Нелокальные искусственные граничные условия для численного решения задач в неограниченных областях

2.1.1 Предварительные замечания.70.

2.1.2 Цели и методы.71.

2.2 Внешнее обтекание.73.

2.2.1 Постановка задачи.73.

2.2.2 Вопросы геометрии и основы дискретного алгоритма.80.

2.2.3 Основы методов ИГУ-МРП.83.

2.2.4 Вычисление ИГУ-МРП.89.

2.3 Результаты вычислений.101.

2.3.1 Двумерная задача.101.

2.3.2 Трехмерная задача.110.

2.3.3 Обтекание трехмерного тела с реактивной струей.119.

2.3.4 Затраты на вычисление ИГУ-МРП.128.

2.4 Заключение.130.

3 Искусственные граничные условия для нестационарных задач акустики 132.

3.1 Введение.132.

3.2 Лакуны волнового уравнения .133.

3.3 Система уравнений акустики.135.

3.4 Интегрирование системы уравнений акустики, основанное на использовании лакун.137.

3.5 ИГУ, основанные на лакунах.145.

3.6 Численные примеры.,.152.

3.7 Выводы.162.

4 Искусственные граничные условия для нестационарных задач электродинамики 164.

4.1 Введение.164.

4.2 Уравнения Максвелла и соленоидальные токи.165.

4.3 Конструктивный способ получения соленоидальных токов.169.

4.4 Интегрирование вспомогательной задачи с использованием лакун. 173.

4.5 Искусственные граничные условия для уравнений Максвелла.177.

4.6 Вычислительные эксперименты.180.

4.7 Обсуждение результатов.186.

Литература

189.

Список иллюстраций 214.

Список таблиц 217.

Благодарности.

Приятный долг автора — поблагодарить своего первого научного руководителя, профессора Бориса Николаевича Четверушкина, который ввел его в мир науки на старших курсах Московского Физико-Технического Института и далее в апирантуре, и к чьим советам и оценкам автор всегда прислушивался со всем вниманием и серьезностью. Автору также чрезвычайно приятно поблагодарить профессора Виктора Соломоновича Рябенького, с которым его связывает многолетнее плодотворное сотрудничество. Виктор Соломонович всегда был образцом и примером для автора, и научил его очень многому, как в профессиональном, так и в человеческом отношении.

It is also the author’s great pleasure to sincerely thank his colleagues and friends from the School of Mathematics at Tel Aviv University, NASA Langley Research Center, and Department of Mathematics at North Carolina State University. He would particularly like to mention Professor Saul Abarbanel, Professor Eli Turkel, and Dr. Veer Vatsa, whose direct collaboration, useful advise, and encouraging attitude he has always enjoyed throughout the years of research work that led to the completion of this dissertation.

The author also gratefully acknowledges support by the US NSF, NASA, and AFOSR.

Для подавляющего большинства задач, изначально поставленных в неограниченной области, применение численного метода решения с необходимостью требует перехода к некоторой конечной расчетной подобласти. Наиболее часто переход этот осуществляется посредством усечения исходной области. При этом на внешней границе расчетной подобласти возникает потребность конструирования искусственных граничных условий (ИГУ), которые обеспечили бы необходимое замыкание «усеченной» постановки задачи, и более или менее равносильно заменили бы влияние всей отбрасываемой (неограниченной) части исходной области. Вышеупомянутую внешнюю границу часто называют искусственной (так же, как и требующиеся на ней граничные условия), подчеркивая тем самым ее происхождение от ограничений численного метода решения (дискретная система не может иметь более чем конечное число переменных), а не от первоначальной постановки задачи.

По теме ИГУ в литературе существует большое количество публикаций, см., например, обзорные работы Гиволи [1,2] и Хагстрома [3], а также нашу статью [4]. Кроме того, подробный обзор различных методов постановки ИГУ содержится в главе 1 представляемой диссертации. Целью же настоящего введения является не столько обзор технического характера, сколько обсуждение установившихся в литературе стереотипов касательно ИГУ. Мы увидим, что в ряде случаев эти стереотипы не имеют под собой достаточных оснований.

Одновременно с обсуждением сложившихся в литературе представлений, общая точка зрения на ИГУ, предлагаемая в настоящем введении, объясняет конкретный выбор материала и распределение его по главам диссертации. Окажется, что построенные нами граничные условия позволяют объединить ключевые достоинства различных подходов к получению ИГУ, которые ранее считались едва ли не противоречащими друг другу. Важно, что это удается сделать для ряда задач, постановки которых, во всяком случае на первый взгляд, весьма далеки друг от друга, а именно, для стационарных задач внешнего обтекания тел сжимаемой вязкой жидкостью (глава 2), и для нестационарных задач акустики (глава 3) и электродинамики (глава 4). При этом с технической точки зрения разница в постановках вышеупомянутых задач приводит также и к существенно различным вычислительным алгоритмам ИГУ.

В целом, при построении ИГУ можно выделить две основные тенденции. Обеспечение высокой точности как правило требует, чтобы ИГУ имели нелокальный характер. В частности, точные ИГУ, то есть те, что не привносят никакой дополнительной ошибки за счет усечения области, всегда оказываются нелокальными, если количество пространственных измерений в задаче больше одного. 6 с. в. цынков.

В нестационарном случае, обычно имеет место нелокальность также и по времени. Общепринятая концепция состоит в том, что нелокальность приводит к большим вычислительным затратам, а также создает труднопреодолимые препятствия при практической реализации ИГУ. Поэтому в качестве альтернативы (высоко)точным нелокальным ИГУ рассматриваются различные локальные подходы, которые могут быть получены как независимо, так и путем аппроксимации нелокальных ИГУ. Такие локальные ИГУ обычно дешевле и проще в реализации, чем нелокальные методы, но могут обладать недостаточной вычислительной точностью.

Конечно же, приведенная выше «черно-белая» классификация ИГУ является лишь приближенной. В действительности, существует множество промежуточных методов (между локальными и глобальными), таких, например, как аппроксимации высокого порядка или идеально подобранные поглощающие слои (perfectly matched layers — PML), см. главу 1. Однако вышеприведенная концепция в основном сохраняется, видоизменяясь лишь незначительно. Именно, во всем спектре граничных условий, от чисто локальных до полностью глобальных, каждый конкретный метод можно теперь рассматривать как некоторое равновесие между требованиями точности, которые ведут к нелокальности и, как следствие, трудноприменимым на практике алгоритмам, и требованиями практической эффективности, которые зачастую не позволяют получить высокую точность. Заметим однако, что тогда как указанное стандартное представление о локальных методах, как недостаточно точных, основывается на большом количестве теоретических результатов и экспериментальных (расчетных) наблюдений, представление о глобальных ИГУ, как громоздких и неэффективных, связано в основном лишь с весьма ограниченным ранее набором средств для их получения (интегральные преобразования и разделение переменных, что требует границ правильной формы), а также с относительно небольшим количеством описанных в литературе случаев их полномасштабного применения в практических вычислениях.

