В историческом аспекте развитие трехмерной теории устойчивости в малом началось в первой половине XX века. Вначале развивалась трехмерная теория упругой устойчивости и лишь несколько позже были выполнены исследования для неупругих моделей деформируемых тел. Однако инкрементальные определяющие соотношения и граничные условия являются сходными для упругих и упругопластических сред. В связи с этим при обсуждении исторических аспектов не будем разделять трехмерную теорию устойчивости для упругих и упругопластических сред. Но при этом, все же, основное внимание уделим упругим.
Впервые путем линеаризации основных соотношений нелинейной теории упругости Био (Biot) [1, 2] в 1934;1939 гг. получил основные соотношения статической трехмерной теории устойчивости в малом при малых докритических деформациях. В этих работах предполагалось, что малыми величинами наряду с деформациями также являются и повороты. Результаты многочисленных публикаций Био по инкрементальной теории устойчивости трехмерных тел, основанные на бифуркационном критерии, нашли отражение в его монографии [3], которая стала первой монографией по трехмерной теории устойчивости в мировой литературе. Впервые основные соотношения трехмерной теории устойчивости в малом при малых докритических деформациях вариационным методом вывел Трефтц [4, 5]. При этом в качестве критерия устойчивости был предложен и использован энергетический критерий (на котором основана и данная работа).
В наиболее общей форме основные соотношения трехмерной теории устойчивости в малом при конечных докритических деформациях для изотропного упругого тела с произвольной формой упругого потенциала получены в работе Грина, Ривлина и Шилда [6], где также рассмотрен ряд частных случаев.
Таким образом, в первой половине XX века (1913;1952 гг.) были достаточно строго получены соотношения трехмерной теории устойчивости в малом при конечных и малых докритических деформациях. В последующие годы второй половины XX века разрабатывались некоторые общие вопросы трехмерной теории устойчивости в малом, были решены также некоторые задачи.
В настоящее время теория устойчивости деформируемых систем превратилась в весьма разветвленную отрасль механики, имеющую многочисленные приложения и создавшую свои методы и подходы. Практически нет ни одной отрасли промышленности и строительства, где бы ни применялись результаты теории устойчивости деформируемых систем. Столь широкая прикладная сторона этой отрасли механики и ее значимость для инженерного дела способствовали появлению большого числа научных статей и монографий [1−31]. Подавляющее большинство исследователей, связывая явление потери устойчивости с тонкостенными элементами конструкций и стремясь упростить решения задач, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями, построенными путем введения вспомогательных кинематических гипотез, и занимались решением практически важных задач. Естественно, указанная деятельность нашла отражение в научных публикациях, и таким образом к настоящему времени уже сформировалась теория устойчивости деформируемых тонкостенных систем.
Безусловно, в этой теории, как и в любой другой отрасли механики существуют свои актуальные и современные направления исследований, но с точки зрения теории это направление носит частный характер.
При этом до последнего времени оставались почти неразработанными вопросы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел, а также методы решения задач в трехмерной постановке. Дальнейшее развитие механики деформируемых тел вызвало необходимость развития трехмерной теории устойчивости как самостоятельного раздела теории упругости. Устойчивость толстостенных металлических конструкций, задачи механики горных пород об устойчивости горных выработок и задачи геофизики о складкообразовании в толще земной коры, устойчивость конструкций из каучукоподобных материалов и вопросы механики резинотехнических изделий, а также родственные вопросы биомеханики — вот далеко не полный перечень проблем, для исследования которых целесообразно и даже необходимо привлекать подходы и методы трехмерной теории устойчивости упругих тел.
Данная работа направлена на дальнейшее изучение вопросов трехмерной теории устойчивости в малом при больших начальных деформациях. Исследуемые в работе задачи об устойчивости сжатых параллелепипедов хорошо изучены в случае, когда один или два из линейных размера параллелепипеда много меньше других, pi при этом все полученные решения этих задач устанавливают достаточные условия неустойчивости. Однако когда линейные размеры блока сопоставимы, даже задачи о достаточных условиях неустойчивости практически не изучены. Что касается достаточных условий устойчивости, которые с практической точки зрения являются более важными по сравнению с достаточными условиями неустойчивости, то таких решений просто нет. Это послужило причиной выбора в качестве предмета исследования получение с помощью статического энергетического критерия достаточных условий устойчивости, а также достаточных условий неустойчивости для толстых упругих тел при больших деформациях сжатия.
