Фробениусовы эндоморфизмы пространств матриц

4.1.1 Исторический обзор.130.

4.1.2 Матрицы и определители.132.

4.1.3 Вырожденность и определитель .135.

4.1.4 Полумодули. Базис и размерность.138.

4.1.5 Функции ранга.142.

4.1.6 Связь между различными ранговыми функциями.146.

4.1.7 Арифметические свойства ранговых функций .151.

4.2 Общие результаты о линейных отображениях матриц над антинегативными полукольцами.157.

4.3 Теоремы Фробениуса и Дьедонне для матриц над полукольцами.. .161.

4.3.1 б'-вырожденность.161.

4.3.2 Би-определители.163.

4.3.3 Д-вырожденность .167.

4.4 Линейные отображения, сохраняющие случаи равенства в ранговых неравенствах. 171.

4.4.1 Фробениусовы эндоморфизмы для Т.172.

4.4.2 Фробениусовы эндоморфизмы для Тъв .174.

4.4.3 Фробениусовы эндоморфизмы для Т^п.176.

4.4.4 Фробениусовы эндоморфизмы для Т, 3.178.

4.4.5 Фробениусовы эндоморфизмы для Тгм .180.

4.4.6 Фробениусовы эндоморфизмы для Т4 В.182.

4.4.7 Фробениусовы эндоморфизмы для T^r .183.

4.4.8 Фробениусовы эндоморфизмы для Т§-.185.

4.5 Отображения, сохраняющие нули многочленов над полукольцами.. 187.

4.5.1 Введение.187.

4.5.2 Вспомогательные леммы .188.

4.5.3 Фробениусовы эндоморфизмы для V (P2k), к >2.189.

4.5.4 Фробениусовы эндоморфизмы для V (Pm) для m > 3.192.

4.5.5 Фробениусовы эндоморфизмы для V (Pmit., mk) над. 195.

5 Фробениусовы эндоморфизмы и комбинаторные свойства матриц 198.

5.1 Характеризация операторов, сохраняющих примитивность наборов матриц.198.

5.1.1 Введение.198.

5.1.2 Предварительные сведения.200.

5.1.3 Матрицы над бинарным булевым полукольцом.202.

5.1.3.1 Случай к = 2.206.

5.1.3.2 Случай к > 2.214.

5.1.4 Матрицы над антинегативными полукольцами без делителей нуля.221.

5.2 Фробениусовы эндоморфизмы для регулярных турнирных матриц и граничного ранга 1.223.

5.2.1 Введение.223.

5.2.2 Фробениусовы эндоморфизмы для матриц граничного ранга 1 с нулевой диагональю.225.

5.2.3 Фробениусовы эндоморфизмы для регулярных турнирных матриц.233.

5.3 Идемпотентные матрицы и мажорирование.239.

5.3.1 Введение.239.

5.3.2 Характеризация идемпотентных булевых матриц .246.

5.3.3 Мажорирование идемпотентными матрицами .253.

6 Фробениусовы эндоморфизмы над некоммутативными кольцами 257.

6.1 Введение.257.

6.2 Введение в линейную алгебру над некоммутативными кольцами. .. 259.

6.2.1 Некоммутативные определители.259.

6.2.2 Линейная алгебра над некоммутативными локальными кольцами .261.

6.2.3 Определитель над некоммутативным локальным кольцом.. 265.

6.2.4 Определитель Аджамагбо.267.

6.3 Полулинейные отображения матриц над локальными кольцами, сохраняющие вырожденность.269.

6.3.1 Сохранение вырожденности над локальными кольцами. 273.

6.3.2 Сохранение вырожденности над телами.274.

6.4 Полулинейные отображения матриц над телом, сохраняющие определитель Дьедонне.274.

6.5 Полулинейные отображения матриц над локальным кольцом, сохраняющие определитель Дьедонне.276.

7 Фробениусовы эндоморфизмы пространств многочленов, сохраняющие положительность 280.

7.1 Введение и основные результаты.280.

7.2 Вспомогательные результаты.284.

7.3 Случай диагональных преобразований.289.

7.4 Обыкновенные линейные дифференциальные операторы конечного порядка.294.

7.5 Обыкновенные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.299.

Список литературы

302.

Публикации автора по теме диссертации.319.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования Исторический обзор

Задачи характеризации фробениусовых эндоморфизмов пространств матриц, т. е. отображений, сохраняющих матричные свойства или инварианты, постоянно возникают как в качестве естественных алгебраических задач, так и в связи с различными приложениями. Неслучайно в последнее время происходит особенно бурное развитие этой теории.

Отображение Т: Мп (Щ —> Мп{Н) матриц фиксированного порядка п над кольцом Я называется фробепиусовым эндоморфизмом для некоторого свойства V (говорят еще, что Т сохраняет свойство V), если из условия: матрица, А обладает свойством V следует, что ее образ — матрица Т (А) — также обладает свойством V. Оказывается, что зачастую этой информации совместно с некоторыми данными об отображении Т, например, линейность или сюръективность, достаточно для полной характеризации отображения Т. Разработка вопроса характеризации фробениусовых эндоморфизмов, сохраняющих матричные инварианты, является основным предметом исследования данной диссертационной работы.

Изучение фробениусовых эндоморфизмов восходит к следующему вопросу, который поставил Дедекинд в 1880, см. [95]. Пусть С — конечная группа порядка п. Рассмотрим конечное множество независимых попарно коммутирующих переменных {ж5}5<�ЕсГрупповой матрицей группы С? называется квадратная матрица Хс порядка п, столбцы и строки которой заиндексированы элементами группы С так, что (д, /г)-тый элемент матрицы есть Хф-1. Определитель матрицы Хс — это однородный многочлен степени п от переменных {хд}деа. Дедекинд назвал этот многочлен групповым определителем и установил, что если С — абелева группа, то ее групповой определитель раскладывается в произведение линейных множителей над полем комплексных чисел С. Более того, коэффициент при переменной хд в каждом линейном множителе совпадает со значением группового характера на элементе д? С. Например, если С = йз — циклическая группа порядка 3, то ее групповая матрица имеет вид е, а а2.

X У г е X У г, а г X У а2 У г X.

Таблица характеров для группы Zз такова: е, а а2.

XI 1 1 1.

1 ?

Хз 1 ?2? здесь? = е2т/3. Разложение для группового определителя выглядит следующим образом: х у г х х у у г х.

Откуда видно, что любая строка таблицы характеров группы Ъъ определяется однозначно по соответствующему множителю в разложении для группового определителя.

Для некоторых некоммутативных групп, в частности, для симметрической группы третьего порядка 5з и для группы кватернионов (^д. Дедекинд также разложил их групповые определители в произведение неприводимых множителей, среди которых были уже нелинейные. Однако общая ситуация оставалась неясной и Дедекинд поставил вопрос о разложении для группового определителя конечной неабелевой группы в произведение неприводимых множителей. Работая над этой проблемой, Фробениус создал несколько новых плодотворных теорий: одной из них была теория представлений конечных групп, а другой — теория линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, которой посвящена данная работа. В качестве приложеиия своих идей Фробениусу [115] удалось полностью решить проблему Дедекинда.

Фробениус доказал, что групповой определитель конечной группы С разлагается над полем комплексных чисел в произведение вида Р¹ ¦ • • Р^к, где многочлены ] — 1, — неприводимы и = у = 1,., к, т. е. кратность вхождения каждого неприводимого многочлена в разложение совпадает со степенью этого многочлена. Более того, любой неприводимый многочлен в этом разложении соответствует некоторому неприводимому представлению группы (7 и размерность этого представления совпадает со степенью соответствующего неприводимого многочлена. Для того, чтобы установить, что класс эквивалентных представлений соответствует единому множителю в разложении для группового определителя, Фробениусу понадобилось охарактеризовать биективные линейные (х + у + г) (х + еу + е2г) (х + е2у + ег). преобразования, сохраняющие определитель матриц над полем комплексных чисел. Легко видеть, что транспонирование и подобие являются фробениусовыми эндоморфизмами для определителя. Определим на основе этих двух примеров следующий класс стандартных преобразований.

Пусть Mm.

Определение 1. Линейное преобразование Т: Mm>n (F) —> Mm^n{F) называется стандартным, если оно представимо в следующем виде: найдутся матрицы Р G GLm (F), Q е GLn (?) такие, что Т (Х) = PXQ для всех матриц X <�Е Mm, n (F). В случае m = п преобразование Т (Х) = P (Xt)Q для всех X 6 Мп (F), где X1 обозначает транспонированную матрицу, тоже называется стандартным.

Следующая теорема Фробениуса 1897 г. дает полную характеризацию линейных отображений, сохраняющих определитель.

