Отсутствие собственных значений в спектре некоторых операторов Шрёдингера с периодическими коэффициентами

Операторы Шрёдингера с периодическими потенциалами.

Работа посвящена исследованию спектра периодических операторов Шрёдингера. Простейшим примером является оператор

1,., Ьа — некоторый базис в К**. Точное определение оператора дано в.

Оператор (1) является простейшей моделью физики твердого тела, описывающей поведение электрона в периодическом электрическом потенциале V. Эта модель, по-видимому, впервые была рассмотрена Феликсом Блохом в 1929 году в [8]. Он обнаружил, что уравнение Ни = Ей имеет решения вида где? принадлежит элементарной ячейке двойственной решетки, а ип^(х) — Г-периодические собственные функции некоторого вспомогательного оператора. Более подробно см., например, [2, Глава 8].

Математически строгая спектральная теория оператора Н была построена в [1], см. также [47, 29]. Оператор II унитарно эквивалентен прямому интегралу.

11 = -А + У{х) в /^(М^), где V периодичен относительно некоторой решетки г = {/!&! +. +/А, см',.

1).

1.2.1. семейство операторов в Ь2(П), где.

П = {t/i&i +. + ydbd, 0 ^ IJi < 1} элементарная ячейка решетки Г. Точные формулировки приведены в § 1.2.2. Спектры операторов Н (£) дискретны, их собственные значения Е (п,?) зависят от? как от параметра. Спектр оператора Я, таким образом, представляет собой объединение отрезков (областей значений £(п, 0), называемых спектральными зонами.

В случае й — 1 оператор Н представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка с периодическими коэффициентами. Изучение таких операторов началось значительно раньше, см.

Зонная структура спектра имеет место не только для оператора (1), но и для любого периодического эллиптического оператора. Однако, общая теория не исключает ситуации, когда какая-то зона «схлопывается» в точку (соответствующая функция Е (п,?) равна константе). Тогда у оператора кроме абсолютно непрерывного спектра возникает бесконеч-нократное собственное значение. Нашей целью является доказательство отсутствия таких собственных значений у различных операторов Шрё-дингера.

Обзор известных результатов об абсолютной непрерывности спектра.

Из анализа одномерного оператора (см., например, [45]) следует, что все его спектральные зоны невырождены, и спектр является чисто абсолютно непрерывным. В многомерном случае абсолютная непрерывность спектра также является естественной гипотезой. Оператор (1) определяется квадратичной формой заданной на пространстве Соболева Н1(Жа). Ясно, что потенциал V определяется своими значениями на ячейке П. В шкале пространств Ьр оптимальным условием на потенциал, при котором квадратичная форма (3) задает самосопряженный оператор, является V е Ьа/2(0.) при (I ^ 3 и V 6 Уур (0), р > 1, при (1 = 2. Рассматриваются также и более широкие классы (в основном пространства Лоренца /^>00), но мы для простоты будем формулировать все результаты в терминах пространств Ьр.

58, 53, 24].

3).

1. Оператор во всем пространстве. Впервые в случае (1 = 3, V? абсолютная непрерывность спектра была установлена Томасом в 1973 году в работе [47]. В книге [29] результат обобщен на случай V е Ь2(П) при, А = 2,3 и V <Е Ьр (0,), р > (1−1, при й ^ 4. В случае (1 = 2 абсолютная непрерывность была установлена для V е^р (^), р > 1, в работе [5]. В случае (I ^ 3 достигнуть оптимального показате-лья р = (½ оказалось сложнее. В работе [6] условие было ослаблено до р = тах{с?/2, й — 2} при (1 ^ 3, а при оптимальном (в шкале Ьр) условии ^^Е г (^), ^ ^ 3, абсолютная непрерывность была установлена только в 2001 году в работе [30]. Позднее более простое (и применимое также к оператору с магнитным потенциалом) доказательство было предложено в [11]. В разделе 3.2.3 мы приводим доказательство из [11].

2. Двумерный случай. Особенно полные результаты получены в двумерном случае, см. [7, 59, 34, 35, 41]. В частности, в [59] рассмотрен оператор На=2, отвечающий квадратичной форме.

