Некоторые случаи решения задачи Маркушевича в замкнутой форме

Предлагаемая работа посвящена разработке методов решения трехэлементной и четырехэлементной граничных задач линейного сопряжения теории аналитических функций а (1)ф+{1) + = + <1{г)фЩ + /(?). (0.0.1).

Трехэлементная задача.

Ф+(г) = + ь (г)фЦ$ + /(*), (0.0.2) была поставлена в 1946 году А. И. Маркушевичем [20]. Как к трехэлементной, так и четырехэлементной задаче Маркушевича. приводятся многие прикладные задачи: задача расчета электрических полей [10], [28], теории гетерогенных сред [29], [52], теории фильтрации [27], теории оболочек [7] и задачи других разделов механики и физики. Наиболее сильные результаты впервые были получены Л. Г. Михайловым. В своей работе [23] Л. Г. Михайлов при исследовании задачи (0.0.2) в классе кусочно аналитических функций различал три случая: случай эллиптичности, когда |а (£)| > |&(?)|, гиперболичности |а (£)| < |&(?)|, и параболичности |а (£)| = |&(?)|. В последнем случае задача (0.0.2) сводится к двум задачам Гильберта. Используя принцип сжатых отображений, Л. Г. Михайлов в эллиптическом случае предложил приближенное решение задачи (0.0.2). определив число решений и условий разрешимости. Некоторые частные результаты относительно разрешимости задачи в гиперболическом случае были получены в работах Б. В. Боярского [5], Ф.Д. Берко-вича [4], И. Х. Сабитова [34, 35].

Вопросами устойчивости и разрешимости задачи, как трехэлементной, так и четырехэлементной занимались Г. С. Литвинчук [18], [19, гл 5], И. М. Сгштковский [42, 43], A.M. Николайчук [25, 26]. В этих работах краевая задача (0.0.2) рассматривалась в классе кусочно аналитических функций, когда контур L представляет собою окружность. Методом симметрии, краевая задача (0.0.2) сводилась к краевой задаче Римана для вектор-функции с матричным коэффициентом и было показано, что случай эллиптичности |а (£)| > |&(?)| является случаем устойчивости решения задачи (0.0.2), разрешимость определяется величиной индекса а (£).

Поэтому в эллиптическом случае возникает задача о приближенных методах решения задачи. Эта проблема была решена И. Т. Хабибуллиным и А. Г. Шагаловым [45, 46]. В этих работах рассматривалась краевая задача Римана для вектор-функции с матрицей г (А) такой, что Иег (А) > 0. Очевидно, что А{&euro-) в случае эллиптичности удовлетворяет данному условию. Их подход основан на методе продолжения по дискретному параметру, разработанный И. Т. Хабибуллиным [47]. По степени конструктивности подход И. Т. Хабибуллина сравним с алгоритмом разложения функции в непрерывную дробь. Дальнейшее развитие его метода дано в работе [51].

В гиперболическом случае было лишь установлено, что число решений однородной задачи (0.0.2) и число условий разрешимости конечно. Относительно краевой задачи (0.0.1) было показано, что выполнение неравенства обеспечивает нетеровость краевой задачи (0.0.1). Получено число решений и число условий разрешимости как в устойчивом случае.

S (t) = a (t)c (t) — b (t)d (t) ф 0 н*)мад|)(1Ф)мад|)>о, так и в вырожденных случаях: c (t)I = |d (i)| > о, |a (f)| - b (t) ф 0, — {arg/3(t)}L > -|х 1 a (f)| = |b (f)|>0, |c (i)|-|d (i)|^0, ?{axg/?(t)}L 0, c{t) = d (t) > 0, ?{arg?(t)}L < 1 где ?(t) = t[a (t)d (t) — b (t)c (t)], я=— {arg6{t)}L.

В работах JI.И. Чибриковой и Л. Г. Салехова [37. 38], [36] получено решение трехэлементной задачи Маркушевича ф+it) = a (t)rf>-(t) + b{t)il>+(t) + /(t),.