Предлагаемые в настоящей диссертации ИГУ обладают высокой вычислительной точностью. Более конкретно, граничные условия на внешней (искусственной) границе строятся непосредственно для дискретной задачи, и точность их всегда может быть сделана как минимум не хуже, чем точность разностной аппроксимации уравнений внутри расчетной области. Постановка ИГУ сразу для разностной схемы, а не для исходного дифференциального уравнения (системы), является одним из краеугольных камней разрабатываемого нами подхода. Во-первых, это позволяет избежать (иногда значительных) сложностей, связанных с аппроксимацией непрерывных ИГУ, даже если последние уже известны. Действительно, точные нелокальные ИГУ часто могут быть выписаны лишь в форме, содержащей даже не интегральный, а псевдодифференциальный оператор, см. главу 1. Поэтому их дискретная аппроксимация является нетривиальной задачей, что в большой степени и послужило созданию «психологического барьера» предубеждения против глобальных методов. Во-вторых, при постановке ИГУ непосредственно для дискретной задачи точность на границе автоматически подстраивается под точность внутри расчетной области, с одной стороны, не ухудшая последнюю, а с другой стороны, не приводя к излишним затратам на создание чересчур точной граничной процедуры. В-третьих, разработка ИГУ сразу для схемы позволяет учитывать специфику конкретного численного алгоритма, например, такую важнейшую его характеристику, как форма искусственной границы, которая в приложениях как правило определяется структурой сетки, используемой внутри расчетной области. И, наконец, немаловажным является следующее соображение, которое с одной стороны трудно формализуемо, но с другой стороны все же достаточно очевидно. Поскольку сама необходимость постановки ИГУ объясняется лишь ограничениями численного характера и только ими, то по сути ИГУ и требуются только в дискретной постановке задачи. Поэтому при их получении следует, по возможности, избегать потенциально ненужных шагов, таких, как предварительный вывод непрерывных граничных условий, а затем их разностная аппроксимация.

Вышеупомянутая возможность постановки ИГУ на внешней границе заданной (не обязательно правильной) формы является чрезвычайно важной для приложений. В литературе геометрическая универсальность метода, то есть его применимость к реальным, а не только специально подобранным модельным искусственным границам, отмечается как одно из необходимых условий общей эффективности и практической ценности ИГУ. Общепринятая точка зрения, опять же, состоит в том, что нелокальные методы обладают геометрической универсальностью лишь в незначительной степени. Эта точка зрения, однако, основывается не столько на ограничениях, присущих самим ИГУ (действительно, интегральные и псевдодифференциальные операторы могут быть получены для границ любой формы), сколько на ограничениях, присущих методам получения этих ИГУ (использование преобразования Фурье для вычисления псевдодифференциальных операторов требует границ правильной формы, таких, например, как прямая или окружность, см. главу 1). В представляемой диссертации высокоточные нелокальные разностные ИГУ получены для границ произвольной формы, причем это не требует никаких специальных свойств разностной сетки, таких, например, как адаптация к искусственной границе.

Собственно нелокальность граничной процедуры часто ассоциируется с высокими вычислительными затратами, в особенности если речь идет о нестационарных задачах. Мы считаем, что это верно лишь отчасти, и надеемся, что весь материал представляемой диссертации дает убедительное обоснование нашей точке зрения. Конечно же, нельзя отрицать, что по сравнению с простейшими локальными ИГУ (см. главу 1), и при прочих равных условиях, применение любого нелокального метода приведет к заметным дополнительным затратам вычислительных ресурсов. Однако сравнение «при прочих равных условиях» далеко не всегда бывает адекватным. Оказывается, что во многих случаях высокая точность, свойственная нелокальным ИГУ, позволяет очень существенно уменьшить размер расчетной области, см. главу 2. Более того, нелокальные ИГУ могут оказывать благоприятное воздействие на алгоритм решения внутренней задачи, именно, заметно ускорять сходимость многосеточных итераций, см. главу 2. Наконец, в нестационарном случае правильный учет структуры решения позволяет получать точные нелокальные ИГУ лишь с ограниченной и невозрастающей степенью нелокальности по времени. В литературе возможное возрастание степени временнбй нелокальности с течением времени, и связанное с ним возрастание вычислительных затрат, до настоящего момента рассматривалось как основное препятствие к использованию точных нелокальных ИГУ в нестационарных задачах. В нашем же случае (см. главы 3 и 4), требуемые вычислительные ресурсы оказываются пропорциональными всего лишь первой степени времени (т.е. прямо пропорциональными числу шагов явной схемы). Вышеупомянутый правильный учет структуры решения состоит в явном использовании лакун гиперболических уравнений. Наличие лакун есть достаточно тонкое свойство последних, но, к счастью, оно имеет место в задачах, которые важны для приложений (акустика и электродинамика).

Помимо общего взгляда на свойства и характеристики, которыми должны обладать ИГУ, еще одним, и ничуть не менее важным, объединяющим моментом для всех предложенных в диссертации численных алгоритмов, является метод, с помощью которого нам удалось достичь поставленных целей. А именно, речь идет об аппарате обобщенных разностных потенциалов и граничных уравнений с проекторами1, который является центральным элементом метода разностных потенциалов (МРП) В. С. Рябенького [5]. Укажем впрочем, что если в случае стационарных течений вязкой жидкости (глава 2) используются собственно конструкции МРП, то в случае распространения нестационарных акустических и электромагнитных волн (главы 3 и 4), применение для расчетов явных схем позволяет существенно упростить рассмотрение и получить ИГУ непосредственно. Центральным тогда становится вопрос ограничения временнбй нелокальности и эффективного вычисления ИГУ, при решении которого основную роль играют лакуны линеаризованных уравнений Эйлера и уравнений Максвелла. В действительности же наш нестационарный подход из глав 3 и 4, в той его части, что касается именно постановки, а не вычисления ИГУ, может быть интерпретирован как использование вышеупомянытых операторов граничного проектирования в специальной, разрешенной относительно верхнего слоя, форме. Это следует из анализа, приведенного в работе [6], где излагается современное состояние общего нестационарного аппарата МРП, охватывающее также и случай неявных схем.

Таким образом, на единой основе нам удалось построить эффективные алгоритмы постановки высокоточных нелокальных ИГУ для стационарных задач обтекания конечных тел потоком сжимаемой вязкой жидкости, а также нестационарных задач распространения акустических и электромагнитных волн. При этом избранная последовательность расположения материала в диссертации — сначала стационарные, а потом нестационарные задачи — соответствует исходной хронологии работы, которая, в свою очередь, отражает произошедшее за последние годы в ряде прикладных областей заметное увеличение интереса именно к нестационарным задачам.