На периодический заряд йи накладывается условие подчиненности. Ему, например, удовлетворяют заряды ¿-и, такие что для любого положительного г выполняется оценка в частности, этому условию удовлетворяют и «обычный» электрический потенциал, и сингулярный потенциал, обсуждаемый ниже. При таком условии спектр оператора На=2 абсолютно непрерывен. Результат в [59| получен и для всей плоскости, и для периодического волновода на плоскости (и, более того, для оператора с магнитным потенциалом). Мы будем в дальнейшем предполагать д, ^ 3- наши методы работают и в двумерном случае, но соответствующие результаты уже покрыты в указанных работах.

3. Сингулярный потенциал. В ряде задач (например, в теории фотонных кристаллов — см. [50]) представляет интерес оператор Шрёдингера с ¿—образным потенциалом п п — А + а (х)5ъ (х) где Е С — периодическая система гиперповерхностей, а, а — периодическая функция на Е. Данный оператор также определяется с помощью квадратичной формы г[и, и} = ! Чи{х)2с1х + ! а{х)и{х)2 с18{х) — (4).

Е<<? оптимальным условием на, а в этом случае будет, а? П О) при с? ^ 3. Двумерный случай полностью покрывается упомянутыми выше результатами. В случае <1 ^ 3 данный оператор рассматривался в работе [40]. Абсолютная непрерывность спектра IIа установлена при й = 3, кусочно С3-гладкой Е и и е П Г2). В [40] рассматривались и более высокие размерности, однако на (кусочно С^-гладкую) поверхность Е накладывалось дополнительное геометрическое условие — существование направления, трансверсального к Е во всех её точках (такому условию удовлетворяют, например, многогранники, но не удовлетворяет сфера). В работе автора [15] рассмотрен случай (1 = А, поверхность Е € С4 подчинена другому геометрическому условию — гауссова кривизна Е нигде не обращается в нуль (наоборот, подходит сфера, но не подходит многогранникповерхность цилиндра не удовлетворяет ни условиям [40|, ни условиям [15]). В настоящей диссертации мы получим результат, более общий, чем [15].

4. Оператор в многомерном цилиндре. В приложениях также встречается оператор Шрёдингера в многомерном цилиндре = // хЕ&tradeС где и С Шк — ограниченная область, с1 = к + т ^ 3- при к = 1 область Е — это плоско-параллельный слой. На границе д’Б. возможны различные варианты краевых условий. Впервые данный оператор встречается в книге [20], там установлена абсолютная непрерывность его спектра при V С ¿-&bdquo-(С/ х ?)). В неопубликованной работе [18] данное условие ослаблено до У б Ь2{с1−2){и х Г2). В этих работах предполагалось, что 311 € С2, на границе ставилось условие Дирихле или условие Неймана.

Мы рассмотрим также задачу с третьим краевым условием х, у) = а (х, у) и (х, у), (х, у) € ди х Кт. Соответствующий оператор определяется через квадратичную форму.

Ь[?/, ?/] = I |'Х7и (х, у)|2 Лх йу+ I V (х, у) и (х, у)|2 Лх (1у I а (х, у) и{х, у)2(18{х: у). (5) 8=.

Из сравнения формул (4) и (5) ясно, что третье краевое условие можно трактовать как сингулярный электрический потенциал, сосредоточенный на границе,? = ¿-Н. Такой оператор был изучен только в случае слоя [0,1] х М^-1. В работе [42] установлено отсутствие собственных значений в спектре такого оператора для <т € /^({ОД} х ?2) при й = 3 и € Ьы2({0,1} X П) при О 4, 1/ е Ьтах{^/2^-2}([0- 1] х П).

Схема Томаса.

