Локализация волн в сплошных средах с распределенными включениями

Исследование динамических свойств механических систем и их элементов становится все более актуальным, особенно начиная с середины нашего века. Это вызвано большим объемом новых практических знаний, повышенными требованиями к техническим сооружениям, причем их моделирование неразрывно связано с необходимостью решения задач о взаимодействии колеблющихся элементов этих сооружений как с другими конструкциями, так и с окружающей средой, в частности с жидкостью. При исследовании подобных задач полезно рассматривать движение механической системы как без учета воздействия окружающей среды и других элементов, так и с их учетом. Сопоставление полученных результатов позволяет выявить влияние окружающей среды на процессы, происходящие в изучаемой механической системе.

При рассмотрении подобного класса задач необходимо отметить тесную связь проблемы изучения колебаний механической системы с проблемой нахождения собственных чисел и собственных функций.

На сегодняшний день резонансные свойства упругих тел ограниченных размеров хорошо изучены. Например в задачах на собственные значения для дифференциального оператора, описывающего колебания струн и балок конечных размеров. К наиболее важным их свойствам можно отнести дискретность и положительность спектра собственных чисел, или собственных частот колебаний, условия наличия или отсутствия явления резонанса. Тот факт, что подобные задачи хорошо изучены, объясняется тем, что дифференциальные уравнения, описывающие стационарные колебания упругих тел конечных размеров, могут быть сведены к интегральным уравнениям с использованием функции Грина, которые заданы в конечной области и имеют симметричное ядро. Основные теоремы теории таких уравнений были доказаны Фредгольмом [21].

Однако, если тело имеет хотя бы одну границу бесконечной протяженности, распределение собственных частот приобретает иной вид. Появляются области непрерывного спектра, границы которого носят название частот отсечки [23]. Непрерывному спектру частот соответствуют собственные функции, которые имеют вид распространяющихся волн (мод колебаний). • •.

В механике существует разделение задач по типу распределения спектра собственных значений: дискретный (для уравнений, описывающих колебания упругих тел ограниченных размеров) и непрерывный (для тел, имеющих границы бесконечной протяженности). Со временем были получены новые результаты и явления, требующие иного подхода для их изучения. Например, явление затухания вибрации в сложных механических системах или эффект локализации упругих волн в районах крепления дополнительных элементов [26].

Ответственными за локализацию энергии являются дискретные вещественные собственные частоты колебаний. Для тел, у которых одна из границ бесконечной протяженности, это означает, что наряду с непрерывным спектром собственных частот колебаний, которому соответствуют распространяющиеся моды колебаний, то есть бегущие волны, имеет место и вещественный дискретный спектр, который может располагаться как вне сплошного (непрерывного) спектра, так и на нем.

Следует отметить, что подобные эффекты локализации наблюдаются не только для упругих волн в механике. Аналогичные эффекты изучаются и в задачах гидроупругости, акустики, в теории поверхностных волн. Наиболее широко известной локализованной модой в теории волн на воде является экспоненциальное решение, полученное Стоксом в 1846 году на основе классической линеаризованной теории. Это решение описывает волну, которая распространяется вдоль прямолинейной береговой линии. и экспоненциально затухает в направлении бассейна, имеющего постоянный угол наклона дна. Таким образом, волна Стокса может быть охарактеризована как локализованная вблизи берега, представляющего собой наклонную отмель, несмотря на то, что бассейн бесконечен. Такая мода колебаний имеет конечную энергию, а соответствующая частота колебаний не принадлежит области непрерывного спектра.

Через сто лет в 1951 году Урсулл Ф. [46] дал строгое математическое обоснование этому феномену и доказал существование вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний, лежащего ниже определенной граничной частоты. При изучении волн на поверхности тяжелой жидкости в канале бесконечной протяженности им были найдены решения, определяющие нераспространяющиеся волны. Последние были названы ловушечными модами колебаний. Их распределение по длине канала имело локализованный характер в районе неровностей дна и имело вид функций, экспоненциально убывающих на бесконечности. В отличие от распространяющихся волн (моды колебаний, соответствующие непрерывному спектру), эти формы колебаний имели конечную энергию. Спектральная задача, которую рассматривал Урселл, и в дальнейшем изучалась многими исследователями [47, 35].

В современных работах [41, 42] показано, что при наличии жидкостей с различными плотностями, при определенном рельефе дна, на границе раздела возникают внутренние нераспространяющиеся волны и соответствующий им. вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний.

