Некоторые задачи теории упругости для тел с ромбоэдрической анизотропией

Цилиндрические тела широко используются в качестве элементов конструкций. В строительстве это стержни, балки, колонны, элементы ферм и каркасов высотных зданий. Стержни и рамы являются основными несущими элементами в конструкциях кораблей, самолетов, ракет. Они используются в качестве образцов при исследовании физико-механических свойств различных материалов. Цилиндрические тела также используются в качестве волноводов и резонаторов в современных устройствах и приборах [53], причем формулировка простых моделей деформирования цилиндрических тел основана на некоторых гипотезах и упрощенных подходах.

Модели стержней применяются также в наномеханике с целью изучения свойств нанотрубок и других нанообъектов, что позволяет моделировать различные устройства и интерпретировать механизмы деформирования на на-норазмерном уровне. В последние годы большое количество исследований связано с созданием и изучением наноразмерных трубок. Наряду с исследованием электронных и оптических свойств таких наноструктур важным оказывается изучение их механических свойств и исследование законов деформирования.

В настоящее время актуальна задача определения эффективных упругих характеристик объектов наноразмерного масштабного уровня. Многими исследователями отмечалось несоответствие между значениями модулей упругости, полученными из микрои макроэкспериментов, что требует дальнейшего изучения на основе решения некоторых модельных задач теории упругости.

Традиционные задачи теории стержней состоят в исследовании прочности, устойчивости, жесткости и несущей способности стержней и стержневых систем. Начиная с основополагающих работ Я. Бернулли и Л. Эйлера важную роль в решении этих задач играет математическое моделирование, которое включает в себя, во-первых, вывод основных уравнений с учетом физико-механических свойств материалов, из которых они изготовленыво-вторых, в развитии аналитических и численных методов решения для исследования их поведения (прочности, деформационных свойств и др.) при воздействии на них внешних механических усилий, температуры, электромагнитного поля.

Развитие теории стержней и стержневых систем исторически осуществлялось в двух направлениях.

Первое направление связано с введением гипотезы плоских сечений, в рамках которой задача об исследовании напряженно-деформированного состояния цилиндрического тела сводится к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобные модели называются одномерными, а способ их построения — методом гипотез. На этом пути в XIX веке Кирх-гоффом, Клебшем, Брессом осуществлено построение теории криволинейных стержней, уточненной теории изгиба для коротких стержней, позволяющей учесть влияние дополнительных факторов на напряженно-деформированное состояние [53] в таких элементах.

Примером уточненной теории может служить математическая модель балки, предложенная С. П. Тимошенко [46]. В рамках этой модели, уточняющей техническую теорию изгиба стержней, предполагается, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня: нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулюучитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений. Отметим также работы, выполненные в 70-х годах прошлого века [25]- [27]. Второе направление связано с развитием методов интегрирования уравнений теории упругости — системы уравнений в частных производных [21]. Первые исследования в этом направлении провели в XIX веке создатели теории упругостиКоши, Навье и Сен-Венан.

В 1855—1856 гг. были опубликованы работы Барре де Сен-Венана «Мемуар о кручении призм «и «Мемуар об изгибе призм» [44]. В этих работах Сен-Венан. основываясь на уравнениях теории упругости, дал общее решение поставленных ещё Галилеем и Кулоном проблем изгиба и кручения стержней. В мемуарах излагались три основных идеи: 1) создание полуобратного метода- 2) переход на торцах к интегральным граничным условиям и 3) установление принципа, носящего имя Сен-Венана.

Суть полуобратного метода состоит в том, что часть напряжений или перемещений задается, а оставшиеся напряжения и перемещения определяются из уравнений теории упругости. Этим достигается значительное облегчение решения задач, сводящихся в большинстве случаев в изотропном случае к хорошо изученным краевым задачам математической физики на поперечном сечении цилиндра.

Переход от точных граничных условий на торцах к заданию лишь главного вектора и главного момента распределенных там усилий был введен не только для упрощения постановки задачи, но и потому, что инженер, как правило, не знает точного распределения нагрузок, действующих на конструкцию [22, 44].

Формулировка принципа Сен-Венана наиболее четко дана Лявом [35]:

Если к небольшой части поверхности тела приложена система сил, приводящаяся по правилам статики к силе и паре, равным нулю, то деформации, производимые этой нагрузкой в точках, удаленных на расстояния, которые можно считать большими по сравнению с линейными размерами этой части поверхности, пренебрежимо малы." .

