Некоторые классы сингулярных операторов с нестандартными особенностями ядер и символов

Основной целью диссертации является изучение свойств ограниченности и компактности, спектральных свойств некоторых классов линейных операторов, действующих в банаховых пространствах, а также зависимости этих свойств от поведения символов или ядер данных операторов. Также в случае теплицевых операторов мы изучаем изменение указанных свойств в динамике, то есть в зависимости от изменения параметра веса весового пространства, в котором эти операторы действуют. Исследуется также вопрос фредгольмовости для С* - алгебры двумерных сингулярных интегральных операторов специального вида.

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных исследованию теплицевых и ханкелевых операторов, а также их модификаций в пространствах типа Бергмана, Харди, Дирихле. Тепли-цевы операторы с гладкими (или непрерывными) символами, действующие в весовых пространствах типа Бергмана на единичном диске в С или в шаре в С1, естественно возникают в контексте задач математической физики. То же самое в равной степени относится и к С* - алгебрам таких операторов. Упомянем только некоторые, близкие к данной теме задачи математической физики. В первую очередь это квантовая деформация алгебры непрерывных функций на диске (S. Klimek, A. Lesniewski [84]) и принцип квантования Березина [3], [4], [55], в частности, на гиперболической плоскости.

Для каждого Л > — 1 оператор Теплица Т^ с (контравариант-ным) символом, а = a (z) действует в весовом пространстве Бергмана Дд (В) на единичном диске. В процедуре квантования Березина (см. например, [4]) каждому оператору Теплица сопоставляется его символ Березина (или символ Вика) ад, и принцип соответствия (применительно к нашей ситуации) означает, что lim алМ = a{z), z € В.

А->оо для гладких символов, а = а (г). Указанный предельный переход допускает трактовку и в более широком смысле (см. [80]).

В этой связи возникает важная проблема: изучение изменения различных свойств оператора Т^ (ограниченность, компактность) в динамике при изменении параметра веса Л, а также изучение поведения спектра этих операторов при Л -4 оо и формирования предельного множества в соответствии со свойствами символа а. При этом мы не ограничиваемся гладкими символами.

Не представляется возможным получить достаточно полный ответ на указанный выше вопрос в рамках общего класса (даже гладких) символов. В то же время недавно изученные случаи коммутативных *-алгебр теплицевых операторов на единичном диске подсказывают, что достаточно полный ответ можно дать в рамках следующих трех классов символов теплицевых операторов. Напомним в этой связи (см. [130], [131]), что все известные классы коммутативных *-алгебр операторов Теплица на единичном диске классифицируются пучком (гиперболических) геодезических следующих трех типов (см. рисунок 1): геодезические, пересекающиеся в одной точке (эллиптический пучок), параллельные геодезические (параболический пучок) и непересекающиеся геодезические, т. е. все геодезические, ортогональные заданной (гиперболический пучок). Ограниченные символы, являющиеся постоянными на циклах, т. е. траекториях ортогональных геодезическим, формирующим пучок, в каждом случае порождают коммутативную *-алгебру операторов Теплица. Кроме того, это свойство коммутативности не зависит от гладкости символов, которые могут быть просто измеримыми или даже мерами.

В диссертации развиты методы исследования операторов Теплица с, вообще говоря, неограниченными символами указанного выше вида. Отметим, что большинство работ по операторам Теплица в пространствах типа Бергмана относятся к случаю, когда символ такого оператора — ограниченная функция. Поэтому развитие новых методов, эффективных в случае неограниченных символов, является актуальным и по существу необходимым для дальнейшего развития теоретических основ данной проблемы.

В контексте настоящего исследования заметим, что в последнее время имеется большое количество работ, посвященных применению преобразования Березина. Это мотивируется непосредственной связью с математической физикой и некоммутативной геометрией. Преобразование Березина является важной составляющей гармонического анализа в силу ковариантности по отношению к аналитическим преобразованиям. Оно играет роль преобразования Пуассона с той разницей, что интегрирование по границе заменено на интегрирование по области. Преобразование Березина эффективно используется в различных постановках, начиная с пространств Харди (см., например, К. Stroethoff [123]) и включая пространства Баргмана-Сегала (см. С. A. Berger, L. A. Coburn [58]), и, по — существу, используется в контексте (аналитических) пространств Блоха и пространств с ограниченной средней осцилляцией (см., например, К. Zhu [136]). Однако, наиболее успешно преобразование Березина используется при изучении операторов в пространствах Бергмана. По.

— видимому, впервые символ Березина (ковариантный символ) с такой целью использовался в работах [58], [59].

