Неравновесная модель фильтрации жидкости в ненасыщенной пористой среде

Классическая математическая модель совместного течения несмешива-юшихся жидкостей в пористой среде была построена в тридцатых — сороковых годах прошлого столетия известными американскими учеными М. Мускатом и М. Левереттом и их коллегами [73, 77, 99]. Эта модель основана на предположении о локальном равновесии, согласно которому относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление могут быть выражены через универсальные функции, зависящие от локальной насыщенности.

В случае, когда одна из жидкостей-имеет малую вязкость, математическая модель была получена в 1931 г. и известна как модель Ричардса [85]. Эта модель традиционно используется для описания процессов распространения влаги в подземной гидромеханике и гидрологииее определяющие уравнения известны-также как уравнения ненасыщенной фильтрации.

Теория Муската — Леверетта имела и по сегодняшний день имеет важнейшее значение для инженерной практики., Однако, с течением времени, стало понятно, что эта теория не вполне адекватна. Предположение о локальном равновесии допустимо, если насыщенность не меняется заметным образом на расстояниях порядка размера поровых каналов. В действительности это не всегда так, и неравновесные эффекты должны быть учтены в модели [12, с. 148]- В связи, с этим отметим задачу о противоточной капиллярной пропитке, имеющей важное значение для нефтедобычи (см., напр., [12, с. 177]), а также задачу о неустойчивости гравитационных фронтов пропитки достаточно сухих пористых грунтов, имеющей важное значение для экологии (задача о пальцеобразованиисм., напр., [59, 90,.74]).1.

В настоящей работе мы рассматриваем задачи влагопереноса в пористой среде. Развивая идеи Г. И. Баренблатта, мы предлагаем и исследуем.

1 Понимание причин, вызывающих неустойчивость фронтов пропитки, и учёт этого эффекта в модели необходимы для верного предсказания интенсивности переноса влаги и водорастворимых загрязнений от дневной поверхности к зеркалу грунтовых вод. Действительно, наличие предпочтительных путей, порождаемых распадом фронта пропитки на отдельные пальцы, существенно уменьшает время миграции загрязнений в зоне аэрации, снижая тем самым её защитную роль. модификацию классических уравнений Ричардса, учитывающую эффекты неравновесности. Достаточно веские экспериментальные свидетельства в пользу таких моделей собраны в обзорах [67, 69]. Дополнительно отметим результаты наблюдений почвоведов, не вошедшие в эти обзоры.

В работах Абрамовой [1, 2] и Аллера [64, 63, 65] была обнаружена возможность движения влага в пористой среде в направлении градиента влажности (т. е. из областей с малой влажностью — в области с большой влажностью). Позднее опыты Абрамовой по сути были повторены Collis-George et al. [45]- аналогичные явления наблюдались в экспериментах Дмитриева [21] и Бондаренко [14], а также были воспроизведены Роде и Романовой [29]. Эксперименты Абрамовой и Аллера были одними из первых, которые поставили под сомнение применимость модели Ричардса для описания переноса влаги в ненасыщенной пористой среде.

Опишем вкратце суть поставленных экспериментов. Во всех них исследователи изучали движение влаги в вертикальной колонке, заполненной образцом природного грунта. Грунт в колонке промачивали водой, после чего с её верхней поверхности было организовано испарение (как при помощи нагрева электрической лампой, так и естественным путём без нагревания при комнатной, температуре). Давление снималось при помощи ряда установленных с определённым шагом тензиометров, влажность определялась по исследованию взятых с разной глубины образцов почвы.

Во всех экспериментах исследователи отмечали восходящее движение влаги из глубины почвы к поверхности испарения, которое, в особенности на первых стадиях процесса, совершалось при отсутствии градиента влажности и иногда даже в направлении возрастающей влажности. Описанные эксперименты не могли быть объяснены, в рамках традиционно используемой в почвоведении модели Ричардса.