Такое изложение принято, например, в курсах теории упругости С. П. Тимошенко [45], П. Ф. Папковича [39], Н. И. Мусхел ишвили [37]. Однако, как отмечено в [83], в этом случае возможны ситуации кажущегося нарушения принципа Сен-Венана (например, для тонкостенных стержней двутаврового сечения). Ясно, что в уточненной формулировке принципа необходимо требовать, чтобы размер области загружения торца был малым по сравнению со всеми характерными размерами стержня [19].

Сен-Венан исследовал задачи о кручении и изгибе призмы, один торец которой жестко заделан, ко второму приложена некоторая система внешних усилий, а боковая поверхность свободна от напряжений. При этом он исходил из математической постановки задачи, в которой призма (стержень) рассматривалась как трехмерное упругое тело.

Поставленная задача оказалась весьма сложной для исследования и Сен-Венан, понимая это, предложил новый приближенный метод построения решения трехмерных задач теории упругости для призматических тел. который сам назвал полуобратным, согласно которому часть компонент тензора напряжений полагается равной нулю, а оставшиеся компоненты определяются из более простых двумерных краевых задач на сечении.

Опираясь на полуобратный метод и свой принцип, Сен-Венан затем исследовал задачу об изгибе призмы, один из торцов которой жестко заделан, а ко второму приложена нагрузка, эквивалентная поперечной силе и получил аналогичные результаты, т. е. сложную задачу для трехмерных уравнений теории упругости свел к решению двумерных задач для более простых уравнений. При этом не ограничился теоретическими результатами, а опираясь на построенные им решения, провел серию расчетов и дал ряд важных рекомендаций по определению жесткости стержней канонической формы.

Успех в применении полуобратного метода для исследования напряженно — деформированного состояния цилиндра во многом был предопределен тем. что напряжения на площадках, параллельных образующей, в решении Сен-Венана равны нулю. Это обусловлено относительной простотой формы тела.

Попытки применения полуобратного метода к телам более сложной формы оказались малоэффективными.

Работы Сен-Венана совместно с исследованиями Коши и Пуассона по теории пластин заложили основу одного из научных направлений в теории упругости, которое 60-х годах нашего столетия академиком И. И. Воровичем было названо как «Проблема предельного перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным и одномерным» .

Своими трудами Сен-Венан внес громадный вклад в развитие теории упругости и получил всеобщее признание среди специалистов.

Однако, каждое решение Сен-Венана хотя и удовлетворяет точно трехмерным уравнениям теории упругости, но. по сути, является приближенным, поскольку граничные условия на торцах удовлетворяются в интегральном смысле. В подходе Сен-Венана построение этих решений опирается на полуобратный метод, а невязка в граничных условиях компенсируется принципом Сен-Венана, согласно которому решение, соответствующее самоуравновешенной части нагрузки, локализуется у торцов стержня. Этот принцип наглядно иллюстрируется на частных задачах, для которых удается получить точное решение (например, в задаче о кручении стержня с круговым поперечным сечением [34]).

Принцип Сен-Венана привлекал внимание многих отечественных и зарубежных ученых. Его обоснованию посвящены работы [4, 49, 3, 59] и др. Работы [18, 19, 63, 71] посвящены формулированию и обоснованию динамического аналога принципа Сен-Венана. Работа [73] посвящена исследованию принципа Сен-Венана и концевых эффектов в анизотропной теории упругости.

В настоящее время существует несколько методов построения точного решения трёхмерных уравнений теории упругости для цилиндрических тел с произвольным поперечным сечением. Одним из таких методов является метод однородных решений. Он берет свое начало в работах Похгаммера [79] и Кри [66]. Этими учеными он был применен для изучения процесса распространения гармонических волн в бесконечном круговом цилиндре. Путем развития этого метода удалось, в частности, дать ответ и на те вопросы, которые оставались неясными после выхода работ Сен-Венана. В [15] дается современное изложение метода однородных решений для цилиндрических тел из произвольного анизотропного материала.

Впервые построение решений Сен-Венана для цилиндра с произвольным поперечным сечением на основе метода однородных решений было осуществлено в работе [28]. В ней было показано, что эти решения являются линейной комбинацией двенадцати элементарных решений, соответствующих двенадцатикратному нулевому собственному значению спектральной задачи на сечении, которая получается в результате разделения переменных. Ранее аналогичный подход был применен в [14]. В этих работах при исследовании трехмерной задачи для поперечно-неоднородной плиты было показано, что так называемые «бигармонические решения», с одной стороны, по своим интегральным свойствам являются аналогом решений Сен-Венана, а с другойэлементарными решениями, соответствующими кратным нулевым собственным значениям двух спектральных задач.