В дополнение следует отметить, что фундаментальные различия в постановке задач о стационарном обтекании и о нестационарном распространении волн приводят к тому, что вопросы, требующие основного внимания при конструировании ИГУ для этих задач, также принципиально отличаются друг от друга. В стационарном случае требует обоснования собственно линеаризация в дальнем поле, которая является ключевым моментом, предшествующим применению МРП. Кроме того, само построение граничного проектора для линеаризованных уравнений Навье-Стокса представляет определенные технические трудности, в особенности когда речь идет о применении ИГУ совместно с готовым промышленным алгоритмом решения внутренней задачи (глава 2). В нестационарном же случае основную трудность представляет эффективное вычисление граничного условия, для чего мы и пользуемся наличием лакун (главы 3 и.

1 Обобщение граничных проекторов Кальдерона.

4). При этом ни для системы уравнений акустики (линеаризованные уравнения Эйлера), ни для системы уравнений Максвелла, присутствие лакун в исследуемых решениях не гарантировано автоматически. В случае электромагнитных волн, например, для этого требуется поставить и решить специальную обратную задачу о восстановлении источников поля в заданной форме (глава 4).

1. D. Givoli. Non-reflecting boundary conditions. J. Comput. Phys., 94:1−29, 1991.

2. Dan Givoli. Numerical methods for problems in infinite domains, volume 33 of Studies in Applied Mechanics. Elsevier Scientific Publishing Co., Amsterdam, 1992.

3. T. Hagstrom. Radiation boundary conditions for the numerical simulation of waves. In A. Iserlis, editor, Acta Numerica, volume 8, pages 47−106, Cambridge, 1999. Cambridge University Press.

4. S. V. Tsynkov. Numerical solution of problems on unbounded domains. A review. Appl. Numer. Math., 27:465−532, 1998.

5. В. С. Рябенький. Метод разностных потенциалов и его приложения. ФИЗМАТЛИТ, Москва, 2002.

6. V. S. Ryaben’kii. Nonreflecting time-dependent boundary conditions on artificial boundaries of varying location and shape. Appl. Numer. Math., 33:481−492, 2000.

7. B. Engquist and A. Majda. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. Math. Comput., 31:629−651, 1977.

8. B. Engquist and A. Majda. Radiation boundary conditions for acoustic and elastic wave calculations. Commun. Pure Appl Math., 32:313−357, 1979.

9. B. Engquist and A. Majda. Numerical radiation boundary conditions for unsteady transonic flow. J. Comput. Phys., 40:91−103, 1981.

10. Bertil Gustafsson. Far-field boundary conditions for time-dependent hyperbolic systems. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 9(5):812−828, 1988.

11. Laurence Halpern. Artificial boundary conditions for incompletely parabolic perturbations of hyperbolic systems. SIAM J. Math. Anal., 22(5):1256−1283, 1991.

12. И. Л. Софронов. Искусственные граничные условия адекватные волновому уравнению вне сферы. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР No. 42, 1992. Москва.

13. I. L. Sofronov. Generation of 2d and 3d artificial boundary conditions transparent for waves outgoing to infinity. Technical Report 96−09, Mathematical Institute A, Stuttgart University, Stuttgart, Germany, 1996.

14. Ivan L. Sofronov. Artificial boundary conditions of absolute transparency for twoand three-dimensional external time-dependent scattering problems. European J. Appl Math., 9(6):561—588,1998.

15. В. С. Рябенький, И. JI. Софронов. Разностные сферические функции. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР No. 75, 1983. Москва.

16. I. L. Sofronov. Transparent boundary conditions for unsteady transonic flow problems in wind tunnel. Technical Report 95−21, Mathematical Institute A, Stuttgart University, Stuttgart, Germany, 1995.

17. I. L. Sofronov. Non-reflecting inflow and outflow in a wind tunnel for transonic time-accurate simulations. J. Math. Anal. Appl, 221:92−115, 1998.

18. В. С. Рябенький. Граничные уравнения с проекторами. Успехи Математических Наук, 40:221−249, 1985.

19. V. S. Ryaben’kii. Difference potentials method and its applications. Math. Nachr., 177:251−264, 1996.

20. Thomas Hagstrom and H. B. Keller. Exact boundary conditions at an artificial boundary for partial differential equations in cylinders. SIAM J. Math. Anal., 17(2):322−341, 1986.

21. Thomas M. Hagstrom. Asymptotic expansions and boundary conditions for time-dependent problems. SIAM J. Numer. Anal., 23(5):948−958, 1986.

22. Т. М. Hagstrom and Н. В. Keller. Asymptotic boundary conditions and numerical methods for nonlinear elliptic problems on unbounded domains. Math. Сотр., 48(178):449−470, 1987.

23. Kebir Dgaygui and Patrick Joly. Absorbing boundary conditions for linear gravity waves. SIAM J. Appl. Math., 54(1):93−131, 1994.

24. Joseph B. Keller and Dan Givoli. Exact nonreflecting boundary conditions. J. Comput. Phys., 82(1):172—192,1989.

25. Dan Givoli and Joseph B. Keller. A finite element method for large domains. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 76(l):41−66, 1989.

26. В. И. Агошков. Методы декомпозиции области для задач математической физики. В сборнике Вычислительные процессы и системы под редакцией Г. И. Марчука, том 8, стр. 3−51. Наука, Москва, 1990.

27. В. Ю. Завадский. Конечно-разностные методы для волновых задач акустики. Наука, Москва, 1982.

28. В. С. Рябенький, И. Л. Софронов. Численное решение трехмерных внешних задач для уравнения Гельмгольца с помощью метода разностных потенциалов. In Численное моделирование в аэродинамике, pages 187−201. Наука, Москва, 1986.

29. Dan Givoli and Shmuel Vigdergauz. Artificial boundary conditions for 2D problems in geophysics. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 110(l-2):87−101,1993.

30. A. I. Nesterov, A. S. Shamaev, and S. I. Shamaev, editors. Methods, Algorithms, and Facilities for Aerospace Computer Radar Tomography of Earth Surface Regions. Scientific World, Moscow, 1996.

31. Isaac Harari and Thomas J. R. Hughes. Analysis of continuous formulations underlying the computation of time-harmonic acoustics in exterior domains. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 97(1):103−124, 1992.

32. M. J. Grote and J. B. Keller. On nonreflecting boundary conditions. J. Comput. Phys., 122:231−243, 1995.

33. Bjorn Engquist and Hong-Kai Zhao. Absorbing boundary conditions for domain decomposition. Appl. Numer. Math., 27(4):341−365, 1998. Absorbing boundary conditions.

34. Dan Givoli. A spatially exact nonreflecting boundary condition for time dependent problems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 95(1):97−113, 1992.