В работе рассматривается некоторый специальных класс задач об устойчивости сжатых нелинейно упругих блокообразных тел. Блоком для краткости будем называть прямоугольный параллелепипед с произвольным соотношением длин ребер. Упругий материал считается либо изотропным, либо ортотропным с плоскостями ортотропии, параллельными граням блока.
Выбор блока в качестве формы исследуемого на устойчивость тела не случаен. Элементы конструкций и механизмов нередко имеют блокообраз-ную форму, для их нормального функционирования, как правило, требуется сохранение этой формы. Условием такого сохранения является устойчивость. Целый ряд элементов выполняется из сравнительно мягких материалов типа резины (это, например, прокладки, манжеты, шайбы и т. п.). В силу малой жесткости эти элементы испытывают большие деформации, и при этом их устойчивость (отсутствие выпучивания) возможна лишь тогда, когда они имеют сравнительно большие поперечные размеры. Весьма сходные соображения относятся и к элементам других конструкций, например, к целикам разных типов в шахтных сооружениях. Форма упомянутых элементов конструкций совершенно не позволяет использовать теорию устойчивости при малых деформациях и свойственные ей методы, близкие к традиционным методам сопротивления материалов при анализе устойчивости. Наличие больших начальных деформаций делает особенно важным корректный учет нелинейно упругих свойств исследуемого объекта. Применительно к задачам устойчивости это означает необходимость использования теории конечных докритических деформаций и корректную линеаризацию нелинейных соотношений.
Корректно линеаризованные нелинейные соотношения в состояниях с конечными напряжениями, как известно, имеют существенные качественные отличия от классической линейной теории упругости. В них входят и начальные напряжения, и повороты, без учета которых исследование устойчивости невозможно. Поэтому классическая линейная теория упругости совершенно непригодна для анализа устойчивости. В ней всегда все устойчиво, что не соответствует действительности. Методы сопротивления материалов основаны на не совсем корректной линеаризации, хотя и включают некоторые элементы корректной линеаризации, что делает возможным изучение устойчивости в принципе. При этом степень некорректности линеаризации проявляется тем значительнее, чем больше начальные деформации, то есть при больших начальных деформациях правильные результаты могут быть получены лишь на основе действительно корректной линеаризации.
Известно, что инкрементальные соотношения в деформированном состоянии начально изотропного нелинейно упругого материала являются ин-крементально ортотропными. В случае начально ортотропного нелинейно упругого материала (при условии совпадения осей начальных деформаций с осями ортотропии) инкрементальные соотношения также ортотропны. С точки зрения анализа устойчивости, случаи начальной изотропии и начальной ортотропии отличаются друг от друга незначительно. Тем не менее, рассмотрение начально ортотропных материалов существенно расширяет границы приложения результатов анализа, поскольку в технике зачастую применяются композитные материалы, которые являются ортотропными изначально.
В качестве критерия устойчивости в работе используется энергетический критерий. Его математическая формулировка сводится к наличию или отсутствию положительной определенности второй вариации полной потенциальной энергии системы. Получение с помощью этого критерия точного решения задачи об устойчивости С помощью этого критерия в работе решаются задачи двух разных типов: о достаточных условиях устойчивости, и о достаточных условиях неустойчивости, которые в совокупности дают двусторонние оценки критического значения параметра нагружения.