Имеется ряд недавних работ, посвященных исследованию связи между убыванием преобразования Березина оператора Теплица (а также конечных сумм произведений теплицевых операторов) на границе единичного диска и компактностью самого оператора. Для положительных символов такое исследование было начато в работах К. Zhu [133], D. Lueking [87], для ограниченных символов проводилось в работе S. Axler, D. Zheng [51], а для радиальных символов — в работе N. Zorboska [138]. Фактически сама фундаментальная проблема была сформулирована в работе S. Axler, D. Zheng. В этой связи упомянем работу этих авторов [52], посвященную применению характеризации компактных операторов в терминах преобразования Березина, и работу М. Englis [72], в которой указанная выше задача решена в случае ограниченных симметричных областей.

Вопрос характеризации компактных теплицевых операторов в терминах преобразования Березина представляется наиболее важным, однако, в случае неограниченных символов эта задача остается открытой. В этом направлении мы решаем указанную задачу для операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана с символами из весового ВМОд (О) (т.е. с неограниченными, вообще говоря, символами). Актуальным и представляющим самостоятельный интерес является описание самих весовых пространств ВМОд (Р), определенных в терминах гиперболической метрики Бергмана.

Пространства ВМО и VMO в метрике Бергмана впервые появились в работе К. Zhu [136] в контексте единичного диска в С и далее изучались в работе D. Bekolle, С. A. Berger, L. A. Coburn [54] в случае ограниченных симметричных областей. Тем не менее, аналитические пространства ВМО практически не изучены по сравнению с вещественной теорией функций с ограниченной средней осцилляцией.

Заметим, наконец, что характеризация компактных операторов в терминах преобразования Березина находит непосредственное приложение к описанию коротких точных последовательностей, ассоциированных с алгебрами теплицевых и ханкелевых операторов с ограниченными символами. В этой связи отметим упомянутые выше работы [52], [72], работы К. Guo [77], К. Guo, D. Zheng [78], D. Suarez [124], а также более ранние работы Н. Upmeier [126]-[128], в которых строится теория фредгольмовости для С* - алгебры операторов Теплица с непрерывными символами на ограниченных симметричных областях и которые, в свою очередь, являются продолжением работ С. A. Berger, L. A. Coburn [56], С. A. Berger, L. A. Coburn, A. Koranyi [57]. Аналогичные задачи исследовались в работах N. Salinas [107],[108], N. Salinas, A. J.-L. Sheii, Н. Upmeier [109] в случае строго псевдовыпуклых областей.

Исследованию алгебр многомерных сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, имеющими разрывы в конечном числе изолированных точек, посвящены работы многих авторов. Принципиальный вклад в этом направлении сделан в работах Б. А. Пламеневского и его учеников (см., например, работы Б. А. Пламеневского и В.Н. Се-ничкина [23], [24], [25], [26], монографию [27] и имеющиеся там ссылки, а также недавнюю работу [28], посвященную дальнейшему развитию данной тематики). В частности, была развита многомерная теория в случае, когда коэффициенты моделируются однородными функциями с непрерывными сужениями на сферу. Применением преобразования Меллина по отношению к радиальной переменной псевдодифференциальный оператор в Ь2(Шп) сводится к семейству псевдодиференциальных операторов специального вида, действующих на пространстве L2(T) на единичной сфере. Далее строится символическое исчисление с использованием классической техники псевдодифференциальных операторов и гармонического анализа на сфере.

Мы применяем иной (альтернативный) подход в двумерной ситуации, позволяющий свести упомянутую алгебру псевдодиференциаль-ных операторов специального вида к алгебре операторов, порожденной классическими объектами — сингулярными интегральными операторами на окружности с коэффициентами. Это позволяет даже в случае непрерывных коэффициентов существенно упростить описание алгебры и проливает свет на истинную природу рассматриваемых операторов, связывая их с хорошо изученными классическими объектами, исследования которых восходят к работам С. Г. Михлина [21], [92], И.М. Гохбер-га, Н. Я. Крупника [13] и других авторов. Указанный метод позволяет исследовать принципиально новые классы операторов и порождаемые ими алгебры. В этом исследования мы используем локальный принцип И. Б. Симоненко [40], [41] при локализации конкретных операторов и далее «алгебраический» вариант локального принципа, приведенный в работах R. Douglas [69] и J. Varela [129], соединяя вместе локальные описания.

В течении последних лет методы вещественного гармонического анализа интенсивно развивались в рамках исследования ограниченности осцилляторных интегралов и операторов типа потенциала.

