Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа, что объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и наличием их практических приложений в газовой динамике трансзвуковых течений [70], [75], [15], [34], магнитной гидродинамике [24], в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [3], в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.

Основы теории краевых задач для уравнений смешанного типа были изложены в известных работах Ф. Трикоми [67], С. Геллерстедта [77], [78], К. И. Бабенко [1], [2], Ф. И. Франкля [70], [71], М. А. Лаврентьева [32], А. В. Бицадзе [8], [9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф. И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики [28], [31].

A.B. Бицадзе [32], [6] впервые сформулировал принцип экстремума для уравнения Лаврентьева иХх + (sgny)uyy — 0. (0.1).

Позднее он был доказан для других уравнений смешанного типа [2], [76], [43], [44], [14], [60], [62], [50].

Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными — постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появились новые работы, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе [8], A.A. Самарского [59], М. М. Смирнова [62], Ю. М. Крикунова [30], В. Ф. Волкодавова [14], С. П. Пулькина [43] - [45], К. Б. Сабитова [49] - [51], А. И. Кожанова [25], В. И. Жегалова [18], [19], A.M. Нахушева [39], [40], Е. И. Моисеева [35], P.C. Хайруллина [72] - [74], A.M. Ежова [17], М. Е. Лернера [33], O.A. Репина [33], [47], А. П. Солдатова [63], [64], Л. С. Пулькиной [46], J.R. Cannon [79], D. Dunninger [80], [81] и других математиков.

Остановимся на работах, которые послужили основой исследований настоящей диссертации, посвященной обоснованию корректной постановки нелокальных задач для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением.

Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода или с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.

В работе [22] И. Л. Кароль представил одно из первых исследований для уравнения смешанного типа второго рода ихх + (8дпу)утиуу = 0, т > 0, (0.2) в области С, ограниченной простой жордановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках 0(0,0) и Л (1,0), и характеристиками ОС и АС уравнения (0.2), расположенными в полуплоскости у < 0. Он доказал существование и единственность решения задачи Трикоми (задача Т) при 0 < т < 1 в случае, когда граница Г эллиптической части смешанной области С? совпадает с так называемой «нормальной» кривой Го:

Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе [53] К. Б. Сабитов доказал единственность решения задачи Т для уравнения (0.2) при любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < m < 1. В работах [54, 55] им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.2) при m > 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения xmuxx—(sgny)uyy — 0 при всех га > 0.

Ф.И. Франкль свел прямую задачу теории сопла Л аваля к новой задаче для уравнения (0.2) с показателем m = ½, где на линии перехода вместо классического условия непрерывности гл2/(ж, 0-Ь0) = -^(ж, 0—0), 0 < х < 1, ввел требование разрывности щ (х, 0 + 0) = — иу (х, 0 — 0), 0<ж<1.

И.Л. Кароль исследовал также уравнение смешанного типа второго рода.

Lu = ихх + уиуу + аиу = 0, а = const, (0−3) в области аналогичной G. При 0 < а < 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии изменения типа вместо обычного требования непрерывности производной по нормали: иу (х, +0) = иу (х, — 0), 0 < х < 1, вводится условие сопряжения с весом lim {—y)auv = lim yauv, 0 < x < 1. у->0—0 yJ У y->0+0.

Когда, а < 0 при условии существования равенства ихх{х, 0) + аиу (х, 0) = 0, 0 < х < 1, им доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле.

Задача Т для уравнения (0.3) при, а < 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по — иному. С. С. Исамухамедов [21] для уравнения (0.3) в области G при, а = —п + ао> |<ао<1, п — 1,2,., поставил задачу Т со следующими условиями склеивания: и (х,+0) = и (х,-0) = т (х), 0<х<1, г.

Дт {-yf[uy + ??H] = (—l)k]im^(—y)a—[u — А~{т)} = и (х), 0 < * < 1, где.

JV*(-y)fc Л.

Г^ J о.

