Некоторые вопросы векторного интегрирования и операторной двойственности

Теория упорядоченных векторных пространств была создана в середине 30-х годов математиками ленинградской школы во главе с Л. В. Канторовичем. Характерной чертой развития этого направления являются тесные и плодотворные связи с другими разделами анализа. Наличие естественных порядков в классических объектах анализа привело к активному взаимодействию теории упорядоченных векторных пространств с различными разделами математики. В результате появились новые теоретические конструкции и многочисленные приложения к теории операторов, выпуклому анализу, теории экстремальных задач и т. д. Соответствующие обзоры имеются в работах [2,6,8,9,25,27,28, 49,54,58,59,62−64,66,67] .

Одной из классических, традиционных задач функционального анализа является задача отыскания общего вида различных классов линейных операторов и функционалов, причем для последних ее решение в классических пространствах есть интегральное представление в той или иной форме. Для аналитического представления линейных операторов «скалярных» интегралов в цринципе недостаточно. Еще в тридцатых годах появились векторные конструкции интеграла в банаховых пространствах в работах Бохнера [71], Данфорда [75], Петтиса [89,9б] и др. В настоящее время банахова теория векторного интегрирования достаточно развита и хорошо освещена в монографической литературе [20,70,72,74,91]. Задачи аналитического представления линейных операторов и векторного интегрирования занимают важное место и в теории упорядоченных векторных пространств. В последние годы появилось большое число работ, посвященных этим вопросам. Отметим лишь те из них, которые идейно наиболее близки данной работе [3−7,12,35−37,42,65, 83,84,93−98]. Основные обзоры даны в [9,27,85]. Одновременно появились такие объекты упорядоченного анализа, которые не поддаются описанию в рамках банаховой теории двойственности, и в то же время для них имеет место естественная операторная двойственность.

Б начале семидесятых годов Г. П. Акиловым была высказана идея построения теории векторной двойственности на основе пространств Канторовича. Варианты векторной двойственности уже возникали неявно при решении различных аналитических задач [3,59,85]. Одним из первых объектов векторной двойственности были пространства с разложимой векторной нормой, введенные Л. В. Канторовичем в 1939 г. [781 «(см. также 26) Он же изучал вопрос разрешимости операторных уравнений в таких пространствах. В последние годы стимулом для развития аппарата векторной двойственности явились попытки распространить на случай многоцелевых экстремальных задач методов линейного и выпуклого программирования. Аналитические средства для такой теории возникли, в частности, с изучением сублинейных операторов и операторно выпуклых множеств. Важную роль здесь сыграли работы В. Л. Левина [59−62], А.Г.Кус-раева 32−35, 41−43], С. С. Кутателадзе [52−56] и А.М.Рубино-ва. 66, — 67] и др. (см. также [45−50, 58]. Общая теория двойственности пространств Банаха-Канторовича сформировалась в работах А. Г. Кусраева [34−37, 42]. Стоит отметить широкое использование метода булевозначных моделей [24] в большинстве перечисленных работ. На возможность применения этого метода в упорядоченном анализе (впервые) явно указал Е. И. Гордон в работе [18» ], где установлена связь между расширенными К-пространствами и вещественными числами в буле-возначных моделях теории множеств. В дальнейшем булевознач-ные модели били положены в основу нового реализационного метода в функциональном анализе [19, 36−38, 57, 88, 92]. Б частности, в [36, 37] получены булевозначные реализации различных объектов векторной двойственности. Указанным методом решены проблемы внутренней характеризации и описания экстремальной структуры опорных множеств [48, 49] .

Настоящая работа посвящена изучению некоторых оператор-но двойственных пар, связанных с векторным интегрированием. При этом одним из основных вопросов является описание опера-торно двойственного пространства. Следует отметить, что такое описание приводит к результатам об аналитическом представлении линейных операторов. Переходя к краткому обзору содержания работы, приведем прежде всего необходимые определения.

Действительное векторное пространство? называется векторной решеткой, если Е является частично упорядоченным множеством, в котором для любых двух элементов лл у е Е существует их суцремум Л VII ж инфимум хлу, причем линейные операторы и порядок согласованы:

1) для всех Е из Х^ ^ следует ц+г.

2) если и число >0, то .

Векторная решетка Е называется Кпространством, если любое ограниченное сверху множество в Е имеет супремум.

Отображение р: X —* ?+, где Х-векторное пространство, а Е — & -пространство, называется векторной нормой, если оно обладает свойствами, аналогичными свойствам скалярной нормы, т. е,. для любых X, у еХ.

1) р (Х) = О тогда и только тогда, когда х = О.

