Исследование статистической зависимости изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Факультет ЕиИН Кафедра прикладной математики и информатики КУРСОВАЯ РАБОТА ПО «Теории вероятности и математической статистике»

ТЕМА: Исследование статистической зависимости изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений Выполнил: Иноземцева Н. Г.

Дубна 2012 г.

Введение

Исходные данные и их обработка Корреляционная таблица Гистограммы для признаков X и Y

Полигоны для признаков X и Y

Эмпирические функции для признаков X и Y

Линейная регрессия Параболическая регрессия Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х Метод доверительных интервалов Заключение Список литературы

В данной курсовой работе проводится исследование статистической зависимости изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений.

Изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений, для объектов, находящихся в длительной и поздней стадии разработки, полно изучены и освещены в научно-технической литературе. Они вызваны изменением ФЕС (фотоэлектрическое сопротивление) пористой среды под воздействием различных термодинамических процессов, связанных с применением химических реагентов в различных технологических схемах, закачкой пресных и сточных вод, с нестационарностью изменения давления в пористых средах. Так наибольшее влияние на характеристику ФЕС могут оказывать нарушение равновесия минерального состава вод, отложение солей в порах, набухание глинистых включений, размыв и перенос цемента и зерен коллектора фильтруемой жидкостью, изменение температуры пласта при закачке холодной воды, разгазирование нефти, химические реакции и др. Исследование и оценка данных негативных явлений представляет значительную актуальность, так как термодинамические процессы, происходящие на единичных месторождениях, индивидуальны и существенно влияют на состояние разработки, хотя они имеют общую закономерность их возникновения в отдельных направлениях техногенного воздействия и для других месторождений, разделенных по признакам их протекания на обратимые и необратимые.

Наибольшее влияние на характеристики ФЕС оказывают изменение температуры и давления в пласте, приводящее к нарушению термодинамического равновесия насыщающих коллекторов флюидами, в результате которого происходит выпадение твердой фазы, асфальтено-смоло-парафиновых отложений (АСПО) из нефти, усиливаются процессы переноса данных частиц, способствуют протеканию сорбции, суффозии. Обобщая все виды техногенных изменений ФЕС, отметим, что они напрямую связаны с изменением коэффициента извлечения нефти (КИН), влиянием на численные значения остаточных запасов нефти и эффективность доразработки нефтяного месторождения.

Цель и задачи курсовой работы.

Исследование влияния техногенного воздействия на структуру порового пространства, фильтрационно-емкостные свойства нефтенасыщенных коллекторов и на коэффициент извлечения нефти.

Постановка задачи.

1. Подобрать пример объекта, для которого X_i, Y_i могли бы быть значениями двух признаков, связанных статистической зависимостью. Дать теоретическое обоснование.

2. Построить диаграмму рассеивания. Вычислить выборочные параметры: выборочные средние, выборочные и исправленные дисперсии, средние квадратические отклонения, моды и медианы выборки по X и по Y, корреляционный момент и коэффициент корреляции (по несгруппированной выборке).

3. Построить корреляционную таблицу (7 на 7). Построить полигоны, гистограммы нормированных относительных частот, эмпирические функции распределения по X и по Y, вычислить выборочные параметры (см. п.2) по корреляционной таблице (по сгруппированной выборке).

4. Вычислить параметры для уравнения линейной регрессии Y на X, построить линию регрессии на диаграмме рассеивания.

5. Вычислить параметры для уравнения параболической регрессии, построить найденную параболу на диаграмме рассеивания.

6. Проверить гипотезу о нормальном распределении признака Х.

7. Построить доверительный интервал для математического ожидания по Х.

Исходные данные и их обработка

Нам дана выборка (объемом n = 100) зависимости числа Y от числа X

Таблица 1. Исходные данные

Построим диаграмму рассеивания (см. рисунок 1):

Рис. 1 Диаграмма рассеивания

Найдем выборочные параметры:

По X:

ь выборочное среднее:

5,49 753;

ь выборочную дисперсию:

D*(x) = 8,658 877;

ь исправленную дисперсию:

S (x) = 8,746 341;

ь среднеквадратичное отклонение:

у*(x) = 2,942 597;

ь оценку среднеквадратичного отклонения:

s* (x) = 2,957 421;

По аналогии найдём и для Y:

ь выборочное среднее: 11,8293;

ь выборочную дисперсию: 35,7 875;

ь исправленную дисперсию: 35,43 308;

ь среднеквадратичное отклонение: 5,922 732;

ь оценку среднеквадратичного отклонения: 5,952 569;

ь Найдем корреляционный момент:

=17,217 096;

ь Найдем выборочный коэффициент корреляции:

= 0,987 887.

Найдем также моду и медиану для X и Y.

Модой случайной дискретной величины называется значение случайной величины, которое имеет максимальную вероятность:

9,93, 17,3.

Медианой называется такое значение варьирующего признака, которое приходится на середину упорядоченного ряда:

5,825, 13.

коллектор рассеивание корреляционный доверительный

Корреляционная таблица

Разобьем значения X и Y на 7 интервалов (см. табл. 2, табл. 3) и построим корреляционную таблицу (см. табл. 4).