Начиная с работ А. П. Кальдерона, А. Зигмунда (см., например, [63]), [64]), И. Стейна ([115], [116], [117]), теория операторов типа потенциала, имеющих особенности в начале координат и на бесконечности, получила развитие в работах С. Г. Самко [31], [33], [34], [36], [111] (см. также киги С. Г. Самко [112], С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О.И. Мариче-ва [38] и обзорные статьи В. А. Ногина, С. Г. Самко [97], [98], С. Г. Самко [110]). Далее в качестве естественного обобщения осуществлялось исследование операторов с особенностями ядер на некотором многообразии вЕп, в частности — на сфере. Эти операторы естественно возникают в конкретных задачах математической физики. Не претендуя на полноту изложения, упомянем работы A. Miyachy [93], [94], [95], R. Strichartz [120], S. Thangavelu [125] (см. также обзорную работу [97]).

Особый интерес представляют осцилляторные интегралы и среди них — операторы типа скрученной свертки, которые естественным образом возникают при изучении сингулярных интегральных операторов на многообразиях меньшей размерности (см., например, [101], [105], [118], [119], [125] и имеющиеся там ссылки). В частности, скрученные свертки возникают при изучении сверток на группе Гейзенберга, а также в исчислении Вейля псевдодифференциальных операторов, определяя формулу для символа композиции операторов (см. [90], [119]).

Локально оператор вида скрученной свертки имеет характеристики сверточного оператора. Этому подтверждение — теорема М. Коулинга ([66]), в которой доказано, что оператор скрученной свертки и оператор свертки с одним и тем же компактно сосредоточенным ядром ограничены или не ограничены в (Rn) (1 ^ р ^ оо) одновременно. С другой стороны, в глобальной части такого оператора доминируют черты ос-цилляторного интеграла, что вносит существенные изменения в картину ограниченности. Таким образом, оператор скрученной свертки комбинирует черты сингулярных интегральных операторов, доминирующие в «локальной части «оператора и осцилляторных интегралов (псевдодифференциальных операторов), проявляющиеся в «глобальной» части.

Одна из основных открытых задач, связанных с исследованием таких операторов, состоит в получении для них LP (Rn) -4 Lq (Rn) -оценок. Оценкам в Z^(Rn) посвящены работы [101], [105], тем не менее i/(Mn) —t LQ (Rn) оценки для таких операторов ранее не рассматривались. Естественно, что изучение этих операторов по существу отличается от исследования сверточных операторов. В первую очередь, это обусловлено тем, что анализ Фурье, техника Mg (Rn) — мультипликаторов и другие хорошо развитые методы гармонического анализа неприменимы в данной ситуации (см. [67], [88], [89]).

Перечисленные выше исследования составляют пять глав диссертации. Вспомогательные сведения приведены в приложениях.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

СВЯЗЬ РАБОТЫ С крупными научными программами (проектами) и ТЁМАМИ. Часть исследований по теме диссертации выполнена соискателем в Центре исследований в Мексике (Centro de Investigacion у de Estudios Avanzados) при поддержке:

1. Международного научного гранта Соломона Лефшеца (Postdoctoral Lefschetz Research Fellowship, 1998;2001).

2. Научного гранта «Operadores у espacios de analisis complejo» Мексиканского Национального Совета по Науке и Технологиям (CONACyT, грант № 35 521-Е).

Основная часть диссертации была выполнена в Ростовском государственном университете на кафедре Дифференциальных и интегральных уравнений при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований:

1. «Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости» (РФФИ 98−01−261-А, исполнитель).

2. «Операторы типа потенциала с особенностями ядер или символов на многообразиях, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с такими операторами «(РФФИ 04−01−862-А, исполнитель).

3. «Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры» (РФФИ 06−01−297-А, руководитель).

За новизну и актуальность исследований соискатель был удостоен.

1. Почетного звания-награды «Национальный исследователь» (награда Мексиканской Национальной Системы Исследователей, членский номер SNI 21 424, Мексика, Мехико, июль 2001 г.).

2. Награды международного научного общества ISAAC (International Society for Analysis Applications and Computations, Германия, Берлин, август 2001 г.).

3. Награды В. Потанина (дважды) для молодых научно — педагогических работников ведущих вузов Российской Федерации (Россия, Ростов-на-Дону, апрель 2003 г.- Краснодар, апрель 2006 г.).