В задачах механики деформируемого твердого тела смешанный спектр собственных частот колебаний впервые был обнаружен И. И. Воро-вичем и В. А. Бабешко [4, 5, 10] при изучении вибрации массивного штампа на полубесконечной упругой полосе. Они рассматривали вынужденные колебания и обнаружили на характерных частотах появление колебаний с бесконечной амплитудой. При этом, такие резонансные колебания были обнаружены не только до первой граничной частоты упругой полосы, но и за ней.

В работе Ю. И. Бобровницкого [7] указывается на возможность появления дискретного вещественного спектра в задачах о колебаниях ряда механических конструкций с массово-упругими включениями.

Д.А. Индейцев в своей диссертации [13] исследовал вопросы образования ловушечных мод и дискретного вещественного спектра для одномерных упругих тел бесконечной протяженности с сосредоточенными упруго-массовыми включениями. Была показана возможность выхода вещественного дискретного спектра на ось непрерывного. Также были сформулированы необходимые условия существования дискретного спектра собственных частот колебаний, лежащего до частоты отсечки, у упругого тела, имеющего одну из границ бесконечной протяженности. Эти условия сводятся к следующему:

— наличие участка непрерывного спектра частот, смещенного относительно нуля,.

— присутствие включений, имеющих инерционные свойства,.

— существование граничной частоты, определяющей начало непрерывного спектра, по величине большей, чем первая собственная частота. самого включения.

А.К.Абрамян [1] исследовал зависимость явления локализации волн в конструкциях от числа упругих опор, зависимость от краевых условий, а также вопрос о том, как явление локализации проявляет себя в телах конечной протяженности.

Большое внимание в последнее время уделялось и гранично-контактным задачам [39], [40], которым присуще то же явление локализации волн (например, изгибно-гравитационных), что и задачам о колебаниях упругих тел. Необходимость изучения подобных задач, особенно задач, связанных с колебаниями контактирующих с жидкостью тонких конструкций, вызвана и тем, что разнообразные плавающие объекты большой протяженности получили в последнее время широкое распространение, к примеру понтоны, плавучие платформы и аэродромы.' Однако, несмотря на повышенный интерес к таким задачам [43], [44], многие вопросы, такие как возможность и условия возникновения локализованных волн, влияние параметров системы и т. д., остаются открытыми.

С другой стороны довольно мало изучен вопрос о распределенных включениях в упругих телах, которые также весьма распространены в практике. Поэтому есть необходимость восполнить имеющийся пробел исследованием образования локализованных волн на ряде специально подобранных задач, решение которых позволило бы с одной стороны выявить главные, присущие этому явлению особенности, определить условия его возникновения, а с другой стороны продемонстрировать аналогию возникновения подобного эффекта в механике и гидроупругости.

Сказанное выше позволило сформулировать цели работы:

• теоретическое исследование формирования локализованных мод колебаний в телах с распределенными упруго-массовыми включениями.

• получение условий существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний, определение его положения на частотной оси.

• установление аналогии в характере явления локализации волн и условиях возникновения подобного эффекта в механических системах с распределенными упруго-массовыми включениями и в телах,.

— 9 один из размеров которых конечен, контактирующих со слоем жидкости.

• исследование влияния параметров системы на существование вещественного дискретного спектра.

Основные выводы и результаты работы сводятся к следующему.

• В бесконечных упругих телах с распределенным конечным упруго-массовым включением и в контактирующих со слоем жидкости телах большой (бесконечной) протяженности, один из размеров которых конечен, при определенных условиях может существовать вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний.

• Он расположен до граничной частоты, определяющей начало непрерывного спектра, то есть до частоты отсечки бесконечной сплошной среды, окружающей включение, и ограничен снизу частотой отсечки включения, как если бы оно было бесконечным.

• За началом непрерывного спектра вещественного дискретного спектра в рассмотреных механических системах не существует.

• В отличие от находящихся на дне слоя жидкости тонкостенных конструкций конечной ширины, которые всегда обладают вещественным дискретным спектром, те же тела, плавающие на поверхности жидкости, имеют его далеко не всегда. Область существования вещественного дискретного спектра оказывается очень узкой, он конечен, содержит только ограниченное количество собственных частот, которые соответствуют симметричным собственным формам.

• Собственные формы, отвечающие вещественному дискретному спектру, имеют вид мод, локализованных в районе включения по одной из координат и экспоненциально затухающих по мере удаления от.

включения.

• Параметры системы оказывают существенное влияние на существование спектра и ширину его диапазона.

• Показана аналогия явления локализации волн в контактирующих с жидкостью тонкостенных конструкциях и в бесконечных упругих телах с распределенным упруго-массовым включением.