Схема, приведенная в [47], используется практически во всех работах по абсолютной непрерывности. Исключение составляют статьи [55, 54, 46], в которых предполагается, что потенциал обладает дополнительной симметрией (является четным). Мы излагаем эту схему в Главе 1. Основной идеей является изучение поведения собственных значений оператора (2) при изменении квазиимпульса Возможны два варианта. Если одно из собственных значений оператора Н (£). будет постоянным по то у исходного оператора Н это собственное значение будет собственным значением бесконечной кратности. Если же таких собственных значений нет, то спектр будет абсолютно непрерывным. Таким образом, достаточно доказать отсутствие собственных значений, постоянных по Отметим, что в широких предположениях (см., например, [52]) доказано, что сингулярного спектра у подобных операторов не может быть.

Идея Томаса состоит в аналитическом продолжении операторного семейства Н (£) в комплексную область по одной из компонент Таким образом, рассматривается семейство Я (£1¹ + ?') при фиксированном ± Ь. Для простоты будем предполагать, что | = 1. Данное семейство (см. § 1.1.2) является голоморфным семейством типа (В) с компактной резольвентой (то есть с дискретным спектром). В силу аналитической альтернативы Фредгольма (теорема 1.1.17) достаточно доказать, что никакое фиксированное Л € С не может быть собственным значением семейства при всех ^ 6 С. Для этого рассматривается ?1 = (7г + 2т) при больших вещественных т и доказывается, что оператор Н (т) = #((тг + гт) Ь! + ?') — XI обратим при любом фиксированном Л и достаточно больших т. Последнее легко проверяется при V = 0, и = 0: имеет место оценка.

Н0(г)-Л)-1|К (27гг)-1, т > 0, (6) где через //о (т) обозначен свободный оператор. Содержательная часть всех указанных результатов — доказательство того, что аналог оценки.

6) выполняется для оператора 11 (с потенциалами V и/или а). Оно сводится (см. § 1.2.3) к оценкам норм вида.

Я0(г)|-^||Ь2(п), \H0®^u\Lq{^iy О 2, (7) через норму |H|l2(s2) — Именно доказательство последних оценок представляет основную техническую трудность. Отметим также, что легко устанавливается оценка где 11x?2 — пространство Соболева-Слободецкого. Теоремы вложения сразу дают нужную оценку первой нормы в (7) при V € Таким образом, в случае электрического потенциала борьба идет за улучшение показателя суммируемости. В случае сингулярного потенциала или третьего краевого условия нужны оценки следа Hq{t)~1I2u на подмногообразии. Однако, lll/2(ii) не вкладывается в L2(S П I2). Поэтому такие простые соображения не позволяют установить абсолютную непрерывность спектра ни при каком нетривиальном о.

В случае обычного электрического потенциала основной идеей является анализ символа оператора IIQ и использование того факта, что разложение, но собственным функциям оператора, Но — это разложение, в ряд Фурье функции на I2- затем можно использовать те или иные свойства преобразования Фурье. В частности, является важным тот факт, что собственные функции оператора #о (т) равномерно ограничены в Loo (Q) (это использовалось, например, в [6]). В работе [18] схема [6] была применена к оператору в цилиндре S = U х Rm с произвольным сечением, однако это привело к ухудшению показателя до 2(d — 2).

В случае сингулярного потенциала похожий метод позволяет получить оптимальный показатель в случае d = 3, см. [40]. При d ^ 4 приходится накладывать дополнительное геометрическое условие на Е (существование трансверсального направления) даже при о е Loo (E). При d = 4 это условие можно заменить условием необращения гауссовой кривизны Е в нуль, см. [15].

Случай многомерного цилиндра с краевым условием третьего типа, по-видимому, является самым сложным из перечисленных. Здесь Е = dU х Шт, никакое направление квазиимиульса не является трансвер-сальным к Е, и гауссова кривизна Е равна нулю. Таким образом, методы [40] и [15] не работают.

Основные результаты.

В данной работе мы изучаем оператор

Н = -Д + У{х) + а (х)8ф) (8) в Ь2{Е]См) = Ь2{и х где II С Шк — ограниченная область.

Мы предполагаем, что й — к 4- т ^ 3 и не исключаем случай к = О (тогда Н = М^ — всё пространство). Наши методы работают и при (1 = 2, однако соответствующие результаты уже известны. Поверхность Е, а также функции V и, а являюся периодическими относительно некоторой решетки Г С Кгп. Точное определение оператора см. в § 1.2.1.