2) pCdX) ~ск pCxJ для о<�е IR.

3) рСя+д) < p (xj + р ($).

Если векторная норма р удовлетворяет условию.

4) если р (Х-) «Qi + й^ для некоторых jee X * > Qze Е, то существуют такие сс^е-Х, что = х и p (Xi)= ас (?~41). то она называется разложимой.

Если для векторной нормы р выполняется условие.

5) из |х [(j| следует р (х)? то будем называть ее монотонной.

Векторная решетка (векторное пространство) X, наделенное разложимой монотонной нормой р, принимающей значения в некотором Кпространстве, называется Кнормированной решеткой (Кнормированным цространством).

Пусть F — фундамент К. -пространства Е. Оператор F—> Е называется ортоморфизмом, если он допускает мультипликативное представление: х—* (хеЕ) где у 6 тЬ — максимальное расширение Кпространства Е. Для всякого ортоморфизма Ht существует наибольший фундамент 2)^ (%), на который он продолжается. Если JT =, то.

Множество всех ортоморфизмов обозначается Oit к °° С Е) ;

ОгО. (Е) = {X е ОМГСЕ) • Юл «Е }.

Всякий ортоморфизм является порядков о непрерывным оператором ([77]).

Введем понятие ограниченного оператора в Кнормированных пространствах.

Пусть (Л, р), (У- - К-нормированные пространства посредством Кпространства?. Линейный оператор

X У называется ограниченным, если существует такой ортоморфизм €€ (МЯ (Е). что С ер (х).

Среди таких ортоморфизмов существует наименьший [50*1, который обозначим 1(11). Пусть (X, V) — множество всех ограниченных операторов из X в У. Это тоже К, -нормированное пространство с нормой 7-, причем г% м, у). ш сху- выполняется нормативное неравенство: с^(Ых)? г (и)р (х) .

Оператор Ц называют изометрией, если их) = р (х).

Если X — некоторое Кпространство, |х (- модуль элемент то пара (X, !• есть Цнормированная решетка, в которой само Л является нормирующим пространством.

Пусть Xнормированное пространство посредством ЦпространстваН, Пространство х* = ¿-г (х, е) называется операторно сопряженным (рсопряженным) к пространству (Х} р) .

Работа состоит из введения и двух глав. В первой главе вводится понятие интегрируемой векторной функции, заданной на измеримом пространстве (Т, с б" -конечной мерой ри принимающей значения в ?1 -пространстве. Определяется векторный интеграл. Приведенная конструкция интеграла не предполагает ни наличия нормы в К- -пространстве образов, ни так называемой регулярности [II] (свойства диагональнойипо-следовательности) и может быть реализована для любого К. -пространства. С векторным интегралом естестввнным образом связывается Кнормированная решетка интегрируемых векторных функций. В работе описано операторно сопряженное пространство к ней в случае, когда она обладает свойством порядковой полноты. В этой главе доказан также аналог теоремы Радона-Никодима для векторных мер, при некоторых дополнительных предположениях относительно базы Кпространства образов.

Во второй главе изучается пространство ограниченных функций 1°° (01, ?) со значениями в Цпространстве Е и определенных на некотором множестве 01, на котором не предполагается никакой измеримой структуры. Изучение таких пространств связано с задачей описания опорного множества сублинейного оператора. Пространство 1°° (тоже оказывается Инормированной решеткой, если в качестве векторной нормы взять поточечный супремум модуля функции. Здесь необходимо дать некоторые определения.

Цусть Ю — некоторый фиксированный фундамент в т£ -максимальном расширении Кпространства Е ([I, II, 26 Если множество.

Е* = {уемЕ, уЕ ] тоже является фундаментом, то будем называть его сопряженным к Кпространству Е относительно Ю. Если &-~тЕ, то будем пользоваться термином «сопряженный фундамент» .

Цусть с$ - полная булева алгебра проекторов К. -пространства 5 ([I, II, 26]). Обозначим.

К —> }.

Гул тогда е5 — тоже полная булева алгебра с поточечными операциями. Экстенсиональной мерой на &01 назовем функцию 11'. —ъ Е со свойствами.

1. Если, Я01, , то.

2. ¡-¿-Свж) для всех & «.

В работе описано операторно сопряженное пространство к /Снормированной решетке £°о (013 У). Оказывается, оно изоморфно пространству всех экстенсиональных мер. Приведены приложения полученных результатов к задачам теории субдифференциалов, в частности, получена теорема об интегральном представлении элементов субдифференциала канонического оператора.

