Графики переходных функций

Задача №1

Нарисовать (качественно) фазовую траекторию, соответствующую переходному процессу.

Решение

Между фазовой траекторией и переходным процессом в системе существует однозначная взаимосвязь. Так как фазовая траектория строится на плоскости с координатами х(горизонтальная ось) и =х (вертикальная ось), то значения величины х откладываются по горизонтальной оси, а скорости изменения переменной х соответствуют значения, откладываемые по вертикальной оси. Если значения х увеличиваются (тангенс угла наклона касательная к кривой x (t)положительный), то это соответствует положительным значениям y, если уменьшаются (тангенс угла наклона касательной отрицательный), то это соответствует отрицательным значениям у.

Рис. 1 Затухающий колебательный переходный процесс На основании вышеизложенного, фазовую траекторию, соответствующую затухающему колебательному процессу можно (качественно) представить в следующем виде:

Рис. 2 Фазовая траектория — «устойчивый фокус»

Задача № 2

Нарисовать (качественно) переходный процесс, соответствующий фазовой траектории.

Рис. 3 Фазовая траектория

Решение

Переходный процесс, соответствующий этой фазовой траектории представляет собой незатухающие колебания, изображенные на рис. 4.

Рис. 4 Переходный процесс

Задача № 3

Построить методом изоклин фазовый портрет для системы, уравнение движения, которой имеет вид:

Решение.

При построении фазового портрета методом изоклин необходимо заданное дифференциальное уравнение второго порядка свести к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка. В результате этой математической процедуры получаем следующую систему двух дифференциальных уравнений первого порядка:

= y;

= 3 — у —0,5 x.

Для записи уравнений фазовой траектории в полученной системе дифференциальных уравнений необходимо исключить время. Для этого второе уравнение делится на первое, что и дает возможность записать дифференциальное уравнение фазовой траектории

.

Фазовый портрета, построенный методом изоклин дает качественную картину хода фазовых траекторий. Вначале на фазовой плоскости строится поле изоклин. Изоклина — линия равного наклона фазовой траектории. Уравнением изоклины является уравнение

= С = const,

где: С — задаваемая константа.

Решим полученное уравнение относительно y:

Задаваясь значениями С от -10 до +10 с шагом 2, строим семейство изоклин (рис.5).

Рисунок 5 Фазовый портрет Фазовая траектория пересекает соответствующую изоклину под углом arctgC. Произвольно задается начальная точка для начала фазовой траектории. Далее, нанося на каждой изоклине стрелки под углом arctg C, определяем качественный ход фазовой траектории, так как стрелки определяют направление касательной к фазовой траектории.

Задача №4

На вход нелинейного элемента подаются гармонические колебания.

Нарисовать вынужденные колебания на выходе нелинейного элемента. Вывести формулу эквивалентного коэффициента передачи с помощью метода гармонической линеаризации. Статическая характеристика нелинейного элемента имеет вид:

Рисунок 6

Решение

На рисунке 6 представлен пример релейной характеристики с зоной нечувствительности.

График выходного сигнала нелинейного звена с такой характеристикой, когда на его вход подается гармонический сигнал е = A sin щt, представлен на рис. 7.

а б Рис. 7. Графики входного и выходного сигналов нелинейного с релейной характеристикой с зоной нечувствительности В этом случае пока входной сигнал не достигнет значения а (рис. 7, а) или переменная ш — значения ш₁ (е = A sin ш_{1 = а), на выходе нелинейного звена сигнал равен нулю. Выходной сигнал на интервале [ш1, р — ш1 ] равен постоянному значению, на интервале [р — ш1, р] — нулю. На основании графика выходного сигнала (рис. 7, 6) вещественный коэффициент гармонической линеаризации определяется следующим образом:}

Учитывая, что A sin ш₁ = а, или sin ш₁=а/А и, из последующего соотношения получаем

Задача №5

На рисунке приведена структурная схема импульсной системы.

В схеме приняты следующие обозначения:

— передаточная функция формирующего элемента, К_u = 4 — коэффициент передачи импульсного элемента, Т = 2 — период дискретности,

— передаточная функция непрерывной части системы, К_Н = 6 — коэффициент передачи непрерывной части системы, Т₁ = 12 — постоянная времени непрерывной части системы.

