Представления и инварианты унитреугольной группы

Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина почти два века назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Еще в ХХ-м веке она оказала большое влияние на развитие многих разделов алгебры, таких как алгебраическая геометрия и теория представлений. В настоящее время теория инвариантов имеет обширные приложения и служит основой многих исследований в коммутативной алгебре, гомологической алгебре, теории алгебр и групп Ли, теории представлений алгебраических групп, алгебраической геометрии.

Основной задачей теории инвариантов принято считать проблему построения образующих алгебры инвариантов произвольной алгебраической группы, действующих на. аффинном алгебраическом многообразии, нахождение определяющих соотношений между этими образующими, указание канонических представителей орбит. В настоящее время, наряду с этими вопросами решаются задачи вычисления стабилизаторов, изучение алгебро-геометрических свойств самих орбит и их взаимного расположения, построение различного рода «сечений» и «факторов». Для того, чтобы явно описать все инварианты заданной алгебраической группы достаточно указать систему образующих алгебры инвариантов. Задача отыскания системы образующих произвольной группы сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры инвариантов. В 1890 г. Гильберт доказал теорему конечности для алгебры инвариантов действия редуктивной линейной группы (см. [Н] или обзоры [УРЦКЬрЗрЫМ]).

Для нередуктивиых линейных групп проблема конечной порождегшости алгебры инвариантов не имеет удовлетворительного решения и представляется чрезвычайно трудной. Ключевым моментом в ее решении является случай унипотентных групп. Действительно, пусть С С СЬ (У) — алгебраическая линейная группа и и — ее унипотентный радикал. Тогда если алгебра ку]и конечно порождена, то и алгебра к[У}с конечно порождена [УР]. В 1958 г. Нагата построил [ГчГ],[Э^ 1 ] пример унипотентной группы, алгебра инвариантов которой не является конечно порожденной. Вопрос о том, является ли алгебра инвариантов для произвольной алгебраической линейной группы конечно порожденной, называется 14-й проблемой Гильберта (сам Гильберт, правда, сформулировал ее в 1900 году иначе [РН], но после появления контрпримера Нагаты она стала рассматриваться именно в такой форме). В более широкой постановке 14-ую проблему Гильберта рассматривают как проблему конечной порожденности алгебр инвариантов произвольных действий алгебраических групп на аффинных многообразиях. В этом плане интересен результат В. Л. Попова [Р], являющийся в некотором смысле обращением теоремы конечности Гильберта. Некоторые положительные результаты по 14-й проблеме Гильберта получил Гроссханс [С1]. Оказалось, что вопрос о конечной порожденности алгебры инвариантов некоторой подгруппы Н редуктивной группы С на векторном пространстве сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры к[С/Н]. В работе [Нс1] Д. Хаджиев показывает, что когда Н — максимальная унипотентная подгруппа связной алгебраической группы С и С-алгебра конечно порождена, алгебра инвариантов действия группы Н также конечно порождена. Также можно отметить результат Вайценбёкка [V] о конечной порожденности любой одномерной унипотентной линейной группы.

Ряд положительных результатов имеется в случае, когда параболическая подгруппа Р редуктивной алгебраической группы С действует сопряжением на своем унипотеитоиом радикале и присоединенио па нильрадикале в соответствующей параболической подалгебре. В частности, Ричардсон показал (см. [Я]), что это действие имеет плотную Р-орбиту, называемую орбитой Ричардсона. Количество Р-орбит вообще говоря не является конечным, а проблема описания Р-орбит кажется очень трудной. Случай, когда Р имеет конечное множество орбит в нильрадикале, был поднят в работе Попова и Рорле [РЯ]. Для классических групп, если основное поле нулевой характеристики или характеристика хорошая, Хилле и Рорле классифицировали [ШИ],[НГ12] параболические подгруппы, имеющие конечное множество орбит на соответствующем нильрадикале. С помощью компьютера Юргенс и Рорле расширили классификацию до исключительных групп [Ж]. Более того, для параболических подгрупп в БЬ, имеется точное описание Р-орбит [Н112], [ВН1Ш]. До настоящего времени не известно сколько-нибудь полное описание Р-орбит на нильрадикале для других классических типов. Специальный случай Р = В присоединенных орбит борелевской группы в нильпотент-ной алгебре Ли рассматривали Бюргстейн и Хесселинк [ВН]. В настоящей работе мы рассматриваем присоединенное действие максимальной унипо-тентной подгруппы в С на нильрадикале в соответствующей Р параболической подалгебре.

Здесь представляет интерес вопрос о том, как устроены классы сопряженности унипотентных групп. Над конечным полем в ряде работ рассматривались сопряженные классы группы и (д) строго верхнетреугольных матриц. Хигман и Томпсон изучали [Ы^],[Т] число классов сопряженности для группы Вера-Лопес и Арреджи показали [АУЬ], что число классов сопряженности для п ^ 13 — многочлен от д с целыми коэффициентами. Другой подход к изучению присоединенных орбит максимальной унипотентной группы состоит в том, чтобы рассматривать некоторый их класс, орбитальное многообразие, являющееся неприводимой компонентой пересечения нилыготентной орбиты и алгебры Ли строго верхиетреугольиых матриц. Орбитальные многообразия изучались в ряде работ Н. Спалтенстейна [8р1], Р. Стейнберга Э.Жозефа [Ло], Э. Бенлоло [Вп1], [Вп2], А. Мельниковой [М11],[М12] и др. В настоящей работе среди прочего мы описываем орбиты максимальной размерности присоединенного действия максимальной унипо-тентной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

Целями настоящей работы являются изучение алгебры и поля инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

Основные результаты исследований отражены в работах [РБ], [81]-[87].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы, содержащего 52 наименования. В каждой главе применены одна нумерация для определений, теорем, следствий, предложений, замечаний и примеров и отдельная нумерация для формул. Для нумерации диаграмм используется сквозная нумерация. Общий объем диссертации составляет 107 страниц.