Некоторые задачи устойчивости неоднородных неортотропных пластин и полос с учетом поперечных сдвигов

В различных областях современной техники, особенно в машиностроении, авиастроении, ракетостроении, судостроении и в строительном деле, в качестве основных элементов конструкций широко применяются анизотропные неоднородные пластинки и полосы.

В настоящее время в технике наряду с натуральной древесиной все более широкое применение находят различные конструктивно анизотропные материалы, в частности стеклопластики[13,26, 31,48,52 J, а также применяются неоднородные материалы, упругие характеристики которых меняются от точки к точке [ 33,38,40,60, 68] .

Неоднородностью и анизотропией упругих свойств обладают кристаллы (кварц, топаз, барит, берилл и др.), которые широко применяются в приборостроении, как чувствительные элементы, работающие на устойчивость. Во многих случаях при исследованиях работы конструкций из таких материалов неприменимы методы, разработанные для расчета однородных изотропных или ортотропных конструкций, применяемые в технике[59,60 ] .

Исследованию задач теории упругости анизотропного тела посвящено много работ, среди которых особое место занимают фундаментальные труды Сен-Венана[87], В. Фойта[90], С. Г. Лехницкого [37−39]', Г .Н.Савина [55], С.А.Амбарцумяна[3- 10,80−82] и другие [35,56−63,66−68,77,78].

Некоторым вопросам теории ортотропных пластинок посвящены работы В. Новацкого[85,8б], Ж. Моссаковского[83, 84], М. Соколовского [89] и других. В статье[86] дан обзор развития теории ортотропных плит.

Бурный рост техники, особенно точного приборостроения, требует все более надежных, точных расчетных данных и ставит зачастую совершенно новые задачи, которые не могут быть удовлетворительно решены на основе классической теории пластин. Неоднородность и анизотропность параметров конструкций, оказывающих слабое сопротивление при трансверсальном ддвиге и обжатии, делают неприменимой к ним классическую теорию, основанную на гипотезах Кирхгофа-Лява .Возможность получения трехмерных решений ограничена математическими трудностями. Поэтому получают применение приближенные двумерные теории оболочек и пластин, уточняющие классическую теорию путем учета деформаций и напряжений в поперечном направленииуточненные не классические теории [5]]. Следовательно, повышенный интерес к исследованиям по уточненным теориям пластин и оболочек, появившийся в последние годы, объясняется не только относительной разработанностью классической теории, но и существенным расширением области инженерного применения теории. В более общем плане эту проблему можно назвать проблемой перехода от трехмерных задач теорий упругости к двумерным задачам математической физики [23,18].

Впервые на необходимость учета поперечного сдвига в задаче о поперечных колебаниях балки было указано С. П. Тимошенко в 20-х годах [70−72] - расчету толстых плит посвящены труды Б. Г. Галеркина [22], А.И.Лурье[41], в 30-ых годах Н. А. Кильчевским [30] была построена теория оболочек, свободная от обычных ограничений классической теории, Я.С.Уфлянд[73 ] в 1948 году первым применил теорию типа Тимошенко к анализу переходных волновых процессов, вызванных сосредоточенной нагрузкойв 50-ых годах С. А. Амбарцумяном были проведены глубокие исследования по части уточнения уравнений для анизотропных пластин и оболочек.

5,8,10,80J у перспективный подход к выводу уточненных уравнений предложен И. Н. Векуа [l8]. В разные годы к проблеме перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным и расчету толстых плит и оболочек обращались многие авторы [46,47,23,51, 24,25,21,69].

Широкое распространение получили уточненные теории, предложенные С. А. Амбарцумяном.Одним из основных результатов этих исследований является установление факта, что гипотеза неде-формируемых нормалей в теории анизотропных пластин и оболочек существенно вносит недоступные погрешности. Эти погрешности устраняются при использовании уточненной теории, учитывающей поперечные нормальные и сдвиговые характеристики материала.

Классическая теория безразлична к таким физико-механическим отношениям, как и др., что в частности является причиной известного факта о невозможности учесть траневерсальную изотропию [3,4,23,10].