1. Сингулярный потенциал во всем пространстве. Пусть к = О, й = т ^ 3. Мы доказываем (см. теорему 3.1.1), что у оператора (8) отсутствуют собственные значения при.

УеЬа/2{С1), ст?? р (ЕпП), р>й- 1.

Предполагается, что Е — С^-гладкая Г-периодическая система гиперповерхностей. Отличие теоремы 3.1.1 от предыдущих результатов в том, что не предполагается выполнения каких-либо дополнительных геометрических условий на Е.

Основной идеей доказательства является использование 1/<�г (Е)-оценок спектральных проекторов оператора Лапласа на торе, полученных в [9]. В Главе 2 мы приводим доказательство этих оценок (теорема 2.1.1), следуя указанной работе. Результат [9] формулируется для Е € С00- можно проследить, что фактически достаточно гладкости класса С" 1, однако для этого пришлось восстанавливать подробности, изначально опущенные авторами.

Теорема 3.1.1 также верна для слоя и для цилиндра с прямоугольным сечением и = [0-^] х. 0-а*] с краевыми условиями Дирихле, Неймана или условием третьего тина. В этих случаях для учета обычного электрического потенциала V достаточно результатов [11]. В случаях слоя и прямоугольного цилиндра используется прием с отражением, позволяющий свести задачу к задаче с периодическими краевыми условиями.

2. Обычный электрический потенциал в цилиндре с сечением общего вида. Мы доказываем два результата. Первый — теорема 4.1.1. При V е Ьа-(и х Г2) у оператора (8) отсутствуют собственные значениямы предполагаем, что граница 8U лшпиицева. Второй результат — теорема 4.1.2: в скалярном случае (N = 1) в предположении, что dl)? С°°, результат можно улучшить до V G Lp (U х Ъ2), р > max{<7/2, d — 2}. Идея доказательства теоремы 4.1.1 в том, что норму элемента Hq (t)~1^2u можно сначала оценить в анизотропном пространстве Соболева (§ 4.2.2), а затем воспользоваться теоремами вложения. Теорема 4.1.2 доказывается аналогично теореме 3.1.1, однако здесь используются Ь7(^)-оценки спектральных проекторов оператора Лапласа, полученные в [31].

3. Оператор в многомерном круговом цилиндре. Пусть II — единичный шар в Ш. к. Тогда собственные функции оператора Ло (т) допускают явное описание в терминах специальных функций. Это позволило установить отсутствие собственных значений у оператора (8) в круговом цилиндре при cr е L^d-sidU х О), V Е Ldi (U х ii) (теорема 5.3.1). В приложениях важен трехмерный случай к = 2, m = 1 для векторного оператора в Ьг (Е!- С6) (теорема 5.4.1). Мы доказываем результат для общего случая оператора, действующего на дифференциальные р-формы, а затем сводим случай векторных нолей к случаям р = 0, р = 1. Идея доказательства в случае р-форм состоит в том, чтобы оценить норму элемента Hq{t)~x/2u в некотором пространстве Соболева на 8U х (оценка (5.9.8)), а затем снова воспользоваться теоремами вложения. Доказательство оценки (5.9.8) требует анализа следов на границе собственных р-форм оператора Hq (t) (раздел 5.6). Ситуация осложняется тем, что в символ оператора входят нули функций Бесселя, для которых требуются некоторые оценки, равномерные по параметру и (раздел 5.5). Отметим, что данное доказательство существенно использует сферическую симметрию сечения цилиндра и, по-видимому, ие обобщается на сечения произвольной формы.

Оператор Максвелла.

Приложением полученных результатов может служить исследование абсолютной непрерывности спектра оператора Максвелла, представляющей интерес для теории фотонных кристаллов (см., например, [21]). Пусть Е = ?/ х Мт с К3 — трехмерный цилиндр (U — область в М2, m = 1), плоско-параллельный слой (U = [0- а], m = 2) или всё пространство (5 = R3). Пусть е, Н —R — Г-периодические скалярные функции, такие что.

0 < со < ?, fi< С! < оо, е, ц е Wf/2>loc (E) П Wp^jE) для некоторого р > 3. Введем пространство.