Достаточные условия неустойчивости — это всегда оценки сверху для критического значения параметра нагружения. Они получаются с помощью известного метода кинематических гипотезэтот метод заключается в искусственном сужении класса кинематически допустимых полей возмущений. Данный метод, как правило, основан на применении кинематической гипотезы ортогональных плоских сечений. Традиционно он используется при получении условий неустойчивости для тонких тел, причем соответствующие критические значения всегда являются оценками сверху, но зачастую их ошибочно называют точными. В силу того, что традиционная кинематическая гипотеза для толстых тел в лучшем случае дает неудовлетворительные результаты, а в худшем вообще не дает никаких результатов, в работе используется совершенно другая кинематическая гипотеза, связанная с экстремалями задачи Корна. Эта гипотеза позволяет получать эффективные оценки и для толстых блоков.
Что касается достаточных условий устойчивости, которые, очевидно, имеют большее прикладное значение, чем достаточные условия неустойчивости, для их получения используется малоизвестный метод Холдена. Получение конкретных оценок при помощи метода Холдена [33] требует знания конкретных значений константы Корна для соответствующей геометрии и кинематических граничных условий. До недавнего времени значение этой константы было известно только для шара [34], малоинтересного с точки зрения устойчивости. Значения константы Корна для параллелепипедов при некоторых специальных кинематических граничных условиях получены сравнительно недавно [35], и именно на этих значениях основано применение метода Холдена в данной работе.
Актуальность работы. Исследование устойчивости и неустойчивости упругих тел при сжатии является традиционным направлением в прикладной механике, берущим начало от классической задачи Эйлера о выпучивании продольно сжатого стержня. Актуальность данной тематики не уменьшается со временем и обусловлена, прежде всего, огромным прикладным значением вопросов устойчивости (и тесно связанных с ними вопросов прочности) для самых разных областей технической деятельности — от машиностроения и авиации до строительства и разработки полезных ископаемых. Изучение именно этих вопросов, обусловленное потребностями практики, послужило важнейшим толчком к появлению и развитию такой науки как механика деформируемого твердого тела.
Помимо основоположника теории устойчивости деформируемых тел Л. Эйлера, большой вклад в исследование различных аспектов этой теории внесли такие ученые как Г. Пиола, Г. Кирхгоф, Дж. Максвелл, У. Кельвин, Ж. Адамар Д. У. Релей, Э. Трефтц, Дж.У. Гиббс, Р. Э. Мизес, Т. Карман, С. П. Тимошенко, В. З. Власов, Дж. Болл, Р. Хилл, Д. Друккер В. Койтер, Ф. Р. Шенли, М. А. Био, М. Ф. Витти, Дж. Холден, В. В. Новожилов, А.А. Мов-чан (ст.), А. И. Лурье, А. Н. Гузь, В. Д. Клюшников, В. В. Болотин, Л. М. Зубов, В. А. Пальмов, Дж. Райе и другие.
На многие вопросы, которые ставит перед инженерами практика, обоснованный ответ может дать только теория. Это в большой степени способствует развитию самой теории, и по мере этого развития появляются возможности теоретического рассмотрения и решения тех задач (в том числе и практически важных), которые ранее теоретическому исследованию не поддавались. Сказанное в полной мере относится и к данной работе: в ней представлены исследования таких задач об устойчивости сжатых упругих тел, которые ранее не были и, в определённой степени, не могли быть решены в силу отсутствия средств — соответствующих теоретических разработок. При всём колоссальном количестве выполненных ранее и выполняемых в настоящее время расчётов на устойчивость, традиционные методики таких расчётов имеют очень существенные ограничения и пробелы, восполняемые лишь эмпирически и «на ощупь». Традиционные методы приспособлены только для нахождения необходимых условий устойчивости (иначе говоря, достаточных условий неустойчивости, соответствующих оценкам сверху для критических значений параметра нагружения), и при этом они хорошо «работают» только для тонких тел (стержней, пластин, оболочек). Практически же гораздо более важной задачей является нахождение достаточных условий устойчивости (оценок снизу для критических значений параметра нагружения), да и тела (элементы конструкций и сооружений) зачастую являются «толстыми» — кроме того, они могут в рабочем состоянии находиться в условиях больших сжатий, что требует при анализе устойчивости корректного учёта нелинейно упругих свойств материала (в соответствии с современным состоянием и известными соотношениями нелинейной теории упругости). Точные решения задачи об устойчивости, которые давали бы условия, являющиеся как необходимыми, так и достаточными условиями устойчивости, отсутствуют.
