) функция математического символообразования.

2) в системе ценностей: a) функция рационализации целесообразной поведенческой деятельности b) функция эффективизации познавательной деятельности.

3) в системе традиций: а) функция преемственности научной традиции.

IV. Применительно к системе культурного производства:

1) в религии: а) функция символизации культа.

2) в праве: а) функция формализации правовых отношений.

3) в искусстве: а) функция организации пространственно-временного порядка.

4) в науке: а) функция инструмента измерения и описания объектов и фактов.

Ы функция рационализации научного языка и методов с) функция информационной обработки научного материала.

Одной из первых задач социокультурного анализа математики является объяснение ее возникновения, поскольку основную часть своего существования человечество не нуждалось в подобном знании. В строгом смысле, математическое знание возникает тогда, когда числовые и пространственные представления приобретают социальный характер. Сама потребность в таких знаниях появляется только в системе общественного производства, поскольку все формы быта ввиду своей простоты в них не нуждаются. Основные достижения математической науки на этом этапе — формирование понятия числа, овладение арифметическими операциями, первые математические соотношения и простейшие алгоритмы — совершаются в этот длительный период, общий всем цивилизациям. К этой же стадии относится изобретение системы счета, письменная запись. Закрепляет факт возникновения математики формирование системы образования, которой общество обязано в первую очередь математическому знанию.

Вторым шагом является изучение социальных корней приобретения математикой формы науки. Социальные стимулы развития математики в простейших обществах имели свои пределы, и их роль при всем их значении была весьма скромной. Решающий прорыв произошел в античной культуре, причины которого были не производственного, а духовного плана. За формой теории, в которую облачили знание древние греки, угадывается огромная культурная работа по рационализации жизни: кроме заметного производственного и торгового прогресса в Древней Греции находят место серьезные изменения политической формы, социальной структуры, ускорение социально-культурной динамики, не в последнюю очередь — разложение мифологической традиции. Однако основополагающим является взлет интеллектуального творчества — философии, искусства, литературы — в качестве своего идеала положившего религиозно-культовый мотив созерцания (Оворюс). Созерцание Правильной неподвижной пространственной структуры ложится в основу античного типа рациональности. Отличительной чертой античной математики является ее «геометризация». Вместе с выработкой понятия и критериев науки, математика становится наукой и приобретает характер научного идеала. На основе математики формируется комплекс основополагающих наук, составивший основу далеко продвинутой системы античного образования.

Мировоззренческие принципы античной культуры, нашедшие рациональное выражение в античных философских системах, определили рамки (аристотелевские ограничения использования актуальной бесконечности), за которые знание было не вправе выходить. Это послужило достижению высокой завершенной теоретической формы античной математики, но имело и негативные последствия для ее развития: не имея выхода на практику, математика замкнулась в ряду внутренних проблем и логических тупиков.

Следующим шагом исследования является задача объяснить переход и формирование математики как развитого комплекса математических наук. Исторически этот период занимает полтора тысячелетия европейской культуры. Наследовать сокровища античной математики сумела культура средневекового арабского Востока. Создав ареал поликультурного открытого общества, арабы смогли по ряду направлений превзойти достижения античной математики. В их интерпретации математическое знание приобрело алгебраический характер. В этот период европейская средневековая культура демонстрирует противоположные черты: закрытость и религиозную сосредоточенность. Однако в ней созревают предпосылки для будущего взлета математики: вырабатывается понятие бесконечности и формируется отношение к бытию как творению. Вместе с секуляризацией культуры в Возрождение и Реформацию, из средневековой культуры вырастает динамичная технологичная цивилизация Нового времени.

Новое время формирует социальную базу научного сословия, исходными элементами которой были торговцы, ремесленники и интеллектуалы. Несмотря на то, что именно математике суждено сохранять традицию ютассической науки, эмпирический и экспериментальный подходы в возникающей математической науке решительно изменили ее характер, приведя к возникновению анализа. Благодаря новой философии в математику вошли запретные прежде представления движения, бесконечности, метода, породившие понятия функции, переменной и т. д. Техническая революция, возникновение капитализма, рост коммуникаций являются по сей день основными социальными детерминантами развития математики. Вместе с ростом системы образования (университеты), появляются первые институциональные формы науки (академии, технические школы, переписка, печатные издания) и первые «профессиональные» ученые. Рациональность Нового времени получила черты автономного, динамично действующего и субъективно ответственного «Разума», вмешивающегося в ход природы и управляющего миром по рассчитанному плану. Выражая рациональную структуру так понятого разума, математика вновь возводится в идеал научной истины, определяя первые черты «математизации» культуры.

Ко второй половине XIX в. математическое знание складывается в многообразный комплекс математических наук. В социальном плане этот момент означает формирование его как социальной системы. С выявлением критериев математической «строгости», принципов формально-логического построения, базы универсальных оснований, математический комплекс получает свое идейное завершение, сопровождаемое философским «кризисом оснований», который преодолевается на почве позитивистского рационализма. В это же время математика окончательно складывается как социальная система, с собственным «функциональным полем», комплексом институтов, и системой развитого профессионального образования и обеспечения.

В обществе модерна, радикально порвавшим с константным традиционным обществом, рациональность выполняет совершенно иную функциюне воспроизводства, а прибавочного производства культуры. Бытие не принимается таким, какое оно есть, а творится в ходе культурно-производственного творчества. Наука как форма рациональности обслуживает цивилизацию, которая существует за счет ускорения и интенсификации жизни, не будучи способной остановить жизненный темп. Инновационная активность, разрушающая ежедневно то, что еще не устоялось вчера, связана с огромными цивилизацонными рисками и требует титанических интеллектуальных усилий по рационализации и управлению социальными процессами. Детерминанты, определяющие развитие новоевропейской математики, не могут быть сравнимы с причинами, стимулировавшими математику прежде. Сам характер общества стал главным двигателем математического знания, вызвав к жизни понятие «математической» культуры. Индустриальное и постиндустриальное производство с высокими технологиями, мощная финансовая система, контролирующая автономное движение ресурсов, плотная сеть высокоэффективных коммуникаций, небывалая информационная емкость общества, развитость рационального автономного мышления в рамках прочной правовой системы и формально-институализированного гражданского общества, делающих общество самоуправляемым, мобильная и подконтрольная демократическая политика, — в таких условиях возникновения новой виртуальной цивилизации модерна математика является не просто инструментом социальной жизни, но ее содержанием.

Сможет ли мир выдержать навязанные ему технической цивилизацией темпы — вопрос, обращенный в том числе к математике. Математика в современном мире не только инструмент технического усовершенствования, но и аппарат социального управления. Сумеет ли развитие математического знания отвечать потребностям рационализации цивилизации — вопрос жизненного значения. Только глубокая рефлексия математики, внимательно сверяющая ход роста математического знания с ходом цивилизационного развития, позволит обеспечить их органическую связь.