35. D. Givoli and D. Cohen. Nonreflecting boundary conditions based on Kirchhoff-type formulae. J. Comput. Phys., 117:102−113, 1995.

36. В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. Наука, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Москва, 1981.

37. L. Ting and М. J. Miksis. Exact boundary conditions for scattering problems. J. Acoust. Soc. Am., 80:1825−1827, 1986.

38. J. De Moerloose and D. De Zutter. Surface integral representation radiation boundary conditions for the fdtd method. IEEE Trans. Antennas Propagat., 41:890−895, 1993.

39. K. S. Yee. Numerical solution of initial boundary value problem involving Maxwell’s equations in isotropic media. IEEE Trans. Antennas Propagat., 14:302−307, 1966.

40. J.-C. Nedelec. On the use of retarded potentials in different wave equations, presented at the IUTAM Symposium on Computational Methods for Unbounded Domains, July 27 31, 1997, 1997.

41. В. С. Рябенький. Точный перенос краевых условий. Вычислительная Механика Твердого Тела, 1:129−145, 1990.

42. М. J. Grote and J. В. Keller. Exact nonreflecting boundary conditions for the time-dependent wave equation. SIAM J. Appl Math., 55:280−297, 1995.

43. H. Lamb. Hydrodynamics. Dover, New York, 1945.

44. M. J. Grote and J. B. Keller. Nonreflecting boundary conditions for Maxwell’s equations. J. Comput. Phys., 139:327−342, 1998.

45. Bertil Gustafsson. The choice of numerical boundary conditions for hyperbolic systems. J. Comput. Phys., 48(2):270−283, 1982.

46. L. Ferm and B. Gustafsson. A downstream boundary procedure for the Euler equations. Computers and Fluids, 10:261−276, 1982.

47. Lars Ferm. Open boundary conditions for stationary inviscid flow problems. J. Comput. Phys., 78(1):94−113, 1988.

48. Lars Ferm. Non-reflecting accurate open boundary conditions for the steady Euler equations. Technical Report 143, Department of Scientific Computing, Uppsala University, Uppsala, Sweden, September 1992.

49. Bjorn Engquist and Laurence Halpern. Far field boundary conditions for computation over long time. Appl. Numer. Math., 4(l):21−45, 1988.

50. Lars Ferm. Open boundary conditions for external flow problems. J. Comput. Phys., 91:55−70, 1990.

51. Lars Ferm. Modified external boundary conditions for the steady Euler equations. Technical Report 153, Department of Scientific Computing, Uppsala University, Uppsala, Sweden, August 1993.

52. Lars Ferm. Non-reflecting boundary conditions for the steady Euler equations. J. Comput. Phys., 122:307−316, 1995.

53. Lars Ferm. Multigrid for external flow problems. Technical Report 155, Department of Scientific Computing, Uppsala University, Uppsala, Sweden, September 1993.

54. R. C. Swanson and E. Turkel. A multistage time-stepping scheme for the Navier-Stokes equations. AIAA Paper No. 85−0035, 1985. AIAA 23rd Aerospace Sciences Meeting, Reno, Nevada, 1985.

55. R. С. Swanson. Multistage schemes with multigrid for the Euler and Navier-Stokes equations. Volume I: Components and analysis. NASA Technical Paper No. 3631, August 1997. Langley Research Center, Hampton, VA.

56. V. N. Vatsa, M. D. Sanetrik, and E. B. Parlette. Development of a flexible and efficient multigrid-based multiblock flow solver. AIAA Paper No. 93−0677, 1993. 31st AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, NV, January 1993.

57. E. Turkel, V. N. Vatsa, and R. Radespiel. Preconditioning methods for low-speed flows. AIAA Paper No. 96−2460-CP, 1996. 14th AIAA Applied Aerodynamics Conference, New Orleans, LA, June 1996.

58. A. Verhoff and D. Stookesberry. Second-order far-field computational boundary conditions for inviscid duct flow problems. AIAA Journal, 30:1268−1276, 1992.

59. A. Verhoff, D. Stookesberry, and S. Agrawal. Far-field computational boundary conditions for two-dimensional external flow problems. AIAA Journal, 30:2585−2594, 1992.

60. A. Verhoff. First-order far-field computational boundary conditions for O-grid topologies. AIAA Paper No. 95−0563, 1995. 33rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, 1995.

61. A. Verhoff. Global far-field computational boundary conditions for C-grid topologies. AIAA Paper No. 95−2184, 1995. 26th AIAA Fluid Dynamics Conference, San Diego, California, 1995.

62. A. Verhoff. Global far-field computational boundary conditions for C-grid and O-grid topologies. AIAA Journal, 36:148−156, 1998.

63. A. Verhoff. Far-field computational boundary conditions for three-dimensional external flow problems. AIAA Paper No. 96−0892,1996. 34th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, 1996.

64. M. B. Giles. Nonreflecting boundary conditions for euler equation calculations. AIAA Journal, 28:2050;2058, 1990.

65. George J. Fix and Samuel P. Marin. Variational methods for underwater acoustic problems. J. Comput. Phys., 28(2):253−270,1978.

66. Robert L. Higdon. Numerical absorbing boundary conditions for the wave equation. Math. Сотр., 49(179):65−90, 1987.

67. Robert L. Higdon. Radiation boundary conditions for elastic wave propagation. SIAM J. Numer. Anal., 27(4):831−869, 1990.

68. Robert L. Higdon. Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic waves in stratified media. J. Comput. Phys., 101(2):386−418, 1992.

69. J.-Y. Sa and K. S. Chang. Far-field stream function condition for two-dimensional incompressible flows. J. Comput. Phys., 91:398−412, 1990.

70. Richard H. Burkhart. Asymptotic expansion of the free-space Green’s function for the discrete 3-D Poisson equation. SIAM J. Sci. Comput., 18(4):1142−1162, 1997.

71. R. H. Burkhart, J. Bussoletti, F. T. Johnson, S. S. Samant, and D. P. Young. Solution of the discrete free-space 3-d poisson equation. Technical Report BCSTECH-94−015, Boeing Computer Services, Seattle, WA, April 1994.

72. A. J. Van der Wees F. W. Wubs, J. W. Boerstoel. Grid size reduction in flow calculations on infinite domains by higher-order far-field asymptotics in numerical boundary conditions. J. Engrg. Math., 18:157−177, 1984.

73. J. L. Thomas and M. D. Salas. Far-field boundary conditions for transonic lifting solutions to the Euler equations. AIAA Paper No. 85−0020,1985. 23rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, NV, January 1985.

74. E. B. Klunker. Contribution to methods for calculating the flow about thin lifting wings at transonic speeds — analytic expressions for the far field. NASA Technical Note No. D-6530, November 1971. Langley Research Center, Hampton, VA.

75. Дж. Коул, JI. Кук. Трансзвуковая аэродинамика. Мир, Москва, 1989.

