Нелинейные колебания систем твердых тел в центральном силовом поле

Задачи об исследовании периодических движений систем твердых тел в потенциальном поле сил относятся к интенсивно развивающемуся разделу современной механики — теории нелинейных колебаний твердых тел. Под системой твердых тел понимается механическая система с конечным числом степеней свободы, образованная совокупностью абсолютно твердых тел, соединенных между собой посредством идеальных голономных, него-лономных, стационарных или нестационарных связей, а также упругих элементов.

Система твердых тел, находящаяся в потенциальном силовом поле, давно используется в качестве динамической модели в теории колебаний самодвижущихся аппаратов, в теории вибрационных устройств, в небесной механике, физике и других разделах науки и техники. Исследование динамики таких систем предполагает получение основных кинематических и динамических соотношений, нелинейных дифференциальных уравнений движения, построение периодических решений этих уравнений и исследование их устойчивости.

В первое время исследования многих нелинейных динамических систем проводились на базе хорошо разработанного математического аппарата теории линейных колебаний. Однако представления линейной теории о колебаниях твердых тел ввиду принимаемых упрощающих допущений при линеаризации уравнений весьма. приближенны, а иногда даже неверны, так как дифференциальные уравнения движения системы тел содержат нелинейные зависимости, которые принципиально не могут быть линеаризованы. Кроме того, в отличие от линейных систем в нелинейных принцип суперпозиции не выполняется и поведение решений носит локальный характер.

В настоящее время существует ряд точных и приближенных методов, позволяющих с достаточной степенью точности решать многие задачи нелинейной механики, однако все же отсутствует регулярный математический аппарат, с помощью которого можно было бы исследовать нелинейные системы с такой же полнотой и ясностью, как это возможно в теории линейных колебаний.

Большой интерес представляют задачи об исследовании движения систем тел в центральном поле сил. Движение таких систем описывается громоздкими векторными дифференциальными уравнениями с глубокими нелинейностями. Построение периодических решений этих уравнений предполагает переход к общей системе отсчета, связанный с неоднократным использованием матриц преобразований, элементы которых являются функциями времени. Эти и другие трудности приводят к необходимости автоматизировать вывод уравнений в координатах с помощью ЭВМ. Поэтому построение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений движения систем тел и исследование их устойчивости, выявление особых точек и получение ответвляющихся решений возможно только на основе численных методов нелинейного анализа, допускающих реализацию на ЭВМ.

Решение каждой конкретной задачи об исследовании движения систем тел в центральном силовом поле начинается с составления уравнений движения. Использование для этой цели общих систем уравнений, приведенных в литературе, подчас требует большой подготовительной работы и не всегда представляется возможным, в частности, из-за сложности уравнений связей, обусловленных конструктивными особенностями рассматриваемых систем. Так, налагаемые на систему твердых тел связи, иногда вынуждают перейти от более простых по форме, симметричных уравнений Эйлера-Лагранжа к громоздким, несимметричным уравнениям движения в обобщенных координатах.

Численное исследование движения систем тел предполагает создание вычислительной системы, обладающей некоторой универсальностью с точки зрения разнообразия решаемых с помощью нее задач. В этом случае для описания движения необходимы уравнения, которые бы обеспечивали эту универсальность при изменении структуры системы и налагаемых на нее связей.

Задачи об исследовании нелинейных колебаний систем твердых тел в центральном силовом поле в основном решаются методом малого параметра с существенными упрощающими допущениями, обусловленными глубокой нелинейностью и громоздкостью уравнений движения. Эффективное использование этого метода для построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений и исследования их устойчивости возможно лишь при малых значениях параметра и удачного выбора порождающего решения.

Однако при конечных значениях параметра остается открытым вопрос о сходимости рядов, об устойчивости представляемых ими периодических решений, о корректности подхода вообще. Таким образом, строго полученные результаты локального исследования фактически используются нелокально.