Аллер был. также первым, кто попытался теоретически описать этот феномен [65, 66]. Для этого он модифицировал равновесное капиллярное соотношение, имеющее вид р = —Pc (s), в следующее q p = -P°(S)+T-, (1) где т > 0 — некий варьируемый коэффициент.2 Правую часть этого соотношения Аллер называл эффективным потенциалом влажности.

Среди’других подходов к модификации модели Ричардса отметим работы А. В. Лыкова [26, 27].

2Аллер использовал другие обозначения при записи соотношения (1) — так вместо т им использовалась постоянная А.

Возрождение интереса к модификации уравнения Ричардса было связано с появлением большого количества экспериментальных фактов, касающихся экспериментов по пальцеобразованию, теоретическим исследованием которых занимался М. Хассанизаде (Ма^с! НазэагигасЬЬ.). В серии работ [67, 68, 69] он последовательно применяет методы неравновесной термодинамики к процессам перераспределения влаги в поровом пространстве. Записывая балансовые соотношения для свободной энергии Гельмгольца на границе раздела фаз, Хассанизаде получает необходимое ограничение, накладываемое на возможные модификации модели Ричардса в виде энтропийного неравенства. р+ **(«)) §->о.

Им, независимо от Аллера, было предложено неравновесное соотношение (1), которое, очевидно, находится в, согласии с этим энтропийным неравенством.3 Замена в модели Ричардса капиллярного соотношения на равенство (1) приводит к модели неравновесной фильтрации, которая изучалась многими авторами: среди них отметим теоретические работы [39], [13, с. 155], [78', 55]' и работы на основе вычислительных экспериментов [79, 47, 78, 87, 43]. Близкая-к указанной, математическая, модель была также предложена Даутовым и Егоровым [20].

Ранее исследований М. Хассанизаде Г. И'. Баренблаттом в [10] была предложена неравновесная модель двухфазной фильтрации, которая развивается и изучается и. по сегодняшний день (см., напр., [11, 33, 34, 35, 36, 37]). Согласно этой модели относительная проницаемость и капиллярное давление в модели Ричардса зависят не от актуальной насыщенности в, а от «эффективной» г== тё + я, где т > 0 — дополнительный параметр пористой среды. С пашей точки зрения, появление теории М. Хассанизаде и интерес к ней во многом связан с тем, что оказалось, что модель Г. И. Баренблатта неспособна описать процесс пальцеообразования.

Разумеется, всякая математическая модель должна быть тщательно протестирована и верифицирована по результатам различных натурных экспериментов. Только после этого можно делать окончательное заключение о её достоверности и практической применимости. Так попытки верификации моделей Хассанизаде и Даутова-Егорова по недавно полученным экспериментальным данным Б.А. БЮагЬ по пропитке пористых грунтов во всем диапазоне расхода жидкости были неудачнымиих удается верифицировать лишь в небольшом диапазоне расходов [52].

3 Правая часть соотношения (1) была названа им динамическим капиллярным давлением.

Изложенное выше определяет основные цели данной работы, заключающиеся:

1. в построении и теоретическом исследовании неравновесной математической модели влагопереноса в ненасыщенно-насыщенных пористых средах;

2. в верификации модели по результатам натурных экспериментов;

3. в разработке численных методов и комплекса программ для обеспечения вычислительных экспериментов.

Остановимся подробнее на содержании диссертации, объемом 134 стр. Она состоит из списка обозначений, введения, трёх глав, 47 рисунка, 3 таблиц. Список использованной литературы содержит 99 наименований.

Первая глава работы посвящена определению предлагаемой нами математической модели для описания влагопереноса в пористых средах и его теоретическому исследованию. Она состоит из 4-х параграфов.

