Некоторые спектральные свойства задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости

В 50-х годах С. Л. Соболев опубликовал две — ставшие впоследствии широко известными — работы [" !], [2], посвященные изучению динамики вращающейся жидкости. В этих работах исследованы смешанные задачи для системы уравнений, описывающих малые колебания идеальной жидкости, целиком заполняющей некоторую область бе. Я3 ¦ и вращающейся вокруг оси 0×3 с постоянной угловой скоростью о) — 2* .

Ъи. — Эр н-^Яг г г, Л.

Т?=1Г~Щ> Ть—11 Щ, ъьЩ в (0.1).

Щ + ^ «и в ф.2) с граничными условиями или.

РЫ" 0 (0.4) и начальным условием.

Ч^О=и°' - ^ • Со.5).

Здесь ^ ^ гг/).

— вектор, скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, ^ - гидродинамическое давление, Г1 — единичный вектор внешней нормали к .

Из полученных в результатов следует, что решение этих задач можно свести к решению смешанных задач для следующего уравнения: при выполнении граничных условий (0.4) или.

ШУШ' 0 (о.7) и начальных условий.

Рк-0=Р°> (О-в).

Качественному исследованию решений этих задач посвящены работы многих авторов. Обзор некоторых из них можно найти в £з] (см. также [4~29])>

Спектральные задачи для задач (о.б), (о, 4), (о.в) и (о.б), (о. 7), (о.8) имеют вид: с граничными условиями или.

0 (о.п) соответственно.

Задача отыскания естественных мод колебаний вращающейся жидкости, известная как проблема Пуанкаре, давно интересовала математиков. Однако до сих пор полностью она решена только для сферы (Ротсаге, 1885, 1910; ЬгуйП, 1889;

Са^ап, 1922; бгеепзрап., 1964; ОЫпЛде.

Шоотге, 1968) и прямого кругового цилиндра, ось симметрии которого совпадает с осью вращения {КвЫЬп, 1880- риШ, 1959) (см. 30]).

В работе [" 31] Дж.В.Ральстон доказал, что спектром задачи (0.9), (о.II) всегда является весь отрезок {]. Почти дословно повторяя его рассуждения, удается показать (см. § 2.1 настоящей работы), что для любой области? спектром задачи (0.э)-(о.то) также является отрезок [-1,1]. Однако качественная структура спектра сильно зависит от конфигурации области О .

Известно, что свойства решений начально-краевых задач (Ьл), (0.2), (0.4), (о.б) и (0.1), (о.2), (о.з), (о.5) тесно связаны со структурой их спектров. Так, отсутствие собственных значений на некоторых подынтервалах отрезка [-i, iJ означает существование не почти-периодических решений этих задач.

Исследование структуры спектра задачи (Ь.э) — (о.ю) в модельном случае двух пространственных переменных впервые было проведено Р. А. Александряном (см. [32 -34]). и помощью специальных автоморфизмов границы области им было дано качественное описание спектра самосопряженного оператора, соответствующего задаче (О.э) — (оДО). В частности, было доказано существование области, для которой у этого оператора имеются интервалы непрерывного спектра, а значит, существуют не почти-периодические решения задачи (ОД), (0.2), (0.4), (о.б). Позже М. В. Фокиным (см. 35−3тфаналогичный результат был получен для трехмерной задачи (0.9) -(оДО) — с помощью той же техники автоморфизмов границы.

Существование не почти-периодических решений для двумерного аналога задачи (о.1), (0.2), (о.з), (0.5) было доказано Ральстоном (см. [31]), затем в работе [38] А. А. Ляшенко доказал этот факт и для трехмерной задачи. В [" 3 9] А. Фрагела описал некоторый класс областей, для которых спектр задачи (0.9), (о.II) содержит интервалы непрерывного спектра.

