Некоторые вопросы спектральной теории операторов второго порядка с аналитическими потенциалами

Спектральная теория дифференциальных операторов в настоящее время является важным разделом общей спектральной теории операторов и активно развивается различными математическими школами. В этой области получены фундаментальные результаты, которые находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики.

Начало этой теории в случае сингулярного оператора Штурма-Лиувилля было положено в работах Г. Вейля и нашло дальнейшее развитие в работах Э. Ч. Титчмарша [1]. Другие подходы при изучении спектральных свойств дифференциальных операторов были разработаны Б. М. Левитаном, А. Плейелем, С. Минакшисундарамом, А. Г. Костюченко, В. А. Ильиным и др. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов (обыкновенных и в частных производных) дан в [2], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.

Одной из важных классических задач математической физики является задача о вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. Достаточно упомянуть её роль в использовании метода Фурье для приближённого решения классических краевых задач в частных производных и в задачах теории устойчивости. Естественно, что проблеме вычисления первых собственных чисел посвящены исследования многих математиков.

Наиболее употребительный метод её решения основан на хорошо известных равенствах, связывающих итерированные функции Грина рассматриваемой задачи и её собственные значения:

Одно из наиболее глубоких исследований в этом направлении принадлежит А. А. Дородницыну [3]. Суть метода проста: обрываем в к = 1,2,.

0.1) равенствах (0.1) ряды до слагаемых с номером N и берём N + 1 первое равенство. Решаем полученную конечную систему и получаем приближённые значения собственных чисел, тем более точные, чем большее N взято.

С созданием теории регуляризованных следов И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [4] в 1953 г. и результатами И. М. Гельфанда [5], JI.A. Дикого [6], а также с появлением фундаментальной работы В. Б. Лидского и В. А. Садовничего [7] в распоряжении математиков появились новые соотношения на собственные числа операторов — регуляризованные следы к-го порядка:

А кп-Ап (к)) = В (к)] к = 1,2,.- (0.2) п=0 здесь Ап{к) — отрезок асимптотического разложения кп по степеням п такой, что обеспечена абсолютная сходимость ряда (но, вообще говоря, не обязательно минимальный из таких фрагментов асимптотического разложения), а В (к) — сумма этого ряда, собственно и называемая к-ым регуляризованным следом. Эти равенства важны и интересны из-за того, что и Ап (к), и В (к) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения и краевых условий и их вычисление вполне может быть алгоритмизировано [8].

В связи с этим И. М. Гельфанд и Л. А. Дикий [9] предложили в 1957 г. новый метод приближённого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля: аналогично схеме использования системы (0.1) удержать в системе (0.2) частные суммы рядов до N-го слагаемого в N + 1-м регуляризованном следе и полученную приближённую систему решить, найдя некоторые приближения к собственным числам задачи. В [9] сделано конкретное вычисление для уравнения Матье по указанной схеме и получены значения трёх первых собственных чисел, верные в третьем знаке после запятой. Однако в [9] данный метод не обоснован: никаких оценок при переходе от рядов к их частным суммам сделано не было.

В 1995 г. С. А. Шкарин [10] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определённого вида и, в частности, для систем вида (0.2) из его результатов следует, что если в системе регуляризованных следов (0.2) числа Ап считать неизвестными и решать эту систему относительно Ап, то у (0.2) существует континуум решений, причём мы можем заранее совершенно произвольно задать любое конечное число (различных) собственных чисел и всегда существуют решения с этими заданными числами. Таким образом, было показано, что метод приближённого вычисления первых собственных чисел с помощью системы регуляризованных следов в трактовке И. М. Гельфанда и Л. А. Дикого не может быть реализован.

В.А. Садовничий и В. Е. Подольский [11] определяют и исследуют класс S операторов Штурма-Лиувилля, для которых система регуляризованных следов однозначно определяет все их собственные числа и позволяет приближённо вычислять первые. Этот класс описывается следующим образом: пусть оператор Штурма-Лиувилля на полуоси х > 0, причём q (x) G С°°[0-+оо), и пусть <�р (х, А) — решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными 93(0, А) = 1- <^'(0,А) = h. Хорошо известно, что <�р (х, А) имеет при, А —"• оо асимптотическое разложение.

Коэффициенты этого разложения не зависят от А, и поэтому разложение (0.5) зависит только от q (x) и коэффициента h.

Оператор (0.3)-(0.4) называется принадлежащим классу S, если асимптотическое разложение (0.5) таково, что лишь конечное число коэффициентов Rj (x) отлично от тождественного нуля на полуоси.

