Оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа

Проблеме сходимости спектральных разложений, связанных с различными эллиптическими операторами, посвящены многочисленные исследования ряда математиков. Подробную библиографию и обзор современного состояния этих вопросов можно найти в [17 .

В настоящей диссертации получены точные оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа в //-—мерной области помощью этих оценок изучаются сильная и абсолютная суммируемость средних Рисса спектральных разложений функций из класса Никольского Нр. В одномерном случае такие виды сходимости изучаются, например, в монографии Г. Алексича [2 ] .

Рассмотрим самосопряженное расширение оператора ЛапласаЛ в Л/" —мерной области 52 с дискретным спектром. Из работы Л. Гординга [47 следует, что хотя бы одно такое расширение всегда существует. Обозначим через / полную ортонормированную систему его собственных функций, через —соответствующие собственные числа. Введем средние Рисса порядка о функции -¡—(к) из следующим образом.

Здесь коэффициенты Фурье функции -?-(^ по системе I Уь (г)].

Заметим, что все рассуждения справедливы и для произвольной фундаментальной системы функций оператора Лапласа в О, без конечных точек сгущения. Это понятие было введено В. А. Ильиным в работе [Ь ]. Полная ортонормированная в система функций? X] называется фундаментальной, если Ы^С^е С1(§-2) и для некоторого числа удовлетворяет в уравнению АЦ* 1—О,.

Пусть число 0>О и {¿-?и} —неубывающая последовательность целых чисел, удовлетворяющая условию: {, ^ 1 • Будем говорить, что средние Рисса порядка разложения в ряд Фурье по полной ортонормированной системе {(4″) функции }•(?) сильно суммируются к -^(т), если величина.

— • Ув.

К I.

0.1) стремится к нулю при и—* о-. /и еще называют суммой Валле-Пуссена функции.

Средние Рисса абсолютно суммируются, если сходится интеграл.

У, А 7 Ам-м*^.

0.2).

Здесь 0> О, Г> О .

В одномерном случае оценки для сумм /и получены при помощи оценок скорости сходимости тригонометрических рядов, хорошо известных [з]. В случае //^1. для изучения (0.1) и (0.2) перед автором возникла необходимость в получении оценок скорости сходимости спектральных разложений. Эта задача вплотную примыкает к проблемам локализации и сходимости спектральных разложений. Изложим кратко историю вопроса.

В работе С. Бохнера [Ь изучались разложения функций в кратный тригонометрический ряд с круговыми суммами. В этой работе установлен точный порядок средних Рисса -4 = при котором справедлив принцип локализации для произвольной функции из.

Б.М.Левитан перенес результат С. Бохнера на случай эллиптических операторов второго порядка. Я. Петре распространил его на случай произвольного эллиптического оператора с постоянными коэффициентами [9], а Л. Хермандер [10] —для произвольного эллиптического оператора.

Дальнейшие уточнения заключались в наложении условий на разлагаемую функцию.)В работе [и] Б. М. Левитан доказал, что для локализации средних Рисса тригонометрических рядов целого порядка -5 ^ Я 3 достаточно интегрируемости с квадратом всех производных разлагаемой функции порядка [ЛС^Л] - 4. В. А. Ильин в работах [5,12−14] установил окончательное в классах Соболева условие локализации по собственным функциям оператора Лапласа.

В этих работах впервые была доказана окончательность полученных условий локализации. В. А. Ильин доказал теоремы о существовании функций из класса С^ при для спектральных разложений которых не имеет места локализация. Раньше таких теорем не было даже для кратного тригонометрического ряда.

Для локализации справедлива следующая оценка скорости сходимости средних Рисса. Пусть -¿-М-0 в строго внутренней подобласти & области и -¡—Стс) принадлежит классу Никольского дал.

Тогда равномерно на каждом компакте К из &• справедлива оценка.

0.3) которая легко получается из работы В. А. Ильина и Ш. А. Алимова В случае (Л — О, т. е. когда принадлежит т результатов авторов /^19−21⁷ следует равномерная на каждом компакте гч ИЗ Q оценка.

В работе [22] В. А. Ильин доказал точность оценки (0.4) в том смысле, что вместо оМ нельзя поставить никакую фиксированную бесконечно малую при величину.

В случае равномерной сходимости дело обстоит следующим образом. С. Бохнер в [23J доказал, что для сходимости разложений в лГ-кратный интеграл Фурье функции? достаточно, чтобы средние этой функции по сфере радиуса Т. с центром в точке X имели при Г % О суммируемую производную порядка (УК)/Л. В дальнейшем эти условия уточнял Б. М. Левитан [Н~] • Точные условия равномерной сходимости спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа в области установил В. А. Ильин в работах.