цель и задачи исследования

Развитие новых методов исследования свойств операторов в банаховых (гильбертовых) пространствах в зависимости от свойств их ядер и (или) символов в качественно новых, ранее не изученных или мало изученных ситуациях. Разработка новых эффективных методов исследования операторов Теплица с неограниченными символами, решение открытых фундаментальных проблем для таких операторов. Исследование свойств ограниченности сингулярных интегральных операторов с осциллирующими символами и с осцилляцией в ядрах. Применение результатов исследования отдельных операторов к описанию алгебр операторов в случае, когда коэффициенты допускают однородные разрывы и для которых классические, ранее используемые методы не применимы.

Основные научные результаты I. Разработаны эффективные методы исследования свойств ограниченности, компактности и принадлежности идеалам Шаттена операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана со специальными, вообще говоря, неограниченными символами. Эти специальные случаи будем отождествлять с эллиптическим, параболическим и гиперболическим пучком геодезических в диске. В рамках настоящего исследования получены следующие основные результаты.

На основе специальных представлений для весовых пространств Бергмана на единичном диске и верхней полуплоскости получены интегральные представления спектрального типа для операторов Теплица, а также формулы для символов Березина этих операторов и для символа Березина композиции операторов Теплица.

Приведены достаточные условия ограниченности, а в эллиптическом случае и компактности соответствующих операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана в терминах некоторых средних (контра-вариантного) символа оператора Теплица. При дополнительных ограничениях на упомянутые выше средние установлена необходимость данных условий.

Исследована зависимость свойств ограниченности (компактности) оператора Теплица в весовом пространстве Бергмана от изменения параметра веса. Например, показано, что свойство ограниченности (компактности) сохраняется при уменьшении параметра веса. С использованием метода стационарной фазы и на основе полученных ранее представлений для оператора Теплица приведены примеры операторов Теплица, для которых нарушается свойство ограниченности (компактности) при увеличении параметра веса.

В эллиптическом случае (теплицевых операторов с радиальными символами) аналогичные результаты получены в контексте исследования принадлежности операторов Теплица идеалам Шаттена на пространствах Бергмана.

II. С использованием полученных ранее результатов и применением асимптотических методов, в частности метода Лапласа, исследовано предельное поведение спектра операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана при увеличении параметра веса к бесконечности. Установлена связь между предельным множеством спектров и свойствами (контравариантного) символа оператора Теплица в каждом из трех упомянутых выше случаев (эллиптическом, параболическом и гиперболическом). Именно, доказаны следующие основные результаты.

В случае непрерывных символов показано, что предельное множество совпадает с образом контравариантного символа, а в наиболее интересном кусочно — непрерывном случае установлено, что предельное множество состоит из образа контравариантного символа с добавлением прямолинейных сегментов, соединяющих односторонние пределы. Тем самым установлена аналогия с так называемым принципом соответствия Березина, который связывает предельное поведение квантовой характеристики оператора Теплица (именно символа Березина или кова-риантного символа) со свойствами (контравариантного) символа этого оператора.

В параболическом случае также изучено влияние различных типов осцилляций символа на формирование соответствующего предельного множества.

Для неограниченных непрерывных символов установлено, что предельное множество всегда содержит образ символа и само содержится в существенном образе символа, при этом приведены различные примеры, иллюстрирующие всевозможные соотношения в указанных выше вложениях. Приведены также примеры операторов Теплица, для которых предельное множество — диск В, вся плоскость С, связное, несвязное множество и пр.

III. Осуществлено исследование связи между компактностью оператора Теплица с неограниченным символом, действующим в весовом пространстве Бергмана на единичном диске, и убыванием соответствующего преобразования Березина при приближении к границе диска. В рамках этого исследования получены следующие основные результаты.

Введены и описаны весовые аналитические пространства функций с ограниченной средней осцилляцией по отношению к лебеговой мере в гиперболической метрике Бергмана на единичном диске. Характеризация функций из этих пространств дается в терминах преобразования Березина.

На основе упомянутого выше описания в терминах преобразования Березина приведена характеризация компактных операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана на единичном диске с (неограниченными, вообще говоря) символами, имеющими ограниченную среднюю осцилляцию в гиперболической метрике Бергмана. Аналогичные результаты установлены для так называемых радиальных операторов, в частности — для операторов Теплица с радиальными символами.

IV. Исследована алгебра фредгольмовых символов для С* - алгебр двумерных сингулярных интегральных операторов, коэффициенты которых локально моделируются однородными функциями, имеющими разрывы на единичной окружности как первого, так и второго рода. В рамках данного исследования получены следующие основные результаты.

Исследованы псевдодифференциальные операторы на окружности специального вида, определенные в терминах операторов свертки на окружности, возникающих при представлении двумерного преобразования Фурье в полярных координатах. Показана связь таких псевдодифференциальных операторов с точностью до компактного оператора с классическими объектами анализа — сингулярными интегральными операторами на окружности.