Таблица 2. Интервалы разбиения Х

Таблица 3. Интервалы разбиения Y

Таблица 4. Корреляционная таблица

С помощью метода произведений найдём условные моменты различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

Для этого понадобится расчётная таблица, которая составляется так:

1) В первый столбец таблицы записывают выборочные варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2) во второй столбец записывают все частоты вариант и объём выборки n записывают в нижнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты причем в качестве ложного нуля C выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически третий столбец заполняют так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный куль, пишут 0; в клетках над нулём пишут последовательно -1,-2,-3 и т. д.

4) умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения в четвёртый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

5) умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

6) Умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения в шестой столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца. После того как расчётная таблица заполнена вычисляют условные моменты, выборочные среднюю и дисперсию по формулам:

.

ь исправленную дисперсию -;

;

8,34 875;

ь среднеквадратичное отклонение —

;

2,874 938;

ь оценку среднеквадратичного отклонения —

;

2,88 942.

Найдем так же оценки для Y.

ь Выборочное среднее :

11,813 907;

ь выборочную дисперсию :

35,397 553

ь исправленную дисперсию —

;

ь 35,755 104;

ь среднеквадратичное отклонение —

;

5,949 584;

ь оценку среднеквадратичного отклонения —

;

5,979 557.

ь Выборочный корреляционный момент:

;

= 17,217 096;

ь Выборочный коэффициент корреляции :

;

= 0,987 887;

ь Мода по сгруппированной выборке:

где — нижняя граница модального интервала; h — ширина интервала группировки; — частота модального интервала; — частота интервала, предшествующего модальному; — частота интервала, последующего за модальным.

(x) =9,93

ь Медиана по сгруппированной выборке:

Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше n/2 (n — объем выборки) или накопленная относительная частота — больше 0,5 и медиана определяется по следующей формуле:

+ ;

где — нижняя граница медианного интервала; 0,5n — половина объема выборки;

— ширина медианного интервала; — накопленная частота интервала, предшествующего медианному,; — частота медианного интервала.

5,825.

Гистограммы для признаков X и Y

Рис. 2 Гистограмма нормированных относительных частот по Y

Рис. 3 Гистограмма нормированных относительных частот по X

Полигоны для признаков X и Y

Рис. 6 Полигон нормированных относительных частот по X

Рис. 7 Полигон нормированных относительных частот по Y

Эмпирические функции для признаков X и Y

Рис. 8 Эмпирическая функция по X

Рис. 9 Эмпирическая функция по Y

Линейная регрессия

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y.

Рассмотрим случайную двумерную величину (X, Y), где — зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением величины в виде линейной функции величины X:

где — параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами: наиболее употребительный из них — метод наименьших квадратов. Функцию g (x) называют среднеквадратической регрессией Y на X. Функцию g (x) называют среднеквадратической регрессией Y на X.

где F — суммарное квадратичное отклонение.

Подберем a и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Для того, чтобы найти коэффициенты a и b, при которых F достигает минимального значения, приравняем частные производные к нулю:

Находим a и b. Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно a и b:

где — объём выборки.

В нашем случае A = 3888; B =549; C =8224; D = 1182;N = 100.

Найдём a и b из этой линейной. Получим стационарную точку для где 1,9884; 0,8981.

Следовательно, уравнение примет вид:

y = 1,9884x + 0,8981

Рис. 10 Линейная регрессия y=f (x)

Параболическая регрессия

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение кривой линии среднеквадратичной (параболической в нашем случае) регрессии. Воспользуемся методом наименьших квадратов для определения p, q, r.

Ограничимся представлением величины Y в виде параболической функции величины X:

где p, q, и r — параметры, подлежащие определению. Это можно сделать с помощью метода наименьших квадратов.

Подберем параметры p, q и r так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров:

Для отыскания минимума приравняем к нулю соответствующие частные производные:

Находим p, q и r. Выполнив элементарные преобразования, получим систему трех линейных уравнений относительно p, q и r:

Решая эту систему методом обратной матрицы, получим: p = -0,0085; q = 2,0761;

r =0,7462.

Следовательно, уравнение параболической регрессии примет вид:

y = -0,0085x² + 2,0761x + 0,7462

Построим график параболической регрессии. Для удобства наблюдения график регрессии будет на фоне диаграммы рассеивания (см. рисунок 13).

Рис. 13 Параболическая регрессия y=f (x)

Теперь изобразим линии линейной регрессии и параболической регрессии на одной диаграмме, для наглядного сравнения (см. рисунок 14).

Рис. 14 Параболическая и линейная регрессии Линейная регрессия изображена красным цветом, а параболическая — синим. По диаграмме видно, что отличие в данном случае больше, чем при сравнении двух линий линейных регрессий. Требуется дальнейшее исследование, какая же регрессия лучше выражает зависимость между x и y, т. е. какой тип зависимости между x и y.

Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х

Для проверки гипотезы о нормальном распределении признака Х, нам потребуется вычислить — теоретические частоты нормального распределения. Как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Ниже приведён один из способов решения этой задачи.