Теорема 2. [115, Фробениус] Пусть Т: Мп© Мп (С) — биективное линейное преобразование, для которого detT (X) = detX для всех матриц X? Мп©. Тогда преобразование Т стандартно и det (PQ) = 1.

В 1925 г. Шур [220] обобщил теорему Фробениуса: он заменил условие инвариантности определителя на условие инвариантности всех миноров некоторого фиксированного порядка г. Приведем формулировку его теоремы, принадлежащую Маркусу и Мэю [175]. Для произвольной матрицы X? Mmjn© рассматривается r-ая матрица дополнений СГ (Х) € М^^©, состоящая из миноров матрицы X порядка г, упорядоченных лексикографически по строкам и столбцам.

Теорема 3. [220, Шур] Пусть Т: Мтп© —> Мтп (С) — биективное линейное преобразование. Для заданного параметра г, 2 < г < min{m, n}, предположим, что существует такое биективное линейное преобразование S: М^ ^© —> М^^©, что для любой матрицы X? Мт, п© справедливо СГ (Т[Х)) = S (Cr (X)). Тогда преобразование Т — стандартное.

Теорема Фробениуса имела сложное комбинаторное доказательство. В 1949 г. Дьедонне [99] предложил новый подход к классификации фробениусовых эндоморфизмов, базирующийся на основной теореме проективной геометрии. Дьедонне получил стандартную характеризацию биективных линейных отображений, сохраняющих вырожденные матрицы над произвольным полем.

Теорема 4. [99, Дьедонне] Пусть F — произвольное поле и Т — обратимое линейное отображение на Мп (F), удовлетворяющее условию: из detX = 0 следует det Т{Х) = 0. Тогда отображение Т стандартно.

В работе [16] Е. Б. Дынкин получил теорему Фробениуса и серию связанных с ней результатов в качестве следствия своей классификации максимальных подгрупп классических групп. В основе этого метода лежит следующее построение. Пусть F — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Стандартные линейные преобразования образуют подгруппу Stn (F) в группе GLn2(F) всех обратимых линейных преобразований пространства матриц. Группа Stn (F) имеет структуру сплетения Stn (F) = GLn (F) Wr Z2, где Z2 — группа, порожденная транспонированием. Для данного подмножества S С Мп{F) обозначим через Fix S множество всех линейных отображений Т, оставляющих множество S инвариантным, т. е. T (S) С S. Легко видеть, что множество Fix S имеет структуру моноида по отношению к операции композиции. В общем случае, моноид Fix S не является подгруппой в GLn2(F), так как включение Т (5) С S необязательно влечет равенство T (S) = S. Однако равенство справедливо достаточно часто. Например, в случае алгебраического подмножества S С Mn (F) Д. Диксоном, см. например [202], было показано, что выполняется равенство T (S) = S. Следовательно, в этом случае, моноид FixS имеет структуру группы. Таким образом, классификация линейных отображений, сохраняющих множество S, может быть сведена к анализу башни подгрупп St"(F) С FixS С GLn (F). Теперь, с помощью списка всех таких подгрупп G, для которых Stn (F) С G С GLn (W), т. е. с использованием классификации Дынкина нетрудно дать ответ на следующие вопросы:

• Пусть S — фиксированное подмножество в Мп (F) и Т — биективное линейное отображение, взаимооднозначное на S. Какая именно группа G из списка совпадает с Fix S ?

• Какие группы G из списка совпадают с Fix S хоть для какого-нибудь Т-инвариантного множества S ?

Этот метод многократно использовался и широко развивался, см. [202, глава 8.4].

Приведенные выше результаты открыли столетие интенсивного и плодотворного изучения фробеииусовых эндоморфизмов. В течение последних несколькими десятилетий эти вопросы изучались особенно активно и как фундаментальное направление, и в связи с многочисленными приложениями. Полученные для линейных отображений результаты подытожены в ряде обзоров, в том числе, [171, 170, 202] и монографии [187]. В настоящей работе развиты новые методы и подходы к изучению фробеииусовых эндоморфизмов над полями, кольцами и полукольцами, позволившие перейти от изучения линейных отображений к нелинейным и даже неаддитивным отображениям и решить целый ряд важных задач и открытых вопросов.

Общая постановка задачи классификации фробеииусовых эндоморфизмов может быть сформулирована следующим образом. Пусть Т: Mn® —" Mn® отображение матриц некоторого фиксированного порядка п над некоторой алгебраической системой К. Рассмотрим подмножество 5 С Мп (Я) или функционал р: Мп (В) —> <3, где ф — заданное множество (р может быть определителем, следом, рангом, перманентом и т. д.) или свойство матриц Р (нильпотентность, идемпотентность, вырожденность и т. д.) или отношение 71, заданное на множестве матриц (подобие, коммутативность, отношение порядка и т. д.). Предполагается, что отображение Т сохраняет одно из перечисленных свойств в следующем смысле: в первом случае, условие X € 5 влечет условие Т{Х) е <5>- Во втором случае, р{Х) = р (Т{Х)) для всех матриц X 6 Мп{Я). В третьем случае, если матрица X удовлетворяет свойству «Р, то матрица Т{Х) также удовлетворяет свойству Р. В последнем случае, условие Т (Х)71Т (?) следует из условия ХНУ. Основная задача исследования фробениусовых эндоморфизмов состоит в полной характеризации отображений, сохраняющих 5», р, Р или 71.

Аналогичным образом определяются фробениусовы эндоморфизмы других линейных пространств.

Задача классификации фробениусовых эндоморфизмов имеет фундаментальное значение в теории матриц. По своей постановке, проблема, сформулированная выше, является обратной классической задаче теории инвариантов, т. е. задаче классификации орбит и инвариантов заданного действия. В нашем случае, требуется восстановить действие по его инвариантам. Оказывается, что уже такого малого количества информации во многих случаях достаточно для характеризации соответствующего отображения. Например, рассмотрим линейное отображение Т: Мп© -> МП©, определяемое формулой Т (Х) = аРХР~1 +Ъ (Х)В или формулой Т (Х) = аР (*Х)Р~1 + Ьт-(Х)В для некоторой невырожденной матрицы Р Е Мп©, произвольной матрицы В? Мп© и ненулевого элемента, а € С. Прямая проверка показывает, что отображение Т переводит множество нильпотентных матриц в себя. В 1980 г. Ховард, см. [147, 202] показал, что отображениями такого вида исчерпываются все биективные линейные преобразования на Мп©, оставляющие множество нильпотентных матриц неподвижным.

Приложения фробениусовых эндоморфизмов. Первые вопросы, связанные с фробениусовыми эндоморфизмами пространств матриц, были вызваны различными проблемами общей алгебры. Классификация Фробениуса линейных отображений, сохраняющих определитель, потребовалась для нужд теории представлений конечных групп, см. [115]. Теорема Дьедонне о сохранении вырожденности возникла из теории классических групп и квадратичных форм, см. [99]. Далее демонстрируется, что такие задачи естественно возникают в самых разнообразных контекстах.

Методы вычислений. Для данного матричного инварианта структура и количество линейных отображений, его сохраняющих, являются мерой сложности этого инварианта, т. е. они характеризуют и, в некотором смысле, определяют количество арифметических операций, необходимых для вычисления этого инварианта. Действительно, большинство методов вычисления определителя, ранга и других матричных инвариантов основаны fia приведении матрицы к некоторому подходящему виду преобразованиями, не меняющими данный инвариант, таким образом, эти методы основаны на применении линейных фробениусовых эндоморфизмов для данного матричного инварианта. Например, известно, что квадратную матрицу с коэффициентами из произвольного поля можно привести к диагональному виду, где на диагонали стоят только нули и единицы, преобразованием, сохраняющим ранг. Это позволяет найти простой алгоритм вычисления ранга квадратной матрицы порядка п, требующий 0(п3) операций. Аналогичный факт верен и для определителя. С другой стороны, простейший метод вычисления перманента квадратной п х n-матрицы (формула Райзера) требует (n— l)(2n — 1) операций умножения. Такое различие в сложности вычислений обусловлено тем, что очень мало линейных отображений сохраняют перманент: единственными линейными отображениями, сохраняющими перманент, являются транспонирование и домножение на обратимые матрицы Р и Q с двух сторон, где обе матрицы Р и Q являются произведениями диагональной матрицы и матрицы, полученной из единичной, перестановкой строк и столбцов, тогда как в случае линейных отображений, сохраняющих ранг и определитель, Р и Q — почти произвольные обратимые матрицы, см. [202].

Нормированные пространства. Многие задачи математики и ее приложений требуют изучения различных норм на линейных пространствах. Два нормированных пространства можно идентифицировать, если существует изометрический изоморфизм (изометрия) между ними, т. е. такая линейная биекция соответствующих линейных пространств, что первая норма прообраза равняется второй норме образа. Таким образом, линейные отображения, сохраняющие матричные нормы, могут быть рассмотрены как специальные случаи изометрий. Знание группы изометрий помогает найти изометрические изоморфизмы между нормированными пространствами и, следовательно, распознать различные и совпадающие нормы, см. [202].