На основании полученной выше связи описана алгебра фредгольмовых символов для модельной С* - алгебры двумерных сингулярных интегральных операторов, действующих в L2(K2) с однородными нулевой степени символами и разрывными коэффициентами. Эти коэффициенты имеют разрывы (как первого, так и второго рода) на лучах, исходящих из начала координат, и их поведение в начале координат моделируется однородной разрывной функцией.

Указанные выше результаты применяются к описанию алгебр фредгольмовых символов для С* - алгебр сингулярных интегральных операторов с изолированными разрывами коэффициентов, когда коэффициенты вблизи точек разрыва моделируются однородными функциями, сужения которых на окружность имеют кусочно-непрерывные и даже слабо осциллирующие разрывы.

V. Исследованы свойства —)> Lq (Rn) ограниченности (1 ^ р q ^ оо) для некоторого класса операторов свертки с осциллирующими символами и ядрами и с особенностями ядер на сфере и на бесконечности. Исследованы также свойства Z/(Rn) —у Lg (Rn) ограниченности для операторов скрученной свертки с теми же ядрами и проведено сравнение свойств i/(Rn) —у Lq (Rn) ограниченности соответствующих операторов. В рамках данного исследования получены следующие основные результаты.

Исследованы свойства ограниченности для операторов свертки (операторов типа потенциала) с осциллирующей экспонентой в символе. Приведены достаточные условия I/(Rn) -> Lq (Rn) ограниченности и (при дополнительных предположениях на характеристическую часть символа) установлена необходимость этих условий. Исследован вопрос о представимости функции соответствующим потенциалом с некоторой плотностью из LPiW1) и получены формулы обращения в рамках пространств Z/(Rn).

Исследованы свойства Z^K") -у Ьд (Шп) ограниченности для операторов скрученной свертки с тем же ядром и осуществлено сравнение свойств ограниченности операторов свертки и скрученной свертки.

Исследованы свойства i/(Mn) -" L9(Rn) ограниченности для оператора скрученной свертки, определенного в общей постановке, когда задается поведение ядра. Осуществлено сравнение полученных результатов с результатами для операторов свертки с ядрами, имеющими аналогичное поведение.

Основные положения, выносимые на защиту. Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту являются новыми, получены лично автором и состоят в следующем:

Дана характеризация поведения основных свойств (ограниченности, компактности) операторов Теплица со специальными (контравари-антными) символами, связанными с тремя типами гиперболической геометрии в диске в весовых пространствах Бергмана на единичном диске в зависимости от изменения параметра веса.

Получена связь между предельным поведением спектра оператора Теплица в весовом пространстве Бергмана при стремлении параметра веса к бесконечности и свойствами (контравариантного) символа оператора Теплица в случаях непрерывного и кусочно — непрерывного символа специального вида.

В терминах преобразования Березина приведена характеризация компактных операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана с символами, имеющими ограниченную среднюю осцилляцию в гиперболической метрике Бергмана по отношению к лебеговой мере на единичном диске.

Получено представление с точностью до компактного оператора для псевдодифференциального оператора в L2(T) на окружности специального вида Е ()~1а ((р, ш) Е () с гладким символом a (ip, u) (где Е (А) — оператор сферической свертки с ядром (—рш + гО)-гЛ-1) в терминах проекторов, связанных с сингулярным интегральным оператором на окружности.

Получены необходимые и достаточные условия Lq (W1) ограниченности для оператора свертки с символом и с ядром, имеющим особенность на сфере и осциллирующим на бесконечности, и достаточные условия i7(Rn) Ьч (Жп) ограниченности для оператора скрученной сверки с тем же ядром.

