Матрицы и определители

Преобразовывая эти матрицы, можно привести квадратичные формы к каноническому виду и понять, что за кривая или поверхность задаётся соответствующим выражением.

4. Применение матриц и определителей при решении экономических задач

4.

1. Прямая и двойственная задача линейного программирования В задаче линейного программирования требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции :

при ограничениях (условиях):

гдезаданные постоянные величины.

В некоторых случаях бывает удобно записать эту задачу в матричной форме:

где, , .

В частности, для того чтобы составить задачу, двойственную к исходной задаче линейного программирования (когда целевая функция исходной задачи переформулируется на противоположную) необходимо (помимо других действий) получить новую матрицу путем транспонирования исходной матрицы задачи:

.

4.

2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса Рассмотрим, например, так называемую модель Леонтьева (или модель «затраты -выпуск»). В матричной форме эта модель представляется так:

где

— матрица коэффициентов прямых затрат,

— векторстолбец валовой продукции,

— вектор-столбец конечной продукции.

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчётов:

Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли, можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли :

.

Задав величины конечной продукции всех отраслей можно определить величины валовой продукции каждой отрасли :

Здесь Е -единичная матрица порядка n, (Е-А)-1 -матрица, обратная к матрице (Е-А).

4.

3. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов Одним из основных видов игр являются матричные игры, которыми называются парные игры с нулевой суммой (т.е. когда один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой) при условии, что каждый игрок имеет конечное число стратегий. В этом случае парная игра формально задаётся матрицей

элементы которой определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию (i=1,…, m), а второй — j-ю стратегию (j=1,…, n). Матрица, А называется матрицей игры или платёжной матрицей.

4.

4. Множественный регрессионный анализ Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает зада исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Введём обозначения:

— матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной размера n;

— матрица значений объясняющих переменных или матрица плана размера ,

— матрица-столбец, или вектор, параметров размера (р+1),;

— матрица-столбец, или вектор) случайных ошибок (возмущений) размера n.

Тогда в матричной форме множественная регрессионная модель примет вид:

.

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

где вектор b находится с помощью ряда операций над матрицами:

.

Заключение

Итак, как видно из представленной мною работы, понятия «матрица» и «определитель» являются очень важными как в курсе высшей математики, так и при решении прикладных экономических задач, которые мне как будущему экономисту, возможно, предстоит решать.

Также хотелось бы отметить, что в моей работе представлены лишь основные направления из курсов математики и экономики, в которых необходимы знания и умения работы с матрицами и определителями. Так как объём работы ограничен, были рассмотрены наиболее важные с моей точки зрения аспекты этой темы. При этом были раскрыты все необходимые аспекты непосредственной темы реферата.

Список литературы

Высшая математика в упражнениях и задачах/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Часть 1. -М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2003.

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В. И. Ермакова — М.:ИНФРА-М, 2004

Теория вероятностей и математическая статистика./ Н. Ш. Кремер — М.: ЮНИТИ, 2003

Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В. В. Федосеева, М.: ЮНИТИ, 2002

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В. И. Ермакова -М.:ИНФРА-М, 2004 — с.50

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В. И. Ермакова -М.:ИНФРА-М, 2004 — с.43

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В. И. Ермакова -М.:ИНФРА-М, 2004 — с.44

П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2003 — с.41

П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2003 — с.74

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В. И. Ермакова -М.:ИНФРА-М, 2004 — с.46

П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2003 — с.76

П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2003 — с.88

Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В. В. Федосеева, М.:ЮНИТИ, 2002 — с.25

Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В. В. Федосеева, М.:ЮНИТИ, 2002 — с.238

Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В. В. Федосеева, М.:ЮНИТИ, 2002 — с.328

Н. Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика./М.:ЮНИТИ, 2003 -с.452