Теория групп. В [155, проблема 1] К. Джонсон поставил следующую проблему о групповых определителях. Могут ли две неизоморфные конечные группы иметь одинаковые групповые определители? Ответ на этот вопрос был дан Е. Форманеком и Д. Сибли в [110]. Они показали, что групповой определитель определяет конечную группу с точностью до изоморфизма. Ключевой идеей их доказательства был подъем теоремы Дьедонне о линейных отображениях, сохраняющих вырожденность, на прямое произведение матричных алгебр.

Центральные простые алгебры. Напомним, что если, А — центральная простая алгебра размерности п2 над полем К, то функция нормы N (a) определитель оператора левого умножения х ах) всегда удовлетворяет формальному тождеству N (a) = (RN (a))n для подходящей функции RN, называемой редуцированной нормой. Например, на матричной алгебре порядка п редуцированная норма RN (A) совпадает с определителем detA. Аналогично предыдущему примеру можно поставить вопрос: определяет ли редуцированная норма центральную простую алгебру с точностью до изоморфизма? Наиболее простой способ доказательства того, что редуцированная норма определяет центральную простую алгебру единственным, с точностью до изоморфизма образом, основан на некотором обобщении теоремы Фробениуса о линейных отображениях, сохраняющих определитель.

Приведенный список приложений не является исчерпывающим. В последнее время важные приложения фробениусовых эндоморфизмов матриц над кольцами и полукольцами возникают, например, в теории оптимального управления. Также существует много матричных отношений, возникающих в теории динамических систем и математической статистике, для исследования которых важна классификация соответствующих им фробениусовых эндоморфизмов.

Актуальность темы

исследования. В настоящее время теория фробениусовых эндоморфизмов активно развивается математиками разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение в нескольких тысячах печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в том числе, 33-й и 48-й тома журнала «Linear and Multilinear Algebra» («Линейная и полилинейная алгебра») целиком посвящены обзору результатов о линейных фробениусовых эндоморфизмах, см. [165], в работемногочисленных международных конференций по этой тематике. В частности, в ежегодных конференциях, проводимых международным сообществом линейной алгебры (International Linear Algebra Society), есть отдельная секция, работа которой посвящена фробениусовым эндоморфизмам пространств матриц. Интерес к этой области математики активно поддерживается и усиливается благодаря многочисленным приложениям. Несмотря на большое число давно поставленных, но все еще открытых проблем, в настоящий момент развитие этой области математики достигло того уровня, когда особый интерес представляют уже не столько отдельные результаты, сколько разработка общих методов исследования, особенно в случае матриц над кольцами и полукольцами и в случае нелинейных отображений. Таким образом, тема работы является актуальной.

Цель работы и основные задачи. Цель данной диссертационной работы состоит в создании новых универсальных методов исследования фробениусовых эндоморфизмов, позволяющих решить вопросы характеризации фробениусовых эндоморфизмов, в том числе известные открытые проблемы, и отыскать взаимосвязи между фробениусовыми эндоморфизмами, возникающими в различных областях математики. Основными задачами диссертации являются: решение проблемы Капланского-Уоткинса (1976г.) характеризации линейных отображений, сохраняющих нули матричных многочленов нескольких переменных, в случае полилинейных многочленоввнедрение и развитие метода элементарных операторов, позволяющего сводить нелинейную задачу к нескольким линейнымхарактеризация сюръективных, возможно нелинейных и даже неаддитивных отображений, сохраняющих нули полилинейных многочленовхарактеризация отображений, монотонных относительно регулярных порядков и некоторых порядков, заданных групповой обратной матрицейизучение аддитивных и линейных фробениусовых эндоморфизмов, связанных с ранговыми свойствами матриц, в частности, с инвариантностью ранга произведения матриц относительно заданной перестановки этих матриц и с граничными равенствами в классических матричных неравенствах для ранга произведения матриц — решение проблемы Бисли (1999г.) — изучение матричных инвариантов над полукольцами и классификация аддитивных фробениусовых эндоморфизмов матриц над полукольцамирасширение классических теорем Фробениуса и Дьедонне на отображения матриц над полукольцамихарактеризация аддитивных фробениусовых эндоморфизмов матриц над полукольцами для комбинаторных свойств матриц, в том числе, регулярности и почти-регулярности турнирных матриц, примитивности наборов матрицраспространение классической теоремы Фробениуса о линейных отображениях, сохраняющих определитель, на матрицы над теламихарактеризация линейных отображений пространств многочленов, сохраняющих свойство положительности, неотрицательности или эллиптичности многочлена.

Основные методы исследования. В работе используются классические методы и результаты структурной теории колец, линейной алгебры над полями и кольцами, теории классических групп, метод матричных деформаций, разработанный в кандидатской диссертации автора работы, а также новые методы, в том числе метод элементарных операторов и метод цепей, разработанные автором.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Разработка метода элементарных операторов и классификация с его помощью сюръективных отображений матриц над полями, сохраняющих множество нулей однородного полилинейного многочлена (теоремы 1.2.1, 1.2.2, 1.2.6, 1.3.3). В частности, получено решение проблемы Капланского-Уоткинса 1976 г.

• Классификация аддитивных отображений матриц над полем, монотонных относительно регулярных отношений частичного порядка (теорема 2.4.2), в том числе,.

— минус-порядок,.

— порядок Дрейзина, левый и правый^{-порядки,} бриллиантовый порядок, порядки, заданные сингулярными значениями матрицы.

Доказательство биективности ненулевых аддитивных отображений матриц над полем комплексных чисел, монотонных относительно каждого из *-порядков и бриллиантового порядка (теоремы 2.4.5 и 2.4.8).

Доказательство существования небиективного ненулевого аддитивного отображения матриц над полем комплексных чисел, монотонного относительно минус-порядка.

Классификация линейных отображений матриц над полем, монотонных относительно частичного порядка, заданного групповой обратной матрицей, или относительно его обощения, связанного с нильпотентным разложением матрицы (теоремы 2.3.30 и 2.3.32).

Характеризация линейных и аддитивных фробениусовых эндоморфизмов матриц над полями для следующих множеств, связанных с ранговыми свойствами, в том числе, решение проблем Висли: множество матриц, удовлетворяющих граничным равенствам в классических верхних и нижних оценках ранга произведения матриц над полями (теоремы 3.1.5, 3.1.10, 3.1.17 и 3.1.18), множество матриц, для которых выполняется свойство инвариантности ранга произведения некоторого набора матриц относительно заданной перестановки матриц внутри набора (теоремы 3.2.13 и 3.2.15).

Разработка комбинаторных методов линейной алгебры над полукольцами, в том числе, введение и сравнение друг с другом комбинаторных ранговых функций, использующихся при изучении неотрицательных матриц, матриц над макс-алгебрами и другими полукольцами (предложения 4.1.68, 4.1.72, 4.1.75 и 4.1.79), характеризация линейных отображений матриц над полукольцами, сохраняющих граничные случаи в арифметических неравенствах для факторизационного ранга матриц (теоремы 4.4.3, 4.4.5, 4.4.7, 4.4.9, 4.4.11, 4.4.12, 4.4.15, 4.4.16, 4.4.20, 4.4.21, 4.4.23 и 4.4.26). характеризация линейных отображений матриц над полукольцами, сохраняющих нули многочленов (теорема 4.5.17), структурная характеризация идемпотентных матриц и матриц, мажорируемых идемпотентной матрицей в смысле минус-порядка (теоремы 5.3.37 и 5.3.49, соответственно), характеризация аддитивных отображений матриц над антинегативными полукольцами, сохраняющих примитивные наборы матриц (теорема 5.1.61), характеризация аддитивных отображений матриц над антинегативными полукольцами, сохраняющих регулярные и почти-регулярные турнирные матрицы (теорема 5.2.27).

• Аналоги теорем Фробениуса и Дьедонне о характеризации линейных отображений матриц над полями, сохраняющих определитель и множество вырожденных матриц, соответственно, дляматриц над антинегативными полукольцами (теоремы 4.3.2, 4.3.8 и 4.3.10).

• Развитие метода матричных деформаций, классификация с его помощью сюръективных полулинейных отображений матриц над телами, сохраняющих определитель Дьедонне (теоремы 6.3.8 и 6.4.2).