76. М. Drela. Two-dimensional transonic aerodynamic design and analysis using the euler equations. Technical Report 187, Massachusetts Institute of Technology, Gas Turbine Laboratory, February 1986.

77. M. B. Giles and M. Drela. Two-dimensional transonic aerodynamic design method. AIAA Journal, 25:1199−1206, 1987.

78. Alvin Bayliss and Eli Turkel. Radiation boundary conditions for wave-like equations. Comm. Pure Appl. Math., 33(6):707−725, 1980.

79. Alvin Bayliss and Eli Turkel. Outflow boundary conditions for fluid dynamics. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 3(2):250−259, 1982.

80. Alvin Bayliss and Eli Turkel. Far field boundary conditions for compressible flows. J. Comput. Phys., 48(2):182−199, 1982.

81. Alvin Bayliss, Max Gunzburger, and Eli Turkel. Boundary conditions for the numerical solution of elliptic equations in exterior regions. SIAM J. Appl. Math., 42(2):430−451, 1982.

82. Peter M. Pinsky and Najib N. Abboud. Finite element solution of the transient exterior structural acoustics problem based on the use of radially asymptotic boundary operators. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 85(3):311−348, 1991.

83. A. F. Peterson. Absorbing boundary conditions for the vector wave equation. Microwave and Optical Tech. Let., 1:62−64, 1988.

84. R. Mittra, 0. Ramahi, A. Khebir, R. Gordon, and A. Kouki. A review of absorbing boundary conditions for two and three-dimensional electromagnetic scattering problems. IEEE Trans. Magnetics, 25:3034−3039, 1989.

85. Christopher K. W. Tam and Jay C. Webb. Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics. J. Comput. Phys., 107(2):262−281,1993.

86. Christopher K. W. Tam and Jay C. Webb. Radiation boundary condition and anisotropy correction for finite difference solutions of the Helmholtz equation. J. Comput. Phys., 113(1):122—133,1994.

87. T. Colonius. Numerically nonreflecting boundary and interface conditions for compressible flow and aeroacoustic computations. AIAA Journal, 35:1126−1133, 1997.

88. A. Barry, J. Bielak, and R. C. MacCamy. On absorbing boundary conditions for wave propagation. J. Corn-put. Phys., 79(2):449−468,1988.

89. L. F. Kallivokas and J. Bielak. Time-domain analysis of transient structural acoustics problems based on the finite-element method and a novel absorbing boundary element. J. Acoust. Soc. Am., 94:3480−3492, 1993.

90. L. F. Kallivokas, A. Tsikas, and J. Bielak. On transient three-dimensional absorbing boundary conditions for the modeling of acoustic scattering from near-surface obstacles. J. Comput. Acoust., 5:117−136, 1997.

91. S. Abarbanel, A. Bayliss, and L. Lustman. Non-reflecting boundary conditions for the compressible Navier-Stokes equations. Technical Report 86−9, ICASE, NASA Langley Research Center, Hampton, VA, March 1986.

92. J. S. Danowitz. A Local Far-Field Non-reflecting Boundary Condition for Viscous Two-Dimensional External Flows. PhD thesis, Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel, July 1994.

93. Thomas Hagstrom. Asymptotic boundary conditions for dissipative waves: general theory. Math. Comp., 56(194):589−606, 1991.

94. Thomas Hagstrom and S. I. Hariharan. Accurate boundary conditions for exterior problems in gas dynamics. Math. Comp., 51(184):581−597, 1988.

95. Dan Givoli and Joseph B. Keller. Nonreflecting boundary conditions for elastic waves. Wave Motion, 12(3):261−279,1990.

96. Dan Givoli, Igor Patlashenko, and Joseph B. Keller. High-order boundary conditions and finite elements for infinite domains. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 143(1−2): 13−39, 1997.

97. I. Patlashenko and D. Givoli. Non-reflecting finite-element schemes for three-dimensional acoustic waves. J. Comput. Acoust., 5:95−115, 1997.

98. Kang Feng. Finite element method and natural boundary reduction. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol 1, 2 (Warsaw, 1983), pages 1439−1453, Warsaw, 1984. PWN.

99. Lloyd N. Trefethen and Laurence Halpern. Well-posedness of one-way wave equations and absorbing boundary conditions. Math. Сотр., 47(176):421−435, 1986.

100. Bertil Gustafsson. Inhomogeneous conditions at open boundaries for wave propagation problems. Appl. Numer. Math., 4(1):3−19, 1988.

101. Bertil Gustafsson and Heinz-Otto Kreiss. Boundary conditions for time-dependent problems with an artificial boundary. J. Comput. Phys., 30(3):333−351, 1979.

102. G. W. Hedstrom. Nonreflecting boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems. J. Comput. Phys., 30(2):222−237, 1979.

103. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Гидродинамика. Наука, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Москва, 1986.

104. Н. Atkins and J. Casper. Nonreflective boundary conditions for high-order methods. AIAA Journal, 32:512−518, 1994.

105. Kevin W. Thompson. Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems. J. Comput Phys., 68(l):l-24, 1987.

106. Т. C. Vanajakshi, K. W. Thompson, and D. C. Black. Boundary value problems is magnetohydrodynamics (and fluid dynamics). I. radiation boundary condition. J. Comput Phys., 84:343−359, 1989.

107. Kevin W. Thompson. Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems. II. J. Comput. Phys., 89(2):439−461, 1990.

108. Paolo Luchini and Renato Tognaccini. Direction-adaptive nonreflecting boundary conditions. J. Comput. Phys., 128(1):121−133,1996.

109. K. Mazaheri and P. Roe. Numerical wave propagation and steady-state solutions: Soft wall and outer boundary conditions. AIAA Journal, 36:965−975, 1997.

110. W. R. Watson and M. K. Myers. Inflow-outflow boundary conditions for two-dimensional acoustic waves in channels with flow. AIAA Journal, 29:1383−1389,1991.

111. W. R. Watson and M. K. Myers. Two-step method for evolving nonlinear acoustic systems to a steady state. AIAA Journal, 30:1724−1730, 1992.

112. D.-J. Guo and Q.-C. Zeng. Open boundary conditions for a numerical shelf sea model. J. Comput. Phys., 116:97−102, 1995.

113. Y. Tang and R. Grimshaw. Radiation boundary conditions in barotropic coastal ocean numerical models. J. Comput. Phys., 123(1):96−110, 1996.

114. John C. Strikwerda. Initial boundary value problems for incompletely parabolic systems. Comm. Pure Appl. Math., 30(6):797−822, 1977.

115. Bertil Gustafsson and Arne Sundstrom. Incompletely parabolic problems in fluid dynamics. SI AM J. Appl. Math., 35(2):343−357, 1978.