Результаты работы докладывались в Новосибирском государственном университете, Институте математики 00 АН СССР, на 17 и 7П Школах по теории операторов в функциональных пространствах в Минске в 1978 г. и 1982 г., на научно-технической конференции Читинского политехнического института. Основные результаты работы опубликованы в [13−17] .

1. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства. — Новосибирск: Наука, 1978. — 368 с.

2. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Некоторые задачи теории упорядоченных векторных пространств. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. — Новосибирск, 1977, с.6−19.

3. Бухвалов A.B. Пространства вектор-функций и тензорные произведения. Сиб. мат. журн., 1972, т. 13, № 6, с.1229−1238.

4. Бухвалов A.B. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой. Сиб. мат. журн., 1975, т.16, № 3, с.483−493.

5. Бухвалов A.B. О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1975, т.39, Jjs 6, с.1285−1309.

6. Бухвалов A.B. Приложения теории порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствахУспехи матем. наук, 1983, т.38, № 6, с.37−83.

7. Бухвалов A.B. Критерий интегральной представимости линейных операторов. Функц. анализ, 1975, 9:1, с. 51.

8. Бухвалов A.B., Векслер А. И., Гейлер В. А. Нормированные решетки. В кн.: Математический анализ. М.: изд. ВИНИТИ, 1980, т.18, с.125−154.

9. Бухвалов A.B., Векслер А. И., Лозановский Г. Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. — Успехи матем. наук, 1979, т.34, № 2, с.137−183.Ю. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 320 с.

10. Вулих Б. З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. — 407 с.

11. Вулих Б. З., Лозановский Г. Я. 0 представлении вполне линейных и регулярных функционалов в полуупоряцоченных пространствах. Мат. сб., 1971, т.84, Л 3, с.331−352.

12. Глазырина И. П. Об интегрировании функций со значениями в регулярном К. -пространстве. Новосибирск, Б.и., 1977. 14 с. — (Препринт/ИМ СО АН СССР).

13. Глазырина И. П. 0 теореме Радона-Никодима для мер со значениями в регулярном /¿—пространстве. Школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Тез. докл. Минск, 1978, с.36−37.

14. Глазырина И. П. Об одном порядковом аналоге теоремы Радона-Никодима. Деп. ВИНИТИ № 1601−81 Деп. — 9 с.

15. Глазырина И. П. Одна теорема об интегрировании в векторных решетках. УП Школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Тез. докл. Минск, 1982, с.

16. Глазырина И. П. Об интегральном представлении элементов субдиффэренциала. УШ Школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Тез. докл. Рига, 1983, с.55−56.

17. Гордон Е. И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и К. -пространства. Докл. АН СССР, 1977, т.237, № 4, с.773−775.

18. Гордон Е. И. Кпространства в булевозначных моделях: теории множеств. Докл. АН СССР, 1981, т.258, № 4,с.777−780.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962, 895 с.

20. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища школа, 1980, 45 с.

21. Иоффе А. Д., Тихомеров В. М. Двойственность выпуклых функций. Успехи матем. наук, 1968, т.23, № 6, с.51−116.

22. Иоффэ А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974, 479 с.

23. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973, 150 с.

24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 742 с.

25. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупордцоченных пространствах. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 548 с.

26. Келли Дж. Общая топология. М.: Мир, 1968. 384 с.

27. Коротков В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983. — 224 с.

28. Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. -М.: Мир, 1973. 348 с.

29. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. — 317 с.

30. Крейн М. Г. 0 минимальном разложении функционала на положительные составляющие. Докл. АН СССР, 1940, т.28, № I, с.18−21.

31. Кусраев А. Г. Некоторые применения несплющенности в выпуклом анализе. Сиб. мат. журн., 1981, т.22, № 6, с.102−125.

32. Кусраев А. Г. 0 субдифференциале композиции множеств и функций. Сиб. мат. журн., 1982, т.23, № 2, с.116−127.

33. Кусраев А. Г. Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике для выпуклых соответствий. Докл. АН СССР, 1982, т.265, й 3, с, 526−529.

34. Кусраев А. Г. Общие формулы дезинтегрирования.- Докл. АН СССР, 1982, т.265, № 6, с.1312−1316.

35. Кусраев А. Г. Булевозначный анализ двойственности расширенных модулей. Докл. АН СССР, 1982, т.267, $ 5, с.1049−1052.

36. Кусраев А. Г. Некоторые применения теории булевозначных моделей в функциональном анализе. Новосибирск, 1982, 42 с. (Препринт № 5/Ин-т математики СО АН СССР).

37. Кусраев А. Г. 0 некоторых категориях и функторах булевозначного анализа. Докл. АН СССР, 1983, т.271, № I, с.281−284.