Апробация результатов диссертации. Отдельные части диссертации докладывались на международном конгрессе Американского и Мексиканского математических обществ (Дентон, Техас, США, май 1999 г.), трижды на последовательных международных научных школах по анализу: «Анализ: Север-Юг» в Мексике (Куернавака, Мексика, апрель 1999 г.- Мехико, Мексика, апрель 2000 г.- Мехико, Мексика, апрель 2001 г.), на V международном конгрессе по инженерии и системам (Мехико, Мексика, июнь 2001 г.), на международной конференции «Международная школа по анализу и теории операторов «IWOTA-Portugal 2000 (Фаро, Португалия, сентябрь 2000 г.), на международном конгрессе «Международного общества анализа и прикладных вычис-лений» ISAAC 2001 (Берлин, Германия, август 2001 г.), на ежегодном научном семинаре «Show те» в университете Вашингтона (Сант Луис, Миссури, США, ноябрь 2001 г.), на Ежегодной Математической Конференции (Сан Диего, Калифорния, США, январь 2002 г.), на 27 — й весенней школе в университете Арканзаса (Файеттевиль, Арканзас, США, апрель, 2002 г.), на конференции «150 лет в математике» в университете Вашингтона в Сант Луисе (Сант Луис, Миссури, США, октябрь 2003 г.), на международной школе по геометрии и анализу, посвящённой памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, Россия, сентябрь 2004 г.), на конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы», посвященной 70 — летию профессора В. И. Юдовича (Ростов-на-Дону, Россия, октябрь 2004 г.), на международной конференции в Математическом институте им, В. А. Стеклова РАН «Функциональные пространства, теория аппроксимаций и нелинейный анализ», посвященной 100-летию академика С. М. Никольского (Москва, Россия, май 2005 г.), на международной конференции в институте математики им. А. Размадзе «Функциональные пространства, интегральные преобразования и приложения к псевдодифференциальным уравнениям «(Тбилиси, Грузия, сентябрь 2005 г.), на международной конференции «Гармонический анализ и приложения.

Ш" (Цахкадзор, Армения, сентябрь 2005 г.), на международной конференции в МГУ «Тихонов и современная математика» (Москва, Россия, июнь 2006 г.), на международной конференции в математическом институте Эйлера ПОМИ им. В. А. Стеклова РАН «15th. St. Petersburg summer meeting in mathematical analysis» (C. Петербург, Россия, июль 2006 г.), на международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», AMADE-2006 (Минск, Беларусь, сентябрь 2006 г.).

С сообщениями о результатах, вошедших в диссертационную работу автор неоднократно выступал на различных семинарах научных учреждений России, Белоруссии, Мексики, США. В том числе на семинарах Центра исследований и продвинутого обучения (Мехико, Мексика, январь 1999 г., февраль 2000 г., май 2001 г., рук. профессор Э. Ра-мирез), на семинарах отделения анализа факультета естественных наук Автономного университета Мексики (Мехико, Мексика, июнь 2001 г., июль 2001 г., рук. профессор X. Ескивель), на семинаре по анализу на факультете математики в университете Арканзаса (Файетте-виль, Арканзас, США, октябрь 2001 г., рук. профессор Д. Хавинсон), на математическом коллоквиуме на факультете математики в университете Арканзаса (Файеттевиль, Арканзас, США, ноябрь 2001 г., рук. профессор Д. Луекинг), на семинаре факультета математики университета Говарда (Вашингтон, США, апрель 2002 г., рук. профессор Кора Садоски), на семинаре по гармоническому анализу на факультете математики университета Миссури (Коламбия, Миссури, США, октябрь 2003 г., рук. профессор М. Митреа), на семинаре по функциональному анализу на факультете математики университета Миссури (Коламбия, Миссури, США, ноябрь 2003 г., рук. профессор Ю.Д. Латушкин), на городском Минском семинаре им. Ф. Д. Гахова (Минск, Беларусь, ноябрь 2005 г., рук. профессора А. А. Килбас, Э.И. Зверович), на заседаниях Ростовского математического общества (Ростов-на-Дону, Россия, май 2003 г., апрель 2005 г., рук. профессор В.И. Юдович), многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета (рук. профессора С. Г. Самко и Н.К. Карапетянц), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета (ноябрь, 2005 г., рук. профессор Ю.Ф. Коробейник), на семинаре ИММ УрО РАН (июнь, 2006 г., рук. чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботин), на семинаре по комплексному и линейному анализу ПОМИ им. В. А. Стеклова РАН и С. Петербургского госуниверситета (чл.-корр. РАН С. В. Кисляков и профессор В.П. Ха-вин), на семинаре по функциональному анализу и приложениям научного Центра математики и прикладной математики Технического высшего института Португалии (Лиссабон, Португалия, ноябрь 2006 г., рук. профессор Ф.-О. Э. Шпек), на семинаре по гармоническому анализу и приложениям математического факультета университета Алгарве (Фа-ро, Португалия, декабрь 2006 г., рук. профессор С.Г. Самко).

ПУБЛИКАЦИИ. Все результаты, приведенные в настоящей диссертации, опубликованы в работах [140] - [164]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [145] [146] [147] [150], [152], [153] [154] [156], [157], [158], [159], [160], [161], [162], [163]. См. также обзорную работу [164].