Доказательство приводимых ниже утверждений работы [11] есть в [12]. Эти утверждения таковы:

1) принадлежность оператора классу S эквивалентна тождественному равенству нулю на рассматриваемом интервале коэффициента разложения (0.5) Rj (x) хотя бы для одного j,.

2) последний ненулевой коэффициент разложения (0.5) имеет нечётный номер,.

3) q{x) — мероморфная во всей плоскости функция.

Далее, известно [13], что оператор (0.3)-(0.4) связан преобразованием подобия с оператором —у" = у, у'(0) = 0, причём подобие.

0.3) (0.4).

ГГ Т-" / sm yj~x.. р{Х, Л) ~ COS V АХ + ill (ж)-7=—Ь il.2 Х).

0.5) осуществляется оператором вида I + К, где К — интегральный оператор с треугольным ядром К{х1у)1 О <у<%- В частности, q (x) = 2 4-K (x, x), h = К (0,0), ах X ср (х, А) = cos у/Хх + J К (х, t) cos л/Лt dt. (0.6) о.

Для операторов рассматриваемого класса К (х, у) есть полином по второй переменной по чётным степеням.

Со всяким оператором Штурма-Лиувилля связана его переходная функция обратной задачи Ф (х), х Е [0- +оо). Интегральное уравнение Гельфанда-Левитана связывает Ф (х) и К (х, у): X.

К (х, у) + F (x, y)+j К (х, t) F (t, y) dt = 0, 0 < у < ж, (0.7) о здесь F (x, у) = {Ф (х + у) + Ф (х — т/|)).

Используя только интегральное уравнение (0.7), можно получить [12] уравнения вида d2kK (x v) г.

M2kjy (F (x, у)) + к: У) + / К (х, t) M2Ky{F (t, у)) dt = 0, о где М2куУ) к G N — некоторое дифференциальное выражение порядка содержащее производные только чётного порядка только по у с постоянными коэффициентами. Совокупность этих уравнений точно описывает переходные функции всех операторов класса S: Ф (х) является переходной функцией обратной задачи для некоторого оператора класса S тогда и только тогда, когда для некоторого натурального к М2к, х{Ф{х)) = 0.

Принимая во внимание то, что для операторов класса S функция.

К (х, у) есть полином по второй переменной по чётным степеням: k— 1.

К (х, у) = Е qm (x)y2m (для некоторого фиксированного к), можно,.

777 = 0 зная функцию Ф (х), найти коэффициенты этого полинома и тем самым, воспользовавшись формулами (0.6), явно решить обратную задачу для операторов рассматриваемого класса.

В числе доказанных свойств этого класса операторов есть следующее: этот класс плотен в множестве всех операторов Штурма-Лиувилля с потенциалом из Ь2 в смысле операторной нормы. Эти два результата образуют метод приближённого вычисления первых собственных чисел любого оператора с потенциалом из L2: сначала мы должны приблизить рассматриваемый оператор с точностью до е/2 оператором из класса S и затем уже для построенного приближающего оператора найти с точностью до е/2 первые собственные числа. Таким образом, собственные числа исходного оператора найдём с точностью до ?.

Остановимся подробно на результатах первой главы. В первой теореме первого параграфа в предположении бесконечной диффе-ренцируемости потенциала найден явный вид дифференциального выражения М2к, у для любого к.

Теорема 1.1. Пусть задан оператор (0.3)-(0.4) с бесконечно дифференцируемым на полуоси потенциалом q (x). Тогда для любого натурального к будут иметь место следующие уравнения:

ОУ Ш=1р=1 jl ,.72,-Jo>0 t=l °У m=l р= iij2,-Jp>0 г=1 ji+j2+—-+jP=m р р2к-2тт?(+ \. Е ПФЫ-'ЧО)9 У Д = оjU2,., iP>0 1=1 су).

Во второй теореме описано семейство переходных функций обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля на положительной полуоси класса S.

Теорема 1.2. Пусть для оператора (0.3)-(0.4) из класса S оператор преобразования таков, что.

Qy2k ' k—1 то есть К (х, у) =? Чт{х)у2т. Тогда переходная функция обрат.

771=0 ной задачи имеет следующий вид: тоо 1 k-1 f[l/2]-r ml—m2 + '—+mp = [l/2]-r р

Е (-1)" Е П E (-i)'x.

0 г=0 у р= 1 m, m2,., mv —, 2,., k i=l q= jl +J2H———jq=nii q k-r-l (t jl+j2 + —-+j.

E П c2, w+ E E (-i)9 E П c2ji.

3l, j2,—-jq>0 2=1 <=1 q=l ilj'2,-, ig>0 1=1.

½]—r—t m1+m2±+mp=[l/2]-r-t p m>. x E (-i)p E ПЕН’х p= 1 mbm2,., mp=l, 2,., fc г=1 g=l ii +J2 4———jq=mi q x E П c2ji-i ilj2,-jg>0 «=1 /.