• Исследование линейных отображений конечномерных и бесконечномерных пространств многочленов с вещественными коэффициентами, сохраняющих одно из следующих свойств многочленов: положительность, неотрицательность, эллиптичность. В частности, доказано отсутствие линейных дифференциальных операторов конечного порядка к, сохраняющих каждое из указанных свойств на пространствах многочленов степени большей 2к, получена характеризация линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, сохраняющих эти свойства. Последняя задача восходит к работе Полиа и Шура 1914 г. (теоремы 7.1.5, 7.1.9, следствие 7.1.6).

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах линейной и полилинейной алгебры, теории колец, математической статистики, вычислительных методов, теории управления.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах: кафедральный семинар кафедры Высшей алгебры МГУсеминар «Кольца и модули» в МГУсеминар «Избранные вопросы алгебры» в МГУсеминар «Теория матриц и ее приложения» в МГУкафедральный семинар кафедры Дифференциальной геометрии и топологии МГУсеминар Института вычислительной математики РАНсеминар Института проблем управления РАНсеминар проф. Гобера, Эколь Политехник, Париж, Франция, 2006, 2008гг.- семинар «Макс-алгебры», ШША, Париж, Франция, 2005,.

2006, 2008гг.- семинар университета г. Стокгольма, Швеция, 2007 г.- семинар университета г. Дортмунд, Германия, 2003, 2004, 2005 гг.- семинар университета г. Копенгаген, Дания, 2005 г.- семинар проф. Бутковича, универитет г. Бирмингем, Великобритания, 2005 г.- семинар проф. Бака и семинар проф. Элыннера в университете г. Белефельда, Германия, 2004, 2005гг.- семинар университета г. Падуя, Италия, 2008 г.- семинар университета г. Упсала, Швеция, 2007 г.- семинар университета, г. Нант, Франция, 2006 г., семинар университета г. Брауншвейг, Германия 2004, 2005гг.- семинар университета г. Тампере, Финляндия, 2004, 2005гг., семинар университета г. Люнд, Швеция, 2007 г., семинар университета г. Лиссабон, Португалия, 2003; семинар проф. Рана, университет г. Амстердам, Голландия, 2003 г.- семинар университета г. Порто, Португалия, 2003; семинар технического университета г. Берлин, Германия, 2005 г и дрна заседании Московского математического общества, 2003 г.- на пленарных заседаниях: Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Россия, Москва, 2008; 5-ой международной конференции по линейной алгебре, Словения, Любляна, 2008; Международной конференции «Идемпотентная и тропическая математика и проблемы математической физики», Россия, Москва, 2007; 2-ой международной конференции по матричным методам и операторным уравнениям, Россия, Москва, 2007; Конференции по квазидетерминантам и универсальной локализации, Испания, Барселона, 2007; Международной конференции по теории групп и универсальным алгебрам, Израиль, Иерусалим, 2005; Международной конференции по некоммутативной геометрии, Бельгия, Антверпен, 2004; Международной алгебраической конференции, Россия, Москва, 2004; ХН-ой международной конференции по матрицам и статистике, Германия, Дортмунд, 2003; 3-ей международной конференции по линейной алгебре, Словения, Блед, 2003; на многочисленных секционных докладах на конференциях, в том числе, на всемирных конгрессах математиков в Пекине в 2002 г. и Мадриде в 2006 г.- на регулярных конференциях, проводимых международным сообществом линейных алгебраистов в 2006, 2004, 2001гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 30 статьях, список которых приведен в автореферате и в диссертации. Тезисы докладов не включены в этот список.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав, разбитых на параграфы, (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов), списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Полный объем диссертации 321 страница, библиография включает 246 наименований.

1. А. А. Алиева, Обратимость линейных отображений, сохраняющих /-порядки // Фундаментальная и прикладная математика, 9, 3, 2003, 3−11.

2. А. А. Алиева, А. Э. Гутерман, Перестановочность ранга и аддитивные операторы, сохраняющие некоторые условия на ранг произведения // Фундаментальная и прикладная математика, 10, 4, (2004) 3−14.

3. Э. Артин, Геометрическая алгебра // Москва: Наука, 1969.

4. Ф. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными // Москва: Изд. МГУ, 1983.

5. И. И. Богданов, А. Э. Гутерман, Монотонные отображения матриц, заданные групповой обратной, и одновременная диагонализуемость, Математический сборник, 198, 1, (2007) 3−20.

6. О. А. Вайсман, А. Э. Гутерман, Факторизационный ранг для неотрицательных матриц // Чебышевский сборник, 6, 4, (2005) 64−67.

7. И. М. Гельфанд, В. С. Ретах, Детерминанты матриц над некоммутативными кольцами // Функциональный анализ и его приложения, 25, 1991, 91−102.

8. И. М. Гельфанд, В. С. Ретах, Теория некоммутативных детерминантов и характеристические функции графов // Функциональный анализ и его приложения, 26, 4, (1992) 1−20.

9. А. Э. Гутерман, Линейные отображения, сохраняющие определитель Дьедонне над произвольным телом // Успехи математических наук, 57, 4, (2002) 171−172.

10. А. Э. Гутерман, Монотонные аддитивные отображения матриц, Математические заметки, 81, 5, (2007) 681−692.

11. А. Э. Гутерман, Преобразования неотрицательных целочисленных матриц, сохраняющие определитель // Успехи математических наук, 58, 6, (2003) 147−148.

12. А. Э. Гутерман, Тождества матриц, близких к треугольным // Математический сборник, 192, 6, (2001) 3−15.

13. А. Э. Гутерман, Е. М. Крейнес, А. В. Михалев, Результаты фробениусовского типа для матриц над телами // Математические методы и приложения, МГСУ, 5 (1997) 119−133.

14. А. Гутерман, Б. Кузьма, Характеризация отображений, строго сохраняющих нули матричных многочленов, Успехи математических наук, 63, 5, (2008), 184−185.

15. А. Э. Гутерман, А. В. Михалев, Общая алгебра и линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты // Фундаментальная и прикладная математика, 9, 1, (2003) 83−101.

16. Е. Б. Дынкин, Максимальные подгруппы классических групп // Труды московского математического общества. 1 (1952), 39−166.

17. А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры // Москва: Наука, 1975.

18. А. В. Михалев, А. А. Михалев, Начала алгебры. Часть 1 // Москва: Интернет-университет информационных технологий, 2005.

19. К. Adjamagbo, Panorama de la theorie des determinants sur un anneau non commutatif // Bull. Sc. Math., 2e serie, 117 (1993) 401−420.

20. M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert, Max-plus algebras // Handbook of Linear Algebra, Chapman and Hall, 2007, 25.1−25.17.

21. M. Akian, S. Gaubert, Spectral theorems for convex monotone homogeneous maps, and ergodic control // Nonlinear Anal. 52, 2, (2003) 637−679.

22. A. Alieva, A. Guterman, Monotone Linear Transformations on Matrices are In-vertible // Comm. in Algebra, 33 (2005) 3335−3352.

23. A. Alieva, A. Guterman, Linear preservers of rank permutability // Linear Algebra Appl. 384 (2004) 97−108.

24. A. Alieva, A. Guterman, B. Kuzma, Rank-permutable additive mappings // Linear Algebra Appl., 414 (2006) 607−616.

25. S. Amitsur, J. Levitzki, Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950) 449−463.

26. N. Bacaer, Models mathematiques pour l’optimisation des rotations, // Comptes Rendus de l’Academie d’Agriculture de France 89, 3, (2003) 52.

27. F. Baccelli, G. Cohen, G. Olsder, J. Quadrat, Synchronization and Linearity — an Algebra for Discrete Event Systems // Wiley, 1992.

28. J. K. Baksalary, J. Hauke, A further algebraic version of Cochran’s theorem and matrix partial orderings // Linear Algebra Appl., 127 (1990) 157−169.

29. J. K. Baksalary, J. Hauke, Partial orderings on matrices referring to singular values or eigenvalues // Linear Algebra Appl., 96 (1987) 17−26.

30. J.K. Baksalary, S.-K. Mitra, Left-star and right-star partial orderings // Linear Algebra Appl., 149 (1991) 73−89.

31. J. K. Baksalary, F. Pukelsheim, G. P. H. Styan, Some properties of matrix partial orderings // Linear Algebra Appl., 119 (1989) 57−85.

32. R. B. Bapat, S. K. Jain, L. E. Snyder, Nonnegative idempotent matrices and minus partial order // Linear Algebra Appl., 261 (1997) 143−154.

33. A.I. Barvinok, Combinatorial Optimization and Computations in the ring of Polynomials // DIMACS Technical Report 93−13, 1993.

34. L. B. Beasley, Linear operators which preserve pairs on which the rank is additive // J. Korean S. I. A. M., 2 (1998) 27−30.

35. L. B. Beasley, A. E. Guterman, Operators preserving primitivity for matrix pairs // Matrix Methods: Theory, Algorithms, Applications, Word Scientific Publishing (2008) 2−20.