Ч = {{Е, Н) ЕЬ2(~] С3) еЬ2(Н-С3): у (еЕ) = 0, СНу (/ЛЯ) = 0, ПпдЕ = 0}, где равенства нулю дивергенции понимаются в смысле теории распределений, а через Нп обозначена нормальная компонента вектора Н. Функция Е имеет смысл электрического ноля в области 3, Н — магнитное ноле, sw. fi — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей Е! Оператор Максвелла (точнее, «сильный» оператор Максвелла) определяется матрицей где через Ет обозначена тангенциальная компонента вектора Е. Граничные условия Ет = О, //" = 0 отвечают идеально проводящей границе дЗ. При указанных условиях в случаях, если 811 € С2 или V является выпуклой, оператор М. будет самосопряженным. Более подробно см. [4, 25, 43, 28]. Поскольку коэффициенты е, ?1 являются периодическими, также естественно ставить вопрос об абсолютной непрерывности его спектра. Оказывается, что для случая оператора во всем пространстве (см. [25]), а также в слое [43] и в трехмерном цилиндре [28] этот вопрос сводится к отсутствию собственных значений у некоторого матричного периодического оператора Шрёдингера в соответствующей области. При этом потенциал V не будет самосопряженнымкроме того, в случаях слоя и цилиндра при нетривиальных г и ц появится дополнительный матричный сингулярный потенциал, сосредоточенный на 83 (то есть краевое условие третьего типа). Именно этим мотивирован интерес к задачам с краевым условием третьего типа.

Открытые вопросы.

Остается открытым вопрос об абсолютной непрерывности спектра оператора в многомерном цилиндре 17 х Мт с произвольным (не прямоугольным и не круговым) сечением II в случае краевого условия третьего типа на области определения.

БотМ = {(Е, Н) еН: Е, Н € II1 (3- С3), Е,.

0}, даже в случае, а е С°°(ди х П), V = 0. Предполагается, что о нетривиально зависит от «периодических» переменных у Е Мт, иначе результат следует из теоремы 4.1.1.

С физической точки зрения также важен оператор с магнитным потенциалом.

Н = (?V — А{х))*{гУ — А (х)) + У (х), где А: К" 1 —" Е^, V: К.^ —К. — Г-периодические функции. Пусть с? ^ 3. При, А Е Ьсг)1ос (К'г-М<�г), V Е /^//гдосО^'') оператор Н, заданный квадратичной формой будет самосопряжен и полуограничен снизу. Появление в операторе членов первого порядка — это возмущение, в определенном смысле, более сильное, чем сингулярный электрический потенциал. Вопрос об абсолютной непрерывности спектра данного оператора в двумерном случае изучался в [5], а в многомерном случае — в [33], см. также [22, 11]. Результаты, полученные нами для оператора во всем пространстве, допускают обобщение на случай оператора с магнитным потенциалом тем же способом, что и в [6, 40]- возмущения, А и V можно рассматривать независимо. Однако в случае магнитного потенциала недостаточно ограничиться выбором 61 в качестве направления аналитического продолжения Я (£), что приводит к загромождению формул. В случае же оператора в слое (и тем более в цилиндре) вопрос об абсолютной непрерывности открыт даже в случае, А Е С00,!/ = а = 0 (при й ^ 3) — сложность связана именно с ограниченностью возможных направлений.

Другим, еще более сложным, обобщением является рассмотрение оператора с переменной метрикой, то есть оператора вида где д — Г-периодическая матричнозначная функция, 0 < с1 ^ д (х) ^ С2/. Некоторые результаты можно получить, если д (х) = и>(х)а, где ю — скалярная функция, а — постоянная матрица, см. [6]. Однако в случае гладкой метрики д общего вида при (1 ^ 3 вопрос также открыт. В работе [51] построен пример оператора с д Е Па<�хСа и, А = 0, V = 0, имеющего собственное значение бесконечной кратности.

Структура работы.

1. Avron J., Grossmann A., Rodriguez R., Hamiltonians in one-electron theory of solids, Reports on Mathematical Physics 5, is. 1 (1974), p. 113 120.