5,13,143. Они Шеют вид р*1л ¿-рУАГ, ^ ' (0.5).

При выполнении условий (0.5) спектральное разложение функции из у класса Соболева №р сходится равномерно на каждом компакте из ?2. Для средних Рисса порядка -5 * (У- ^/Х условия равномерной сходимости имеют вид о У" '.

Точность условия (0.6) доказана В. А. Ильиным в работе /~24 7 • В работе [1в] В. А. Ильина и Ш. А. Алимова было доказано, что условие (0.6) обеспечивает равномерную сходимость на каждом компакте /(области средних Рисса порядка -3 спектрального разложения финитной функции из класса Никольского. Затем этот результат был обобщен на случай произвольного эллиптического дифференциального оператора второго порядка в работе [2Ь] тех же авторов.

Ш. А.Алимов [16,17] рассмотрел случай общих эллиптических дифференциальных операторов порядка УУ1. В работе [1&] им установлено, что условия (0.6) обеспечивают равномерную сходимость средних Рисса спектральных разложений функций из классов Лиувил-ля /./>, а в [17] этот результат был распространен на функции из класса Никольского пр

Переходим к изложению результатов диссертации. В первой главе диссертации устанавливаются равномерные оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений функций из классов Никольского Из-за того, что класс Ир является самым широким из классов Соболева А/р, Бесова 8р&-, Лиувилля/^ оценки скорости сходимости будут верны и для этих классов. Сформулируем полученный результат. Введем новые обозначения^, уи =. Средние Рисса обозначим таким образом ду г.

Пусть выполняются следующие условия.

0.7) л+*>-*з!>0.

0.8) и финитная в области функция }Сх) принадлежит классу Никольского. Тогда равномерно на каждом компакте /< из области ?2 справедлива оценка фМ-М^СйН^С/** + + (0.9).

Обратим внимание, что по сравнению с оценкой (0.3) для локализации, появляется член порядка^Ур. Как будет показано ниже, он будет определять скорость сходимости в случае, когда.

О.ХО).

Во второй главе диссертации доказывается точность полученных оценок. В случае, когда выполняется неравенство (0.10) строится функция из класса Ир (&), для которой в некоторой точке Х0 области .

Если выполнено противоположное (0.10) неравенство то точность оценки (0.9) доказывается при помощи теорем резонансного типа [26]. При доказательстве использовалась методика В. А. Ильина получения теорем негативного типа и результат Ш. А. Алимова [27] об изоморфизме классов дифференцируемых функций дробными степенями эллиптического оператора.

В третьей главе диссертации изучается сильная и абсолютная суммируемость средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Вообще, толчок к изучению сильной суммируемости дала работа В. А. Йльина [28], где исследовались вопросы сходимости почти всей последовательности частичных сумм для почти всех точек области Когда область.

2 является прямоугольником, получаются результаты для кратных рядов Фурье.

В одномерном случае сильная суммируемость изучалась многими авторами.

29−32] В 1963 г. Г. Алексич и Д. Кралик доказали следующий результат. Если ^^[О, ЯТ], 01 ^ <? , то л. И.

5> - о.

— А.

Я > если.

0 ' 1 -к¿-9″,. — /=4.

Здесь Б^ЭД — ^—частичная сумма ряда Фурье по тригонометрической системе. В дальнейшем Л. Лейндлер [30,31] обобщил этот результат и в 1976 г. в работе [32] доказал для функций из класса, { следующее неравенство ь если 1 Л.

•и.

Здесь 0>б>,^, ?9/>-*, <Г*00 —средние Чезаро.

В случае в третьей главе для функций из классов Никольского доказаны равномерные на каждом компакте К из области о. оценки.

4. и., если.

I ¦¦ ¦ «>'.

1014−4.^/.

Здесь.

0, ж>0, (0.11).

Доказано, что эти оценки являются точными в том смысле, что вместо постоянной С нельзя поставить? для любого сколь угодно малого числа? >0 .

Из этих оценок следует, что при выполнении условия К> О средние Рисса порядка -6 сильно суммируются к функции •¡-¦С*), равномерно на каждом компакте К из.

В § 3 третьей главы исследуется сходимость интегралов такого вида ' (0.12) где >, 0, 6>0 .

Найдены точные условия равномерной по X из компакта ¡-¿-с$ 2 сходимости этого интеграла для функций из классов .