Исследованию динамики систем твердых тел, движущихся в центральном ньютоновском поле сил, уделяется большое внимание в связи с созданием искусственных небесных тел, комплексов, составляемых из конечного числа таких тел. В связи с этим возникает необходимость исследования влияния инерционных и жесткостных параметров системы на устойчивость и формы ее относительного движения.

Эта задача намного усложняется, если траектория движения центра инерции системы является эллиптической. В таких системах наряду с вынужденными колебаниями, обусловленными неравномерностью вращения радиуса-вектора, проведенного из притягивающего центра к центру инерции системы, возможны колебания, возникающие вследствие переменности коэффициентов уравнений движения.

Однако и при эллиптической траектории для системы тел существуют некоторые положения относительного равновесия. В этом случае полное гашение вынужденных колебаний одних тел системы происходит за счет перемещаемых определенным образом других. Тело системы, находящееся в положении относительного равновесия, постоянно ориентировано вдоль радиуса-вектора, соединяющего центр притяжения с центром масс тела.

Представляется актуальным, с одной стороны, разработка эффективных численных методов и вычислительных систем нелинейного анализа дифференциальных уравнений и, с другой стороны — построение с их помощью периодических решений уравнений движения систем твердых тел в центральном ньютоновском поле сил и исследование их устойчивости. Решению этих задач и посвящена данная диссертационная работа.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методики построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений движения системы связанных твердых тел в центральном силовом поле и исследования устойчивости этих решений.

Методы исследования. Построение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений движения системы твердых тел в центральном ньютоновском поле сил и исследование их устойчивости, выявление особых точек и построение ответвляющихся решений выполнено с использованием теорий Г. Флоке, А. М. Ляпунова, метода квазилинеаризации нелинейного анализа дифференциальных уравнений, основанного на совместном применении метода продолжения решения по параметру и метода Ньютона-Канторовича.

Основными направлениями исследовании движения систем твердых тел в центральном ньютоновском поле являются: исследование влияния соотношений моментов инерции несущего тела на устойчивость и формы относительного движения системы тел при различных значениях эксцентриситета траектории движения ее центра массисследование движения несущего тела в зависимости от величины приведенной массы и эксцентриситета эллиптической траектории движения системыисследование влияния взаимного расположения тел, входящих в систему, на устойчивость их относительного движенияисследование движения несомого тела в зависимости от жесткости упругих связейисследование устойчивости движения несущего тела, соединенного с несомым гибким нерастяжимым стержнемисследование влияния соотношений моментов инерции несомого тела на устойчивость и формы относительного движения тел системы при различных значениях эксцентриситета траектории движения центра массисследование движения системы в зависимости от соотношения главных моментов инерции несущего и несомого тел.

Научная новизна. В настоящей диссертационой работе получены нелинейные дифференциальные уравнения движения системы тел в форме уравнений Аппеля, обладающие некоторой универсальностью относительно изменения налагаемых на систему связей и допускающие их реализацию на ЭВМ в векторном виде. На основе теорий Г. Флоке, А. М. Ляпунова разработана методика численного нелинейного анализа дифференциальных уравнений относительного движения систем твердых тел в центральном силовом поле, позволяющая исследовать глобальные свойства периодических решений этих уравнений без каких-либо упрощающих допущений.

Поставлена и решена задача об исследовании пространственных нелинейных колебаний системы двух взаимосвязанных твердых тел, обладающей девятью степенями свободы, при движении ее центра инерции по эллиптической траектории в центральном ньютоновском поле. Исследовано влияние эксцентриситета траектории центра масс системы, ее инерционных и жест-костных параметров, взаимного начального расположения тел, входящих в систему, на устойчивость и формы ее колебаний. Получены траектории относительного движения несомого тела, зависимости изменения координат взаимного положения и углов ориентации тел системы от истинной аномалии при различных значениях эксцентриситета.