2. Ашкрофт H., Мермин H., Физика твердого тела, T.l. M.: Мир, 1979.

3. Берг Й., Лёфстрём Й., Интерполяционные пространства.

Введение

М., Мир, 1980.

4. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3-, Ь2-теория оператора Максвелла в произвольных областях, УМН 42 (1987), вып. 6(258). с. 61−76.

5. Бирман М. Ш., Суслина Т. А., Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом, Алгебра и Анализ 10 (1998), выи. 4, с. 1−36.

6. Бирман М. Ш., Суслина Т. А., Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности, Алгебра и Анализ 11 (1999), вып. 2, с. 1−40.

7. Бирман М. Ш., Суслина Т. А., Штеренберг Р. Г., Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шрёдингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых, Алгебра и анализ, 12 (2000), вып. 6, 140—177.

8. Bloch F., Uber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern, Zeitschrift fur Physik, Vol. 52 (1929), 7−8, p. 555−600.

9. Burq N., Gorard P., Tzvetkov N., Restrictions of the Laplace-Beltrami eigenfunctions to submanifolds, Duke Math. J. 2007, 138 (3), 445−486.

10. Ватсон Г., Теория бесселевых функций, Издательство иностранной литературы, Москва, 1949.

11. Danilov L. I., On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schtodmger operator, J Phys. A: Math Theor. 42 (2009) 275 204.

12. Elbert A., Laforgia A, Monotonicity properties of the zeros of Bessel functions, SIAM J. Math. Anal. 17 (1986), 1483−1488.

13. Elbert A., Siafarikas P. D., On the Zeros of aCv (x)+xC'v (i), where CL,(x) is a Cylinder Function, J. Math Anal. Appl 164 (1992), pp 21−33.

14. Като T, Теория возмущений линейных операторов, М, Мир, 1972.

15. Качковский И. В., Теорема Стейна-Томаса для тора и периодический оператор Шрёдингера с сингулярным потенциалом, Алгебра и Анализ 24 (2012), вып. 6, с 124−138.

16. Качковский И. В., Филонов Н Д, Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрёдингера в многомерном цилиндре, Ал1ебра и Анализ 21 (2009), вьш 1, с 133−152.

17. Качковский И, Филонов Н, Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шредингера в слое и в гладком цилиндре, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций 41, Зап. научн сем ПОМИ, 385, (2010) с 69−82.

18. Киба И., Абсолютная непрерывность периодического оператора Шрёдингера в волноводе с постоянным сечением, бакалаврская работа, СПбГУ, физический факультет, 2001.

19. Kirsten К., Spectral Functions in Mathematics and Physics, Chapman & Hall/CRC, 2002.

20. Kuchment P., Floquet Theory for Partial Differential Equations, Birkhauser Verlag, Basel, 1993.

21. Kuchment P., The mathematics of photonic crystals, Math. Modeling in Optical Science, SIAM (2001), p 207−272.

22. Kuchment P., Levendorskn S., On the structure of spectra of pet iodic elliptic operators, Trans AMS 354 (2001), no 2, pp 537−569.

23. Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой не (эюимаемой жидкости, М, Физматлих, 1961.

24. Ляпунов А., Общая задача об устойчивости движения, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

25. Morame A., The absolute continuity of the spectrum of Maxwell operator in a periodic media, J. Math. Phys. 41 (2000), p. 7099−7108.

26. Miiller C., Spherical Harmonics, Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17, 1966.

27. Olver W. J. (ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, National Institute of Standarts and Technology, Cambridge University Press. 2010.

28. Прохоров А, Филонов H., О спектре периодического оператора Максвелла в цилиндре, готовится к печати.

29. Рид М., Саймон Б., Методы современной математ, ической физики. Т. 4. Анализ операторов, М, Мир, 1982.

30. Shen Z., On absolute continuity of the periodic Schrddinger operators, Intern. Math. Res. Notes (2001), no. 1, p. 1−31.

31. Smith H. F., Sogge C. D., On the Lp norm of spectral clusters for compact manifolds with boundary, Acta Mathematica 198 (2007) no. 1, p. 107 153.