116. Jan Nordstrom. The influence of open boundary conditions on the convergence to steady state for the Navier-Stokes equations. J. Comput. Phys., 85(l):210−244, 1989.

117. Jan Nordstrom. The use of characteristic boundary conditions for the navier-stokes equations. Computers & Fluids, 24:609−623, 1995.

118. N. Nordin and J. Nordstrom. Improved far-field boundary conditions in euranus. Technical Report FFA TN 1995;26, The Aeronautical Research Institute of Sweden, Bromma, Sweden, April 1995.

119. J. S. Hesthaven and D. Gottlieb. A stable penalty method for the compressible Navier-Stokes equations. I. Open boundary conditions. SI AM J. Sci. Comput., 17(3):579−612, 1996.

120. David H. Rudy and John C. Strikwerda. A nonreflecting outflow boundary condition for subsonic Navier-Stokes calculations. J. Comput. Phys., 36(l):55−70, 1980.

121. David H. Rudy and John C. Strikwerda. Boundary conditions for subsonic compressible Navier-Stokes calculations. Computers and Fluids, 9:327−338, 1981.

122. T. J. Poinsot and S. K. Lele. Boundary conditions for direct simulations of compressible viscous flows. J. Comput. Phys., 101(1):104−129, 1992.

123. F. F. Grinstein. Open boundary conditions in the simulation of subsonic turbulent shear flows. J. Comput. Phys., 115(l):43−55, 1994.

124. M. E. Hayder and E. Turkel. High order accurate solutions of viscous problems. AIAA Paper No. 93−3074, 1993. 24th AIAA Fluid Dynamics Conference, Orlando, Florida, 1993.

125. M. E. Hayder and E. Turkel. Nonreflecting boundary conditions for jet flow computations. AIAA Journal, 33:2264−2273, 1995.

126. J. N. Scott, R. R. Mankbadi, M. E. Hayder, and S. I. Hariharan. Outflow boundary conditions for the computational analysis of jet noise. AIAA Paper No. 93−4366, 1993. 15th AIAA Aeroacoustics Conference, Long Beach, California, 1993.

127. Bertil Gustafsson and Jan Nordstrom. Extrapolation procedures at outflow boundaries for the Navier-Stokes equations. In Computing methods in applied sciences and engineering (Paris, 1990), pages 136−151. SIAM, Philadelphia, PA, 1990.

128. J. Nordstrom. Accurate solutions of the time-dependent Navier-Stokes equations despite erroneous outflow boundary data. Technical Report 150, Department of Scientific Computing, Uppsala University, Uppsala, Sweden, 1993.

129. J. Nordstrom. Accuracy and stability of extrapolation procedures at artificial outflow boundaries for the time-dependent navier-stokes equations. Technical Report 151, Department of Scientific Computing, Uppsala University, Uppsala, Sweden, 1993.

130. Jan Nordstrom. Accurate solutions of the Navier-Stokes equations despite unknown outflow boundary data. J. Comput Phys., 120(2): 184−205, 1995.

131. B. Christer V. Johansson. Boundary conditions for open boundaries for the incompressible Navier-Stokes equation. J. Comput. Phys., 105(2):233−251,1993.

132. Jean-Pierre Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. J. Comput. Phys., 114(2): 185−200, 1994.

133. F. Bonnet and F. Poupaud. Bereneger absorbing boundary condition with time finite-volume scheme for triangular meshes. Appl. Numer. Math., 25:333−354, 1997.

134. P. G. Petropoulos. Analysis of exponential time-differencing for fd-td in lossy dielectrics. IEEE Trans. Antennas Propagat., 45:1054−1057, 1997.

135. P. G. Petropoulos, L. Zhao, and A. C. Cangellaris. A reflectionless sponge layer absorbing boundary condition for the solution of Maxwell’s equations with high-order staggered finite difference schemes. J. Comput. Phys., 139:184−208, 1998.

136. P. G. Petropoulos. On the termination of the perfectly matched layer with local absorbing boundary conditions. J. Comput Phys., 143:1−9, 1998.

137. S. Abarbanel and D. Gottlieb. On the construction and analysis of absorbing layers in CEM. Appl. Numer. Math., 27:331−340, 1998.

138. E. Turkel and A. Yefet. Absorbing PML boundary layers for wave-like equations. Appl Numer. Math., 27:533−557, 1998.

139. S. V. Tsynkov. Artificial boundary conditions based on the difference potentials method. NASA Technical Memorandum No. 110 265, July 1996. Langley Research Center, Hampton, VA.

140. Allen Taflove and Susan C. Hagness. Computational Electrodynamics: the Finite-Difference Time-Domain Method. Artech House, Boston, second edition, 2000.

141. D. Burnett. An ellipsoidal infinite element for 3d radiation and scattering, presented at the IUTAM Symposium on Computational Methods for Unbounded Domains, July 27 31, 1997, 1997.

142. K. Gerdes. Infinite element methods. In Thomas L. Geers, editor, IUTAM Symposium on Computational Methods for Unbounded Domains (Boulder, CO, 1997), volume 49 of Fluid Mech. Appl, pages 143−150. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998.

143. T. Matsushima and P. S. Marcus. A spectral method for unbounded domains. J. Comput. Phys., 137(2):321−345,1997.

144. В. С. Рябенький. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. Наука, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Москва, 1987.

145. V. S. Ryaben’kii. Method of Difference Potentials and Its Applications, volume 30 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2002.

146. A. P. Calderon. Boundary-value problems for elliptic equations. In Proceedings of the Soviet-American Conference on Partial Differential Equations at Novosibirsk, pages 303−304, Moscow, 1963. Fizmatgiz.

147. И. Л. Софронов. Развитие метода разностных потенциалов и его приложение к решению стационарных задач диффракции. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Московский Физико-Технический Институт, Москва, СССР, 1984.

148. В. С. Рябенький. Точный перенос разностных краевых условий. Функциональный Анализ и Приложения, 24(3):90−91, 1990.

149. И. Л. Софронов. Метод разностных потенциалов для задач диффракции, описываемых уравнениями Максвелла. Вычислительная Механика Твердого Тела, 2:158−177, 1990.

150. Р. И. Вейцман, Е. В. Зиновьев. Поток звуковой энергии, вызванный вибрациями пластин и оболочек. Акустический Журнал, 41:567−575, 1995.

151. К. В. Брушлинский, В. С. Рябенький, Н. Б. Тузова. Перенос граничных условий через вакум в осесимметричных задачах. Журнал Выслительной Математики и Математической Физики, 32(12):1929—1939, 1992.

152. М. Н. Мишков, В. С. Рябенький. Искусственные граничные условия для уравнения Гельмгольца в стратифицированной среде. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР N0. 70, 1992. Москва.

153. С. В. Цынков. Об условиях на внешней границе расчетной области в дозвуковых задачах вычислительной газовой динамики. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР N0. 108, 1990. Москва.

