Применение линейного программирования при принятии управленческих решений

∑a = 30 + 48 + 20 + 30 = 128∑b = 18 + 27 + 42 + 26 + 15 = 128Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. Для решения в табличном процессоре Excel мы должны представить математическую модель задачи в табличном виде. Минимальные издержки составят 9800 в неделю.

Оптимальный план перевозок в неделю (вагоны):Из 1-го склада необходимо груз направить на Завод Б (15), на Завод Д (15)Из 2-го склада необходимо груз направить на Завод Б (12), в на Завод В (10), в на Завод Г (26) на Завод В (2)Из 4-го склада необходимо весь груз направить на Завод В.

2.3 Задача коммивояжера.

В задаче коммивояжера для формирования оптимального маршрута объезда n городов необходимо выбрать один лучший из (n-1)! вариантов по критерию времени, стоимости или длине маршрута. Эта задача связана с определением гамильтонова цикла минимальной длины. В таких случаях множество всех возможных решений следует представить в виде дерева — связного графа, не содержащего циклов и петель. Корень дерева объединяет все множество вариантов, а вершины дерева это подмножества частично упорядоченных вариантов решений [5, стр.

51]. Рассмотрим решение такой задачи применительно к производству на примере. Пример 3.Имеется производственная линия для производства 5 красок разного цвета. Всю производственную линию будем считать коммивояжером. Будем считать также, что единовременно на линии можно производить только одну краску, поэтому краски нужно производить в некотором порядке. Поскольку производство циклическое, то краски надо производить в циклическом порядке. После окончания производства одной краски и перед началом производства другой краски оборудование надо отмыть от предыдущей краски. Для этого требуется время C[i, j]. Очевидно, что C[i, j] зависит как от предыдущей краски, так и от последующей.

За один цикл мы должны произвести все 5 красок. С помощью алгоритма решения задачи о коммивояжере постройте оптимальный по времени отмывки линий цикл производства красок. Время на отмывку в минутах задается в таблице:

К1К2К3 К4 К5 К1- 10 12 20 17 К28 — 11 9 5 К3 10 7 — 4 8 К412 10 6 — 16 К5 15 7 8 11 — Введем обозначения. Пусть хij — время на отмывку i-й краски при переходе к производству j-ой, причем если используем его, то значение переменной хij=1, иначе хij=0.Сумма всех вариантов сочетаний перемещений должна быть равна 1. Тогда, обозначив через х11, х12, х13, х14, х15 пути, выходящие из К1, получим уравнение: х11+х12+х13+х14+х15= 1. Аналогичные уравнения можно составить для других вариантов маршрутов. Первая группа ограничений: х11+х12+х13+х14+х15 = 1×21+х22+х23+х24+х25 = 1×31+х32+х33+х34+х35 = 1×41+х42+х43+х44+х45 = 1×51+х52+х53+х54+х55 = 1×11+х21+х31+х41+х51 = 1×12+х22+х32+х42+х52 = 1×13+х23+х33+х43+х53 = 1×14+х24+х34+х44+х54 = 1×15+х25+х35+х45+х55 = 1Для исключения образования так называемых «петель"введем также дополнительные ограничения, следующие из условия, что сумма возможностей прохода по одной ветви туда и обратно равна 1, т. е. хij+xj1=1Вторая группа ограничений: х12+х21≤1×13+х31≤1×14+х41≤1×15+х51≤1×23+х32≤1×24+х42≤1×25+х52≤1×34+х43≤1×35+х53≤1×45+х54≤1Для исключения возможности производства одной и той же краски на переменные с одинаковыми индексами наложить условие равенства нулю, т. е. х11=0 или задать большое время выполнения. Целевая функция. Решение в Excel. Ответ: Таким образом, предлагается оптимальный маршрут производства красок: К1-К2-К5-К3-К4 При этом суммарное время составит 39. 2.4 Задача о назначениях.