Из всего изложенного выше вытекает.
Цель работы: получение как достаточных условий устойчивости, так и достаточных условий неустойчивости (т.е. двусторонних оценок для критических значений параметра нагружения) в некотором специфическом (но при этом достаточно широком) классе задач о равновесном деформировании (а именно, сжатии) нелинейно упругих тел, относительная толщина которых может быть сколь угодно большой. Упомянутый класс задач характеризуется тем, что тела имеют форму прямоугольного параллелепипеда («блока») со свободной от кинематических ограничений парой граней и некоторыми специальными кинематическими граничными условиями на гранях двух других парпри этом соотношение размеров блока произвольно. Выбор именно такого класса задач обусловлен двумя обстоятельствами: во-первых, появлением в последнее время теоретических результатов, касающихся указанных геометрии и граничных условий и открывающих совершенно новые возможности в использовании известных методов анализа устойчивостиво-вторых, форма блока разных пропорций и рассматриваемый набор граничных условий представляют немалый интерес для приложений как сами по себе, так и в качестве основы для гипотез и аналогий в отношении тел иной формы и при иных граничных условиях.
Научная новизна диссертации определяется следующими полученными в ней основными результами, которые и выдвигаются в качестве защищаемых положений:
1. Предложены и исследованы упругие потенциалы, задающие ортотроп-ные сжимаемые нелинейно-упругие материалы при конечных деформациях. Материалы предложенного типа представляют собой обобщение на случай анизотропии и сжимаемости известного (изотропного и несжимаемого) материала Муни-Ривлина.
2. Впервые найдены (с помощью модифицированного метода Холдена) достаточные условия устойчивости (оценки снизу для критического значения параметра нагружения) в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций из материалов предложенного типа.
3. Для получения достаточных условий неустойчивости (имеющих смысл нарушения необходимых условий устойчивости) предложена и использована принципиально новая кинематическая гипотеза, заключающаяся в том, что формы потери устойчивости ищутся в классе экстремалей модифицированной вариационной задачи Корна (которая тесно связана с задачами о выпучивании стержней при сжатии).
4. Впервые определены (с помощью упомянутой новой гипотезы) достаточные условия неустойчивости (оценки сверху для критического значения параметра нагружения) в тех же задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций.
5. Проведено сравнение оценок сверху для критического значения параметра нагружения, полученных с помощью предложенной кинематической гипотезы и с помощью традиционной кинематической гипотезы ортогональных плоских сечений («балочного приближения»). Показано, что новая гипотеза дает меньшие (т.е. лучшие) оценки сверху при любых геометрических и жесткостных параметрах блоков в рассматриваемых классах задач. При этом в пределе малых толщин результаты асимптотически совпадают, а в пределе больших толщин новая гипотеза дает конечные оценки сверху для критических напряжений (качественно соответствующие полученным в работе оценкам снизу), а традиционная гипотеза — дает оценки сверху, стремящиеся к бесконечности.
6. Проведено численно-аналитическое сравнение полученных оценок снизу и оценок сверху при изменении как геометрических параметров блока, так и параметров анизотропии и сжимаемости материала. Выявлено подобие параметрических зависимостей для оценок обоих типов во всем диапазоне изменения указанных параметров. Выявленное подобие косвенно указывает на то, что найденные зависимости для оценок сверху и оценок снизу правильно отражают соответствующие зависимости для точных критических значений параметра нагруже-ния.
Достоверность результатов подтверждается физической обоснованностью выбора модели материала и физической обоснованностью постановок задач об устойчивости, а также строгим аналитическим характером рассмотрения этих задач с применением современных теоретических концепций и математических средств механики деформируемого твердого тела.
Практическая значимость результатов. Полученные в работе результаты могут быть использованы для определения практически важных безопасных нагрузок (то есть таких нагрузок, при которых еще не теряется устойчивость) для блокообразных упругих тел при рассмотренных в работе специальных граничных условиях. Кроме того, полученные результаты (строгие двусторонние оценки критических значений параметра на-гружения) могут быть использованы для тестирования применяемых на практике процедур численного решения задач об устойчивости.