Настоящая работа посвящена, в-основном, изучению спектра задачи (о.9) — (О.ю). Заметим, что, во-первых, указанный метод автоморфизмов границы, с помощью которого были получены все наиболее существенные результаты о спектре этой задачи, применим только к областям с выпуклой аналитической границей, а во-вторых, не дает конкретного примера области, для которой у спектра задачи (Ь.э) ~ (р*10) имеются подынтервалы, не содержащие собственных значений, так как условия, сформулированные в терминах автоморфизмов границы, для заданной конкретной области проверить представляется практически невозможным за исключением крута и, быть может, еще нескольких простых областей. Поэтоцу представляется актуальным поиск конкретных примеров таких областей, получение нового метода исследования задачи (Ь.э) — (Ь.10), а также изучение свойств решений этой задачи, ее спектра для областей с кусочно-гладкими, не обязательно выпуклыми границами, содержащими ребра и, быть может, конические точки: именно это и является основной целью настоящей диссертации.

Основные новые результаты диссертации коротко можно сформулировать следующим образом.

I. При условии гладкости начальных данных доказана гладкость решений при любом ~Ь>0 обеих смешанных задач С. Л. Соболева о малых колебаниях вращающейся жидкости для областей с ребрами.

2. Получены конкретные примеры областей, для которых существуют участки чисто непрерывного спектра задачи С.I.Соболева с граничным условием Дирихле, в частности, предъявлена некоторая тороидальная область, для которой спектр этой задачи является непрерывным везде, кроме, может быть, пяти точек:

3. Установлен ряд общих свойств решений гиперболических уравнений на плоскости, не обладающих априорной традиционной гладкостью, в частности, при условии равенства нулю косой производной на границе области для таких решений получено представление, аналогичное формуле Римана.

4. Доказано, что если осесимметричная область ограничена коническими поверхностями, то независимо от взаимного расположения конусов и их углов раствора существуют не почти-периоди-ческие решения задачи С. Л. Соболева с условием Дирихле на границе области.

5. Получен некоторый новый метод исследования спектра указанной задачи для не обязательно выпуклых областей, границы которых содержат ребра и, быть может, конические точки.

6. Известно, что если область & является эллипсоидом вращения, то решения задачи С. Л. Соболева с граничным условием Дирихле обладают свойством почти-периодичности по времени. В диссертации доказано, что если поверхность эллипсоида изменить определенным образом на сколь угодно малом участке в окрестности «экватора», то для такой области обязательно появляются не почти-периодические решения этой задачи.

Диссертация состоит из четырех глав.

Если граница области? и начальные данные ~.

— (¿-¿-о, иС), р0, р±- - бесконечно гладкие в ?9, то, как известно, (см. [31], и решения задач (ол), (0.2), (Ь.З),.

0.5) и (0.б),(0.4),(0.8) являются бесконечно гладкими в ь при любом ~Ь. Если же граница не является гладкой, то гладкость функций, входящих в начальные условия, вообще говоря, не гарантирует гладкости решений этих задач при О .В главе первой настоящей работы изучаются дифференциальные свойства решений задач (о.1), (о.2), (о.з), (о.б) и (о.б), (0.4), (о.ф для областей, границы которых содержат конечное число гладких непересекающихся одномерных ребер. Доказано,(см. теорему 1.2.1^), что если функции Н0> р0 и р1 являются гладкими везде в О, кроме как, может быть, в точках, где имеет особенности, то и решения этцхзадач при любом ~Ь>0 являются гладкими везде в (5, кроме, может быть, указанных точек. Следует отметить, что доказательство теоремы 1.2.1. проведено аналогично доказательству теоремы I работы [, что оказалось возможным благодаря использованию результатов ?41−43).

Глава вторая посвящена изучению спектра задачи (О.э) -(ОЛО), а также получению некоторых свойств решений гиперболических уравнений, необходимых в доказательстве основных результатов третьей и четвертой глав. А именно, доказано, что вне зависимости от конфигурации и гладкости границы области Q спектр задачи (0.9)-(0.10) — это весь отрезок [¦'i, i] (рм. теорему 2.1.2^). Подчеркнем, что доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы I в [31], поэтому вполне возможно, что этот факт уже был опубликован ранее. Не найдя его в ли.

— ю —. тературе, автор счел необходимым привести его доказательство в настоящей работе, ибо в последующих рассуждениях он играет важную роль.