Л~(г) = 2J Ы-уУ I r2k (z)(t (1 — t))k+a^di, к—0.

П f)2kii кы = Е ^=ж — 1 -к=1 Х.

Nk (k = 0, n), Mk{k — 1, п) — определенные постоянные.

Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го — методом интегральных уравнений.

Ю.М. Крикуновым [29], [30] изучен случай ао = ½ для некоторых специальных областей.

Хайруллин P.C. [72] для уравнения (0.3) в случае, а < —½ в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В другой работе [73] в области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (0.3), им показана фредгольмовость задачи Трикоми при тех же, а < —½.

В последние годы жизни В. Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико — гиперболического типа, для которых линия изменения типа есть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в статье В. Ф. Волкодавова, О. Ю. Наумова [11], где решена краевая задача для уравнения ихх + иуу = 0, у > О, иху = 0, у < О, в области CI, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А (0,0), 5(1,0) и отрезками прямых АС (х + у — 0) и С В (ж = 1) в полуплоскости у < 0, с условиями: и (х, у) G C (fi), V{u) = 0 на I2+ U иг = (p (s), s g [o, Z], исв — g{y), y e [-1, o],.

H+(x) = b{x)H (x), X e (0,1), где ip (s), g (y), b (x) — заданные функции, I — длина кривой Г, s — длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки 1?(1,0), рх.

Н+(х) = (хt)-pux (t, 0) dt, 0<р<1, х G [0,1],.

J о lim [ (хt)~xu (x, -t)dt, 0 < A < 1, Q П y > 0, = ft П y < 0.

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю. О. Плотниковой [42] для уравнения смешанного типа р. J Uxx ^уу.

А и, у > 0, иху + Агг, А = const, у < 0.

Е.А. Баровой [4] исследованы краевые задачи с сопряжением производной по нормали с дробной производной для двух классов уравнений смешанного типа.

Lu = и ихх 4- иуу = 0, у > 0, иху + Я. [In, а (ж)]' иу = 0, q > 0, а (ж) >0, у < 0, Р.

ILxx tLyy ~Их ~ 0, 0<р<1, у> 0,.

Ьи= { р 1Х иху + 2 х~+у + = У <

С аналогичными условиями сопряжения изучены краевые задачи О. В. Фадеевой [69] для уравнения смешанного типа с двумя линиями сингулярности.

Uxx + Щу H—ux Н—Uy = 0, у > 0, 0 < 2р < 1, х у 2 р, ч иХу—2 2 Уих — = 0> У < 0,0 < 2q < 1.

2р

Lu = х.

2 р У.

Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после известных работ Ф. И. Франкля [70], [71], в которых впервые обращено внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для линейных уравнений смешанного типа.

На некорректность задачи Дирихле для уравнения (0.1) в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0<�х+у<�х— у < 1, впервые обратил внимание А. В Бицадзе [10]. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенный между 7 и у = 0.

Результат А. В Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

В работе J.R. Cannon [79] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе в прямоугольных областях обладающих специальными свойствами.

Нахушев A.M. [41] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области.

В работах А. П. Солдатова [63, 64] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.

Е.И.Моисеев [36] исследовал нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения.

Утихх + иуу = 0, т > —2, 0 < х < 1, у > 0, с данными: и{0,у) =и{1,у), их{0,у) = 0, у> 0, u (x, 0) = f (x), 0<х<1, в предположении, что и (х, у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.

В работе Сабитова К. Б. [57] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода sgny) ymuxx + umj-b2{sgny)ymu = 0, т > О, Ь > О, (0.4) в прямоугольной области D = {(ж, ?/)|0 < х < 1, —а < у < ?}, а,? — заданные действительные числа. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.

К.Б. Сабитовым и А. Х. Трегубовой (Сулеймановой) [56], [66] для уравнения смешанного типа второго рода ихх + (sgny)ymUyy — Ь2и = 0, 0 < га < 2, b = const > 0, исследован вопрос о корректности постановки задачи Дирихле в зависимости от показателя степени т вырождения.