36. L. B. Beasley, A. E. Guterman, Rank inequalities over semirings // Journal of Korean Math. Soc., 42, 2, (2005) 223−241.

37. L. B. Beasley, A. E. Guterman, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Frobenius and Dieudonne theorems over semirings // Linear and Multilinear Algebra, 55, 1, (2007) 19−34.

38. L. B. Beasley, A. E. Guterman, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Linear preservers of zeros of matrix polynomials // Linear Algebra and its Appl., 401 (2005) 325−340.

39. L. B. Beasley, A. E. Guterman, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Linear transformations preserving the Grassmannian over Mn (Z+) // Linear Algebra and its Appl., 393 (2004) 39−46.

40. L. B. Beasley, A. E. Guterman, C. L. Neal, Linear preservers for Sylvester and Frobenius bounds on matrix rank, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 86, 1, (2006) 67−80.

41. L. B. Beasley, A. E. Guterman, S.-C. Yi, Linear preservers of extremes of rank inequalities over semirings: term rank and zero-term rank // J. of Math. Sciences, 137, 6, (2006) 5179−5191.

42. L. B. Beasley, A. E. Guterman, Linear preservers of extremes of rank inequalities over semirings: The factor rank // Journal of Mathematical Sciences (New-York) 131, 5, (2005) 5919−5938.

43. L. B. Beasley, A. E. Guterman, Y.-B. Jun, S.-Z. Song, Linear preservers of extremes of rank inequalities over semirings: row and column ranks // Linear Algebra Appl. 413 (2006) 495−509.

44. L. B. Beasley, A. E. Guterman, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Linear preservers of zeros of matrix polynomials // Linear Algebra Appl., 401 (2005) 325−340.

45. L. B. Beasley, S. J. Kirkland, A note on k-primitive directed graphs // Linear Algebra and its Appl., 373 (2003)67−74.

46. L. B. Beasley, T. L. Laffey, Linear operators on matrices: The invariance of rank-k matrices // Linear Algebra and Appl., 133(1990), 175−184.

47. L. B. Beasley, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Linear operators that preserve pairs of matrices which satisfy extreme rank properties // Linear Algebra and Appl., 350(2002), 263−272.

48. L. B. Beasley, S. J. Kirkland, B. L. Shader, Rank Comparisons // Linear Algebra Appl. 221 (1995) 171−188.

49. L. B. Beasley, C.-K. Li, S. Pierce, Miscellaneous preserver problems // Linear Mult. Algebra 33 (1992) 109−119.

50. L. B. Beasley, N. J. Pullman, Linear operators that preserve term rank 1 // Proc. Royal Irish Academy. 91 (1990) 71−78.

51. L. B. Beasley, N. J. Pullman, Semiring rank versus column rank // Linear Algebra Appl. 101 (1988) 33−48.

52. L.B. Beasley, N.J. Pullman, Linear operators that strongly preserve commuting pairs of Boolean matrices // Linear Algebra Appl., 132, 1990, 137−143.

53. L. B. Beasley, N. J. Pullman, Linear operators strongly preserving idempotent matrices over semirings // Linear Algebra Appl. 160 (1992) 217−229.

54. L. B. Beasley, N. J. Pullman, Linear operators preserving idempotent matrices over fields // Linear Algebra Appl., 146 (1991), 7−20.

55. L. B. Beasley, N. J. Pullman, Term rank, permanent, and rook polynomial preservers // Linear Algebra Appl. 90 (1987) 33−46.

56. L.B. Beasley, S.-Z. Song, Linear operators that preserve commuting pairs of nonnegative real matrices // Linear and Multilinear Algebra, 51, 2003, P. 279−283.

57. K. I. Beidar, Y. Fong, On additive isomorphisms 011 prime rings preserving polynomials //J. Algebra, 217 (1999), 650−667.

58. K. I. Beidar, Y.-F. Lin, On surjective linear maps preserving commutativity // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 134 (2004), 1023−1040.

59. A. Ben-Israel, T. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications // New York: Holm Wiley and Sons, 1974.

60. R. Bhatia, P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation AX—XB = y. // Bull. London Math. Soc., 29 (1997), 1−21.

61. J. Borcea, P. Branden, Lee-Yang theory and linear operators preserving stability // preprint (2008).

62. J. Borcea, P. Branden, B. Shapiro, Classification of hyperbolicity and stability preservers: the multivariate Weyl algebra case // arXiv: math. CA/606 360.

63. J. Borcea, P. Branden, B. Shapiro, Polya-Schur master theorems for circular domains and their boundaries //to appear in Annals of Mathematics, arX-iv:math.CV/607 416.

64. P. Botta, Linear maps that preserve singular and nonsingular matrices // Linear Algebra and Appl., 20(1978), 45−49.

65. P. Botta, S. Pierce, W. Watkins, Linear transformations that preserve the nilpotent matrices // Pacific J. Math., 104 (1983), 39−46.

66. N. Bourbaki, Elements de Mathematique, Livre II: Algebre, chapitre iv-v. Actualites Scientifiques et Industrielles nos. 1102, Hermann & Editeurs, Paris, 1950.

67. A. Brauer, I. C. Gentry, On the characteristic roots of tournament matrices // Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968) 1133−1135.

68. M. Bresar, Commuting traces of biadditive mappings, commutativity-preserving mappings and Lie mappings. // Trans. Amer. Math. Soc., 335, 2, (1993), 525−546.

69. M. Bresar, P. Semrl, Linear transformations preserving potent matrices // Proc. Amer. Math. Soc., 119, 1, (1993), 81−86.

70. M. Bresar, P. Semrl, Mappings which preserve idempotents, local automorphisms, and local derivations // Can. J. Math., 45, 3, (1993), 483−496.

71. M. Bresar, P. Semrl, On locally linearly dependent operators and derivations // Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), 1257−1275.

72. W.C. Brown, Matrices Over Commutative Rings // Marcel Dekker inc., New York, 1993.

73. R. Brualdi, H. Ryser, Combinatorial Matrix Theory // Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

74. R. E. Burkard, P. Butkovic, Max algebra and the linear assignment problem // Math. Program. Ser. B 98 (2003) 415−429.

75. P. Butkovic, Max-algebra: the linear algebra of combinatorics? // Linear Algebra Appl. 367 (2003) 315−335.

76. D. deCaen, D. Gregory, N. Pullman, The Boolean rank of zero one matrices, Proc. Third Caribbean Conf. on Combinatorics and Computing // Barbados, (1981) 169−173.

77. A. Caley, On certain results related to quaternions // Phil. Mag. 26 (1845), 141 145.

78. P. Cartier, D. Foata, Problems combinatorics de communication et rearrangements // Springer Lecture Notes. 85 (1969).

79. R. Chaudhuri, A. Mukherjea. Idempotent Boolean matrices // Semigroup Forum, 21(1980), 273−282.

80. J.-T. Chan, C.-K. Li, N.-S. Sze, Mappings on matrices: Invariance of functional values of matrix products //J. Australian Math. Soc., 81(2006), 165−184.

81. G. H. Chan, M. H. Lim, K. K. Tan, Linear preservers on matrices //Linear Algebra Appl., 93 (1980), 167−176.

82. M. A. Chebotar, Y. Fong, P.-H. Lee, On maps preserving zeros of the polynomial xy yx*. // Linear Algebra Appl., 408 (2005), 230−243.

83. M. A. Chebotar, W.-F. Ke, P.-H. Lee, On maps preserving square-zero matrices //J. Algebra, 289 (2005), 421−445.

84. W.- L. Chooi, M.-H. Lim, Additive preservers of rank-additivity on matrix spaces // Linear Algebra Appl. 402 (2005), 291−302.

85. J. Chuai, Y. Tian, Rank equalities and inequalities for Kronecker products of matrices with applications // Applied Mathematics and Computation, 150 (2004), 129−137.

86. G. Cohen, D. Dubois, J.-P. Quadrat, M. Viot, A linear system theoretic view of discrete event process and its use for performance evaluation in manufacturing // IEEE Trans, of Automatic Control, AC-30 (1985) 210−220.

87. J. E. Cohen, U. G. Rothblum, Nonnegative ranks, decompositions, and factorizations of nonnegative matrices // Linear Algebra Appl. 190 (1993) 149−168.

88. J. H. Conway, Regular Algebra and Finite Machines // Chapman and Hall, London, 1971.

89. W. G. Cochran, The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance // Proc. Cambridge Philos. Soc., 30 (1934) 178−191.

90. T. Craven, G. Csordas, Problems and theorems in the theory of multiplier sequences // Serdica Math. J. 22 (1996), 515−524.

91. T. Craven, G. Csordas, Complex zero decreasing sequences // Methods Appl. Anal. 2 (1995), 420−441.

92. R. A. Cuninghame-Green, Minimax Algebra // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 166, Springer-Verlag, Berlin, 1979.