1. Весь интервал наблюдаемых значений Х (выборки объема n) делаят на s частичных интервалов) (табл. 2). Находят середины частичных интервалов; в качестве частоты варианты принимают число вариант, которые попали в i-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

В частности для исходной выборки (табл. 1), где s=7:

2. Вычисляют выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение .

2,874 938;

3. Нормируют случайную величину X, т. е. переходят к величине Z= и вычисляют концы интервалов ():

Причем наименьшее значение, пологают равным -?, а наибольшее,, полагают равным ?.

4. Вычисляют теоретические вероятность попадания X в интервалы) по равенству (Ф (z) — функция Лапласа) и, наконец, находят искомые теоретические частоты

Для проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения, проверим нулевую гипотезу, при помощи специально подобранной случайной величины — критерий согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Для нашего случая, ограничимся описанием применения критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Поэтому будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.

Для проверки нулевой гипотезы, вычислим наблюдаемое значение критерия:

;

и по таблице критических точек распределения, по уровню значимости б=0,01; б=0,025; б=0,05; и числу степеней свободы k=s-3=4 (sчисло частичных интервалов) найти критическую точку .

Если < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

=13,3;=11,1;=9,5;

Так как — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Т. е., расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Метод доверительных интервалов

Оценка как и, ,, ,, , являются точечными оценками, но наряду с ними при изучении выборки используются интервальные оценки, так как полезно не только построить оценку, но и охарактеризовать величину возможной при её использовании ошибки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Величина характеризует точность оценки, если выполняется неравенство, где — оценка некоторого параметра генеральной совокупности. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность, c которой осуществляется неравенство. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,9; 0,999. Доверительным называют интервал, , который покрывает известный параметр с заданной надежностью .

Рассмотрим доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности. Известен объем выборки n = 100; исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение 2,88 942.

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания по X с надежностями = 0,95; 0,99; 0,999.

Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение, но ее среднеквадратичное отклонение нам неизвестно, то мы можем построить доверительный интервал по распределению Стьюдента с степенями свободы, то есть должно быть справедливо неравенство:

;

где определим по заданным и. Это соотношение выражает доверительный интервал для, определяемый с помощью распределения Стьюдента. Найдем доверительные интервалы для математического ожидания X. При;: 4,907 439 < < 6,53 961.

При; 4,721 649 < < 6,239 751.

При; 4,5 < < 6,46.

Заключение

Отмечено, что изменение фильтрационно-емкостных свойств пористой среды при воздействии различными термодинамическими полями (в частности, в результате заводнения с добавкой различных химических агентов) приводит к практически важным последствиям. Наиболее ярко проявляемым процессом является снижение (повышение) начального пластового давления в результате работы добывающих и нагнетательных скважин. К изменению ФЕС могут привести нарушение равновесия минерального состава вод (отложение солей в пористой среде, набухание глинистых включений, размыв и перенос цемента и зерен коллектора и др.), изменение температуры пласта (при закачке холодной воды, разгазировании нефти, химических реакциях, при тепловом воздействии на коллектор).

Исследование и оценка данных фактов особенно важны для разработки неоднородных многопластовых месторождений нефти и газа, находящихся в поздней стадии. Для большинства таких месторождений разработка начиналась с весьма высокими темпами разбуривания и добычи нефти. При этом система поддержания пластового давления (ППД) вводилась через несколько лет, а иногда и десятилетий с момента массового разбуривания месторождения. В результате происходило существенное снижение начального пластового давления. После ввода системы ППД снижение пластового давления в малопроницаемых слоях (пластах) многопластовых объектов продолжалось и далее, поскольку при совместной с высокопроницаемыми пластами закачке воды они под нагнетание не осваивались. При разукрупнении объектов и выделении низкопроницаемых пластов в отдельные объекты удавалось активизировать добычу нефти из них, однако при этом возникали новые проблемы, в частности, при освоении их под закачку и эксплуатации. Изменение пластового давления приводило к изменению внутрипорового давления и, как результат этого, к изменению эффективного давления на породу. Это в свою очередь изменяло ФЕС коллектора, причем восстановление начального пластового давления не сопровождалось полным восстановлением первоначальных параметров ФЕС. Таким образом, налицо необратимые упругие и неупругие (пластичные) деформации коллектора .

Т.е. однозначно наличие необратимых деформаций коллектора в межскважинном пространстве от техногенного воздействия на пласт, в частности, на изменение и восстановление значений пористости и проницаемости не установлено.

1. В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. — Изд. 7-е, стер. — М.: Высшая школа, 2001.

2. В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. — М.: Высшая школа, 2001.

3. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учебное пособие для втузов. — 5-е изд., испр. — М .: Высшая школа, 1996.

4. Л. А. Баданина. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/Л.А. Баданина, Г. В. Серова. — Архангельск: Изд-во ФГАОУ ВПО «Северный федеральный университет имени М.В. Ломоносова», 2011

5. А. Т. Росляк. Физические свойства колекторов и пластовых флюидов: учебное пособие — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012.