Решение

Структурная схема импульсной системы приведена на рис. 8.

Необходимо:

— оценить устойчивость системы по характеристическому уравнению;

— вычислить критическое значение коэффициента передачи К_кр;

— рассчитать и построить переходную характеристику при К_Н=0,8К_кр.

При К_Н= 6, Т = 2 с.

Рисунок 8

Как видно из рисунка, в прямой цепи системы имеется идеальный импульсный элемент, формирующий элемент (фиксатор) и непрерывная часть. Передаточная функция приведенной непрерывной части (ПНЧ) имеет вид:

Далее, по известной передаточной функции непрерывной части системы определяем передаточную функцию разомкнутой системы в смысле Zпреобразования.

Эту задачу решаем в следующей последовательности:

1 по передаточной функции W_рс(p) в результате применения обратного преобразования Лапласа находят функцию веса ПНЧ w (t) = L^-1[W_рс(p)];

2 по функции веса ПНЧ w (t) определяют аналитическое выражение для соответствующей дискретной функции веса w (nT);

3 искомую передаточную функцию W_рс(z) получают как Z-преобразование дискретной функуции веса ПНЧ

W_рс(z) = Z[w (nT)].

Дискретную передаточную функцию разомкнутой системы находим в соответствии с методикой, изложенной выше

W_рс(z) = .

Зная W_рс(z), легко найти передаточную функцию замкнутой системы

W_з(z) =

Оценку устойчивости импульсной системы, как и непрерывной, обычно производят на основании исследования характеристического уравнения замкнутой системы.

К импульсным системам применим любой из известных критериев устойчивости непрерывных систем, однако, для этого предварительно необходимо произвести преобразование полинома M (z) в полином M (щ) по формуле: z = .

К характеристическому уравнению M (щ) = 0, применим алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Характеристическое уравнение рассматриваемой системы:

M (z) = z + (k_НT — 1), M (щ) = щ (2-k_НT) + k_НT = 0.

Согласно критерию Гурвица система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны.

Отсюда следуют два условия устойчивости: k_НT > 0 и k_НT < 2.

Подставив в эти формулы значения параметров системы, получаем:

6?2 =12 >0 и 6?2 = 12 >2.

Условия устойчивости не выполняются, и следовательно система неустойчива.

Определим К_кр из условия К_кр?Т = 2. Значит критическое значение коэффициента передачи системы, т. е., когда система находится на границе устойчивости равно К_кр= = 1.

Переходная характеристика импульсной системы (переходный процесс в системе) определяется как реакция системы на единичную ступенчатую дискретную функцию x (nT) = 1(nT).

Изображение реакции системы в смысле Zпреобразования находят по формуле:

Y (z) = x (z)?W_з(z).

Так как изображение единичной дискретной функции:

x (z) = Z[1(nT)] = ,

то изображение дискретной переходной функции импульсной системы:

H (z) = Z[h (nT)] = W_з(z).

Следовательно, для нахождения H (z) достаточно знать передаточную функцию замкнутой системы W (z). Далее необходимо по изображению найти оригинал h (nT), т. е. осуществить операцию обратного Zпреобразования. Эту задачу часто решают методом разложения функции в степенной ряд (ряд Лорана) по отрицательным степеням z (делением полинома числителя на полином знаменателя). Коэффициенты полученного степенного ряда равны дискретным значениям импульсной переходной функции в моменты времени t = nT.

Изображение переходной функции для исследуемой системы с учетом формулы имеет вид:

H (z) = W (z) = .

Если принять К_н=0,8К_кр, то К_нT =0,8?2=1,6 и изображение переходной функции системы:

H (z) = .

В результате деления числителя на знаменатель, находим:

H (z) = 1,6z^-1 + 0,64z^-2 + 1,216z^-3 +0,87z^-4 + 1,078z^-5 + …

Коэффициенты степенного ряда определяют следующие значения дискретной переходной функции оригинала:

переходный процесс фазовый колебательный импульсный

h (0) = 0, h (T) = 1,6; h (2T)=0,64; h (3T) = 1,216; h (4T) = 0,87; h (5T) = 1,078 и т. д.

График переходной функции изображен на рис. 9.

Рисунок 9