C2r+/(mod2)^ 5 г^е Co, Сi,., i — произвольные комплексные константы..

Во втором параграфе мы находим другое описание семейства переходных функций для операторов класса S: установлено, что если асимптотика функции <�р (х, А) обрывается после слагаемого с коэффициентом R, 2k-i{x), то функция Ф (х) имеет вид: и-^ + Аие-" *), 1= где числаD2/-1 и D21 определяются из равенств (2.1) и (2.2)..

Далее на основе формулы для Ф{х) даётся явное описание ядер операторов преобразования для операторов класса S: доказывается следующая.

Теорема 1.3. Пусть оператор Штурма-Лиувилля (0.3)-(0−4), принадлежащий классу S, таков, что асимптотическое разложение функции <�р (х, А) обрывается после слагаемого sin у/х и пусть.

Kr (x) = + tfDne-«*), i= hi 2 т (?mV.

Л™(х) = Е ЕН)" J.2r+ Lp .w-1=1 V p=o 14 V (2rn)! p=о Щ FP}-) где числа D2iи D21 определяются из равенств (2.1) и (2.2)..

Тогда справедливо следующее выражение для ядра К (х, у) оператора преобразования:.

Третий, заключительный параграф первой главы посвящён решению одной классической задачи Штурма-Лиувилля: пусть.

-у" + q (x)y = X у (0.8) y'(0)-hy (0)=y'(7T)+Hy (7T)=0 оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [0-тг], причём q (x) — ве-щественнозначная бесконечно дифференцируемая на [0- тг] функция, h и Н — конечные вещественные числа, и пусть <�р (х, А) — решение задачи Коши для уравнения (0.8) с начальными данными (0, Л) = = 1,<^'(0, А) = hф (х, А) — решение задачи Коши для уравнения (0.8) с начальными данными ф (ж,) = 1, ф'(п, Х) = —Н. Обозначим через An, п — 0,1,2,. собственные числа этого оператора, че.

7 Г рез ап — нормировочные числа, т. е. ап = f <�р2(х, Хп) dx, и через D (А) — характеристический определитель оператора, т. е. D (А) = у (р'(х, А) ф'(х, А) Хорошо известно, что собственные числа имеют при п —> оо асимптотическое разложение.

А&bdquo- ~ п2 + К0 + Щ- + Ц- + • • •, nz п4 а числа, обратные к нормировочным, — асимптотическое разложение.

1 2 а а2 ~ - + ^ + ^ н— • ап 7 г nz п*.

Пусть Хп = п2, п = 0,1,2,., = сп > 0, п = 0,1а&bdquoпри п > / таковы, что.

1 2 ал ао am — = —I—- Н—-Л——-1- ——.

7 Г П/ n4 nzm.

В третьем параграфе мы явно находим семейство операторов, имеющих эти собственные и нормировочные числа, т. е. указываем q{x) и числа h и Я, а также функции (р (х, Х) и ф (х, Х). Таким образом, мы находим некоторое семейство операторов, изоспектральных операторуу" = Ху, у'(0) = г/'(7г) = 0..

Вторая глава диссертации посвящена доказательству формул разложения по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля на всей вещественной прямой, потенциалы которых представимы суммой экспонент с чисто мнимым аргументом, а также решению уравнения Кортевега-де Фриза с начальным потенциалом вида сег7Ж, где с? С, 7 > 0..

Несамосопряжённые дифференциальные операторы с почти-периодическими коэффициентами в настоящее время интенсивно изучаются. М. Г. Гасымов [14] исследовал спектр и разложение по собственным функциям оператора с периодическим потенциалом, представи-мым суммой абсолютно сходящегося ряда по экспонентам егпх..

В работе М. Г. Гасымова и А. Д. Оруджева [15] исследуется в пространстве оо-+оо) оператор L, порождённый дифференциальт—1 ным выражением 1{у) = (—i)my^(x) +? рр (х)у^ (х) с коэффици.

QQ. ентами рр{х) =? P/3,nelSnX- /3 = 0, ra — 2. В [15] предполагалось, что.

71= 1 т—2 оо ряды? ? Pp, nSn сходятся и р{д'(х),/3 = 0, т — 2 являются рав.

3=0 п= 1 номерными почти-периодическими функциями, а М = {sn}n=T^ — счётное дискретное множество положительных чисел, замкнутое относительно сложения..

В [15] авторы доказали, что спектр оператора L является чисто непрерывным и заполняет полуось [0- +оо) при чётных т и всю вещественную ось при нечётных т. Для оператора L чётного порядка на непрерывном спектре могут быть спектральные особенности первого порядка, которые обязательно совпадают с числами вида (sn/2)m. Далее исследуется спектральное разложение по собственным функциям оператора L нечётного порядка..

