Исследование специальных классов операторных дзета-функций

В настоящей работе мы доказываем ряд арифметических и аналитических тождеств с помощь©метода операторной дзета-функции, предложенного за последние годы проф. 1/.

Н.П.Романовым '. В целях сравнения этого метода с методами, известными ранее, мы решили, помимо тождеств, до сих пор не встречавшихся в литературе, этим способом доказать несколько тождеств известных ранее. Намеченное нами изложение начнём с краткого описания метода операторной дзета-функции.

Пусть дано семейство функций F, заданных на любом множестве вещественных или комплексных чисел и последовательность дистрибу. тирных функциональных операторов z '. , от’ображающих семейство функции /Г само на себя, причём эти операторы обла дают свойством.

I I =/ (*" '*" .

Lyy, I f*',*, названным Н. И. Романовым 1 — свойством. L{ - предполагается тождественным оператором).

Vh.П.Романов. «„Применение функционального анализа к вопросам распределения простых чисел“». Известия Научно-исследовательского" института математики и механики при Томском Государственном университете им. Куйбышева.

Или Н. Н. Романов."Однопараметрические операторные группы и полугруппы и новые методы теории простых чисел, основанные на их рассмотрении"". (Рукопись).

Как показано Н. П. Романовым примером такой последовательности операторов могут служить операторы где функция взята из множества всех функций б области) и .У1, любое из целых положительных чисел. Легко проверить выполнение обоих указанных требований. Принадлежи ость функций и одному и тому же семейству f (иначе говоря эквивалентность условий /бОб Г иfcbtlGp) очевидна, йз.преобразования.

L k*>)=L кт*>=fa***=L&tradefa вытекает второе требование LWL& ~. йз данной последовательности операторов, обладающей М-свойством, можно получить и другие последовательности, обладающие тем же свойством. Например, если последовательность операторов L*. .) обладает М-свойством, то оператор. [!" - г где ^" Jхарактер Дирихле по модул©К, также обладает М-свойством. (Выполнение условия? Г для множества f^, влечёт за собою выполнение уело вий: fCujfaxfcF4).

Н.П.Романов в вышеуказанной работе рассмашривает однопараметрическое семейство линейных операторов L* (ГД©й любое положительное число), заданных на некотором линейном функциональном множестве f, удовлетворяющем следующим аксиомам (названное й.П.Романовым системой аксиом А): т#еФлюбой из операторов семейство отображает У В?. a. = т. е. L, =? .wEтождественный оператор.

3. L&Lf-Libg при любых положительных и вещественных Лий (31-свойств о) ¦

4. Существует производная L, M в точке и =1.

1).

Другими словами требуется существование предела So ни, ft * hli^, причём линейный оператор, определяемый формулой (l), обладает свойством.

§. Если почленный предельный переход под знаком оператора /, м законен, при любом и>о, то.

Кроме системы аксиом А, Н. П. Романов рассматривает систему аксиом В, отличающуюся от, А только тем, что из аксиомы, А выбрасывается требование лс * и, в связи с эти?*, выбрасывается аксиома (5).

Кроме того, второй вариант всей теории рассматривается, когда параметр М-любое, отличное от нуля, комплексное число. Тогда Lk U* будет выражением, вообще говоря, многозначным, различные значения которого переходят одно в другое при обходе И около начала координат,.

В обоих вариантах операторы Lu образуют группу по операторной композиции,.

В некоторых случаях можно в системе аксиом, А и В выбросить также аксиому (3), заменив её- аксио ой (З1): Lu =? iLu,. Далее, Н. П. Романов даёт способы нахождения семейств операторов, удовлетворяющих аксиоматике, А ш аксиоматике В.

Приведём некоторые из них.

Если дан оператор А, отображающий пространство в пространство f, под знаком которого можно производить дифференцирование по Ж, то опреде ляемое формулой LU-J)LUA~, где оператор удовлетворяющий аксиоматике, А или В, удовлетворяет соответственно также аксиоматике, А или В, При этом если j то — ft* ^ где.

В самом деле этим, аксиома (3) доказана. Все остальные аксиомы доказываются без труда. Далее, если совершить дифференцирование, то получится.