0.0.3) в замкнутой форме, при условии, что a (t), b (t) являются краевыми значениями некоторых аналитических, за исключением конечного числа полюсов, в области D+ функций, где контур L представлял собою алгебраическую кривую. Задача Маркушевича (0.0.3) сводилась к эквивалентной задаче Римана для нескольких неизвестных функций на некоторой замкнутой римановой поверхности. Это достигалось путем дополнения искомых функций или векторов до кусочно аналитических по принципу симметрии.

В работах K.M. Расулова [32, 33] краевая задача Маркушевича (0.0.2) сводится к равносильному интегральному уравнению Фредгольма второго рода JK (t, T) ijz®dT = Q (t) + x (i)Px-iM, t e l, (0.0.4) L где.

K (t, r).

X-W.

2тгг b® b (t).

Lx+® X+(t) т — t f®dr т'(а)У т-t т-t X+(t) b (t) *+(*) i ' а.

2а{&euro-) 2 т У Х+(т)(т-?)' ь.

И число решений и условий разрешимости задачи (0.0.2) полностью определяется из теории разрешимости интегрального уравнения Фредгольма.

Re.

I [.Q (t) + X (i)Px-iW] *-(*)<** J =0, j = где Фх,.,^ - полная система линейно-независимых решений союзного уравнения.

В случае, когда а (£), 6(£) — рациональные функции, ядро т) вырожденно, и уравнение Фредгольма (0.0.4). а следовательно, и задача Маркушевича (0.0.2) допускает решение в замкнутой форме.

В.В. Митюшевым [21. 22] были предприняты попытки решить задачу (0.0.2) в случае многосвязной круговой области. Метод решения заключался в сведении задачи (0.0.2) к функциональному уравнению вида.

Ф (г) = С1(г)Ф (з1г) + G2(z)<5>{s2z) + • • • + Gp (z)(spz) + g (z), И < гь (0.0.5) где функции (^(г), ^(г),., Ср (г), д (г) — мероморфные в круге г < г. О < вк < 1, к = 1 ,.,?>. Решение получено в виде рядов при некоторых ограничениях, наложенных на коэффициенты а (£), &(?). а также при условии аналитичности коэффициентов уравнения (0.0.5) в нуле..

В работах Т. Н. Жоровиной [15, 16| данная задача рассматривалась на симметричной римановой поверхности, где а (£),&-(£) и /(?) постоянные, а контур Ь — линия симметрии или часть линии симметрии. Получены некоторые результаты о числе решений и условиях разрешимости задачи (0.0.2). В случае, когда риманова поверхность представляет собою тор, решение получено в замкнутой форме..

Задача Маркушевича в классе двоякопериодических функций в случае кусочно постоянных коэффициентов была рассмотрена Ю. В. Обносовым [30],.

Э.И. Зверович, Е. В. Давьялова [14, 13] рассмотрели четырехэлементную задачу Маркушевича (0.0.1) на прямой Imz = 0 при следующих ограничениях, наложенных на коэффициенты: a) |а (ж)| = |6(ж)|, |с (х)| = d (x)|, если х G Lx = (гьт2) U • • • Ufah, +оо) b) Ь{х) = d (x) = 0, если х G L2 = (-оо, п) (Jfa, r3) IJ. U (r2/i-b r2h). L.

31]..

Здесь коэффициенты предполагаются Я-непрерывными на М {гх,., Г2н+}, где точки —со < г <. < Г2н+ = +оо лежат на вещественной оси и выбраны произвольно. Используя принцип симметрии относительно контура ?1, задача Маркушевича (0.0.1) приводится к задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности рода ¡-г, задаваемой уравнением.

2Л+1 Д 0 — гк). к=1.

Решение задачи Маркушевича (0.0.1) представлено в замкнутой форме, при допущении, что проблема обращения Якоби решена..