М.Н. Симбирский [16] решил обратную задачу для операторов с почти-периодическими потенциалами, удовлетворяющими условию оо.

Е 4ns~2p (sn) < оо, (0.9) п=1 где функция /), называемая весом, отображает [0- +ос) в [1-+оо) и субмультипликативна (т.е. р (а+(3) < р (а)р (/3) для всех а,/3 > 0). Им было доказано, что уравнение 1{у) = s2y с потенциалом q{x) из этого оо, оо класса имеет решение вида Fix, s) = elsx 1 +? ——? (fn ae-tSaX, n=l s' a=n ' / в котором числа Lpn^a (n > Ia > n) удовлетворяют неравенству oo oo.

E Snl E I< oo. n=1 a-n.

Для всех п равномерно по х существует предел [16] lim F (x, —s) х s->sn/2 x (s — sn/2), равный KnF (x, sn/2). Числа кп названы набором спектральных данных соответствующего оператора и показано, что между потенциалом и спектральными данными существует взаимно-однозначное соответствие. Обратная задача заключается в восстановлении оператора по его спектральным данным..

В настоящее время имеется ряд работ, посвящённых структуре спектра самосопряжённых операторов с почти-периодическими коэффициентами как в одномерном, так и в многомерном случаях. М. А. Шубин [17] доказал теорему о совпадении спектров в следующей постановке: рассматриваются самосопряжённые операторы в пространствах ^(М") и Б2(МП), полученные замыканием оператоа<�т ров, заданных выражением, А = a (x, Dx) = Е flaW^j на Co°(IRn) и Trig (Mn) соответственно. Обозначим через сг (А) спектр первого из них, а через о в{А) — спектр второго. Тогда о [А) = а в (А). Здесь речь идёт лишь о совпадении спектров как подмножеств в К. Характер спектров оператора, А в L2(IRn) и в В2(Шп) может быть совершенно различным..

Спектр одномерного оператора с квазипериодическим потенциалом исследован в работе Е. И. Динабурга, Я. Г. Синая [18]. Они доказали, что если q{x) = f (aix, a2x,., а^х) с вещественно-аналитической функцией / и с набором («1, с*2, • • • > N)? удовлетворяющим дио-фантову условию, то вне экспоненциально малых отрезков (которые могут быть лакунами, а могут содержать какую-то часть спектра) оператор, А имеет собственные функции типа блоховских функций (с заменой периодичности на квазипериодичность)..

Я.Г. Синай [19] методами теории Колмогорова-Арнольда-Мозера рассмотрел разностный одномерный оператор Нд = —А + gV (z) с потенциалом V (z) = cos2tt (ujz + G Z. Предполагается, что константа связи д достаточно мала, а число и достаточно типично, т. е. плохо приближается рациональными числами. При этом доказано, что спектр оператора Нд чисто точечный, а собственные функции экспоненциально убывают..

М.А. Шубин [17] доказал теорему Вейля для многомерного оператора с почти-периодическим потенциалом. В Ь2(Шп) рассматривается оператор вида Р — —Д+д (ж), А — лапласиан, q (x) — веществен-нозначная равномерно почти-периодическая функция на Мп. Введём функцию N (t), являющуюся математическим эквивалентом используемой в физике твёрдого тела «плотности состояний». Именно, пусть G — ограниченная область в Е71 с гладкой границей. Обозначим через G её объём, а через Nc (t) — число собственных значений, не превосходящих t для оператора Р в G с нулевыми условиями Дирихле на границе G. Будем писать, что G —> оо, если область G гомотетично раздувается, так что диаметр её стремится к +оо. Тогда по определению N (t) = lim т4тNc (t). М.А. Шубин.

G—>¦ оо доказал, что при t —> +00 имеет место асимптотическая формула N (t) = (2ir)-nuntn/2(l + 0{t~1)), где сип — объём шара радиуса 1 в ЕГ..

В статье В. А. Марченко и И. В. Островского [20] были даны постановка и исчерпывающее решение обратной задачи спектрального анализа для вещественного потенциала q из класса Q2 всех 27г-пери-одических комплекснозначных функций на М, принадлежащих пространству Х²[0−27г]. Для операторов из этого класса ими были введены спектральные данные sn. В несколько ином контексте числа sn возникли в работе В. Гийемина и А. Урибе [21]. Эти авторы указали процедуру, позволяющую по всякой финитной последовательности {т?г}7г=Г53, удовлетворяющей определённым условиям невыро.