Выводы.
В третьей главе были рассмотрены два типа задач об устойчивости сжатых блоков, различающиеся граничными условиями. Для каждого типа задач были получены как оценки снизу (достаточные условия устойчивости) так и оценки сверху (достаточные условия неустойчивости) для критического значения параметра нагружения. Для получения оценок снизу использовался метод Холдена, оценок сверху —метод кинематических гипотез.
В ходе ходе получения оценки снизу методом Холдена введено разложение пространства симметричных тензоров второго ранга в прямую сумму трех подпространств. Это разложение позволило значительно упростить получение оценки снизу для рассматриваемой квадратичной формы: оценкой снизу служит наименьшая из оценок снизу, полученных на каждом из трех подпространств.
В методе кинематических гипотез, в качестве суженого класса полей смещений, использовались экстремали модифицированной задачи Корна. Оценки сверху, полученные на основе экстремалей модифицированной задачи Корна были сравнены с оценками сверху, полученными на основе традиционной кинематической гипотезы. Сравнение показало, что использование экстремалей модифицированной задачи Корна позволяет получать более точную (то есть меньшую) оценку сверху по сравнению с использованием традиционной гипотезы. Кроме того, применение экстремалей модифицированной задачи Корна позволяет расширить диапазон соотношений линейных размеров блока, на которых удается определить оценку сверху.
Оценки сверху и снизу были получены в виде аналитических выражений, в которые явно входят в качестве параметров отношение параметров.
K/G и степень анизотропии, зависящей от величины а2 и Получившиеся выражения довольно громоздки (см. Приложения 1) и для анализа влияния этих параметров и краевых условий на оценки сверху и снизу были построены графики зависимостей величины оценок от отношения линейных размеров блока. Результаты этого анализа приведены в разделе III.4.
Заключение
.
1. Предложены и исследованы упругие потенциалы, задающие ортотропные сжимаемые нелинейно-упругие материалы при конечных деформациях. Материалы предложенного типа представляют собой обобщение на случай анизотропии и сжимаемости известного (изотропного и несжимаемого) материала Муни-Ривлина.
2. Впервые найдены (с помощью модифицированного метода Холдена) достаточные условия устойчивости (оценки снизу для критического значения параметра нагружения) в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций из материалов предложенного типа.
3. Для получения достаточных условий неустойчивости (имеющих смысл нарушения необходимых условий устойчивости) предложена и использована принципиально новая кинематическая гипотеза, заключающаяся в том, что формы потери устойчивости ищутся в классе экстремалей модифицированной вариационной задачи Корна (которая тесно связана с задачами о выпучивании стержней при сжатии).
4. Впервые определены (с помощью упомянутой новой гипотезы) достаточные условия неустойчивости (оценки сверху для критического значения параметра нагружения) в тех же задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций.
5. Проведено сравнение оценок сверху для критического значения параметра нагружения, полученных с помощью предложенной кинематической гипотезы и с помощью традиционной кинематической гипотезы ортогональных плоских сечений («балочного приближения»). Показано, что новая гипотеза дает меньшие (т.е. лучшие) оценки сверху при любых геометрических и жесткостных параметрах блоков в рассматриваемых классах задач. При этом в пределе малых толщин результаты асимптотически совпадают, а в пределе больших толщин новая гипотеза дает конечные оценки сверху для критических напряжений (качественно соответствующие полученным в работе оценкам снизу), а традиционная гипотеза — дает оценки сверху, стремящиеся к бесконечности.
6. Проведено численно-аналитическое сравнение полученных оценок снизу и оценок сверху при изменении как геометрических параметров блока, так и параметров анизотропии и сжимаемости материала. Выявлено подобие параметрических зависимостей для оценок обоих типов во всем диапазоне изменения указанных параметров. Выявленное подобие косвенно указывает на то, что найденные зависимости для оценок сверху и оценок снизу правильно отражают соответствующие зависимости для точных критических значений параметра нагружения.