Первый параграф является вводным: в нем определяется классическая модель Ричардса в размерной и безразмерной форме, вводятся необходимые обозначения и описывается гистерезис в капиллярным соотношении. § 2 посвящен описанию известных релаксационных модификаций капиллярного соотношения (Баренблатта, Хассанизаде-Грея), а также соответствующих им неравновесных моделей фильтрации (как без учета, так и с учетом капиллярного гистерезиса). Заканчивается параграф определением предлагаемой нами модели' и замечаниями по поводу его формальной корректности. Она является обобщением модели Г. И. Баренблатта и имеет следующий вид (если гистерезис не учитывается):

5 — V • К (в + ткз)(Ур + е) = О,.

Т5 + 5 = 5(р).

При т — тк = 0 она приводит к модели. Ричардса, при т = тк > 0 — к модели Баренблатта, при г > 0, тк = 0 — к модели Даутова-Егорова.

В § 3 изучаются вопросы существования и единственности обобщенных решений этой модели. Нам не удалось провести исследование разрешимости во всем диапазоне параметров для «реалистичной» модели гистерезисадостаточно полно исследован случай без учета гистерезиса и с простейшим капиллярным гистерезисом для сред с ненулевой начальной насыщенностью.

В § 4 изучаются вопросы существования, единственности, а также качественные свойства частных решений сформулированной нами модели в виде бегущих в направлении силы тяжести волн пропитки. Такие автомодельные решения представляют большой интерес в связи с задачами инфильтрации жидкости, в пористую среду при учете силы тяжести (гравитационная пропитка). Изучаются как задачи без гистерезиса, так и с гистерезисомисследуется зависимость волны пропитки от параметров модели. Основное внимание уделяется определению диапазона параметров, при которых волна пропитки является немонотонной.

Вторая глава диссертационной работы посвящена верификации предложенной нами модели и моделированию на ее основе явления пальце-образования. Она состоит из 5-и параграфов.

Первый параграф посвящен описанию известных квазидвумерных лабораторных экспериментов по пальцеобразованию в ненасыщенных пористых средах, а § 2 — описанию связанных с ними квазиодномерных экспериментов Б.А. Б1Саг1о по гравитационной пропитке пористых сред. Результаты этих экспериментов в силу своей полноты и систематичности предоставляют хорошую базу для верификации теоретических моделей.

Третий параграф посвящен верификации построенной в предыдущей главе неравновесной модели влагопереноса на основании экспериментов Б: А. БЮаг1о. Здесь описывается выбранныйспособ решения задачи верификации (на основе волн пропитки), параметризация модели в предположении постоянства релаксационных параметров т и тк, а также дается описание результатов верификации для трех типов сред. Результаты вычислений свидетельствуют о том, что построенная, модель пригодна для описания экспериментальных данных в достаточно широком диапазоне изменения потоков.

В 4-м параграфе устанавливается (на основе вычислительных экспериментов), что решение одномерной нестационарной задачи инфильтрации жидкости в пористую среду с постоянным расходом, согласно нашей модели, выходит на автомодельный режим при больших значениях времени и представляет собой волну пропитки. Описывается разработанный нами численный метод решения задачи с учетом капиллярного гистерезиса.

В 5-ом, заключительном параграфе главы, моделируются квазидвумерные эксперименты по инфильтрации жидкости в достаточно сухую однородную пористую среду (эксперименты по пальцеобразованию).

Первоначально теоретически анализируется устойчивость однородного потока жидкости. На физическом уровне строгости, используя линейную теорию устойчивости, выводится критерий устойчивости, согласно которому немонотонные решения оказываются неустойчивыми. Далее описывается численный метод решения спектральной задачи и вычисляется основная дисперсионная кривая для конкретной пористой среды. Вычисления показывают, что имеется характерное значение частоты возмущений, на которой возмущения растут быстрее всего. Естественно связывать эту величину с характерным расстоянием между пальцами, на которые распадается изначально однородный гравитационный фронт пропитки. Эти теоретические исследования показывают, что немонотонные решения (немонотонные волны пропитки) условно неустойчивы и должны эволюционировать в «пальцеобразные» решения. Это утверждение полностью согласуется с результатами экспериментальных работ.