00 «. жденности, построить потенциал вида q (х) = Е qne х, для котоп=1 рого последовательность спектральных данных удовлетворяет условию 52п = т&bdquo-..

JI.A. Пастур и В. А. Ткаченко [22] рассмотрели подкласс класса.

ОО.

Q2, состоящий из функций вида q (x) — Е qneinx¦ В [22] доказано, что п—1 если q? Qt, то уравнение —у" + q (x)y — X2у имеет решение е (ж, А) (ОО ОО 1 ' вида е (х.Х) = е 1 + Е Е V>n, а^е1011 такое, что сходится ряд а~П ' Л + П/г) —1 °° I I.

Е п Е щфпМВ этой работе также найдены необходимые и доn= 1 а~п ' статочные условия того, чтобы заданная последовательность комплексных чисел была набором спектральных данных оператора с потенциалом q? а также для оператора с потенциалом.

ОО q? Q с дополнительным условием Е qn < 00. В [22] исследованы п= 1 также конечнопараметрические потенциалы q? Q2+, т. е. потенциалы с финитным набором спектральных данных, и доказано, что множество конечнопараметрических потенциалов плотно в классе Q по норме пространства Ь2[0- 2п]..

В работах [23] и [24] исследуется спектр одномерного оператора.

Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом..

В статьях Ф.С. Рофе-Бекетова [25] и О. А. Велиева [26] методами теории Флоке исследуется спектр несамосопряжённого дифференциального оператора, порождённого в пространстве L2(—oo- +00) дифференциальным выражением 1(у) = Ро{х)у^ +pi (x)y (n~1) + • ¦ •+рп (х)у с периодическими комплексными коэффициентами..

В настоящее время имеется ряд работ, посвящённых структуре спектра самосопряжённых операторов с почти-периодическими коэффициентами как в одномерном, так и в многомерном случаях. В спектральной теории одномерных операторов с предельно-периодическим потенциалом следует назвать работы В. А. Чулаевского [27], С. А. Молчанова, В. А. Чулаевского [28]. В. А. Чулаевский [27] доказал теорему о характере спектра и собственных функциях оператора с предельно-периодическим потенциалом (определение см. [29]). С. А. Молчанов и В. А. Чулаевский [28] показали, что существуют предельно-периодические потенциалы с канторовским чисто точечным спектром лебеговой меры 0 и с собственными функциями, убывающими быстрее любой степени при х —>• оо, хотя и не экспоненциально..

Приведём также теорему, доказанную А. Я. Гордоном [30]. Пусть потенциал q таков, что существует последовательность периодических потенциалов qm с периодами Тт —> ос, для которой точная верхняя грань функции |q (x) — qm (ж) J по отрезку [—2Тт', 2, Тт не превосходит ст~Тт. Тогда оператор L не имеет точечного спектра..

Уравнение Кортевега-де Фриза — это одна из универсальных математических моделей, описывающих многие физические задачи о нелинейных волнах, и было известно ещё в позапрошлом веке. Уже тогда было установлено, что это уравнение имеет замечательные локализованные точные решения — солитоны. Однако только в 1967 г. Гарднер, Грин, Краскал и Миура [31] сделали важное математическое открытие — обнаружили связь уравнения КдФ с уравнением Штурма-Лиувилля на прямой и открыли метод точного решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными, получивший в отечественной литературе название «метод обратной задачи рассеяния». В истории метода важной вехой было появление в 1974 г. статьи М. Абловица, Д. Каупа, А. Ньюэлла и X. Сигура [32]. В 80-е годы появились монографии [33, 34, 35, 36]..

В классе почти-периодических потенциалов выделяется важный подкласс — конечнозонные потенциалы (определение см. Б. М. Левитан [13]). Непериодические конечнозонные потенциалы впервые были рассмотрены Н. И. Ахиезером [37]. Он ограничился случаем чётных потенциалов. Как выяснилось позже, для метода Ахиезера чётность потенциала несущественна. На это обстоятельство впервые обратили внимание А. Р. Итс и В. Б. Матвеев [38], которые вывели для конечнозонных потенциалов явную формулусм. также Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков [39] и Дейт, Танака [40]..

Другой подход к теории конечнозонных потенциалов предложил С. П. Новиков [41]. Его подход основан на установленном ранее Гарднером [42] и, независимо от него, В. Е. Захаровым и Л.Д. Фаддее-вым [43] том факте, что уравнение Кортевега-де Фриза порождает вполне интегрируемую гамильтонову систему. Основываясь на этом, С. П. Новиков показывает, что каждый конечнозонный потенциал, а также решение уравнения Кортевега-де Фриза и любого из высших его аналогов при начальном конечнозонном потенциале есть квазипериодическая функция. Отметим, что квазипериодичность по времени решения уравнения Кортевега-де Фриза и любого из высших его аналогов в случае конечнозонной периодической начальной функции независимо от С. П. Новикова была доказана также Лэк-сом [44, 45]. Как и С. П. Новиков, Лэкс отправляется от теоремы Гарднера-Захарова-Фаддеева..