32. Smith II. F., Spectral cluster estimates for C1'1 metrics, Amer. J. Math., vol. 128, (2006), 1069−1103.

33. Sobolev A., Absolute continuity of the periodic magnetic Schrddinger operator, Inventiones Mathematicae, vol. 137, is. 1 (1999), p. 85−112.

34. Sobolev A., Walthoe J., Absolute continuity in periodic waveguides, Proc. London Math. Soc. 85 (2002), vol. 3, p. 717−741.

35. Sobolev A. V., Shargorodsky E., Quasiconformal mappings and periodic spectral problems in dimension two, J. Anal. Math. 91 (2003), p. 67−103.

36. Sogge C. D., Concerning the Lp norm of spectral clusters for second-order elliptic operators on compact manifolds, J. Funct. Anal. 77 (1988) no. 1, p. 123−138.

37. Sogge C. D., Fourier Integrals in Classical Analysis, Cambridge University Press, 1993.

38. Stein E. M., Harmonic Analysis, Princeton University Press, 1993.

39. Suslina T. A., On the absence of eigenvalues of a periodic matrix Schrodmger operator in a layer, Russian Journal of Mathematical Physics 8 (2001), no. 4, p. 463−486.

40. Суслина Т. А., Штеренберг P. Г., Абсолютная непрерывность спектра оператора Шрёдингера с потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей, Алгебра и Анализ 13 (2001), вып. 5, с. 197−240.

41. Суслина Т. А., Штеренберг Р. Г., Абсолютная непрерывность спектра магнитного оператора Шрёдингера с метрикой в двумерном периодическом волноводе, Алхебра и Анализ 14 (2002), вып. 2, с 159−206.

42. Suslina Т. A., On the absence of eigenvalues of a periodic matrix Schrodmger operator m a layer, Russian Journal of Mathematical Physics 8 (2001), no. 4, p. 463−486.

43. Суслина Т. А., Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в слое, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 32, Заи научн сем. ПОМИ, 288 (2002), 232−255.

44. Temme N., Special Functions An introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, John Wiley & Sons, 1996.

45. Титчмарш Э. Ч., Разложения no собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, М., И. JI, 1961.

46. Тихомиров М., Филонов Н., Абсолютная непрерывность «четного» периодического оператора Шрёдингера с негладки ми коэффициентами, Алгебра и Анализ 16 (2004), вып 3, с. 201−210.

47. Thomas L., Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Commun. Math. Phys 33 (1973), p. 335−343.

48. Tomas P., A restriction theorem for the Fourier transform, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), no. 2, 477−478.

49. ТрибельХ., Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, М., Мир, 1980.

50. Figotin A., Kuchment P., Spectral properties of classical waves in high-contrast periodic media, SIAM J. Appl. Math. 58 (1998), no. 2, pp. 683−702.

51. Филонов H., Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем, Про-бл. мат. анал., вып. 22, СПбГУ, СПб., 2001.

52. Filonov N., Sobolev A., Absence of the singular continuous component m the spectrum of analytic direct integrals, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 36, Зап. научн. сем. ПОМИ, 318 (2004), с 298−307.

53. Floquet G., Sur les equations differentielles lineaires a coefficients periodiques, Annales de l’Ecole Normale Superieure 12 (1883), p 47—88.

54. Friedlander L., Absolute continuity of the spectra of periodic waveguides, Contemp Math 339 (2003), p. 37−42.

55. Friedlander L., On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators, Communications in Mathematical Physics 229 (2002), p. 49−55 .

56. Friedrichs, K., Differential Forms on Riemanman Manifolds, Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. VIII (1955), p. 551−590.

57. Хёрмандер Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1: Теория распределений и анализ Фурье, М., Мир, 1986.

58. Hill G. W., On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon, Acta Math. 8 (1886), p. 1−36.

59. Штеренберг P. Г., Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шр’едингера с сильно подчиненным магнитным потенциалом, Исследования, но линейным операторам и теории функций 31, Зап. научн. сем. ПОМИ, 303, (2003), 279−320.