Заканчивается параграф описанием разработанного нами численного метода и результатов вычислительных экспериментов. Расчеты подтвердили, что выявленная в предыдущем параграфе неустойчивость фронта пропитки приводит к его распаду на систему устойчиво развивающихся пальцев. При этом важную роль играет гистерезис в капиллярном соотношении (он определяет механизм сохранности нарождающихся в силу неустойчивости пальцев). Морфологические особенности пальца (область питания, тело пальца, головка пальца) качественно совпадают с выявленными в экспериментах, а профиль влажности вдоль оси пальца — с полученным в результате решения автомодельной задачи.

Третья глава диссертационной работыпосвящена численному методу решения задач ненасыщенно-насыщенной фильтрации. Она состоит из 6-и параграфов. Метод основан на предложенной нами новой формулировке задачи, которая получается из исходнойвведением вместо функции давления новой неизвестной, совпадающей с насыщенностью среды в одних подобластях области течения и с «нормированным» давлением — в других. Первоначально, после обзора известных подходов к построению численных методов (§ 1), дается описание новой формулировки задачи для однородных сред, затем — кусочно-неоднородных (§ 3). Далее, на основе метода конечных элементов, строится чисто неявная аппроксимация задачи в новых переменных, описывается реализация метода Ньютона (§ 4) и отмечается его экономичность. Решению сеточных уравнений и управлению шагом интегрирования посвящен § 5. Заключительный § 6 посвящен описанию программы и результатов решения четырех тестовых задач, достаточно трудных для решения и входящих в стандартный набор задач для тестирования численных методов для модели Ричардса. Результаты тестовых вычислений, которые сравнивались с результатами других авторов, позволяют утверждать, что предложенный нами метод эффективен для однородных сред и пригоден для моделировашш течений в неоднородных пористых средах во всем диапазоне насыщенностей.

Отметим основные результаты диссертационной работы.

1. Построена и теоретически исследована неравновесная математическая модель влагопереноса в ненасыщенно-насыщенных пористых средах, обобщающая модели J1.A. Ричардса и Г. И. Баренблатта, и учитывающая динамические и статические эффекты памяти.

2. Дано исследование вопросов существования, единственности, устойчивости и качественных свойств частных решений предложенной модели в виде бегущих волн пропитки.

3. Проведена верификация модели по результатам лабораторных экспериментов по одномерной гравитационной пропитке ряда пористых сред. Показана ее пригодность для моделирования явления неустойчивости фронтов пропитки.

4. Разработан численный метод и комплекс программ для решения задач ненасыщенно-насыщенной фильтрации.

Основные результаты диссертации опубликованы в семи статьях ([5, 6, 7, 8, 17, 18, 19]) и в тезисах [3, 4], в том числе одна статья в журнале, входящем в список ВАК РФони также докладывались и обсуждались:

• на VI всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения», (Казань, 2004);

• на Международном семинаре Recent Advances in Multi-phase Flow in Porous Media (Казань, 2004);

• на Международном семинаре Upscaling Flow and Transport Process in Porous Media (Delft, 2005);

• на Всероссийской молодёжной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики» (Казань, 2006);

• на Международном семинаре Summer School on Upscaling and Modelling of Coupled Transport Processes in the Subsurface (Utrecht, 2006);

• на VII всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007);

• на VIII молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения 2009» (Казань, 2009);

• на VIII Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2010);

• на итоговых научных конференциях Казанского федерального университета (2003;20 011);

• на семинарах кафедры вычислительной математики и отделения механики НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарёва Казанского федерального университета.

Совместные работы выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому в этих работах принадлежит постановка задач, выбор направлений и методов исследования.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского федерального университета при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05−01−516) и международного проекта РФФИ и NWO (Нидерланды, № 05−01−890 001-К¥-0).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Рафаилу Замиловичу Даутову за постановку задачи, постоянную поддержку и помощь при выполнении работы.