Важный результат в исследованиях уравнения КдФ с комплексной периодической начальной функцией был сделан М. Г. Гасымовым [14], 00 который для операторов с потенциалами вида q (x) = Е qnemx в пред.

71 = 1 I I положении, что Е Щп < ввел обобщенные нормировочные числа п— кп и установил, что функция q (x, t), образованная методом обратной задачи по последовательности Kn (t) — кп exp (4(in/2)3?), будет периодическим решением уравнения Кортевега-де Фриза с начальным условием д (ж, 0) = q (x)..

В работе М. Н. Симбирского [16] исследована разрешимость следующей задачи Коши: щ + 6иих — иххх = 0- (0.10) гфс, 0) = ф), (0.11) где начальный потенциал q{x) удовлетворяет условию (0.9) для некоторого веса р. Метод решения задачи заключается в следующем:.

1) по начальному потенциалу определяются спектральные данные, т. е. решается прямая задача-.

2) определяются числа кп (£) =.

3) по числам ««(?) как по спектральным данным определяется потенциал т. е. решается обратная задача..

М.Н. Симбирский доказал [16], что если на некотором интервале (fo-fi)j содержащем нуль, числа кп (£) удовлетворяют определённым условиям, то задача (O.lO)-(O.ll) имеет единственное решение в области М х (£о-6) по переменным Этим решением будет функция q (x,?). Там же описан метод решения обратной задачи..

Сформулируем теперь основные результаты второй главы нашей работы. Четвёртый параграф посвящён исследованию разложения по собственным функциям дифференциального оператора L, порождённого дифференциальным выражением 1{у) = — у" —q (x)y в пространстве оо- +оо) в предположении, что потенциал имеет вид q (x) = оо Е qnelSnX. Оператор L не является самосопряжённым и будет самоп= 1 сопряжённым только в тривиальном случае q{x) = 0. Обозначим мнооо жество {5?г}п=г^ через М. Введём функцию Ф (в) = / f (t)F (t, s) dt. оо.

Будем предполагать, что множество М показателей Фурье потенциала q{x) удовлетворяет следующим условиям: а) М — счётное дискретное множество положительных чисел, замкнутое относительно сложения и упорядоченное по возрастанию: 0 < si < 52 < S3 < '•• < sn < • • пусть minAf = 7- b) для некоторых фиксированных натуральных d и к (d < к) и для всех п? N справедливо двойное неравенство dN ((n — 1)7- 717] < N (nj- (п + 1)7] < kN ((n — 1)7- 717], где N (AВ] — число элементов множества М в полуинтервале (АВ]. Теорема 2.1. Пусть функция /(ж) определена и суммируема на всей вещественной оси и пусть |/(s)| < Cie~6l's'- где Ь >.

Пусть qn < const n-1~b^lnd, где b = max (6b + 1. Тогда существует возрастающая последовательность положительных чисел {o~n}n=i^, стремящаяся к бесконечности и удовлетворяющая условию сгп+1 < constап, такая, что.

-I Сп f (x) = — Urn V.p. / 4>(s)F (x,-s)ds, (0.12) причём интеграл в (0.12) равно сходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фуръе..

В предположении, что для считающей функции множества М справедливо неравенство N (0- R] < AeaR, аналогично доказывается Теорема 2.2. Пусть функция f (x) определена и суммируема на всей вещественной оси и пусть |/(s)| < Ce~hl^, где Ь > у. оо.

Пусть коэффициенты qn в разложении q (x) = Е qnelSnX таковы, п= 1 что сходится ряд? VlnSn2ehSn> г<^е Ъ — max (6i, —) + 1..

71—1 7.

Тогда существует возрастающая последовательность положительных чисел {crn}"=r^- Сп > +оо, такая, что.

М — J ${s)F (x,-s)ds, (0.13).

-<тп причём интеграл в (0.13) равно сходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фуръе..

Для потенциалов, являющихся конечными суммами экспонент, результат теоремы 2.1 можно существенно уточнить, ослабив ограничение на убывание f (s) при |s| —> +оо. Через Ь^Ш, Ь) обозначим класс всех измеримых по Лебегу на Ж комплекснозначных функций u (s), для которых sup |u (s)(lf s) b < +оо. еж.

Теорема 2.3. Пусть потенциал q является конечной суммой экспонент, а именно q (x) =? с/ег7'ж с различными положительными показателями 7i, 72, • • •, 7/0 причём максимальное число линейно независимых над полем Q показателей равно к..