154. С. В. Цынков. Применение модели потенциального обтекания к постановке условий на внешней границе для уравнений Эйлера. Часть 1. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР N0. 40, 1991. Москва.

155. И. Л. Софронов, С. В. Цынков. Применение модели потенциального обтекания к постановке условий на внешней границе для уравнений Эйлера. Часть 2. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР N0. 41, 1991. Москва.

156. И. JL Софронов. Быстро сходящийся метод для решения уравнений Эйлера. Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, 31(4):575−591, 1991.

157. В. С. Рябенький, С. В. Цынков. Искусственные граничные условия для численного решения внешних задач вязкого обтекания. Часть 1. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР No. 45, 1993. Москва.

158. В. С. Рябенький, С. В. Цынков. Искусственные граничные условия для численного решения внешних задач вязкого обтекания. Часть 2. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Академии Наук СССР No. 46, 1993. Москва.

159. V. S. Ryaben’kii and S. V. Tsynkov. Artificial boundary conditions for the numerical solution of external viscous flow problems. SI AM J. Numer. Anal, 32:1355−1389,1995.

160. S. V. Tsynkov. An application of nonlocal external conditions to viscous flow computations. J. Comput. Phys., 116:212−225, 1995.

161. S. V. Tsynkov, E. Turkel, and S. Abarbanel. External flow computations using global boundary conditions. AIAA Journal, 34:700−706, 1996.

162. V. S. Ryaben’kii and S. V. Tsynkov. An effective numerical technique for solving a special class of ordinary difference equations. Appl. Numer. Math., 18(4):489−501, 1995.

163. S. V. Tsynkov. Artifical boundary conditions for computation of oscillating external flows. SI AM J. Sci Comput., 18(6):1612−1656, 1997.

164. S. V. Tsynkov and V. N. Vatsa. An improved treatment of external boundary for three-dimensional flow computations. AIAA Journal, 36:1998;2004, 1998.

165. S. V. Tsynkov. External boundary conditions for three-dimensional problems of computational aerodynamics. SI AM J. Sci. Сотр., 21:166−206, 1999.

166. S. V. Tsynkov, S. Abarbanel, J. Nordstrom, V. S. Ryaben’kii, and V. N. Vatsa. Global artificial boundary conditions for computation of external flows with jets. AIAA Journal, 38:2014;2022, 2000.

167. Д. Андерсон, Дж. Танненхилл, Р. Плетчер. Вычислительная гидромеханика и теплопередача. Мир, Москва, 1990.

168. Saul Abarbanel and David Gottlieb. Optimal time splitting for twoand three-dimensional Navier-Stokes equations with mixed derivatives. J. Comput. Phys., 41(1):1—33, 1981.

169. S. Abarbanel, P. Duth, and D. Gottlieb. Splitting methods for low mach number euler and navier-stokes equations. Computers and Fluids, 17:1−12, 1989.

170. Jaime Guerra and Bertil Gustafsson. A semi-implicit method for hyperbolic problems with different time-scales. SI AM J. Numer. Anal., 23(4):734−749, 1986.

171. Bertil Gustafsson and Hans Stoor. Navier-Stokes equations for almost incompressible flow. SIAM J. Numer. Anal., 28(6):1523−1547, 1991.

172. H. Ashley and M. T. Landahl. Aerodynamics of Wings and Bodies. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 1965.

173. A. H. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Москва, 1981.

174. М. Н. Мишков, В. С. Рябенький. Исследование одного способа постановки искусственных граничных условий. Часть 1. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Российской Академии Наук No. 55,1997. Москва.

175. М. Н. Мишков, В. С. Рябенький. Исследование одного способа постановки искусственных граничных условий. Часть 2. Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Рпссийской Академии Наук No. 56,1997. Москва.

176. М. Н. Мишков, В. С. Рябенький. Исследование искусственных граничных условий полученных путем периодизации и введения малого параметра для дозвуковых задач обтекания. Математическое Моделирование, 10(9):87—98, 1998.

177. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. Издательство Иностранной Литературы, Москва, 1956.

178. В. С. Рябенький. Необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений. Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, 4:242−255,1964.

179. Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. Наука, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Москва, 1967.

180. С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Канонические формы систем обыкновенных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, 3:211−222, 1963.

181. S. Ta’asan. Canonical-variables multigrid method for steady-state Euler equations. Technical Report 94−14, ICASE, NASA Langley Research Center, Hampton, VA, 1994.

182. D. Sidilkover. A genuinely multidimensional upwind scheme and efficient multigrid solver for the compressible Euler equations. Technical Report 94−84, ICASE, NASA Langley Research Center, Hampton, VA, 1994.

183. D. Sidilkover and U. Ascher. A multigrid solver for the steady-state Navier-Stokes equations using the pressure-Poisson formulation. Matematica Aplicada e Computational, 14:21−35,1995.

184. D. Sidilkover. Factorizable schemes for the equations of fluid flow. Technical Report 99−20, ICASE, NASA Langley Research Center, Hampton, VA, 1999.

185. T. W. Roberts, D. Sidilkover, and S. V. Tsynkov. On the combined performance of non-local artificial boundary conditions with the new generation of advanced multigrid flow solvers. Computers and Fluids, 31(3):269−308, 2001.

186. E. Turkel. Review of preconditioning methods for fluid dynamics. Appl. Numer. Math., 12(l-3):257−284,1993. Special issue to honor Professor Saul Abarbanel on his sixtieth birthday (Neveh, 1992).

187. V. Schmitt and F. Charpin. Pressure distributions on the ONERA M6 wing at transonic mach numbers. AGARD AR-138, 1979. p. Bl.

188. F. R. Menter. Performance of popular turbulence models for attached and separated adverse pressure gradient flows. AIAA Paper No. 91−1784, 1991. AIAA 22nd Fluid Dynamics, Plasma Dynamics &- Lasers Conference, Honolulu, Hawaii, June 1991.

189. Г. H. Абрамович. Теория турбулентных струй. Физматгиз, Москва, 1960.

190. W. В. Compton. Comparison of turbulence models for nozzle-afterbody flows with propulsive jets. NASA Technical Paper No. 3592, September 1996. Langley Research Center, Hampton, VA.

191. J. L. Thomas, S. Krist, and W. K. Anderson. Navier-Stokes computations of vortical flows over low-aspect-ratio wings. AIAA Journal, 28:205−212, 1990.

192. C. L. Rumsey and V. N. Vatsa. Comparison of predictive capabilities of several turbulence models. AIAA Journal of Aircraft, 32:510−514, 1995.

193. B. Alpert, L. Greengard, and T. Hagstrom. Rapid evaluation of nonreflecting boundary kernels for time-domain wave propagation. SIAM J. Numer. Anal, 37:1138−1164, 2000.