1. Абрамова М. М. Опыты по изучению передвижения капиллярно-подвешенной влаги при испарении // Почвоведение. 1948. № 1.

2. Абрамова М. М. Передвижение воды в почве при испарении // Труды Почв, ин-та им. В. В. Докучаева. 1953. Т. 41.

3. Ахтареев А. А. Численное решение задачи релаксационной фильтрации // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2003 года. Тезисы докладов. Казань: Казанский гос. ун-т, 2003. С. 96−97.

4. Ахтареев А. А., Даутов Р. 3. Метод смешанной переменной для моделирования насыщенно-ненасыщенных течений // Ученые записки Казанского государственного университета. 2007. С. 58−72.

5. Бадриев И. Б., Задворнов О. А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. Казань: Изд-во КГУ, 2007. 151 с.

6. Баренблатт Г. И. Фильтрация двух несмешивающихся жидкостей в однородной пористой среде // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1971. № 5. С. 857−864.

7. Баренблатт Г. И., Виниченко В. П. Неравновесная фильтрация несмешивающихся жидкостей // Успехи в механике. 1980. Т. 3, № 3. С. 35−50.

8. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М., Недра, 1972.

9. Беляев А. Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. М., Наука, 2004. С. 200.

10. Бондаренко Н. Ф., Корчунов С. С., Нерпин С. В. и др. Расчетные методы прогноза водного режима и его регулирование. Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. М.: Наука, 1964. С. 32−43.

11. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

12. Гоголашвили Б. Э., Даутов Р., Егоров А. Г. Верификация релаксационной модели Ричардса по экспериментальным данным для одномерной пропитки // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. по. 3. Рр. 85−92.

13. Даутов Р. 3., Ахтареев А. А. Обобщение модели Баренблатта для описания течений в ненасыщенной пористой среде // Материалы VIII молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения 2009». Казань: Казан, матем. об-во., 2009. Т. 39. С. 130−133.

14. Даутов Р. 3., Ахтареев А. А. Модель Баренблатта с двумя временами релаксации для описания течений в пористых средах // Материалы VIII всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Казан, ун-т, 2010. С. 179−185.

15. Даутов Р. 3., Егоров А. Г. Моделирование неустойчивости влагопе-реноса в ненасыщенных пористых средах // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Казан, гос. ун-т, 2004. Т. 24. С. 42−51.

16. Дмитриев С. И., Нечаев В. К. К вопросу о применимости уравнения диффузии для изучения явления влагопроводности в почвогрун-тах // Труды ЛГМИ. 1962. Т. 13.

17. Егоров А. Г., Гоголашвили Б. Э. Вычисление гидравлических функций на решётчатой модели пористой среды в приближении среднего поля // Уч. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2005. по. 3. Рр. 57−74.

18. Киндерлерер Д., Стампаккья Г.

Введение

в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

19. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

20. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения: М.: Мир, 1971. 372 с.

21. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию теплои массообмена // Инженерно-физический журнал. 1965. № 3.

22. Лыков.А. В. Эффект инерционности в тепломассообменных явлениях // Инженерно-физический журнал. 1965. № 3.

23. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л., ОГИЗ, 1947. С. 448.

24. Роде А. А., Романова Г. И. Изменение всасывающего давления в почве в процессе испарения подвешенной влаги. Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. М.: Наука, 1964.

25. Треногин Ф. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 399 с.

26. Alt W., Luckhaus S., Visintin A. On nonstationary flow through porous media // Ann. Math. Рига Appl. 1984. Vol. 136. Pp. 303−316.

27. Astala K., Faraco D., Sekelyhidi L. Convex integration and the Lp theory of elliptic equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2008. Vol. VII, no. 5. Pp. 1−50.

28. Barenblatt G. I., Entov V. M., Ryzhik V. M. Theory of Fluid Flows through Natural Rocks. Dordrecht: Kluwer, Academic Publishers, 1990.