Пусть функция f (x) определена и суммируема на всей вещественной оси и / Е LooOMi) с некоторым Ь > к. Тогда существует строго возрастающая последовательность положительных чисел {<�Зп}п=Т^> имеющая асимптотику ап = nj/2 + О (1), такая, что f (x) = ^ Hm V.p. / 0(s)F (x, -s) ds, (0.14) причём интеграл в (0.14) равносходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фуръе..

Вторая теорема пятого параграфа относится к тому случаю, когда базис показателей Фурье потенциала состоит из двух элементов, один из которых — единица, а другой — произвольное алгебраическое число..

Теорема 2.4. Пусть оператор —-?2+ ч{х) на всей прям°й имеет потенциал вида q (x) — сегх + c 1 — алгебраическое число степени I > 2, и пусть f (x) определена и суммируема на всей прямой и такова, что |/(s)| < С{1 + где hi > 4. Тогда sn/4+sn+¼ —HmV.p. J 0(s)F (x,-s)ds, (0.15).

-sn/4-sn+i/4 причём интеграл в (0.15) равно сходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фурье..

Шестой параграф посвящён решению задачи Коши.

0.16) щ + биих — иххх = 0- и (х, 0) = сег1Х,.

0.17) где с Е С, 7 > 0..

Основной результат этого параграфа содержится в следующей теореме:.

Теорема 2.5. Решение задачи (0.16)-(0.17) даётся формулой и (х,?) =.

I Q.

2тг7^/з —оо f 00 / /(оо 1*1 г.

4 с.

XJi Л.

— е—) /) dr где 1((3) = t=—ix.

Ас t) dt Р, , X f D •.

3273 У Bl v 31/3 V о w тг ^ / г /Ai I-L^l dt з2/3 о.

З1/3'.

Ai.

Bi з1/3.

Р +.

З1/3.

0.18).

Л — — (3~5//бг — 3″ 2/Зг + З-1/3 + З-1/6), 2.

0 = -(3″ 4/Зг + 3~7//бг + З" 5/6 — 3~2/3)..

Все основные результаты работы опубликованы в [48, 49, 50]. Автор глубоко признателен своему научному руководителю академику РАН, профессору В. А. Садовничему за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку..

1. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.1.М., ИЛ., 1960..

2. Александрян Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Костюченко А. Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными. — В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М., Наука, 1970, с. З — 35..

3. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. — УМН, 1952, т.7, № 6, с. З96..

4. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора 2-го порядка. — ДАН СССР, 1953, т.88, с. 593 — 596..

5. Гельфанд И. М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. — УМН, 1956, т. 11, № 1, с. 191 — 198..

6. Дикий Л. А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке. — Изв. АН СССР, серия матем., 1955, т.19, № 4, с. 187 — 200..

7. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций. — Функц. анализ и его при-лож., 1967, т. 1, № 2, с. 52 — 59..

8. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Формулы следов в случае уравнения Орра-Зоммерфельда. — Изв. АН СССР, серия матем., 1968, т.32, № 3, с. 633 — 648..

9. Дикий JI.А. Новый способ приближённого вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. — ДАН СССР, 1957, т.116, № 1, с. 12 — 14..

10. Шкарин С. А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. — Вестник МГУ, серия матем., мех., 1996, № 1, с. 39 — 44..

11. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Об одном классе операторов Штурма-Лиувилля и приближённом вычислении первых собственных значений. — Мат. сборник, 1998, т. 189, № 1, с. 133 — 148..

12. Подольский В. Е. Весовая дзета-функция и обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля. Дис. канд. физ.-мат. наук. — МГУ им. М. В. Ломоносова, мех.-мат. фак., 1989..

13. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. — М., Наука, 1984..

14. Гасымов М. Г. Спектральный анализ одного класса несамосопряжённых дифференциальных операторов второго порядка. — Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, № 1, с. 14 — 19..

15. Гасымов М. Г., Оруджев А. Д. О спектральных свойствах одного класса дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами и их возмущений. — ДАН СССР, 1986, т.287, № 4, с. 777 — 781..

16. Simbirskij М. Inverse Problem for the Sturm-Liouville Operator with Almost-Periodic Potential Having Only Positive Fourier Exponents. — Advances in soviet mathematics, 1992, v.11, p.21 — 38..

17. Шубин M.A. Теорема Вейля для оператора Шредингера с почти-периодическим потенциалом. — Вестник МГУ, серия матем., мех., 1976, т.31, № 2, с. 84 — 88..