Полной теории разрешимости задачи (0.0.2) в настоящее время нет. Число I линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости явно найдены только, когда |а (£)| > Ь (Ь) | (эллиптический случай) или |а (£)| = Ь (Ь) (параболический случай) [19]..

Картина разрешимости в общем случае изучена в работе И. Х. Сабитова [34, 35]. Эта статья породила целое направление исследования задачи Маркушевича, основанное на приближении коэффициентов рациональными, или более общо, мероморфными функциями. Однако, при нахождении характеристик I и р в ней используется трудно вычисляемое число п. Поэтому вопрос о явном или эффективном решении задачи Маркушевича в общем случае остается открытым..

Впервые случаи явного решения задачи Маркушевича, отличные от эллиптического или параболического, были обнаружены в работе [56]. Этот подход оказался плодотворным и при решении данной задачи в классе авто-морфных функций [57, 58, 59]. Отметим, что задача Маркушевича, вообще говоря, является неустойчивой при малом возмущении ее параметров [19]. Поэтому проблема приближенного решения этой задачи вообще не разработана..

Целью данной работы является отыскание частных случаев задачи Маркушевича, когда она может быть решена в замкнутой форме, явно, либо точно, в классах аналитических или автоморфных функций. Здесь под явным решением мы понимаем решение, которое использует только формулу Ф. Д. Гахова для канонической функции скалярной однородной задачи Римана и исследование средствами линейной алгебры конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, для которых матрица системы может быть выписана в явном виде (в квадратурах). Число систем должно быть определено заранее. Если число этих систем находится в процессе вычислений, то мы будем считать, что получено эффективное решение..

Если имеется явное или эффективное решение задачи Маркушевича, то это еще не гарантирует, что на основе такого решения можно будет создать алгоритм приближенного решения. Далее мы увидем, что в нашем случае неустойчивость задачи Маркушевича обусловлена в основном неустойчивостью процедуры нахождения ранга матрицы. Если алгоритм явного или эффективного решения использует только вычисления в точной арифметике (например, вычисления в гауссовом поле Q (a)), то мы будем говорить о точном решении. Его можно реализовать в системах компьютерной математики таких как Maple. Поскольку получение алгоритма точного решения имеет особую значимость ввиду неустойчивости задачи, то при получении явного решения мы отдаем предпочтение методам, допускающим точные вычисления..

Для достижения поставленной цели используются два различных подхода: сведение задачи Маркушевича к матричной задаче Римана или к скалярной задаче Гильберта. При этом выделяются те случаи, когда вышеупомянутые задачи решаются в замкнутой форме..

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, в котором приведены числовые примеры..

Заключение.

В диссертации разработаны методы нахождения явного решения трехэлементной и четырехэлементной задач Маркушевича на окружности в классах кусочно аналитических функций. Они основаны либо на сведении к матричной задаче Римана, либо на сведении к задаче Гильберта. Получены следующие основные результаты:.

1) Построено решение в явной форме трехэлементной нетеровой задачи Маркушевича при достаточно слабых ограничениях на коэффициенты: 6(0 мероморфно продолжима в.

2) Построено решение в явной форме четырехэлементной нетеровой задачи Маркушевича при двух ограничениях на коэффициенты: |а (01 Ф |6(01>.

— сШЬП)) мероформно продолжима в и+..

3) Разработан алгоритм точного решения четырехэлементной нетеровой задачи Маркушевича с рациональными коэффициентами. Алгоритм реализован в виде процедуры Ехас1МагкизЬеу1сЬ4..

4) Построено решение в явной форме трехэлементной нетеровой задачи Маркушевича в классе автоморфных относительно фуксовой группы второго рода функций при двух ограничениях на коэффициенты: 1 + 6х (0 Ф 0, ^? Ьо, функция 6х (0 + 1 является краевым значением функции, автоморфной относительно фуксовой группы второго рода Г в области и отличной от нуля в этой области, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки и точек, конгруэнтых ей. Функция 61 (0 явно выражается через коэффициент 6(0 задачи Маркушевича. — НО!2-КО.