В большинстве работ, посвященных решению задач Сен-Венана для цилиндрических тел, рассматривались задачи для изотропных или ортотроп-ных цилиндрических тел [32, 53, 34]. Наиболее полным исследованием для анизотропного случая следует признать монографию С. Г. Лехницкого «Теория упругости анизотропного тела», где на основе использования обобщенных комплексных потенциалов изложена общая теория двумерных задач для анизотропных тел, приведены решения задач о растяжении, изгибе моментами и поперечными силами, кручении анизотропных (ортотропных) стержней, в частности с прямоугольным и эллиптическим сечениями, для анизотропных тел вращения. Отметим, что в этой монографии представлены решения для частных случаев анизотропии: ортотропный случай, трансверсально-изотропный, для которых решения представлены в виде простых формул. Кроме того, отметим монографию [42], где также решен ряд важных задач для анизотропных неоднородных тел. Гораздо меньше изучены задачи Сен-Венана для неоднородных или анизотропных цилиндрических тел при отсутствии плоскостей упругой симметрии [82]. Однако, соответствующие задачи Сен-Венана для материалов, обладающих другими видами анизотропии, также представляют определенный научный интерес, как, например, задачи кручения и изгиба для цилиндрических тел из неортотропных (ромбоэдрических) материалов, которые часто являются связанными и требуют специального исследования. В частности, таким типом анизотропии обладают углеродные нанотрубки.

Углеродные нанотрубки, интерес к которым сейчас очень сильно возрос в связи с многочисленными приложениями, состоят из одной или нескольких свернутых в трубку графитовых плоскостей и по своему молекулярному строению очень схожи с графитом. Монокристаллический графит обладает сильной анизотропией молекулярного строения, которая находит отражение в сильной анизотропии его макроскопических свойств.

По типу анизотропии структуры и свойств графит наиболее часто относится к гексагональному типу, который часто именуют также а-графитом. В природном графите наряду с такой основной гексагональной структурой порядка 30% составляет также /3-графит с несколько другой симметрией, относящейся к ромбоэдрической сингонии [43].

Элементарная ячейка в тригональной (или ромбоэдрической) сингонии имеет форму деформированного куба, который можно получить в резуль.

Ъу, г &bdquo-г.

Рис. 1: Элементарная ячейка в ромбоэдрической сингонии тате растяжения или сжатия куба вдоль его главной диагонали [1] (Рис. 1).

Типичные представители такой сингонии — кристаллы кварца (?402)•.

Исследования в области наиоразмерных стержней имеют своей целью в первую очередь нахождение эффективных жесткостей наноструктур и установление границ применения классической теории упругости на ианоуровие [16. 17, 20, 23, 24, 29, 30, 33, 36, 69, 77. 80, 85, 86].

В работе [23] была сделана попытка разработать теоретическую основу экспериментального определения параметров жесткости нанообъектов. Отметим, что один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей, используемых в макромехаиике, основан на измерении собственных частот исследуемого объекта. В работе обсуждаются различные аспекты использования этого метода применительно к нанообъектам. Предлагается метод экспериментального определения параметров жесткости, основанный на явлении динамического гашения колебаний (антирезонанса).

В работе [24] на примере дискретной модели монокристалла разработана методика определения изгибной жесткости наиоразмерных структур с учетом моментного взаимодействия на паноуровне. Получены поправки, связанные с учетом моментного взаимодействия и позволяющие описать механические свойства однослойных наноструктур.

Отмечая несоответствие между значениями основных механических характеристик, полученных из микрои макроэкспериментов, авторы статьи [33] объясняют это несоответствие противоречием между очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания, принятого в классической механике деформируемого твердого тела. В этой работе для нанопластины и нанобруса определяются значения модулей упругостикоэффициентов Пуассона и модулей Юнга в трех направлениях и исследуется зависимость этих значений от размеров нанообъекта.

В статье [16] принимается концепция, согласно которой утверждается, что регулярность атомной структуры нанотрубок даёт возможность заменить систему атомов эквивалентной моделью упругих изотропных стержней.

В [30] методами молекулярной динамики было установлено, что масштабные факторы вносят существенный вклад в значения упругих характеристик нанокристалла, но это не означает, что классическая теория упругости неприменима на наноуровне. Она должна использоваться с учетом масштабных эффектов, а адекватность континуального подхода следует оценивать при рассмотрении конкретных задач.

В статье [85] изучается влияние надмолекулярных взаимодействий на механические процессы в наночастицах и нанотрубках, на возникновение в них деформаций изгиба, кручения. В силу особенностей строения нанотрубок супрамолекулярные взаимодействия в них оказываются значительными по сравнению с большинством молекулярных структур. Обсуждаются общие аспекты и проблемы супрамолекулярной механики, в том числе приводится краткий обзор механических свойств нанотрубок, особое внимание уделено обсуждению способов определения параметров в рамках линейной теории упругости. Обсуждение теоретических исследований дополняет краткое описание экспериментальных результатов для всего спектра амплитуд деформаций.