194. B. Alpert, L. Greengard, and T. Hagstrom. Nonreflecting boundary conditions for the time-dependent wave equation. J. Comput. Phys., 180(l):270−296, 2002.

195. V. S. Ryaben’kii, S. V. Tsynkov, and V. I. Turchaninov. Long-time numerical computation of wave-type solutions driven by moving sources. Appl. Numer. Math., 38:187−222, 2001.

196. В. С. Рябенький, В. И. Турчанинов, С. В. Цынков. Использование лакун решений ЗБ-волнового уравнения для вычисления решения задачи Коши на больших временах. Математическое Моделирование, 11(12):113−12б, 1999.

197. V. S. Ryaben’kii, S. V. Tsynkov, and V. I. Turchaninov. Global discrete artificial boundary conditions for time-dependent wave propagation. J. Comput. Phys., 174(2):712−758, 2001.

198. В. С. Рябенький, В. И. Турчанинов, С. В. Цынков. Неотражающие искусственные граничные условия для замены отбрасываемых уравнений с лакунами. Математическое Моделирование, 12(12):108—127, 2000.

199. J. Hadamard. Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations. Yale University Press, New Haven, 1923.

200. J. Hadamard. Probleme de Cauchy. Hermann et cie, Paris, 1932. French].

201. J. Hadamard. The problem of diffusion of waves. Ann. of Math. (2), 43:510−522,1942.

202. И. Г. Петровский. On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations. Математический Сборник (Recueil Mathematique), 17 (59)(3):289−370,1945.

203. P. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. Часть II. Государственное Издательство Технико-Теоретической Литературы, Москва, Ленинград, 1951.

204. М. Ф. Атья, Р. Ботт, Л. Гординг. Лакуны гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. I. Успехи Математических Наук, 2б (2(158)):25—100,1971.

205. М. Ф. Атья, Р. Ботт, Л. Гординг. Лакуны гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. II. Успехи Математических Наук, 39(3(237)):171−224,1984.

206. M. Matthisson. Le probleme de Hadamard relatif a la diffusion des ondes. Acta Math., 71:249−282, 1939. French].

207. Karl L. Stellmacher. Ein Beispiel einer Huyghensschen Differentialgleichung. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math. Phys. Kl. Math.-Phys. Chem. Abt., 1953:133−138,1953. German].

208. J. Е. Lagnese and К. L. Stellmacher. A method of generating classes of Huygens' operators. J. Math. Mech., 17:461−472, 1967.

209. R. Schimming. A review of Huygens' principle for linear hyperbolic differential equations. In Proceedings of the IMU Symposium «Group-Theoretical Methods in Mechanics,» Novosibirsk, USSR, 1978, Novosibirsk, 1978. USSR Acad. Sei., Siberian Branch.

210. M. Belger, R. Schimming, and V. Wunsch. A survey on Huygens' principle. Z. Anal. Anwendungen, 16(1):9~36, 1997. Dedicated to the memory of Paul Gunther.

211. Paul Gunther. Huygens' principle and hyperbolic equations, volume 5 of Perspectives in Mathematics. Academic Press Inc., Boston, MA, 1988. With appendices by V. Wunsch.

212. Paul Gunther. Ein Beispiel einer nichttrivialen Huygensschen Differentialgleichung mit vier unabhangigen Variablen. Arch. Rational Mech. Anal., 18:103−106, 1965. German].

213. C. L. Morfey. Dictionary of Acoustics. Academic Press, San Diego, 2001.

214. P. M. Morse and H. Feshbach. Methods of Theoretical Physics. Parts I and II. McGraw-Hill, Boston, 1953.

215. S. V. Tsynkov. Artificial boundary conditions for the numerical simulation of unsteady acoustic waves. J. Comput. Phys., 189(2):626−650, August 2003.

216. S. V. Tsynkov. On the application of lacunae-based methods to Maxwell’s equations. J. Comput. Phys., 2003. Submitted for publication.

217. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория поля. Наука, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Москва, 1988.

218. И. М. Стейн. Сингулярные интегралы и диференциалъные свойства функций. Мир, Москва, 1973.

219. А. А. Резник. Аппроксимация поверхностных потенциалов эллиптических операторов разностными потенциалами. Докл. АН СССР, 263(6):1318—1320,1982.

220. Е. Н. Hirschel and W. Kordulla. Shear Flow in Surface-Oriented Coordinates, volume 4 of Notes on Numerical Fluid Mechanics. Friedr. Vieweg &- Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1981;1986.

221. Схематическая геометрия задачи постановки ИГУ для уравненияПуассона на неправильной границе. 59.

222. Схема используемой ЗИ геометрииотдельно слева — увеличенное крыло. 80.

223. Непрерывная искусственная граница Г, сеточная граница 7, коллокационная сетка, а на Г и дополнительные узлы Гх для типичной трехмерной конфигурации. 98.

224. Конфигурация областей в двумерной задаче.102.

225. Динамика сходимости для ламинарного обтекания профиля NACA0012, Mq = 0.63, а = 2°, Re = 400- логарифм невязки уравнения неразрывностикак функция числа многосеточных цикловразмерность сетки 256×64.. 104.

226. Динамика сходимости для ламинарного обтекания профиля NACA0012, Mq = 0.63, а = 2°- логарифм невязки уравнения неразрывности как функция числа многосеточных цикловразмерность сетки 256×64.. 104.

227. Схематическая постановка задачи обтекания вытянутого трехмерного тела с реактивной струей. 120.

228. Три расчетные области для течения со струей, проекция на плоскость z = 0.123.

229. Обтекание вытянутого тела с реактивной струей: Динамика сходимостидля области I, мелкая сетка.124.

230. Обтекание вытянутого тела с реактивной струей: Динамика сходимостидля области И, мелкая и крупная сетки.125.

231. Обтекание вытянутого тела с реактивной струей: Динамика сходимостидля области III, мелкая сетка.126.

232. Обтекание вытянутого тела с реактивной струей: Распределение коэффициента давления Ср в кормовой части тела в плоскости симметрии2 = 0. 127.

233. Обтекание вытянутого тела с реактивной струей: Распределение коэффициента давления Ср в кормовой части тела в плоскости симметрииу = 0.128.

234. Примерная геометрия в задаче о постановке ИГУ для нестационарных волн. 148.

235. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в акустике, е = ЮДг. 158.

236. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в акустике, е = 8Дг. 160.

237. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в акустике, е = 6Дг. 160.

238. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в акустике, е = 4Дг. 161.

239. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в акустике, е = 2Дг. 161.

240. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в электродинамике, е = ЮДг. 183.

241. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в электродинамике, е = 8Дг.184.

242. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в электродинамике, е = 6Дг.184.

243. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в электродинамике, е = 4Дг. 185.

244. Сходимость по сетке при использовании ИГУ, основанных на лакунах, в электродинамике, е = 2Дг. 185.