18. Динабург Е. И., Синай Я. Г. Об одномерном уравнении Шрёдин-гера с квазипериодическим потенциалом. — Функц. анализ и его прилож., 1975, т.9, № 4, с. 8 — 21..

19. Sinai Ja.G. Anderson localisation for one dimensional difference Schrodinger operator with quasiperiodic potential. — J. Statist. Phys., 1987, v.46, № 5/6, p.861 — 909..

20. Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла. — Мат. сборник, 1975, т.97, № 4, с. 540 — 606..

21. Guillemin V., Uribe A. Hardy functions and inverse spectral method.Comm. in Part. Differ. Equat., 1983, v.8(13), p.1455 — 1474..

22. Пастур JI.А., Ткаченко В. А. Обратная задача для одного класса одномерных операторов Шредингера с комплексным периодическим потенциалом. — Известия АН СССР, серия матем., 1990, т.54, № 6, с. 1252 — 1269..

23. Пастур Л. А., Ткаченко В. А. О геометрии спектра одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом. — Мат. заметки, 1991, т.50, № 4, с. 88 — 95..

24. Ткаченко В. А. К спектральному анализу одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом. ДАН СССР, 1964, т.155, № 2, с. 289 — 291..

25. Рофе-Бекетов Ф.С. О спектре несамосопряжённых дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. — ДАН СССР, 1963, т.152, № 6, с. 1312 — 1315..

26. Велиев О. А. О спектре и спектральных особенностях дифференциальных операторов с периодическими комплекснозначными коэффициентами. — Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, № 8, с. 1316 — 1324..

27. Чулаевский В. А. О возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом. — УМН, 1981, т.36, № 5, с. 203 — 204..

28. Молчанов С. А., Чулаевский В. А. Структура спектра лакунарно-предельно-периодического оператора Шрёдингера. — Функц. анализ и его прилож., 1984, т.18, № 4, с. 90 — 91..

29. Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. — В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1989, т.64..

30. Гордон А. Я. О точечном спектре одномерного оператора Шрёдингера. — УМН, 1976, т.31, № 4, с. 257 — 258..

31. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation. — Phys. Rev. Lett., 1967, v.19, p.1095 — 1097..

32. Ablowitz M.J., Kayp D.J., Newell A.C., Segur H. The inverse scattering transform-Fouriers analysis for nonlinear problems. — Studia App. Math., 1974, v.53, № 4, p.249 — 315..

33. Захаров B.E., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. — М., Наука, 1980..

34. Лэм Дж. Элементы теории солитонов. — М., Мир, 1983..

35. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. — М., Мир, 1985..

36. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М., Мир, 1987..

37. Ахиезер Н. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов. — ДАН СССР, 1961, т.141, № 2, с. 262 — 266..

38. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечнозон-ным спектром и N-солитонные решения уравнения КдФ. — Теор. и мат. физика, 1975, т.23, № 1, с. 51 — 68..

39. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза. — УМН, 1976, т.187, № 1, с. 55 — 136..

40. Date Е., Tanaka S. Periodic Multi-Soliton Solutions of Korteweg-de Vries Equation and Toda Lattice. — Suppl. of the Progress of Theoretical Ph., 1976, v.59, p.107 — 125..

41. Новиков С. П. Периодическая задача КдФ. I. — Функц. анализ и его прилож., 1974, т.8, № 3, с. 54 — 66..

42. Gardner C.S. Kortewege-de Vries equation and generalisation. IV: The Kortewege-de Vries equation as a Hamiltonian System. — J. Math. Phys., 1971, v.12, p.1548 — 1551..

43. Захаров B.E., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система. — Функц. анализ и его прилож., 1971, т.5, № 4, с. 18 — 27..

44. Lax P. Periodic solutions of the KdV equation. — Comm. Pure Appl. Math., 1975, v.28, p.141 — 188..

45. Lax P. Almost periodic solutions of the KdV equation. — SCAM Revue, 1976..

46. Isaacson E.L., Trubowitz E. The Inverse Sturm-Liouville Problem. I.Comm. Pure Appl. Math., 1983, v.36, p.767 — 783..

47. Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел. — М., Изд-во МГУ, 1981. Работы автора по теме диссертации..

48. Андрианов А. Ю. Описание переходных функций обратной задачи для одного класса операторов Штурма-Лиувилля. — Math-ematica Montisnigri, 1997, v.8, p.5 — 14..

49. Андрианов А. Ю. Спектральные теоремы для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — экспоненциальными суммами. — Mathematica Montisnigri, 2001, v. 13, p. l — 21..

50. Андрианов А. Ю. Спектральная теорема для операторов Штур-ма-Лиувилля с потенциалами — конечными суммами экспонент. Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, № 8, с. 1028 — 1040..