38. Кусраев А. Г. Об открытости выпуклых измеримых соответствий. Мат. заметки, 1983, т.33, № I, с.41−48.

39. Кусраев А. Г. О дискретном принципе максимума.- Мат. заметки, 1983, т.34, № 2, с.267−272.

40. Кусраев А. Г. Об одном классе выпуклых соответствий. Оптимизадия/йн-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1983, вып.32, с.20−33.

41. Кусраев А. Г. Пордцково непрерывные функционалы в булевозначных моделях теории множеств. Сиб. мат. журн., 1984, т.25, № I, с.69−79.

42. Кусраев А. Г. О субдифференциале суммы. Сиб. мат. журн., 1984, т.25, № 4, с.107−110.

43. Кусраев А. Г. Абстрактное дезинтегрирование в пространствах Канторовича. Сиб. мат. жур., 1984, т.25, № 5, с.79−89.

44. Кусраев А-.Г., Кутателадзе.С. С. Свертка Рокафеллара и характеристика оптимальных траекторий. Докл. АН СССР, 1980, т.290, № 2, с.280−283.

45. Кусраев А. Г., Кутателдазе С. С. Выпуклые операторы в псевдотопологических векторных пространствах. Оптими-зация/Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1983, вып. 25, с.5−41.

46. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Локальный выпуклый анализ. В кн.: Современные проблемы математики, т.19, М.: ВИНИТИ, 1982, с.155−206.

47. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Анализ субдифференциалов с помощью булевозначных моделей. Докл. АН СССР, 1982, т.265, № 5, с.1061−1064.

48. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы в булевозначных моделях теории множеств. Сиб. мат. журн., 1983,", т.24, № 5, с. 109−132.

49. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалыгое исчисление. Новосибирск: изд. Новосибирского ун-та, 1983, 72 с.

50. Кусраев А. Г., Стрижевский В. З. Решеточно-нормиро-ванные пространства и классы непрерывных вектор-функций. Оптимизация, 1984, вып. 34(51), с.24−36.

51. Кутателадзе С. С. Опорные множества сублинейных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т.230, № 5, с.1029−1032.

52. Кутателадзе С. С. Выпуклоепрограммирование. Докл. АН СССР, 1979, т.245, А* 5, с.1048−1050.

53. Кутателадзе С. С. Выпуклые операторы. Успехи ма-темат. наук, 1979, т.34, № I, с.167−196.

54. Кутателадзе С. С. Теорема Крейна-Мильмана и ее обращение. Сиб. мат. журн., 1980, № I, с.130−138.

55. Кутателадзе С.С.0 выпуклом анализев модулях.- Сиб. мат. журн., 1981, т.22, № 4, с.118−128.

56. Кутателадзе С. С. Спуски и подъемы. Докл. АН СССР, 1983, т.272, № 3, с.521−524.

57. Кутателадзе С. С., рубинов A.M. Двойственность Мин-ковского и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1976. 254 с.

58. Левин Б. Л. Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемыелинеалами. Тр. Моск. матем. общества, 1969, т.20, с.43−81.

59. Левин В. Л. О двух классах линейных отображений, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками. Сиб. мат. журн., 1969, т.10, № 4, с.903−909.

60. Левин В. Л. Субдифференциалы выпуклых отображений и сложных функций. Сиб. мат. журн., 1972, т. 13, JS 6, с.1295−1303.

61. Левин В. Л. Выпуклые интегральные функционалы и теория лифтинга. Успехи мат. наук, 1975, т.30, № 2,с.115−178.

62. Макаров В. Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М., Наука, 1973, 335 с.

63. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982, 536 с.

64. О.Рейнов. Операторы типа и аналитические представления линейных операторов. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. — Новосибирск, 1977, с.

65. Рубинов A.M. Сублинейные операторы и операторно-выпуклые множества. Сиб. мат. журн., 1976, т.17, № 2,с.372−380. ;

66. Рубинов A.M. Сублинейные операторы и их примене- :ние. Успехи матем. наук, 1977, т.32, № 4, с. ПЗ-174.

67. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969,376 с.

68. Халмош П. Теория меры. М.: Изд-во иностр.лит., 1953, 291 с.

69. S BnULoUiU 2J>. femuieJl Sp&CU ofZOkdiHuMltlrUyiLtAioiti. л) алл€ш-&: Po-uzhh'-fic РиЛё<&4ильл9Z. G-. Voll Л/гшгссыиь аЛср^ш* andV-aAad cutalas. — 0. McM. Japan, tt3S~jffo l, 1-ЛЯ,.