29. Barenblatt G. I., Garcia-Azorero J., Pablo A. D., Vazquez J. L. The mathematical model for two-phase non-equilibrium flows in porous media //In Mathematical modeling of flow through porous media. Scientific Press. 1996.

30. Barenblatt G. I., Garcia-Azorero J., Pablo A. D., Vazquez J. L. Mathematical Model of the Non-Equilibrium Water-Oil Displacement in Porous Strata // Eng. Phys. Journal. 1997. Vol. 65. Pp. 19−45.

31. Barenblatt G. I., Gilman A. A. A Mathematical Model of NonEquilib-rium Countercurrent Capillary Imbibition // Eng. Phys. Journal. 1987. Vol. 52, no. 3. Pp. 46−61.

32. Barenblatt G. I., Patzek Т., Silin D. The mathematical model of non-equilibrium effects in water-oil displacement // SPE J. 2003. Vol. 8, no. 4. Pp. 409−416.

33. Beliaev A. Y., Hassanizadeh S. M. A theoretical model of hysteresis and dynamic effects in the capillary relation for two-phase flow in porous media // Transp. Porous Media. 2001. Vol. 43. Pp. 487−510.

34. Beliaev A. Y., Shotting R. J. Analysis of a new model for unsaturated flow in porous media including hysteresis and dynamic effects // Computational Geosciences. 2001. Vol. 5, no. 4. Pp. 345−368.

35. Biggar J. W., Taylor S. A. Some aspects of the kinetics of moisture flow into unsaturated soil // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1960. Vol. 24. Pp. 81−85.

36. Bixler N. E. An improved time integrator for finite element analysis // Comm. Appl. Num. Meths. 1989. Vol. 5. Pp. 69−78.

37. Brooks R. H., Corey A. T. Properties of porous media affecting fluid flow // J. Irrig. Drain. Div. Am. Soc. Civil Eng. 1966. Vol. 92. Pp. 6188.

38. Chapwanya M., Stockie J. M. Numerical simulations of gravity-driven fingering in unsaturated porous media using a nonequilibrium model // Water Resources Research. 2010. Vol. 46, no. 9. Pp. 1−14.

39. Chipot M., Michaille G. Uniqueness results and monotonicity properties for strongly nonlinear elliptic variational inequalities // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1989. Vol. 16, no. 1. Pp. 137−166.

40. Collis-George N., Henin S., Kelley J. A. Etude du mecanisme de la dessi-cation des sols par evaporation // C. R. Ac. Sc. Sc. 1963. Vol. 257.

41. Cuesta C., Duijn C. J. V., Hulshof J. Infiltration in porous media with dynamic capillary pressure: Travelling waves // Euro. J. of* Applied Mathematics. 2000. Vol. 11. Pp. 381−397.

42. Dautov R. Z., Egorov A. G., Nieber J. L., Sheshukov A. Y. Simulation of two-dimensional gravity-driven unstable flow // 14th Int. Conf. on.

43. DiCarlo D. A. Experimental measurements of saturation overshoot on infiltration // Water Resour. Res. 2004. Vol. 40, no. 4. Pp. 147−172.

44. DiCarlo D. A. Capillary pressure overshoot as a function of imbibition flux and initial water content // Water Resour. Res. 2007. Vol. 43. Pp. 1−7.

45. DiCarlo D. A. Modeling observed saturation overshoot with continuum additions to standard unsaturated theory // Adv. Water Resour. 2007. Vol. 28. Pp. 1021−1027.

46. Diersch H-J. Finite element modelling of recirculating density driven saltwater intrusion processes in groundwater // Adv. Water Resour. 1988. no. 11. Pp. 25−43.

47. Diersch H.-J., Perrochet P. On the primary variable switching technique for simulating unsaturated-saturated flows // Adv. Water Resour. 1999. no. 23. Pp. 271−301.

