Некоторые задачи теории пограничного слоя

Концепция и теория пограничного слоя была развита Людвигом Прандтлем и представлена в исторической работе [46] в 1904 году. К тому времени теория невязких течений уже достигла достаточного развития, чтобы позволить расчет распределения давления на аеродинамическом профиле. Однако эта теория имела несколько существенных недостатков: отсутствие сопротивления и предсказание подъемной силы только при постулировании циркуляции, то есть не говоря ничего о ее происхождении. Эти проблемы были устранены теорией пограничного слоя Прандтля, согласно которой решение для невязкого внешнего течения и решение для пограничного слоя определяются независимо и сращиваются. Первое решение приводит к распределению давления и подъемной силе, в то время как решение в пограничном слое дает распределение трения.

Теория пограничного слоя Прандтля имела и имеет значительный эффект на развитие аерогидродинамики, а также привела к созданию математического аппарата — метода снгулярных возмущений и метода сращиваемых асимптотических разложений, связанных в частности с именами Каплун [27], Лагерстром [27], Ван Дайк [55].

Фундаментальным свойством теории пограничного слоя Прандтля является образование сингулярности в точке обнуления трения, что не позволяет продолжить решение за эту точку [16]. Однако независимое развитие идеи взаимодействия пограничного слоя и внешнего течения Стюартсоном [51], Нейландом [40] и Месситером [38] привело к созданию multi-deck теории, позволяющей продолжить решение за сингулярность Гольдштейна.

Несмотря на вышеупомянутый успех асимптотического подхода в теории пограничного слоя, математическое обоснование далеко от своего завершения. Например,.

• Насколько оправдано рассмотрение пограничного слоя как ламинарной структуры, если приближение пограничного слоя справедливо при Re — оо?

• Что раньше возникает в пограничном слое: неустойчивость или сингулярность?

Ввиду того, что сегодня являются широко доступными компьютерные коды для расчета полных уравнений Навье-Стокса, естественным является вопрос о целесообразности дальнейшего развития теории пограничного слоя:

• Структура пограничного слоя есть не просто математическая концепция, но эффективное описание физической сути явления.

• Определяющая система уравнений, будучи значительно проще уравнений Навье-Стокса, не зависит от числа Рейнольдса, поэтому достаточен только один расчет.

Несмотря на успех данной теории, уравнения пограничного слоя оставляют много нерешенных фундаментальных задач, как.

• точные решения различных краевых задач;

• существование и устойчивость решений при большом уровне внешних возмущений;

• корректная формулировка краевых нестационарных задач, что например связано с определением зон зависимости и влияния.

Можно существенно расширить круг проблем, но мы ограничили наше внимание только вышеперечисленными.

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

4.1 Автомодельность и анализ уравнений математической физики.

Понятие законов сохранения, здесь используемое, ассоциируется с уравнениями, описывающими физическое явление, но не с самим явлением как таковым. По этой причине может случиться, что различные уравнения, описывающие ту же самую физическую ситуацию, имеют различные группы законов сохранения. Например, подходы Эйлера и Лагранжа к той же самой непрерывной среде могут приводить к различным множествам законов сохранения, поскольку переход от координат Эйлера к координатам Лагранжа является нелокальным преобразованием. Также еще раз необходимо отметить, что результаты § 3.1 были получены в рамках теории локальных законов сохранения. Однако, рассмотрение различных типов нелокальностей может, в принципе, породить новые сохраняющиеся токи согласно гипотезе [58, 59| о существовании полного набора нелокальных законов сохранения в достаточно малой окресности любой регулярной точки уравнений в частных производных. Мы можем дать следующее неформальное обоснование этого предложения. Рассмотрим эволюционную систему уравнений в частных производных Ш = L (x, U) U, xeCl.

Если область 17 конечна и нелинейных оператор L (x, U) не содержит сингулярностей, то можно применить метод Галеркина, сходимость которого была исследована Келдышем [31] и позднее другими авторами, ос и = ^2u"(t)ip"(x),.

71=1 что приводит к бесконечно-мерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений du.. чТ = F (u), и = {щ, и2,.) ¦

Рассмотрим обрубание этой системы, так что и принадлежит некоторому множеству U в га-мерном Евклидовом пространстве. Показано [6], что существует окресность регулярной точки и, такая что обрубленная система имеет т ~ 1 функционально независимых первых интегралов, которые называются локальными первыми интегралами. Вспоминая, что в случае ортогонального базиса v? n (x),.

U, <рп) ип (ч = 7.

4>п, <Рп) мы можем заключить о нелокальности соответствующих законов сохранения для исходного вектора решения U. Сходимость метода Галеркина позволяет взять предел га —оо. В этом случае множество законов сохранения счетно. Но в случае (полу)бесконечной области О, можно ожидать «непрерывный» и «дискретный» спектр законов сохранения.

В дополнение, следует упомянуть другой открытый вопрос о соответствии множества решений, полученных путем определения скрытых инвариантов, множеству решений ассоциированной задачи на собственные значения.

4.2 Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя.

Предметом исследования являлось периодическое течение в двумерном нестационарном пограничном слое в несжимаемой жидкости на полубесконечной пластине при большой амплитуде возмущения типа бегущей волны во внешнем потенциальном потоке. Решение определялось с помощью численного метода, аналогичного [22]. Исследованы общие свойства данного типа течений и, в частности, получен график устойчивости в плоскости.

С точки зрения классической теории гидродинамической устойчивости, найденные решения представляют собой основные состояния системы, инфинитезимальная устойчивость которых должна быть дополнительно исследована в зависимости от числа Рейнольдса — бифуркационного параметра, отсутствующего в постановке пограничного слоя Прандтля. В этом плане необходимым является применение теории Флоке подобно [9, 10].

4.з Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях.

Роль эффектов распространения возмущений может быть важной в задачах восприимчивости и устойчивости, в традиционном анализе которых указанные эффекты обычно не принимаются во внимание. Возмущения давления могут приводить к изменению характеристик исходного пограничного слоя. Полученные результаты показывают, что при численном моделировании гиперзвуковых течений вязкого газа важно правильно воспроизводить не только течение в основной части пограничного слоя, но и в дозвуковом подслое, в котором собственно и распространяются возмущения.

Проведенный анализ основан на раздельном анализе характеристик и субхарактеристик уравнений пограничного слоя и параболизованного Навье-Стокса. Анализ же истинных характеристик указанных уравнений крайне затруднен в силу существенной нелинейности последних, хотя в этом направлении делаются определенные попытки. Аналогичный анализ, в плане исследования распространения возмущений, проводится В. М. Тешуковым [53] в рамках приближения мелкой воды и т. д. Общими чертами обоих классов задач являются завихренность, наличие нелинейного конвективного оператора, приближение тонкого слоя и интегродифференциальный характер задач. Аналогом взаимодействия в случае длинных волн в баротропной жидкости является уравнение поперечного импульса ру = —р. Получаемое характеристическое условие имеет аналогичный комплекс в знаменателе под знаком интеграла (и — а)2, что подтверждает физическую аналогию рассматриваемых явлений.