В диссертации [69] предложено эквивалентное ортотропное представление механических свойств многослойных углеродных нанотрубок для моделирования анизотропного механического поведения этих трубок при различных типах деформации. Также представлены разработки аналитических моделей микромеханического контакта и деформации углеродных нанотрубок. Модель была исследована на основе метода конечного элементапроведено исследование задач о чистом изгибе, осевом сжатии и изгибе поперечными силами.

Работа [76] посвящена рассмотрению трех различных подходов к решению задач Сен-Венана в «слабой» постановке: в терминах смещений, в терминах напряжений и в терминах смещений-напряжений (смешанный подход). Различные типы задач приводят к формулировке двумерных краевых задач Неймана и Дирихле. Аналитически исследованы задачи для упругих цилиндров, поперечные сечения которых ограничены кусочно-гладкими кривыми.

В работе [67] для изучения деформаций призматического тела, изготовленного из пористого линейно-упругого изотропного материала, используется полуобратный метод. На торцах тела приложены самоуравновешенные силы. Как и в классической теории, задача сводится к решению плоских задач для эллиптических операторов. Авторами показано, что гипотезы Клебша-Сен-Венана и Фойхта для данной задачи не справедливы. Полуобратный метод применен и авторами работы [70] для исследования задачи Сен-Венана для цилиндров из пористых, но уже неоднородных анизотропных упругих материалов. Решения описаны в терминах пяти обобщенных плоских задач. Представлены результаты по применению такого подхода в задачах раздувания, изгиба и кручения правильных круговых цилиндров в случае изотропных материалов.

В статье [65] предлагается использование новых конечных элементов при расчете напряжений в задаче кручения и сдвига для стержней из анизотропных материалов. С использованием этого элемента представлены матрицы жесткости и векторы нагрузки.

В [75] изучены задачи Сен-Венана для однородных изотропных двухслойных эллиптических трубок и для изотропной эллиптической трубки с анизотропным стержнем. Для построения решения рассматриваемых задач использовались полиномы Фабера.

Работа [72] продолжает начатое в [48] и [55] исследование и имеет своей целью привлечь внимание к тому факту, что обычное применение принципа Сен-Венана в решении задач теории упругости для структур типа многослойного материала не оправдано. Это проиллюстрировано задачей об упругом равновесии многослойной полосы, составленной из двух различных изотропных материалов. Оценка расхождения результатов представлена в терминах комплексного собственного значения соответствующей спектральной задачи. Для случая многослойного пакета с относительно мягким заполнителем характерная область расхождения намного больше, чем для однородной изотропной полосы. Результаты аналогичны полученным ранее авторами для сильно анизотропных и композитных материалов.

Проведенный анализ литературы по теме диссертационного исследования свидетельствует о том, что изучение задач о кручении и изгибе анизотропных стержней различного поперечного сечения и для различных типов анизотропии представляет собой актуальную проблему теории упругости.

Цель диссертационной работы состоит в построении решений задач анизотропной теории упругости для цилиндрических тел, в исследовании задач Сен-Венана о растяжении, кручении и изгибе цилиндрических тел, а также задач о винтовой дислокации и дисклинации для цилиндра с прямолинейной, криволинейной и винтовой анизотропией из материала с ромбоэдрической анизотропией, имеющих существенное значение для развития анизотропной теории упругости. При этом важное значение имеет способ упрощения пространственной задачи теории упругости и сведение ее к набору плоских задач, исследование их разрешимости, построение аналитических и численных решений, исследование зависимости смещений, жесткостей от механических и геометрических параметров задач.

Задачи на сечении для тел с ромбоэдрической анизотропией решались как аналитически, так и численно, с помощью метода прогонки в пакете Мар1е, с помощью метода конечных элементов в пакете Р1ехРБЕ. Проведено сравнение результатов, полученных различными способами, обсуждены некоторые вопросы численной реализации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1.на основе метода однородных решений исследованы задачи Сен-Венана (растяжения-сжатия, кручения и чистого и обобщенного изгиба) для призматических тел с ромбоэдрической анизотропией:

2.даны вариационные постановки задач изгиба и кручения;

3.численно и аналитически построено решение задач Сен-Венана (обобщенные кручение и изгиб) для конкретных поперечных сечений (эллипс, прямоугольник, изучена структура поля напряжений:

4.решены задачи кручения-растяжения для цилиндра из материала с цилиндрической ромбоэдрической анизотропией для сечения в виде кольца, исследованы жесткости в зависимости от крутки;

5.для полого цилиндра решены задачи о дислокации и дисклинации для цилиндра с винтовой анизотропией. 1.

Заключение

.