М.Е. Лернером и O.A. Репиным в работе [33] для уравнения смешанного типа sgny) ymuxx + иуу = 0, т> 0, в области, эллиптическая часть которой есть полуполоса {0 < х < 1, у > 0}, а гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и (0,у) — и (1,у) = (р!(у), их (0,у) — их (1, у) = ip2(y), У > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума,-существование — методами интегральных преобразований и уравнений.

В работе Сабитова К. Б. и Сидоренко О. Г. [58] рассмотрена краевая задача с условиями периодичности для уравнения (0.4) в прямоугольной области D. Методом спектральных разложений установлен критерий единственности решения. При этом решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи.

Целью работы является исследование на корректность нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением в классической и прямоугольной областях.

Общая методика исследования. В первой главе широко используются аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными: методы Римана, Римана — Адамара и Грина, принцип экстремума, методы теории интегральных уравнений. Во второй главе при доказательстве единственности и существования решения нелокальных задач для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области использован метод спектрального анализа и теория специальных функций.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы, которая состоит из введения и двух глав.

1. Бабенко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. Т. 8. № 2 (54). — С. 160.

2. Бабенко, К. И. О приципе максимума для уравнения Эйлера-Дарбу / К. И. Бабенко //ДАН СССР. 1985. Т. 285. № 4. С. 777 — 782.

3. Бакиевич, Н. И. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения / Н. И. Бакиевич // Успехи матем. наук. -1960. Т. 15. Вып. 1(91). С. 171−176.

4. Барова, Е. А. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения / Е. А. Барова //Автореф. дисс.. канд. физ. мат. наук. Казань: КГУ, 2007. — 16 с.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.

6. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах смешанного типа / A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. Т. 70, № 4. С. 561−564.

7. Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / A.B. Бицадзе // М.: Наука, 1966. 204 с.

8. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе // М.: Изд. во АН СССР, 1959. — 164 с.

9. Бицадзе, А. В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задая / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // ДАН СССР. 1969. Т.185. -Ш. — С. 739 — 740.

10. Бицадзе, A.B. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа / A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1953. — Т. 122. -№ 2. — С. 167 — 170.

11. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида / Неклассические уравненияматематической физики // В. Ф. Волкодавов, О. Ю. Наумов. -Новосибирск: Изд во Института математики СО РАН, 2002. — С.41 -49.

12. Волкодавов, В. Ф. Метод Римана Адамара для уравнения ЭйлераДарбу и его применение / В. Ф. Волкодавов, В. Е. Жуков. — Самара.: СГПУ. — 2002. — 32с.

13. Волкодавов, В. Ф. Таблицы некоторых функций Римана, интегралов и рядов / В. Ф. Волкодавов и др.]. Куйбышев.: КГПИ. — 1982. — 52с.

14. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Дисс.. доктора физ.-мат. наук. -Куйбышев, 1968. — 187с.

15. Гудерлей, Г. Теория околозвуковых течений / Г. Гудерлей // М.: ИЛ.- 1960. 421 с.

16. Гушин, А.К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений второго порядка / А. К. Гушин, В. Г. Михайлов // Матем. сборник. 1994. Т. 185. — № 1. — С.121 — 160.

17. Еэюов, A.M. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа / A.M. Ежов, С. П. Пулькин // ДАН СССР, 1970. Т. 193. — № 5. — С.978 — 980.

18. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Учёные записки. Казань: 1962. — Т. 122. — № 3. С. 3 16.

19. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В. И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. — 1985. — С. 168 — 172.

20. Ильин, В. А. Единственность и принадлежность W классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения / В. А. Ильин //Мат. заметки. 1975. — Т. 17. — № 1. — С. 91- 101.

21. Исамухамедов, С. С. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения смешанного типа втрого рода / С. С. Исамухамедов // Изв. АН УзССР. Сер. физико-мат. наук. 1974. — № 1. — С. 9 — 15.