Пусть число Ж определяется равенством (0.11) и Ж>0. Тогда, если К&-> X, то интеграл (0.12) сходится. Построен контрпример, показывающий, что неравенство нельзя ослабить.

1. 1. k А. Алимов, Е. М. Никишин, В. А. Ильин. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. Успехи математических наук, 31:6, (I976)v с.29−83.

2. Г. Алексич. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М., Иностранная литература, 1963.

3. А.Зигмунд. Тригонометрические ряды, т I. М., Мир, 1965.

4. L.6~(kf dincj. ty’urickti-' 6 problem ¿-о. One cur ellipticparticle Jij-fer-enfiCtl есрма+(0"*>, Mat (i. Scant/. I, (I9?3)f p. fr-гй.

5. Б. М. Левитан. 0 разложении по собственным фунециям оператора Лапласа. ДАН СССР 90(1953), с.133−135.

6. В. А. Ильин. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Успехи математических наук, 13:1, (1958), с. 87−180.

7. В. А. Ильин. Исчерпывающие в классах С* и Wj^ решение проблемы локализации ряда Фурье по фундаментальной системе собственных функций оператора Лапласа. ДАН СССР, 177:2, (1967), с. 258−260.

8. В. А. Ильин. Условия сходимости спектральных разложений Дифф. уравнения, 9:1, (1973), с. 49−73.

9. Ш. А. Алимов. Равномерная сходимость и суммируемость спектральных разложений функций из?? f. Дифф. уравнения 9:4, (1973), с. 669−681.

10. Ш. А. Алимов. О спектральных разложениях функций из классаМатем. сборник 101(143):II9, (1976), с. 4−20.

11. В. А. Ильин, Ш. А. Алимов. Условия сходимости спектральных разложений I. Дифф. уравнения 7:4, (1971), с. 670−710.

12. Б. М. Левитан. О разложении по собственным функциям оператора Лапласа. Матем. сборник 35:2, (1954), с. 267−316.

13. В. А. Ильин. 0 суммируемости рядов Фурье по собственным функциям средними Рисса, Чезаро и Пуассона-Абеля. Дифф. уравнения 2:6, (1966), с. 816−827.

14. L. Иог t*and-er. jfic ^pedr^Lfund ¿-си o-f aneMiftKGpewtor. /{cia MqM.,™, p./9J-t/S.

15. В. А. Ильин. Неулучшаемые локальные оценки средних Рисса. Дифф. уравнения 7:6, (1971), с. I036-I04I.

16. С.Бохнер. Лекции об интеграле Фурье. Фиэматгиз, 1962.

17. В. А. Ильин. Условия сходимости спектральных разложений (У. Дифф. уравнения 9:1, (1973), с. 49−73.

18. В. А. Ильин, Ш. А. Алимов. Условия сходимости спектральных разложений, отвечающих самосопряженным расширениям эллиптических операторов V. Дифф. уравнения 10:3, (1974), с. 481−506.

19. С. Качмаж, Г. Штейнгауз. Теория ортогональных рядов. М., Физматгиз, 1958.

20. Ш. А. Алимов. Дробные степени эллиптических операторов и изоморфизм классов дифференцируемых функций. Дифф. уравнения 8:9, (1972), с. 1609−1626.

21. Z. Ucli* ApproKiwftOH. ?iM -^-fcr-ke*ми-е^ Acfq /ч fit t Acerf. Sec. ((969) ?Sf-Zejt.

22. L Lztud&ir. Qk Zum*";

23. С. Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд ЛГУ, 1950.

24. С. М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1969.

25. Э. Ч. Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка т.2, М., ИЛ, 1961.

26. Г. Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции т.2, М., Наука, 1974.

27. Г. Н. Ватсон. Теория бесселевых функций, т.1. М., ИЛ, 1949.

28. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Наука, 1971.

29. В"С.Серов. Об абсолютной расходимости рядов по собственным функциям оператора Лапласа в классе С^. Матем. заметки 34:3, (1983), с. 431−442.

30. В. Г. Долголаптев. Об отсутствии абсолютной суммируемости средними Рисса спектральных разложений функций из классов Никольского. Матем. заметки 36:1, (1984), с. 65−71.

31. В. Г. Долголаптев. Абсолютная суммируемость средними Рисса функций из класса Никольского по фундаментальной системе функций оператора Лапласа. Дифф. уравнения 20:9, (1984), с. 1577−1582.

32. В. Г. Долголаптев. Сильная суммируемость средних Рисса. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 26 декабря 1984 г, № 8340 -84.