48. Egorov A. G., Dautov R. Z., Nieber J. L., Sheshukov A. Y. Stability analysis of gravity-driven infiltrating flow // Water Resour. Res. 2003. Vol. 39, no. 9. Pp. 1266−1278.

49. Gallouet T., Monier A. On the regularity of Solutions to Elliptic Equations // Rendiconti di Matimatica, Serie VII. 1999. Vol. 19. Pp. 471−488.

50. Geiger S. L. Infiltration in homogeneous sands and a mechanistic model of unstable flow // Soil Sci. Soc. Am. J. 2000. Vol. 64. Pp. 460−469.

51. Genuchten M. V. A closed form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soil // Soil Sci. Soc. Am. J. 1980. Vol. 44. Pp. 892−898.

52. Glass R. J., Steenhuis T. S., Parlange J.-Y. Mechanism for finger persistence in unsaturated, porous media: Theory and verification // Soil Sci. 1989. Vol. 148, no. 1. Pp. 60−70.

53. Gray W. G., Hassanizadeh S. M. Unsaturated flow theory including interfacial phenomena // Water Resour. Res. 1991. Vol. 27. Pp. 1855−1863.

54. Groger K. A 14^-estimate for solutions to mixed boundary value problems for second order elliptic differential equations // Math. Ann. 1989. Vol. 283. Pp. 679−687.

55. Groger K. W^-estimates of solutions to evolution equations corresponding to nonsmooth second order elliptic differential operators // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications archive. 1992. Vol. 18, no. 6. Pp. 679−687.

56. Hallaire M. Diffusion de l’eau a l’etat vapeur et liquide en voisinage de la surface d’evaporation // UGGI. Assemblee Gen. 1958. Vol. 11.

57. Hallaire M. Soil water movement in the film and vapor phase under the influence of evapotranspiration // Highw. Res. Board. 1958. Vol. 40.

58. Hallaire M. The moisture potential of soil and availability of water to plants // Ann. Phys. Veg. 1960. Vol. 2.

59. Hallaire M. Le potenciel efficace de l’eau daus le sol en regime de dessechement // «L'eau et la production vegetale». Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. no. 9.

60. Hassanizadeh S. M., Celia M. A., Dahle H. G. Dynamic effects in the capillary pressure-saturation relationship and its impacts on unsaturated flow // Vadose Zone J. 2002.— August. Vol. 1. Pp. 38−57.

61. Hassanizadeh S. M., Gray W. G. Mechanics and thermodynamics of multiphase flow in porous media including interphase boundaries // Adv. Water Resour. 1990. Vol. 13. Pp. 169−186.

62. Hassanizadeh S. M., Gray W. G. Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media // Water Resour. Res. 1993. Vol. 29. Pp. 3389−3405.

63. Hill S. Channeling in packed columns // Chem. Eng. Sci. 1952. Vol. 1. Pp. 247−253.

64. Hulshof J., King J. R. Analysis of a Darcy flow model with a dynamic pressure saturation relation // SIAM J. Appl. Math. 1998. Vol. 59, no. 1. Pp. 318−346.

65. Kirkham D., Feng L. Some testes of the diffusion theory and laws of capillary flow in soils // Soil Sci. 1949. Vol. 67. Pp. 29−40.

66. Leverett M. C. Flow of Oil-Water Mixtures through Unconsolidated Sands // Trans. A.I.M.E. 1939. Vol. 132. Pp. 381−401.

67. Liu Y., Steenhuis T., Parlange J.-Y. Formation and persistence of fingered flow in coarse grained soils under different moisture contents //J. Hydrol. 1994. no. 159. Pp. 187−195.

68. Meijerink J., der Vorst H. A. V. Guidelines for the usage of incomplete decompositions in solving sets of linear equations as they occur in practical problems //J. Comput. Phys. 1981. no. 44. Pp. 134−155.