Показано, что изменение инерционных и жесткостных параметров системы, места расположения несомого тела относительно несущего существенно сказывается на устойчивости движения и может привести как к стабилизации, так и к дестабилизации движения системы.

Практическая ценность работы. Диссертация выполнена в соответствии с общим планом научных исследований по динамике дискретно-континуальных систем, проводимых на кафедре теоретической механики Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института под руководством д.т.н. Гуляева В.И.

Разработанная в диссертации методика исследования нелинейных колебаний систем твердых тел в центральном силовом поле и созданная на ее основе вычислительная система, полученные дифференциальные уравнения движения и результаты проведенных исследований могут быть использованы при решении задач, связанных с разработкой и созданием пассивных систем ориентации и стабилизации движения самодвижущихся аппаратов. Универсальность и алгоритмичность предложенной методики позволяют рассматривать системы тел различной структуры и получать удобные для практического использования результаты проводимых исследований.

Математическая модель, методика и вычислительная система внедрены в практику исследований в заинтересованных организациях с экономическим эффектом, который обусловлен увеличением надежности и долговечности динамических объектов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IX научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР (г. Киев, 1981 г.), на 1У Четаевской Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (г.Звенигород, 1982 г.), на 44-й научно-технической конференции Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института (г.Киев, 1983 г.).

Публикации. Результаты выполненных исследований освещены в пяти печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка основной использованной литературы из 120 наименований.

Основные результаты диссертационной работы и выводы состоят в следующем:

1. Получены нелинейные дифференциальные уравнения движения систем связанных твердых тел в форме уравнений Аппеля с использованием неопределенных множителей Лагранжа, удобные с точки зрения алгоритмизации и программирования на ЭВМ.

2. На основе методов продолжения решения по параметру, Ньютона-Канторовича, теорий Флоке, Ляпунова разработана методика численного анализа нелинейных дифференциальных уравнений движения систем связанных твердых тел в центральном силовом поле, позволяющая строить периодические решения, исследовать их устойчивость, выявлять и анализировать особые точки, получать ответвляющиеся решения.

3. Поставлена и решена задача о нелинейных колебаниях твердого тела, несущего упругосвязанную с ним точечную массу, при движении центра инерции системы по эллиптической траектории в центральном ньютоновском поле. Получены зависимости, отражающие влияние соотношений главных центральных моментов инерции, приведенной массы, взаимного расположения тел, входящих в систему, на пространственную устойчивость и формы нелинейных колебаний системы тел при различных значениях эксцентриситета.

Установлены траектории относительного движения точечной массы. Показано, что изменение инерционных характеристик системы, взаимного расположения тел существенно влияет на характер относительного движения и может привести как к стабилизации, так и к дестабилизации этого движения. ниях твердого тела, соединенного гибким нерастяжимым стержнем с точечной массой, при движении по эллиптической траектории в центральном силовом поле. Исследовано влияние инерционных параметров системы, длины стержня на устойчивость относительного движения. Получены формы колебаний несущего и несомого тел при различных значениях эксцентриситета.

Отмечено, что стержень позволяет управлять формами экс-центриситетных колебаний тел системы и в значительной мере влиять на устойчивость этих колебаний.

5. Поставлена и решена задача о нелинейных колебаниях системы двух упругосвязанных твердых тел, движение которой происходит по эллиптической траектории в центральном поле сил. Исследовано влияние соотношений главных центральных моментов инерции несущего и несомого тел, жесткостей упругих связей на устойчивость и формы относительного движения системы тел при различных значениях эксцентриситета.

Отмечена возможность стабилизации движения одного из тел системы относительно притягивающего центра путем подбора коэффициентов жесткости упругих связей. Показано, что при постоянных инерционных параметрах системы в случае, когда радиус инерции несущего тела во много раз превосходит радиус инерции несомого, изменяя соотношения моментов инерции несомого тела, можно управлять пространственной устойчивостью относительного движения системы.

181 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.