22. Каролъ, И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго рода / И. Л. Кароль // ДАН СССР. 1953. — Т. 88. — № 2. — С. 197 — 200.

23. Каролъ, И. Л. Краевые задачи для уравнений смешанного эллиптикогиперболического типа /И.Л. Кароль // ДАН СССР. 1955. — Т. 101. — № 5. — С. 793 — 796.

24. Коган, М. М. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа / М. М. Коган // Прикл. матем. и мех. 1961. Т. 25, № 1. — С. 132−137.

25. Кожанов, А. И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А. И. Кожанов // Дифференциальные уравнения.- 1989. Т. 25. — № 25. — С. 2143 — 2153.

26. Корэюавина М. В. Решение некоторых краевых задач для уравнения S в неограниченных областях. Дисс.. канд. физ.-мат. наук. -Куйбышев: КГПИ, 1978. 122 с.

27. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области /М.В. Кельдыш // ДАН СССР. 1951. — Т. 77. — № 2. — С. 181 — 184.

28. Коул, Дж. Трансзвуковая аэродинамика / Дж. Коул, Л.Кук. М.: Мир. — 1989. — 360 с.

29. Крикунов, Ю. М. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения ихх уиууI- (—п + 2) иу = 0 /Ю.М. Крикунов // Известия вузов. Математика. 1979. — № 9. — С. 21 — 28.

30. Крикунов, Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа / Ю. М. Крикунов. Казань: Изд — во Казанского государственного университета, 1968. — 148 с.

31. Кузьмин, А. Г. Модифицированная задача Франкля Моравец о трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля / А. Г. Кузьмин // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т.40. -№ 10. — С. 1379 -1384.

32. Лаврентьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М. А. Лаврентьев, A.B. Вицадзе // ДАН СССР. 1950. — Т. 70, № 3. — С. 373 — 376.

33. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М. Е. Лернер, O.A. РенинСибирский математический журнал 1999. Т. 40, № 6. — С. 1260 -1275.

34. Мизес, Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости / Р.Мизес. М.:ИЛ. — 1961. — 588 с.

35. Моисеев, Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е. И. Моисеев. — М.: МГУ, 1988. — 150 с.

36. Моисеев, Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. — № 8. — С. 1094 — 1100.

37. Моисеев, Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. — № 11. С. 1565 1567.

38. Мухлисов, Ф. Г. Решение краевых задач вырождающегося эллиптического уравнения второго рода / Ф. Г. Мухлисов, А.М.Нигмедзянова// Известия вузов. Математика. 2009. — № 8. — С. 57−71.

39. Нахушев, A.M. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения 2001; Т.37. № 11. — С. 44−53.

40. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев // М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

41. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1970. — Т. 6. — № 1. -С. 190 — 191.

42. Плотникова Ю. А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения. Автореферат.. канд. физ.-мат. наук Стерлитамак: СГПА, 200 514 с.

43. Пулькин С. П. Задача Трикоми для общего уравнения ЛаврентьеваБицадзе / С. П. Пулькин // ДАН СССР 1958. — Т.118. — № 1. — С.214- 225.

44. Пулькин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта / С. П. Пулькин // Известия вузов. Математика. 1960. № 6(19). С. 38 — 41.

45. Пулъкин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх ± иуу +^их = 0 / С. П. Пулькип // Ученые записки КГПИ. Куйбышев. -1958. — Выпуск21. — С. 3 — 41.

46. Пулькина, Я. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. — Т.40. — № 12. С. 887 — 892.

47. Репин, О. А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / O.A. Репин // Докл. РАН. 1999. — Т.365. — № 5. — С.593 — 595.

48. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К. Б. Сабитов // Учебное пособие для вузов. М.:Высшая школа, 2003. — 255с.

49. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. -1990. Т.26. -№ 6. С. 1023 — 1032.

50. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. -1988. Т.24. — № 11. С. 70 -80.

51. Сабитов К. Б. Задачи Коши Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения / К. Б. Сабитов, Г. Г. Шарафутдинова // Известия вузов. Математика. — 2003. -№ 5. С. 21 — 29.

52. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные, интегральные уравнения. М.: Высшая школа, 2005. — 671 с.

53. Сабитов, К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго порядка на границе бесконечной области / К. Б. Сабитов // Сибирский математический журнал. 1980. — Т. 21. т. С. 146 150.

54. Сабитов, К. Б. Задача типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. 1984. — Т. 20. — № 2. — С. 333 — 337.

55. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной обласи / К. Б. Сабитов, А. Х. Сулейманова // Известия вузов. Математика. 2007. — № 4. — С.45 -53.

56. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К. Б. Сабитов // ДАН. 2007. — Т. 413. № 1. — С. 23 -26.

57. Сабитов К. Б. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко // Дифференциальные уравнения. 2010. — Т.46. -№ 1. — С. 105 — 113.

58. Самарский А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1980. Т. 16. — № 11. — С. 1925 — 1935.

59. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов // М.: Наука, 1970. 296 с.

60. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1970. — 295 с.

61. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. / М. М. Смирнов // М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

62. Солдатов, А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. I. Теоремы единственности / А. П. Солдатов // ДАН. 1993. Т. 332. № 6. — С. 696 — 698.

63. Солдатов, А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А. П. Солдатов // ДАН. 1993. Т. 333. № 1. — С. 16 — 18.

64. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1962. 724 с.

65. Трегубова (Сулейманова), А. Х. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением. Автореф. дисс.. канд. физ. мат. наук / А. Х. Трегубова (Сулейманова). — Казань. 2009. — 18 с.

66. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1947. 192 с.

67. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1962. 351 с.

68. Фадеева, О. В. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения. Автореф. дисс.. канд. физ. мат. наук / О. В. Фадеева. — Стерлитамак. 2007. -16 с.

69. Франклъ, Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. № 2. С. 121−142.

70. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль // М.: Наука, 1973. 711 с.

71. Хайруллин, P.C. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае нормальной области / P.C. Хайруллин // Дифференциальные уравнения. 1990. — Т. 26. — № 8. — С. 1396 — 1407.

72. Хайруллин, P.C. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода /P.C. Хайруллин // Сибирский математический журнал. 1994. — Т. 35. — № 4. — С. 927 — 936.

73. Хайруллин, Р. С. Задача Трикоми в классе функций, неограниченных на характеристике / P.C. Хайруллин, Г. Н. Аглямзянова // Известия вузов. Математика. 2004. — № 4. — С. 3 — 7.

74. Чаплыгин, С. А. О газовых струях / С. А. Чаплыгин // М.-Л.: ГИТА, 1949. 144 с.

75. Agmon, S. A maximum principia for a class of hyperbolic equationsd and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Communs Pure and Apple. Math. — 1953. VolVI. — №. — P. 455 — 470.

76. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derives particielles du second ordre de type mixte / S. Gellerstedt // These, Uppsala, 1935. 92 с.

77. Gellerstedt, S. Sur une equation lineaire aux derives particielles de type mixte / S. Gellerstedt // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25A.29. P. 1−23.

78. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. 1963. V. 62. P. 371 — 377.

79. Dunninger, D. The condition for uniquencess of solution of the Dirichlet problrm for the wave equation in coordinate rectanglrs / D. Dunninger, E. Zachmanoglou //J. Math. Anal, and Appl. 1967. — V. 20. — № 1. — P. 17- 21.

80. Dunninger, D. The condition for hyperbolic equtions in cylindrical domains / D. Dunninger, E. Zachmanoglou // J. Math, and Mech. 1969. — V. 18. — № 8. — P. 763 — 766.

81. Егорова, И. П. Задача типа Трикоми с нелокальным условием сопряжения для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением / И. П. Егорова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2008. № 2(61). — С. 69−76.

82. Егорова, И. П. Задача с условиями периодичности для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением / И. П. Егорова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74). — С. 15 — 27.