Возьмём конкретный пример, основанный на этом методе:

L Jl<)=f (X + fyu) В качестве, А введём операцию.

Afu)= fcfy*).

Обратная к ней операция будет.

А’Цм^С*).

Теперь рассмотрим L^^Cx) = J^Сгсх).

Далее ХЦм Л’Цсо = J)^ Ае'№)~х{<*)-4.

Откуда Lu = ^^ск) в еледовательно/ <1.

ЯХ^ - Этим способом Н. П. Романов пришёл к примеру.

Преобраз оваиие, ^ является группой. В самом деле.

J сиЫ*.

Далее результат дифференцирования будет JifWott jwtidt u=i.

— tcxjfc*) + fU.

След озэательно/ X в данном случае имеет вид: X-^+WxJ.

Н.П.Романов рассматривал несколько способов, позволяющих из одного семейства операторов с указанными свойствами, переходить в другое такое же семейство.

Далее Н. Н. Романсов рассматривает следующие функциональные операторы, определённые на функциональном множестве f*.

Alri з).

И*/.

4) 1.

И:£ где Ln ^ и Я — линейный функциональный оператор, обладающий I — свойством.

Б этих тождествах jiinj является функцией Мёбиуса: определяемой равенствами: х/.

2/ jitn) = o, если /гделится на квадрат, отличный ' от единицы.

3/ ^Сп) = C-l)K, если /X не делится на квадрат, отличный от единицы и показатель «к» обозначает число различных простых делителей /г ,.

J.Ln) «Функция Жангольдта, определяемая следующими равенствами:

1/ ЛШгО.

2/ ]Ск)-?о§>р > если /Z-Р*, при Р — простом и (рС>0 .

3/ /(п) = О во всех остальных случаях.

При этом, если последовательность такая, что для любой функции f-WG Т справедлива оценка при У1, то тогда ряды (2),(3),(4) и (5) сходятся в полуплоскости — вещественная часть комплексного параметра 5 В случае — ft, естественно писать 1 и определяют операторы X Cs, L) 9.

4(s, L), -X'CS'L 3 «~ •^•Cs.U) являющиеся в Re s) > -fi голоморфными фрнвдиями параметра? .В случае, если суммы рядов (2), (3), (4) и (5) входят, в область определения L, (может быть рас ширенную по сравнению of) ш «почленное применение L к указанным рядам законно, то X (a)?(U)f= Zis. QflxX'auti*), что оправдывает обозначения (4) и (в).

Из соотношения (7) можно получить очень много интересных соотношений, для случая последовательности.

Lк (h^ljZ,.) обладающей М-свойством,.

Например, полагая 5= ^ и u fa) =г получаем.

У*'.

ЛдзиьиЯН&А. /С %4Li<�УПЯ0?(Щи+с> - у. ,.

H&i.

6).

7).

Откуда оо.

8) n*t Простейшее тождество такого типа имеет вид^Г TC" J Xn • Впервые такие тождества рас.

Мл/ ^ ^ Я*/ сматривались Ламбертом в ХУ1 веке. Ламберт строил cbi выводы, пользуясь непосредственно формулами.

— Л с^Л- ¦).

1-Хл.

Необходимая для этой цши перегруппировка слагаемых оказывается возможной при любом /x/.

В операторном случае, как мы видели выше, подби* рая подходящую функцию и подходящее значение для S, можно получить ряд тождеств типа Ламберта. Другими словами, если.

Л"/ г' то применяя к обоим частям операцию — у получим.

Тождество (9) условимся называть тождеством типа Ламберта,.

Далее Н. П. Романов для операторной дзета функции при весьма незначительных ограничениях, доказывает. справедливость соотношения.

S4X М^х где «у» есть решение уравнения вида.

На этом мы заканчиваем намеченный нами обзор исследования Н. П. Романова и переходим к изложению результатов, полученных нами..

Все наши исследования делятся на две части. Одна из них основаны на использовании формул#)"(7), выражаюодно из важных свойств операторной дзета-функции. Другая совокупность выводов, связана с приложением формулы (10)..