Построение аппроксимирующих дифференциальных включений

Общеизвестно, что математической моделью физических явлений и процессов называют описание их на формальном языке. Со времен Ньютона основным математическим средством изучения задач физики, механики, гидродинамики и т. д. служат дифференциальные уравнения. Сравнительно недавно в связи с потребностями физики и техники стал использоваться аппарат теории дифференциальных включений, которые являются естественным обобщением дифференциальных уравнений. Широкое развитие теории дифференциальных включений связано и с задачами оптимального управления. Основным преимуществом дифференциальных включений является то, что они позволяют описывать динамику системы с неточно заданными параметрами.

В настоящее время опубликовано огромное количество работ, относящихся к теории дифференциальных включений. Несмотря на это здесь нет широкого обзора литературы, названы только те работы, которые имеют прямое и непосредственное отношение к теме диссертации.

К данному моменту для систем дифференциальных включений так же, как для систем дифференциальных уравнений, разработан метод усреднения. Основные результаты по усреднению дифференциальных включений с медленными переменными принадлежат В. А. Плотникову [9] - [11]. Для систем дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными принцип усреднения обоснован в работах.

О.П. Филатова и М. М. Хапаева [12] - [19], [22].

Принцип усреднения является одним из часто применяемых асимптотических методов, позволяющий существенно упрощать исходную систему. Сущность этого принципа для систем дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными состоит в следующем. Пусть изучаемое явление описывается системой дифференциальных включений вида х е ж (о) = ж0, ^ у 2/(0) = 2/о, где х е Р С Ят, У е Я С Яп, Р, С — многозначные отображения области = х Р х <5 х [0,> 0, (/х — малый параметр) в пространства Ку (Кт), Ку (Ип) соответственно. Переменные хмедленные, у — быстрые. Поскольку в прикладных задачах часто основные сведения об эволюционных процессах системы несут медленные переменные, то систему (1) естественно заменить дифференциальным включением е £(о) = *о, (2) где? еКт, аро (£) е Ку (Кт). Так, чтобы решения задачи (2) были достаточно близки в некотором смысле к решениям исходной системы (1) на асимптотически большом промежутке = (0,1/^], ?1 0, по медленным переменным.

Принцип усреднения формулируется в виде трех задач: аппроксимации снизу, аппроксимации сверху, и взаимной аппроксимации [13], [17],[21].

В задаче аппроксимации снизу отображение Рд ищется так, чтобы для любого решения включения (2) существовало решение системы (1), которое отличается от первого по медленным переменным не более чем на заданное чило? > 0 в промежутке Т (/л), где 0 < < /?о (г).

В задаче аппроксимации сверху необходимо, чтобы для любого решения системы (1) существовало решение задачи (2) близкое к нему по медленным переменным в вышеуказанном смысле.

И последнее, в задаче о взаимной аппроксимации для системы (1) требуется построить такое дифференциальное включение (2), чтобы одновременно решала задачи аппроксимации сверху и снизу.

Теперь остановимся на проблемной ситуации, которая решается в этой работе. Предположим, что исследуемый объект формализован в виде следующей системы дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными [17] где х Е Р С Ят, 2/ 6 ^ С 7 Е Л, Р — многозначное отображение области Р = х й х Р х <5 х [0,/х°], > 0, в пространство Ку (Кт), С: Р —у Т1Ш — однозначное отображениеи>2 ( 1 > (?2 > 0) — постоянныепеременные хмедленные, у, 7 — быстрые. В [17] показано, что для построения аппроксимирующих дифференциальных включений с помощью опорной функции ф) множества Р вычисляется усредненная опорная функция где супремум находится по всем решениям порождающей задачи при произвольно заданных начальных условиях, = 0, х (0) = ' V = ^7(0) = 770, (5).

7? [u-i, a-2], 7(0) = 70.

При этом предполагается, что предел (4) зависит только от начальных данных по медленным переменным. Тем самым задача построех? fJ>F (t, 7, ж, у, /?), ж (0) = ж0, У = у (0) = уо,.

7(0) = 7о,.

3) с (*, 7(*По (4) ния аппроксимирующих дифференциальных включений сводится к задаче вычисления пределов вида (4). В общем случае возможны большие трудности при вычислении пределов (4).

В данной работе рассматривается частная ситуация, когда в (4) под знаком интеграла находится Т — периодическая по переменной 7 при фиксированных жо, ф функция Л — локально интегрируемая по Лебегу с нулевым средним и не зависящая явно от времени.

Таким образом, ставится задача вычисления пределов максимальных средних.

Здесь верхняя грань берется по всем решениям дифференциального включения.

Существование таких пределов и их независимость от начальных данных доказаны в [17], более того, в [18] данная задача была сведена к задаче анализа — нахождения верхней границы множества значений некоторой функции, которая для каждой / определяется единственным образом.

Основная цель диссертации — разработать теоретические основы численного метода вычисления пределов максимальных средних (6). Применить полученные результаты к исследованию ряда моделей теории колебаний и решению конкретных задач.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В гл. О приведены все основные понятия и результаты, которые используются в главах 1,2.

Заключение

.

В завершение кратко сформулируем основные результаты диссертации:

1. Обоснован итерационный метод вычисления пределов максимальных средних для периодических функций, который может служить основой численных алгоритмов построения аппроксимирующих дифференциальных включений.

2. Построены аппроксимирующие дифференциальные включения для ряда математических моделей, каждая из которых содержит неопределенный параметр.