93. R. A. Cuninghame-Green, P. Butkovic, Bases in max-algebra // Linear Algebra Appl. 389 (2004) 107−120.

94. R. E. Curto, The spectra of elementary operators // Indiana Univ. Math. J., 32 (1983), 193−197.

95. R. Dedekind, Gesammelte Mathematische Werke. II // Chelsea, New York, 1969.

96. R. Dedekind, Uber die Theorie der ganzen algebraiscen Zahlen, Supplement XI to P. G. Lejeune Dirichlet: Vorlesung uber Zahlentheorie 4 Aufl., Druck und Verlag, Braunschweig, 1894.

97. M. Develin, B. Sturmfels, Tropical convexity // Documenta Math. 9 (2004) 1−27.

98. M. Develin, F. Santos, B. Sturmfels, On the rank of a tropical matrix //In Discrete and Computational Geometry (E. Goodman, J. Pach and E. Welzl, eds.), MSRI Publications, Cambridge Univ. Press, 2005.

99. J. Dieudonne, Sur une generalisation du groupe orthogonal a quatre variables // Arch. Math. 1 (1949), 282−287.

100. J. Dieudonne, Les determinants sur un corps non commutatif // Bull. Soc. Math. Fr. 71 (1943), 27−45.

101. D. Z. Djokovic, Linear transformations of tensor product preserving a fixed rank // Pacific J. Math. 30 (1969), 411−414.

102. M. P. Drazin, Natural structures on semigroups with involution // Bull. Amer. Math. Soc. 84, 1, (1978), 139−141.

103. V. Drensky, Ed. Formanek, Polynomial Identity Rings // Basel Boston — Berlin: Birkhauser Verlag. 2004. 201 pp.

104. F. Dyson, Quaternion determinants // Helv. Phys. Acta. 45 (1972) 289−302.

105. R. Ehrenborg, The Hankel determinant of exponential polynomials // Amer. Math. Monthly 107, 6, (2000), 557−560.

106. S. Eilenberg, Automata, Languages, and Machines //A Academic Press, New York, 1974.

107. M. H. Englefield, The commuting inverses of a square matrix // Proc. Cambridge Philos. Soc. 62 (1966) 667−671.

108. I. Erdelyi, On the matrix equation Ax = XBx, J. Math. Anal. Appl. 17 (1967) 117−132.

109. P. Flor, On groups of nonnegative matrices // Compositio Math., 21 (1969), 376−382.

110. E. Formanek, D. Sibley, The group determinant determines the group // Proc. Amer. Math. Soc. 112 (1991), 649−656.

111. E. Fornasini, A 2D systems approach to river pollution modelling // Multidimensional System Signal Process 2 (1991) 233−265.

112. E. Fornasini, M. E. Valcher, Primitivity of positive matrix pairs: algebraic characterization graph theoretic description and 2D systems interpretation, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 19 (1998) 71−88.

113. A. Fosner, Nonlinear commutativity preserving maps on .Mn® // Linear Multilinear Algebra, 53, 5, (2005) 323−344.

114. A. Fosner, P. Semrl, Additive maps on matrix algebras preserving invertibility or singularity // Acta Math. Sinica (Engl. Ser.), 21, no. 4, (2005) 681−684.

115. S. Gaubert, P. Butkovic, Sign-nonsingular matrices and matrices with unbalanced determinant in symmetrised semirings, Linear Algebra Appl. 301 (1999) 195−201.

116. S. Ghosh, Matrices over semirings, Inform. Sci. 90 (1996) 221−230.

117. K. Glazek, A guide to the literature on semirings and their applications in mathematics and information sciences, Kluwer Academic Publishers, 2002.

118. J.S. Golan, Semirings and their applications, updated and expanded version of the theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science, Kluwcr Academic Publishers, Dordrecht, 1999.

119. J.S. Golan, Semirings and affine equations over them: Theory and applications, Mathematics and its Applications, Vol. 556, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.

120. G. H. Golub, C. F. Van Loan, Matrix Computations, Baltimore, London: The John Hopkins University Press, 1989.

121. M. Gondran, M. Minoux, Graphs and Algorithms, Wiley-Interscience, New York, 1984.

122. M. Gondran, M. Minoux, Linear algebra in diods: a survey of recent results, Ann. Discrete Math. 19 (1984) 147−164.

123. J. Gro?, A Note on Rank-Subtractivity Ordering // Linear Algebra Appl. 289 (1999) 151−160.

124. D. A. Gregory, N. J. Pullman, Semiring rank: Boolean rank and nonnegative rank factorization, J. Combin. Inform. System Sei. 8 (1983) 223−233.

125. D. Gregory, S. Kirkland, N. Pullman, Power convergent Boolean matrices, Linear Algebra Appl. 179(1993) 105−117.

126. L. C. Grove, Algebra. AP, New-York, 1980.

127. A. Guterman, Frobenius type theorems in the noncommutative case // Linear and Multilinear Algebra. 48, 4, (2001) 293−312.

128. A. Guterman, Linear preservers for Drazin star partial order // Comm. in Algebra, 29, 9, (2001) 3905−3917.

129. A. Guterman, Monotone matrix maps preserve non-maximal rank // Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker. 2003. P. 311−328.

130. A. Guterman, Linear preservers for matrix inequalities and partial orderings, Linear Algebra and Appl., 331 (2001), 75−87.

131. A. E. Guterman, A. V. Mikhalev, Frobenius Type Theorems // Proceedings of Workshop on General Algebra and Discrete Mathematics, 1998.—Germany, Potsdam: Shaker-Verlag Aachen, 1999, 102−112.

132. A. E. Guterman, Transformations preserving matrix invariants over semirings // Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics, Москва: Издательство НМУ, 1 (2007) 84−90.

133. A. Guterman, Singularity Preservers over Local Domains // Journal of Mathematical Sciences, 102, 6, (2000) 4591−4597.

134. A. Guterman, Rank and determinant functions for matrices over semirings, London Mathematical Society Lecture Notes, 347 (2007) 1−33.

135. A. E. Guterman, C.-K. Li, P. Semrl, Some general techniques on linear preserver problems. Linear Algebra Appl., 315 (2000), 61−81.

136. A. E. Guterman, A. V. Mikhalev, On determinant preservers over noncommuta-tive Principal Ideal Domains // Lie Algebras, Rings, and Related Topics.—Hong Kong: Springer-Verlag, 2000, 49−60.

137. B. Hartley, T. O. Hawkes, Rings, Modules, and Linear Algebra. Chapman and Hall Ltd., London, 1970.

138. R. E. Hartwig, S. K. Mitra. Partial orders based on outer inverses // Linear Algebra Appl. 1982. V. 176. P. 3−20.

139. R. E. Hartwig, How to partially order regular elements, Math. Japonica, 25(1980), no. 1, 1−13.

140. J. Hauke, A. Markiewicz, T. Szulc, Interand Extrapolatory properties of matrix Partial Orderings // Linear Algebra Appl. 2001. V. 332−334. P. 437−445.

141. U. Hebisch, H.J. Weinert, Semirings: Algebraic theory and applications in computer science, Series in Algebra, Vol. V, World Scientific, 1998.

142. L. Henry, Nuptiality, Theoret. Population Biol. 3 (1972) 135−152.

143. R. A. Horn, C. R. Johnson," Matrix Analysis", Cambridge University Press, New York.

144. J. Hou, S. Hou, Linear maps on operator algebras that preserve elements annihilated by a polynomial. Proc. of the American Math. Soc., 130, 8, (2002) 2383−2395.

145. J. Hou, L. Zhao, Zero-product preserving additive maps on symmetric operator spaces and self-adjoint operator spaces. Linear Algebra Appl., 399 (2005), 235 244.

146. R. Howard, Linear maps that preserve matrices annihilated by a polynomial. Linear Algebra Appl., 30 (1980), 167−176.

147. S.-G Huang, S.-Z. Song, Spanning column ranks and there preservers of nonnegative matrices, Linear Algebra Appl., 254 (1997) 485−495.

148. L.K. Hua, Selected Papers, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag. Ed.: Halberstam H., 1983.

149. L.K. Hua, A theorem on matrices over sfield and its applications, J. Chinese Math. Soc. (N.S) 1 (1951) 110−163.

150. A. Hurwitz, Uber definite Polynome, Math. Ann. 73 (1913), 173−176.

151. L. Iliev, Laguerre entire functions. 2nd ed., Publ. House of the Bulgarian Acad. Sei., Sofia, 1987, 188 pp.

152. S. N. Il’in, Invertible matrices over non-associative rings, Universal Algebra and its Applications, Volgograd, Peremena, 2000, 81−89 in Russian].