Задача устойчивости однородных, ортътропных пластин исследована в работах С. Г. Лехницкого и других по классической теории [37,38,39,27], в работах С. А. Амбарцумяна и других по уточненной теории [4−7,14,43] .Вопросы устойчивости фанерных пластинок исследованы Л. И. Балабухом [l4] в 1937 году, потом они были детальные исследованы С. Г. Лехницким [37 ]. В работе 1Пуленко[88] получено решение некоторых задач устойчивости ортотропных пластин при двухосном и одноосном нагружении методом редукции. Теории устойчивости ортотропных пластин посвящена работа А. В. Саченкова и М. З. Сабитова [б7] .Теория С. А. Амбарцумяна использована при рассмотрении задач устойчивости ортотропных и трансверсально изотропных пластинок [4,7,43,Il]. B работах[5,8,9,80] рассматривается уточненная линейная теория пластин и весьма пологих оболочек постоянной толщины. Предполагается, что расстояния по нормали между двумя точками пластинки при деформации не изменяются и что поперечные касательные напряжения % и ^ по толщине пластинки меняются по заданному параболическому закону, нормальное напряжение Р^мало по сравнению с ^ .Основные зависимости теории анизотропных пластинки приведены к системе пяти уравнений относительно компонент перемещения U, 1/, W и двух функций поперечного сдвига. .

В работе [l2] пластинка считается прямоугольной, ортотроп-ной по материалу и шарнирно опертой по всему контуру. В линейной постановке решены задачи: определение критического усилия, сжимающего пластинку в одном из главных направлений, исследование динамической устойчивости под действием внешнего усилия, изменяющегося во времени по гармоническому закону. Получены несложные формулы, которые сравниваются с соответствующими формулами, выведенными на основе гипотез Кирхгофа-Лява.Рассмотрен частный случай трансверсально изотропной пластинки. Аналогично задача устойчивости и колебания пологой ортотропной цилиндрической панели рассматривается в работе [н].

В работе [4] дана система уравнений относительно трех функций W^f,^ для задачи устойчивости однородных неортотропных пластин при вышесказанных предположениях, решены конкретные задачи для однородных, ортотропных и трансверсально изотропных пластин.

Достаточная полная библиография по теории оболочек и пластинок представлена в книге С. Г. Лехницкого ?37 ]. Современные проблемы и вопросы теории анизотропных пластин посвящены также работы Л. А. Мовсисяна, А. А. Хачатряна и других[*7,45,43,75,80].

В работе [75] рассматривается тонкая упругая шарнирно опертая пластинка под действием приложенных на кромках нормальных и касательных напряженийМеняющихся по линейному закону и зависящих от одного параметра. Энергетическим методом в первом приближении разыскивается критическое значение этого параметра.

В работе [43] дано исследование об устойчивости прямоугольных трансверсально изотропных пластинок.

Некоторые вопросы анизотропных пластин и оболочек исследованы в монографиях В. С. Саркисяна [бб-бЗ]методом малого физического и теогсетрического параметра. Применение метода малых параметров к задачам для пластинок приводится в работе [89,76]. При помощи этого метода В. С. Саркисяном и другими авторами решены задачи устойчивости однородных неортотропных пластин и полос без учета поперечных сдвигов [59,60,62,63 ]. В работе B.C. Саркисяна [бО] предлагается метод решения задач теорйи упругости для неоднородных анизотропных пластин. В работе Л.А.Шекя-на, В.С.Саркисяна[бб, 67,78] методом малого физического параметра решены задачи устойчивости анизотропных оболочек. В работах [45,63]рассматриваются задачи свободных колебаний и устойчивости пластин и полос без учета поперечных сдвигов. Для однородных ортотропных полос, исследовано влияние на критические нагрузки ориентирования геометрических осей.

В работах [59,60,78] излагается обоснование метода малого физического параметра при решении задач теории анизотропных пластин и оболочек.

В настоящей работе на основе метода малого физического параметра, предложенного В. С. Саркисяном рассмотрены некоторые задачи устойчивости неоднородных, неортотропных пластин и полос с учетом поперечных сдвигов по уточненной теории С.А.Амбарцумя-на.Сущность метода заключается в следующем: вводится малый физический параметр, характеризующий неоднородность (или неорто-тропность), затем решение задач представлено в виде ряда по степеням малого параметра. Рассматриваемая задача приводится к решению ряда задач, сходных с задачами для однородных (или ор-тотропных) пластин. Причем нулевое приближение (малый параметр равен нулю) представляет решение однородной краевой задачи. Дальнейшие приближения представляют решения неоднородных дифференциальных уравнений (или систем уравнений) с неоднородными граничными условиями относительно разделяющихся переменных. U-ое • приближение определяется при помощи предыдущих с использованием ортогональности собственных функций и условия разрешимости задач [59,60,42,34,32,36,17,78,79,44,16] .