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно. В текст диссертации для полноты изложения и без доказательств включены результаты, принадлежащие соавторам соискателя или полученные совместно с соавторами. В совместной работе [145] (подробный вариант [148]) автору принадлежит результат об ограниченности оператора с осциллирующим символом (без характеристики), который в более общем виде также содержится в единоличной работе соискателя [146]. В работе [147] соискателю принадлежит результат об основном представлении псевдодифференциалыюго оператора на окружности и следствия, описание алгебры фредгольмовых символов для «модельных» алгебр в случаях кусочно-непрерывных и слабо осциллирующих коэффициентов и часть результатов об описании локальных алгебр. В работе [150] соавтору принадлежит вспомогательная теорема 2.1 (приводится в приложении D). В работах [152]-[154] автору принадлежат результаты относительно принадлежности идеалам Шаттена (раздел 1.2.3 в диссертации) в эллиптическом случае, теоремы о представлении операторов Теплица в терминах символа Березина и об ограниченности операторов Теплица в параболическом и гиперболическом случаях случаях, а также теоремы о поведении спектра оператора Теплица с непрерывным и кусочно-непрерывным символом. Разделы первой главы диссертации, посвященные эллиптическому случаю, за исключением упомянутого выше раздела 1.2.3, написаны на основании единоличной работы соискателя [161]. В работе [160] (краткий текст [158]) соавтору принадлежат результаты параграфа 4 этой работы. Эти результаты приводятся в п. 5.9 диссертации для полноты изложения и не выносятся на защиту.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, включающих 29 разделов, выводов и комментариев к каждой главе, заключения, библиографического списка, включающего список использованных источников и список работ соискателя, и 6 приложений. Объем диссертации — 280 страниц машинописного текста.

Список использованных источников

и список работ соискателя на 19 страницах содержат 139 и 25 наименований соответственно. Объем приложений — 13 страниц.

Основные результаты главы опубликованы в работах [144], [145], [146], [148], [149], [150], [158], [160], [163]- см. также работы [140], [141], [142], [143], в которых опубликованы результаты по теме настоящей главы, не включенные в текст диссертации в силу ограничения объема.

Заметим, что до настоящего момента исследовались LPfRn) —>• i7(Rn) оценки для операторов скрученной свертки, а исследование I/(Rn) -у Lg (Rn) ограниченности осуществлено впервые в работах соискателя. Отметим также, что скрученные свертки по своей природе объединяют черты сверточных операторов и осцилляторных интегральных операторов, что вносит дополнительный интерес в изучение таких операторов. В то же время указанный факт означает, что классические методы анализа Фурье и теории мультипликаторов не применимы для изучения операторов скрученной свертки, что влечет существенные трудности в изучение таких операторов.

Ограниченность в LP (Rn) операторов скрученной свертки с ядром, чье преобразование Фурье совпадает с символом x (l?|)mi, a (|?|) рассматривалась в [102]. Такой оператор отличается от оператора с компактно сосредоточенным ядром на достаточно хороший оператор и согласно результатам [66] имеет те же свойства LPfW1) —> LPfW1) ограниченности, что и соответствующий оператор свертки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основные научные результаты диссертации.

I. Исследованы некоторые классы теплицевых операторов со специальными, вообще говоря, неограниченными символами, действующих в весовых пространствах Бергмана. Эти классы связаны с тремя типами гиперболической геометрии в диске — эллиптическим, параболическим и гиперболическим. Для таких операторов получены интегральные представления спектрального типа, изучены свойства ограниченности, а в эллиптическом случае также компактности и принадлежности идеалам Шаттена на весовых пространствах Бергмана. Особое внимание уделено исследованию динамики (изменения) свойств ограниченности (и компактности) в зависимости от изменения параметра веса соответствующего весового пространства Бергмана.

Вопрос зависимости основных свойств — ограниченности, компактности, принадлежности идеалам Шаттена — от изменения параметра веса изучается впервые. Относительно самой постановки задачи — динамики свойств в зависимости от изменения параметра веса — в современной литературе можем отметить только один частный результат об одновременной ограниченности (компактности) операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана в случае, когда символ оператора — положительная функция.

Указанные результаты включены в первую главу диссертации и опубликованы в работах [151], [152], [153], [154], [161].

II. На основе полученных в первой главе результатов продолжено исследование зависимости спектральных свойств операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана от изменения параметра веса. Изучено предельное поведение спектра оператора Теплица при увеличении параметра веса к бесконечности, и установлена связь между предельным множеством спектров и свойствами (контравариантного) символа оператора Теплица в каждом из трех упомянутых выше случаев: эллиптическом, параболическом и гиперболическом. В определенном смысле установлен аналог с так называемым принципом соответствия в методе вторичного квантования Ф. А. Березина. Приведен ряд иллюстрирующих примеров конкретных теплицевых операторов.