69. Mualem Y. A conceptual model of hysteresis // Water Resour. Res. 1974.-June. Vol. 10, no. 3. Pp. 514−520.

70. Muskat M., Meres M. W. The Flow of Heterogeneous Fluids Through Porous Media // Physics. 1936. Vol. 7. Pp. 346−363.

71. Nieber J., Dautov R., Egorov A., Sheshukov A. Dynamic Capillary Pressure Mechanism for Instability in Gravity-Driven FlowsReview and Extension to Very Dry Conditions // Transport in Porous Media. 2005. Vol. 58. Pp. 147−172.

72. Nielson D. R., Biggar G., Davidson G. Experimental consideration of diffusion analysis in unsaturated flow problems // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1962. Vol. 26. Pp. 107−111.

73. Otto F. L1-contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equations // J. of Differential Equations. 1996. Vol. 131. Pp. 20−38.

74. Otto F. L1-contraction and uniqueness for unstationary saturated-unsaturated* water flow in porous media // Adv. Math. Sci. Appl. 1997. Vol. 7, no. 2. Pp. 537−553.

75. Philip J. R. Comments on steady infiltration from spherical cavities // Soil Sci. Soc. Am. J. 1985. Vol. 49. Pp. 788−789.

76. Rezanezhad F., Vogel H., Roth K. Experimental study of fingered flow through initially dry sand // Hydrol. Earth Syst. Sci. Discuss. 2006. no. 3. Pp. 2595−2620.

77. Richards L. A. Capillary conduction of liquids through porous mediums // Physics. 1931. Vol. 1. Pp. 318−333.

78. Ritsema C. J., Dekker L. W., Hendrickx J. M. N., Hamminga W. Preferential flow mechanism in a water-repellent sandy soils // Water Resour. Res. 1993. Vol. 29. Pp. 2183−2193.

79. Schroth M. H. Characterization of Miller-similar silica sands for laboratory hydraulic studies // Soil Sci. Soc. Am. J. 1996. Vol. 60. Pp. 1331−1339.

80. Scott P. S., Farquhar G. J., Kouwen N. Hysteretic effects on net infiltration //in Advances in Infiltration, ASAE Publ. 11−83. Am. Soc. of Agric. Eng., St. Joseph, Mich. 1983. Pp. 163−170.

81. Selker J. S., Parlange J.-Y., Steenhuis T. Fingered flow in two dimensions, 2, Predicting moisture profile // Water Resour. Res. 1992. Vol. 28, no. 9. Pp. 2523−2528.

82. Silin D. B., Patzek T. W. On Barenblatt’s Model of Spontaneous Coun-tercurrent Imbibition // Transport in Porous Media. 2004. no. 54. Pp. 297−322.

83. Smiles D. E., Vachaud G., Vauclin M. A test of the uniqueness of the soil moisture characteristic during transient, nonhysteretic flow of water in a rigid soil // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1971. Vol. 35. Pp. 534−539.

84. Vachaud G., Vauclin M., Wakil M. A study of the uniqueness of the soil moisture characteristic during desorption by vertical drainage // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1972. Vol. 36. Pp. 531−5321.

85. Wanna-Etyem C. Static and dynamic water content-pressure head relations of porous media: Ph. d. diss. / Colorado, State University. Fort Collins, CO, 1982.

86. Watson K. K., Whisler F. D. System dependence of the water content-pressure head relationship // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1968. Vol. 32. Pp. 121−123.

87. White I., Sully M. J. Macroscopic and microscopic capillary length scale and timescales from field infiltration // Water Resour. Res. 1987. Vol. 23, no. 8. Pp. 1514−1522.

88. Wildenschild D., Hopmans J. W., Simunek J. Flow rate dependence of soil hydraulic characteristics // Soil Sci. Soc. Am. J. 2001. Vol. 65. Pp. 35−48.

89. Wyckoff R. D., Botset H. G. The Flow of Gas-Liquid Mixtures through Unconsolidated Sands // Phys" 1. 7. Pp. 325−345.