Цель работы заключается в применении и расширении возможностей метода малого физического параметра при анализе устойчивости неоднородных и неортотропных пластин и полос, а также в решении на этой основе конкретных задач, дающих возможность исследовать влияние основных параметров конструкций на критические нагрузки пластин и полос.

Научная новизна. Получены общее уравнение и граничные условия относительно одной искомой функции для задачи устойчивости однородных неортотропных пластин. Получена общая система уравнений относительно трех искомых функций для задачи устойчивости неоднородных неортотропных пластин и полос, «которая сформулирована в общем случае. Они могут быть использованы для решения задач устойчивости пластин и полос при различных граничных условиях. Рассматриваются конкретные задачи по трем вариантам выбора функции Выявлен существенный эффект влияния поперечных сдвигов на критическую нагрузку. Показано, что применение метода малого физического параметра при решении задач устойчивости пластин и полос, изготовленных неоднородных и неортотропных материалов, существенно расширяет область реализации известных решений, а также позволяет во многих случаях находить критическую нагрузку в сложных задачах с достаточной степенью точности. методы.

Практическая ценность. Как применяемые в диссертации/малого физического параметра для определения критических нагрузок неоднородных неортотропных пластин и полос, так и полученные решения новых задач могут найти применение при проектированиях или при инженерных расчетах таких конструкций.

Достоверность. Полученные результаты нулевого приближения совпадают с известными результатами С. А. Амбарцумяна [4]. Эти результаты без учета поперечных сдвигов совпадают с результатами В. С. Саркисяна [59,60], С. Г. Лехницкого [37 ] и других [2,19,49,50,53,54,70,63,28,69] .

Диссертация содержит 114 страниц машинописного текста, включает введение, две главы, основные выводы, библиографию и приложение. Во введении дан краткий обзор литературы, приведена история проблемы и определены круг научных вопросов, смежных с темой диссертации.

ОСНОВНЫЕ вывода.

1.Получено общее уравнение с различными граничными условиями относительно одной искомой функции для задачи устойчивости однородных неортотропных пластин. Задача подставлена в общем случае и приводится к решению дифференциального уравнения шестого порядка при различных граничных условиях.

2.Получена общая система уравнений относительно трех искомых функций для задачи устойчивости неоднородных, неортотропных полос и пластин. Они могут быть использованы для решения вышеуказанных задач при различных граничных условиях в случае произвольно слабой неоднородности.

3.Построены решения задач устойчивости однородных или неоднородных, неортотропных полос, шарнирно опертых по длиным сторонам. Для однородных полос получено точное решение, исследовано влияние ориентирования осей анизотропии на критические нагрузки. Получена аналитиечская формула для определения экстремального направления. Для неоднородных полос получено первое приближение и по процедуре можно получить высшие приближения. Дан анализ численных результатов при различных отношениях. Доказывается, что учет поперечных сдвигов значительно влияет на критические нагрузки, особенно для толстых полос.

4.Построено решение задачи устойчивости однородных неортотропных прямоугольных пластин шарнирно опертых по всему контуру, сжатых по одному направлению. Получены первое и второе прибли-жения.Дан анализ о влиянии учета поперечных сдвигов на критические нагрузки в основе численных расчетов по классической и уточненной теории при различных величинах характеристики поперечных сдвигов. Доназывается, что. чем больше поперечные сдвиги, тем меньше критические нагрузки.

5.Построено решение задачи устойчивости неоднородных ортотропных прямоугольных пластин, шарнирно опертых по всему контуру, сжатых по двум направлениям. Получено первое приближение. Выявлен эффект влияния поперечных сдвигов и слабой неоднородности на критические нагрузки. В рассматриваемом случае минимальное значение критической силы зависит от числа полуволн искривленной пластинки не так, как в случаях классической и уточненной теории для неоднородных пластин.

6.Указан способ’определения критических нагрузок при устойчивости однородных или неоднородных, неортотропных пластин. Получены аналитические формулы для нахождения критических сил в конкретных задачах. Эти формулы являются обобщением результатов С. А. Амбарцумяна, В. С. Саркисяна и других.

7.Приведенные исследования дают основание утверждать, что для нахождения критических нагрузок по уточненной теории.

С.А.Амбарцумяна, метод малого физического параметра, предложенный В. С. Саркисяном, оказывается эффектным и гарантирует достаточную точность, отвечающую требованиям в инженерной практике.