153. Z. Izhakian, The tropical rank of a tropical matrix, arXiv: math. AC/604 208.

154. K. W. Johnson, Latin square determinants II // Discrete Mathematics, 105 (1992), 111−130.

155. I. Kaplansky, Algebraic and analytic aspects of operator algebras, American Mathematical Society, Providence 1970.

156. S. Karlin, Total positivity. Vol. I. Stanford University Press, Stanford, Calif 1968 xii+576 pp.

157. K. H. Kim, Boolean Matrix Theory and Applications, Pure and Applied Mathematics, V.70, Marcel Dekker, New York, 1982.

158. K. H. Kim, F. W. Roush, Kapranov rank vs. tropical rank, arXiv: math.CO/503 044 v2.

159. K. H. Kim, Boolean Matrix Theory and Applications, Pure and Applied Mathematics, V.70, Marcel Dekker, New York, 1982.

160. V. N. Kolokoltsov, V. P. Maslov, Idempotent Analysis and its Applications, Mathematics and its Applications, V. 401, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.

161. M. D. Kostova, Uber die A-Folgen (German) On A-sequences], C. R. Acad. Bulgare Sei. 36 (1983), 23−25.

162. B. Kuzma, Additive mappings decreasing rank one // Linear Algebra Appl. 2002. V. 348. P. 175−187.

163. J. Kuntzmann, Theorie des reseaux (graphes), Dunod, Paris, 1972.

164. Linear and Multilinear Algebra, 48 (2001) 1−178.

165. J. Lambek, Lectures on Rings and Modules, Second edition. Chelsea Publishing Co., New York, 1976.

166. P. Legisa, Automorphisms of Mn, partially ordered by rank subtractivity ordering // Linear Algebra Appl, 389 (2004) 147−158.

167. P. Legisa, Automorphisms of Mn, partially ordered by the star order // Linear and Mult. Algebra, 54, 3, (2006) 157−188.

168. C.-K. Li, S. Pierce, Linear operators preserving similarity classes and related results. Can. Math. Bull., 37, 3, (1994) 374−383.

169. C.-K. Li, S. Pierce, Linear preserver problems, Amer. Math. Monthly 108, 7, (2001) 591−605.

170. C.-K. Li, N.-K. Tsing, Linear preserver problems: a brief introduction and some special techniques. Directions in matrix theory (Auburn, AL, 1990). Linear Algebra Appl. 162/164 (1992) 217−235.

171. J. S. Lomont, J. Brillhart, Elliptic polynomials. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001, xxiv+289 pp.

172. G. Lumer, M. Rosenblum, Linear operator equations. Proc. Amer. Math. Soc., 10 (1959) 32−41.

173. M. Marcus, I. Filippenko, Invariance of the nonvanishing specializations of polynomials // Linear and Multilinear Algebra, 5 (1977) 99−105.

174. M. Marcus, F. May, On a theorem of I. Schur conserning matrix transformations // Archiv der Mathematik. 11 (1960) 27−30.

175. M. Marcus, R. Purves, Linear transformations on algebras of matrices II, the invariance of the elementary symmetric functions, Canad. J. Math., 11 (1959) 383−396.

176. G. Marsaglia, P. Styan, When does rk (A + B) = rk (A) + rk (B)?} Canad. Math. Bull., 15, 3, (1972) 451−452.

177. G. Marsaglia, P. Styan, Equalities and inequalities for ranks of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 2 (1974) 269−292.

178. J. S. Maybee, N. J. Pullman, Tournament matrices and their generalizations, I. Linear and Multilinear Algebra, 28 (1990) 57−70.

179. M. L. Mehta, Matrix Theory. Selected Topics and Useful Results.—Les Ulis: Les Editions de Physique, 1989.

180. G. Mikhalkin, Real algebraic curves, the moment map and amoebas, Ann. Math. 151, no.2 (2000) 309−326.

181. H. Mine, Permanents, Addison-Wesley, Reading, Mass, 1978.

182. S. K. Mitra, A new class of^-inverse of square matrices // Sankhya. Ser. A. 1963. V. 30. P. 323−330.

183. S. K. Mitra, On group inverses and the sharp order // Linear Algebra Appl. 1987. V. 92. P. 17−37.

184. S. K. Mitra, Matrix partial orders through generalized inverses: Unified theory // Linear Algebra Appl. 148 (1991) 237−263.

185. S. K. Mitra, The minus partial order and the shorted matrix // Linear Algebra Appl. 1986. V. 83. P. 1−27.

186. L. Molnar, Selected Preserver Problems on Algebraic Structures of Linear Operators and on Function Spaces // Lecture Notes in Mathematics, Springer 1895 (2007), 230 pp.

187. T. S. Motzkin, Algebraic inequalities, in «Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base,» Ohio, 1965, pp. 199−203, Academic Press, New York.

188. T. S. Motzkin, 0. Taussky, Pairs of matrices with Property L // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 73. P. 108−114.

189. T. S. Motzkin, 0. Taussky, Pairs of matrices with Property L. II. // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V. 80. P. 387−401.

190. J. W. Moon, Topics in Tournaments, Holt, New York, 1968.

191. J. W. Moon, N. J. Pullman, On the powers of tournament matrices, J. Combin. Theory, 3:1−9(1967).

192. Ch. Moussy, Sur la caracterisation axiomatique minimale des determinants sur un domaine de Ore // Communications in Algebra. 23(13) (1995) 5003−5013.

193. K. Nambooripad, The natural partial order on a regular semigroup Proceedings of the Edinburgh Math. Soc. 23 (1980) 249−260.

194. D. Olesky, B. Shader, P. van den Driessche, Exponents of tuples of nonnegative matrices, Linear Algebra and its Appl., 356 (2002) 123−134.

195. M. Omladic, P. Semrl, Preserving diagonalisability // Linear Algebra Appl. 1998. V. 285. P. 165−179.

196. M. Omladic and P. Semrl, Additive mappings preserving operators of rank one, Lin. Alg. Appl. 182 (1993) 239−256.198. 0. Ore Linear equations in non-commutative rings // Ann. Math. 32 (1931) 463 477.

197. P. G. Ovchinnikov Automorphisms of the poset of skew projections // J. of Functional Analysis. 115 (1993) 184−189.

198. F. B. Pakovich, Elliptic polynomials (Russian), Uspekhi Mat. Nauk. 50 (1995), 203−204- English translation in Russian Math. Surv. 50 (1995), 1292−1294.

199. T. Petek, A note on additive commutativity-preserving mappings. Publ. Math. Debrecen, 56 no. 1−2 (2000), 53−61.

200. S. Pierce and others. A Survey of Linear Preserver Problems // Linear and Multilinear Algebra. 1992. V. 33 P. 1−129.

201. J. de Pillis, Linear transformations which preserve Hermitian and positive semidefinite operators // Pacific J. Math. 1967. V. 23. P. 129−137.

202. V. P. Platonov, D. Z. Dokovic, Linear preserver problems and algebraic groups. Math. Ann., 303 (1995), 165−184.

203. G. Polya, I. Schur, Uber zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen, J. Reine Angew. Math. 144 (1914), 89−113.

204. P. L. Poplin, R. E. Hartwig, Determinantal identities over commutative semirings, Linear Algebra Appl. 387 (2004) 99−132.

205. A. Prestel, C. N. Delzell, Positive polynomials. From Hilbert’s 17th problem to real algebra. Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2001, viii+267 pp.

206. O. A. Pshenitsyna, Factor and term ranks of matrix union over semirings, Fundamental and Applied Mathematics, 9, no. 3, (2003) 175−197.

207. P. S. S. N. V. P. Rao, K. P. S. B. Rao, On generalized inverses of Boolean matrices, Linear Algebra Appl, 11(1975), 135−153.

208. C. R. Rao, S. K. Mitra Generalized Inverse of Matrices and its Applications // New York: Wiley. 1971.

209. R. Remak, Bemerkung zu Herrn Stridsbergs Beweis des Waringschen Theorems, Math. Ann. 72 (1912), 153−156.

210. C. Reutenauer, H. Straubing, Inversion of matrices over a commutative semiring, J. Algebra 88 (1984) 350−360.

211. P. Robert, On the group-inverse of a linear transformation // Journal of Math. Anal, and Appl. 22 (1968) 658−669.

212. D. Rosenblatt, On the graphs of finite idempotent Boolean relation matrices, J. Res. Nat. Bureau of Standards, 67B (1963), 249−256.

213. J. Rosenberg Algebraic A" -Theory and its Applications.—New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, Hong-Kong, Barcelona, Budapest: SpringerVerlag, 1994.

214. L. H. Rowen Ring Theory.—London: Academic Press Inc., 1988.

215. V. N. Sachkov, V. E. Tarakanov, Combinatorics of Nonnegative Matrices, Progress in Theoretic and Applied Mathematics, 2, Moscow, TVP, 2000.