В общем виде следующая формулировка: имеется n работ и n кандидатов для их выполнения. Затраты i — того кандидата на выполнение j — той работы равны cij (i, j = 1, …, n). Каждый кандидат может быть назначен на одну работу и каждая работа может быть выполнена только одним кандидатом. Требуется найти назначения кандидатов на работы, при котором суммарные затраты на выполнение работ минимальны. Проиллюстрируем постановку и решение данной задачи. Пример 4.Мастер должен назначить 7 слесарей-ремонтников (А, B, … H) ремонтировать сельскохозяйственную технику (К-701, Т-150М и т. д.), имеющую разного рода неисправности после окончания уборочной. Время (в часах), которое каждый слесарь тратит на выполнение данного вида ремонта (по наблюдениям нормировщицы), приведено в таблице. Определите оптимальную расстановку слесарей по участкам работы, при которой суммарное время на выполнение работ будет минимально. Каково минимальное суммарное рабочее время, требующееся на выполнение ремонта? Так как это задача — задача о назначениях, то переменные должны принимать одно из двух возможных значений: 0 или 1. Для запрета назначения в ячейках устанавливаем высокое значение рабочего времени 1000.

Целевая функция — минимальное суммарное рабочее время. F = ∑∑cijxij, Ограничения: x11+x12+x13+x14+ x15 + x16 + x17 =1×21+x22+x23+x24+x25 + x26 + x27 =1×31+x32+x33+x34+x35 + x36 + x37 =1×41+x42+x43+x44+x45 + x46 + x47 =1×51+x52+x53+x54+x55 + x56 + x57 =1×61+x62+x63+x64+x65 + x66 + x67 =1×71+x72+x73+x74+x75 + x76 + x77 =1×11+x21+x31+x41+x51 +x61 + x71 =1×12+x22+x32+x42+x52 +x62 + x72 =1×13+x23+x33+x43+x53 +x63 + x73 =1×14+x24+x34+x44+x54 +x64 + x74 =1×15+x25+x35+x45+x55 +x65 + x75 =1×16+x26+x36+x46+x56 +x66 + x76 =1×17+x27+x37+x47+x57 +x67 + x77 =1 Решение в Excel. Согласно полученному результату наименьшее суммарное время работы 88ч.

Заключение

.

Располагая математической моделью объекта управления, можно решать различные задачи оценивать те или иные решения, проводить исследования типа «что будет, если…» и многое другое. Понятно, что наибольший интерес в реальном менеджменте представляют задачи, связанные с нахождением наилучшего из возможных решений, которые называют задачами оптимизации. При постановке любой задачи оптимизации, как правило, необходимо определиться со следующими вопросами:

что значит «наилучшее решение» (какой критерий или критерии оптимальности выбрать);за счет чего можно добиться наилучшего решения (какие характеристики объекта управления изменить);какие из решений являются допустимыми;

в каких пределах можно изменять характеристики объекта управления для достижения наилучших результатов? Выбор критериев (показателей эффективности) и условий оптимизации (максимизировать или минимизировать критерий) являются прерогативой лица, принимающего решение. Определяющим при этом всегда является цель. Выбор критерия часто позволяет подготовить ответ и на второй вопрос: определить и отобрать те факторы характеристики объекта управления, с помощью которых (изменяя которые) лицо, принимающее решение, может управлять процессом. Выбор ответа за лицом, принимающим решение. Именно лицо, принимающее решение, в зависимости от стоящих перед ним задач, его полномочий и информационного состояния, формирует перечень факторов и признаков (переменных решения), с помощью которых будет достигаться наилучшее из доступных ему решений. Список использованной литературы.

Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер и др.; Под ред. Н. Ш. Кремер. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2014. 407 с. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебн.

пособие для вузов / В. В. Федосеев и др.; Под ред. В. В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 2009. 391 с.

3.Багриновский К. А., Матюшок В. М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика): Учебн. пособие. М.: Изд-во РУДН, 2013. 183 с.

4.Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. М.: «Дело и Сервис», 2012. 432 с.

5.Хазанова Л. Э. Математическое моделирование в экономике: Учебн. пособие. М.: Изд-во «Бек», 2008. 141 с.