Как и выше, отметим, что вопрос о предельном поведении спектра оператора Теплица в весовых пространствах Бергмана при увеличении параметра веса и связь между структурой предельного множества и свойствами исходного (контравариантного) символа оператора Теплица изучаются впервые.

Указанные результаты включены во вторую главу диссертации и опубликованы в работах [152], [153], [154].

III. Установлена связь между компактностью оператора Теплица в весовом пространстве Бергмана с символом, имеющим ограниченную среднюю осцилляцию в гиперболической метрике Бергмана по отношению к лебеговой мере на единичном диске, и убыванием соответствующего преобразования Березина при приближении к границе диска. Особое внимание уделено описанию классов символов — пространств с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана. Аналогичная задача решена для так называемых радиальных операторов, в частности, — для операторов Теплица с символами, отвечающими эллиптическому случаю в весовых пространствах Бергмана.

Указанные результаты включены в третью главу диссертации и опубликованы в работах [155], [156], [157], [159], [162].

IV. Описана алгебра фредгольмовых символов для С* - алгебры двумерных сингулярных интегральных операторов, действующих в L2(R2), с однородными нулевой степени символами и разрывными коэффициентами. Упомянутые разрывы коэффициентов локально моделируются (локально эквивалентны) однородными нулевой степени функциями, чьи сужения на окружность имеют кусочно — непрерывные или даже слабо осциллирующие разрывы.

Разработанный эффективный метод позволяет в двумерном случае исследовать принципиально новые классы операторов и порождаемые ими алгебры. Принципиально новым в этом исследовании является наличие разрывов у коэффициентов (точнее у их сужений на окружность).

Указанные результаты включены в четвертую главу диссертации и опубликованы в работе [147].

V. Исследованы свойства If (Rn) -)> ограниченности (1 < р ^ q ^ оо) для операторов свертки с осциллирующими символами и с особенностями ядер на сфере и на бесконечности. Исследованы также свойства lp (Mn) -* L^(Rn) ограниченности для операторов скрученной свертки с теми же ядрами и для более общих операторов скрученной свертки. Осуществлено сравнение свойств ограниченности операторов свертки и скрученной свертки.

Заметим, что до настоящего момента исследовались Lp (Rn) —у Z^(Rn) оценки для операторов скрученной свертки, а исследование Z^(Rn) —> L9(Rn) ограниченности осуществлено впервые.

Указанные результаты включены в пятую главу диссертации и опубликованы в работах [144], [145], [146], [148], [149], [150], [158], [160], [163]- см. также работы [140], [141], [142], [143], в которых опубликованы результаты по теме настоящей главы, не включенные в текст диссертации в силу ограничения объема.

Рекомендации по практическому использованию результатов.

Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях по теории операторов в банаховых и гильбертовых пространствах и по теории функциональных пространств, в частности. пространств аналитических функций, возникающих в анализе. Развитые методы могут быть использованы при исследовании свойств ограниченности, компактности, спектральных свойств операторов с каноническими ядрами, в частности, теплицевых, ханкелевых операторов и их модификаций в пространствах типа Бергмана, Дирихле, а также при исследовании алгебр таких операторов: при исследовании алгебр сингулярных интегральных операторов с конечным числом изолированных особенностей коэффициентов в двумерном и также многомерном случае. Дальнейшее развитие полученных результатов в этой области исследования может одновременно происходить в нескольких направлениях: более общие области (симметричные ограниченные области, строго выпуклые области и пр.), другие функциональные пространства, новые классы операторов, многомерные аналоги, в частности пространства на полидиске. Также результаты диссертации могут быть использованы при исследовании свойств ограниченности операторов типа потенциала с особенностями ядер и (или) символом на некоторых множествах нулевой меры и при обращении и описании образа для таких операторовпри изучении свойств ограниченности операторов типа скрученной свертки и их модификаций. В этом направлении наиболее важным и актуальным представляется развитие тематики исследования интегральных операторов на многообразиях меньшей размерности.

Полученные результаты могут быть использованы научными коллективами Уфимского научного центра РАН, С. Петербургского отделения математического института им. Стеклова, института математики НАН Армении, института математики им. А. Размадзе АН Грузии, Ростовского, Воронежского, Казанского, Одесского, Ереванского университетов, а также другими научными коллективами, ведущими исследования в областях гармонического анализа — методов вещественного и комплексного переменного, примыкающих к основным направлениям диссертации.