Соотвествие между решениями задач (0.э),(0Л0) и (0.9),(0.11 впервые установил Т. И. Зеленяк. (см. [3]^). Используя этот факт для осесимметричных областей, после введения цилиндрической системы координат и отделения угловой переменной осуществлен переход от задачи (0.9),(0.10) к задаче с косой производной, для решений которой получено представление, аналогичное формуле Рима-на использовать сразу метод Римана невозможно из-за отсутствия традиционной гладкости решений .

Глава третья посвящена изучению спектра задачи (Ъ.э),(0.10) для областей, ограниченных коническими поверхностями, оси симметрии которых совпадают с осью вращения. Доказано, что для таких областей задача (о.б), (0.4), (о.в) обязательно имеет не почти-пе-риодические решения, ибо на отрезке ?-1, обязательно существуют подынтервалы непрерывного спектра задачи (0.9),(0.10) какие именно — это зависит от конкретных растворов конусов .

В главе четвертой изложен некоторый новый метод исследования спектра задачи (0.9),(0.10) для областей с ребрами, позволяющий устанавливать отсутствие собственных значений на определенных его подынтервалах, с помощью которого класс областей, для которых существуют не почти-периодические решения задачи (о.б), (0.4), (Ь. в) значительно расширен.

Суть его состоит в следующем. Пусть это осе симметричная область, которая получена вращением вокруг оси 0×3 плоской фигуры 2), имеющей острый угол %)00 ненулевого раствора см. рис. а). г^с^-ьЬ.

Рис. А.

Если значение спектрального параметра lj таково, что характеристики ZCol4″ tsCf?-&?, d1= X^/fl-^2-^ ?>-1,2,., гиперболического уравнения, получающегося из уравнения (О.9) в результате перехода к цилиндрической системе координат и естественного отделения угловой переменной, «забиваются» в угол при, то собственные функции задачи (0.9), p. io), отвечающие этому значению, А (если они существуют), должны с необходимостью обращаться в тождественный ноль в, А если при этом область? Z) такова, что при данном Л решения спектральной задачи, соответствующей указанному гиперболическому уравнению, продолжаются однозначно с ib0o на всю, то Л не является собственным значением задачи (о.э), (о.ю).

Наконец, если этими свойствами обладает всякое число то, очевидно, на интервале (А^ Аг) спектр этой задачи является непрерывным (в том смысле, что на (А^Аг) отсутствуют собственные значения), а следовательно, существуют не почти-периодические решения начально-краевой задачи (о.б), (0.4), (0.8).

В конце главы четвертой приведены примеры областей, для которых применим указанный метод. Одним из них является тороидальная область, заметаемая при вращений вокруг вертикальной оси прямоугольным треугольником, один из катетов которого параллелен оси, но не лежит на ней и образует с гипотенузой угол с£ (см, рис. 14). Оказывается, что для такой области спектр задачи (0.9),(0.10) является везде чисто непрерывным, за исключением, быть может, точек Л = 0, — 5(Л с£, — 1.

Рис. В.

Интересным примером использования предложенного метода является также следующий результат. В 1959 г, Р. Т. Денчевым ([44-было доказано, что если область G имеет форму эллипсоида вращения, то спектр задачи (О.э), (0.10) состоит из счетного всюду плотного на [-1,1] множества собственных значений, а систее 4 ма собственных функций полна в 1/Г2 (б), поэтому решения задачи (о.б), (о.4), (0.почти периодичны по времени. Из полученных же в настоящей работе результатов следует, что если эллипсоид имеет круговой выступ в виде острого ребра (см. рис. в) (причем, размеры этого выступа могут быть сколь угодно малы!), то задача (о.б), (0.4), (о.8) уже обязательно имеет не почти-периодические решения, ибо вблизи нуля обязательно появляются интервалы чисто непрерывного спектра задачи (о.э), (одо) .

Предложенный в данной работе метод, по-видимому, может быть использован и для исследования спектра задачи (0.9), (о.и) .

— щ.

Основные результаты диссертации содержатся в работах [50−53], докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа МГУ под руководством профессора А. Г. Костюченко, профессора Б. М. Левитана и профессора А. А. Шкаликова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — Анатолию Гордеевичу Костюченко за постоянное внимание к работе и поддержку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.