216. B. Schein, A construction for idempotent binary relations, Proceedings of the Japan Academy, 46(1970), 246−247.

217. I. Schur, Einige Bemerkungen zur Determinantentheorie. Akad. Wiss. Berlin, S.-Ber. Preu?. (1925), 454−463.

218. P. Semrl Order-preserving maps on the poset of idempotent matrices // Acta Sei. Math. (Szeged). 69 (2003) 481−490.

219. Semrl P. Hua’s fundamental theorem of the geometry of matrices and order preserving maps on the posets of idempotent matrices and operators // J. of Algebra, 272 (2004) 801−837.

220. P. Semrl: Linear mappings that preserve operators annihilated by a polynomial. J. Oper. Theory, 36 (1996), 45−58.

221. P. Semrl: Non-linear commutativity preserving maps. Acta Sei. Math. (Szeged), 71 (2005), 781−819.

222. B. Shader, S. Suwilo, Exponents of non-negative matrix pairs, Linear Algebra and its Appl., 363 (2003) 275−293.

223. B. L. Shader, On tournament matrices, Linear Algebra Appl. 162 164 (1992) 335−368.

224. S. Z. Song and K. T. Kang, Types and enumeration of idempotent matrices, Far East J. Math. Sei. 3(2001), 1029−1042.

225. B. Sturmfels, Solving Systems of Polynomial Equations, CBMS Regional Conference Series in Mathematics Vol. 97, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 2002.

226. Y. Tian, Rank equalities related to outer inverses of matrices and applications, Linear and Multilinear Algebra, 49 (2002) 269−288.

227. Y. Tian, Upper and lower bounds for ranks of matrix expressions using generalized inverses, Linear Algebra Appl., 355 (2002) 187−214.

228. H.S. Vandiver, Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold, Bull. Amer. Math. Soc. 40 (1934) 914−920.

229. O. Viro, Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper, European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), Progr. Math. 201 Birkhauser, Basel (2001) 135−146.

230. W. Watkins: Linear maps that preserve commuting pairs of matrices // Linear Alg. Appl., 14 (1976), 29−35.

231. W. Watkins, Polynomial functions that preserve commuting pairs of matrices // Linear and Multilinear Algebra, 5 (1977), 87−90.

232. V. L. Watts, Boolean rank of Kronecker products // Linear Algebra Appl. 336 (2001) 261−264.

233. H. J. Werner, Generalized inversion and weak bi-complementarity // Linear and Multilinear Algebra, 19(1986), 357−372.

234. R. Westwick, Transformation on tensor spaces // Pacific J. Math., 14 (1967), 613−620.

235. D. V. Widder, The Laplace Transform // Princeton Math. Series Vol 6, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1941, x+406 pp.

236. H. Wielandt, Unzerlegbare, nicht negative Matrizen // Math. Z. 52 (1958) 642 645.

237. W. J. Wong, Rank 1 preserving maps on linear transformations over noncommu-tative local rings // J. Algebra, 113 (1988) 263−293.

238. W. J. Wong, Maps on simple algebras preserving zero products. I: The associative case. Pacific J. Math., 89 (1980), 229−247.

239. W. J. Wong, Maps on simple algebras preserving zero products. II: Lie algebras of linear type. Pacific J. Math., 92 no. 2 (1981), 469−487.

240. W. J. Wong, Maps on spaces of linear transformations over semisimple algebras //J. Algebra, 115 (1988) 386−400.

241. M. Yannakakis, Expressing combinatorial optimization problems by linear programs, Proceedings of the 20th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (1998) 223−228.

242. L. Zhao, J. Hou, Jordan zero-product preserving additive maps on operator algebras. J. Math. Anal. AppL, 314 (2006), 689−700.Публикации автора по теме диссертации.

243. A. Guterman, Linear preservers for matrix inequalities and partial orderings, Linear Algebra and Applications, 331 (2001) 75−87.

244. A. E. Guterman, Frobenius type theorems in the noncommutative case, Linear and Multilinear Algebra, 48, 4, (2001) 293−312.

245. A. Guterman, Linear preservers for Drazin partial order, Communications in Algebra, 29, 9, (2001) 3905−3917.

246. А. Э. Гутерман, Тождества матриц, близких к треугольным, Математический сборник, 192, 6, (2001) 3−15.

247. А. Э. Гутерман, Линейные отображения, сохраняющие определитель Дьедонне над произвольным телом, Успехи математических наук, 57, 4, (2002) 171−172.

248. А. Е. Guterman, Monotone matrix maps preserve non-maximal rank, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 235 (2003) 311−328.

249. А. Э. Гутерман, А. В. Михалев, Общая алгебра и линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты, Фундаментальная и прикладная математика, 9, 1, (2003) 83−101.

250. А. А. Алиева, А. Э. Гутерман, Линейные отображения, сохраняющие коммутативность ранга, Вестник Московского университета, Сер. 1, математика, механика, 6 (2003) 11−17.

251. А. Э. Гутерман, Преобразования неотрицательных целочисленных матриц, сохраняющие определитель, Успехи математических наук, 58, б, (2003) 147−148.

252. Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, LP-проблемы дляранговых неравенств над полукольцами: факторизационный ранг, Современная математика и приложения. Алгебра, 13 (2004) 53−70.

253. A. A. Alieva, А. Е. Guterman, Linear preservers of rank permutability, Linear Algebra and its Applications, 384 (2004) 97−108.

254. L. B. Beasley, A. E. Guterman, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Linear transformations preserving the Grassmannian over Mn (Z+), 1. near Algebra and its Applications, 393 (2004) 39−46.

255. JI. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи, LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги, Фундаментальная и прикладная математика, 10, 2, (2004) 3−21.

256. А. А. Алиева, А. Э. Гутерман, Перестановочность рангаи аддитивные операторы, сохраняющие некоторые условия на ранг произведения, Фундаментальная и прикладная математика, 10, 4, (2004) 3−14.

257. О. А. Вайсман, А. Э. Гутерман, Факторизационный ранг для неотрицательных матриц, Чебышевский сборник, 6, 4, (2005) 64−67.

258. L. В. Beasley, А. Е. Guterman, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Linear preservers of zeros of matrix polynomials, 1. near Algebra and its Applications, 401 (2005) 325−340.

259. L. B. Beasley, A. E. Guterman, Rank inequalities over semirings, Journal of Korean Mathematical Society, 42, 2, (2005) 223−241.

260. A. A. Alieva, A. E. Guterman, Monotone linear transformations on matrices are invertible, Communications in Algebra, 33 (2005) 3335−3352.

261. L. B. Beasley, A. E. Guterman, Y.-B. Jun, S.-Z. Song, Linear preservers of extremes of rank inequalities over semirings: the row and column ranks, 1. near Algebra and its Applications, 413 (2006) 495−509.

262. A. A. Alieva, A. E. Guterman, B. Kuzma, Rank-permutable additive mappings, Linear Algebra and its Applications, 414 (2006) 607−616.

263. L. B. Beasley, A. E. Guterman, C. L. Neal, Linear preservers for Sylvester and Frobenius bounds on matrix rank, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 86, 1, (2006) 67−80.

264. Л.-Б. Бисли, А. Э. Гутерман, K-T. Канг, С.-З. Сонг, Идемпотентные матрицы и мажорирование, Фундаментальная и прикладная математика, 13, 1, (2007) 11−29.

265. А. Е. Guterman, Transformations preserving matrix invariants over semirings, Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics, Москва: Издательство НМУ, 1 (2007) 84−90.

266. L. В. Beasley, A. E. Guterman, S.-G. Lee, S.-Z. Song, Frobenius and Dieudonne theorems over semirings, 1. near and Multilinear Algebra, 55, 1, (2007) 19−34.

267. И. И. Богданов, А. Э. Гутерман, Монотонные отображения матриц, заданные групповой обратной, и одновременная диагонализуемость, Математический сборник, 198, 1, (2007) 3−20.

268. А. Э. Гутерман, Монотонные аддитивные отображения матриц, Математические заметки, 81, 5, (2007) 681−692.

269. А. Е. Guterman, Rank and determinant functions for matrices over semirings, London Mathematical Society Lecture Notes, 347 (2007) 1−33.

270. A. Guterman, B. Shapiro, On linear operators preserving the set of positive polynomials, Journal of Fixed Point Theory and Applications, 3, 2, (2008), 411−429.

271. L. B. Beasley, A. E. Guterman, Operators preserving primitivity for matrix pairs Matrix Methods: Theory, Algorithms, Applications, Word Scientific Publishing (2008) 2−20.

272. А. Гутерман, Б. Кузьма, Характеризация отображений, строго сохраняющих нули матричных многочленов, Успехи математических наук, 63, 5, (2008), 184−185.