Параметрические представления и оценки роста для некоторых классов мероморфных и голоморфных функций в n-связных областях

В настоящее время хорошо известны исследования Ф. Рисса [I], Р. Неванлинны [2], И. Привалова [3], М. Джрбашяна [4,5], Л. Карле-сона [б] и других авторов, посвященные изучению определенных классов голоморфных и мероморфных функций в единичном круге, их представлениям и другим важным вопросам.

В исследованиях М. М. Джрбашяна для этих целей приводится построение новых операторов, являющееся существенным обобщением оператора дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувиля.

Это делается так. Условимся говорить, что функция CJ (x) принадлежат классу XL, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) СО (х) неотрицательна и непрерывна на [0,l), причем.

С0(0)-1, Jo)(x)dx.

2) Дяя любого г (О j (j (x)dx>0 ¦ (2) г функция СО (х)е оГс .0. «если она в окрестности точки Х-0 удовлетворяет условию Липшица.

Пусть 0(z)eil • К классу отнесена любая функция р (г), представимая в виде 4.

P (0M, pcrhrj^jx rc-(oj] (3) г.

При О (х)ей и fio введен в рассмотрение оператор l^M^MVncfpm} «м (4).

Предполагая, что в надлежащем классе допустимых функций ip (x), определенных на (0,l), правая часть существует хотя бы почти всюду.

В классе функций Ц)(х), непрерывных на [0,1] и обладающих на [0,lj непрерывной производной vy'(x), оператор допускает следующее представление: Л.

L (WJ)QfCa3 — ЧЧО) + xj 4>'(xT)uJ (T)clr = о х (5) о х.

В работе М. М. Джрбашяна [4] с помощью этих операторов устанавливаются принципиально новые аналоги классических формул Коши, Шварца и Пуассона для представления аналитических и гармонических функций внутри круга 12Я. Доказано, что, если функция ге*) =? ак (ге*)к (6) k-q голоморфна в круге, (О (аг)е-Л., Jp®eP.

1°. Функция голоморфна в том же круге 12-lfl .

2°. Для любого f (o^f^-i) справедливы интегральные формулы: он*), (8) о.

— Мч+ёШе'У^кШ*)*.

1>П (9) где.

V 2К и<-1), (10).

II) и.

Д0=1, дкkJx*" 1 u>(x)clx (12) о.

В том случае, если 1/(2) гармоническая функция в круге, тогда им же доказывается [4], что функция гармонична в том же круге, причем для любого f справедлива интегральная формула.

21 Г О.

Формулы (8), (9), (13) являются естественными обобщениями формул Коши, Шварца и Пуассона, ассоциированными с данной функцией o (x)eSL, совпадающие с ними при cj (x)=i .

Посредством указанных формул дается полное структурное представление для ассоциированных с построенными операторами li^ широких классов гармонических и аналитических функций.

Класс Uco гармонических в круге функций определяется как множество функций 1Н2), для которых конечна величина где Р (ч>, г, ю) = Яе?(ге^). + оо (14).

— б.

Г iff.

Ьир |Пи<�ге*)]|а.

В случае tO (x)=l класс Um совпадает с множеством функций, допускающих представление в виде интеграла Пуассона-Стильтьеса.

3].

В следующей важной теореме дается представление класса Uu, в случае произвольной порождающей его функции co (x)e.Q,, а также сравнение классов Uu> с классом {J^, при различных предположениях относительно СО (*) (см. [4], стр.1095−1099). Теорема Класс совпадает с множеством функций предетавимых в виде интеграла.

II (Ы*(°-r*0, (15) о где jj (9) — произвольная вещественная функция с конечным полным изменением на [o, 2fiJ .

2°. В представлении (15) данной функции 11(1)б[/и) соответ" «ствующая функция ч[>(0) может быть определена с помощью предела.

9 о где jtl — некоторая возрастающая последовательность.

3°. Класс UJcUco гармонических в круге izf^l функций, для которых iLOOso совпадает с множеством функций, представимых в виде (15), где функция vJ/(Q) не убывает на [Ьд*г]. Дальше показывается, что.

1°. Если функция co (oc)eSl не убывает на [0,l) при ГЦ, то.

2°. Если функция СдСх) е?1 не возрастает на [0,1) и исхцц при xtl, то со.

18).

3°. В соответствующих условиях оба включения (17) и (18) строгие. Функция P (%r)tU при условиях I уже не входит в JJш, а при условиях 2° функция PCf, f, U))e Uco 1 но не ВХ0ДИ, Г в класс U .

Далее определяются классы С^, R^, аналитических в круге № 1 функций |(г) соответственно посредством условий:

19) и оF.

5up ШеГМИ*.

О^Г^.1 to.

Д+ОО.

20).

В случае эти классы были введены Герглотцом [7] и Риссом [8], установившими формулы для их представления.

В следующей теореме М. М. Джрбашяна дается представление классов Ссо и Tuj в случае произвольной функции (см,.

4], стр. ПОО).

Теорема II. 1°. Класс Си, совпадает с множеством функций представимых в виде.

Хп.

И + (ш) (21) где JmCzO, ^(в) — произвольная неубывающая ограниченная функция на [0,Ы) .

2°. Класс Ци совпадает с множеством функций, представимых в виде (21), где ф (в) — вещественная функция с конечным изменением на [0,29}] .

3°. Далее в работе [5] М. М. Джрбашяна вводится основная формула типа классической формулы Иенсена-Неванлинна. Формула эта имеет вид looFw=it^doofi-Z ШЩ-L 1оЛМЬ jl it.

22) где /ЛI — кратность возможного нуля (при Лг1) либо кратность полюса (при Aiz-jL) функции FU) в точке 2-Q, Свещественная постоянная, определенная с точностью до слагаемого вида.

Vnim '(т-0,+1,~).

Ti/l^dx, о, а функция определяется следующим образом:

2 ^(М) (24) где.

ZS.

О '.

Как в теории Неванлинны, так и в данном случае при Ъ-0 формула (22) естественным образом привела к определениям функций ft n^oobn^ool^Ajclt+nlO.cojfto^Kj (27) и посредством их к определению функции.

X (r.F)3mM (r.F)+H?,(r, F) (turd) (28) названнойCaJхарактеристической. При этом устанавливается важное тождество xfr’f) —^onsi +%(r, f) (ocr^i) (29).

В случае, когда CJU)=1, функции ID^ChF)" Ло (ПР) и X (r, F) переходят в известные функции П1(г, F) «Л/» (г, Р) и Т (ПР). Другой значительно более общий случай, когда.

GJ (X) = (1-Х У* (-КоU+oo} тоже был исследован М. М. Джрбашяном [9].

В работе [5] М. М. Джрбашяна с помощью сохарактеристической функции (г, f) дается определение класса как множества мероморфных в круге 12UJ функций F (2), подчиненных условию.

SupT, (r, f) ^ +.

1(0v/./-.oo (30) о <-r.il где функция cj с х) е JTif в окрестности точки удовлетворяет условию Липшица,.

Далее устанавливается основная теорема о параметрическом представлении класса. Эта теорема, содержащая в себе в качестве специальных случаев как теорему Р. Неванлинны относительно класса jY, так и теорему относительно, (-l^oU + oo), гласит:

Теорема III. Класс УУ*{ со J совпадает с множеством функций которые в круге ъU4 допускают представление вида.

F (*)= eir+ ЛКшz l^r? ехр ±]ь (еЧФ>I (31).

Вш (z,< + DO И^Г cj (x)clx 4.+ со (f) IQjul («)).

Наконец, определяется формулой (23).

Исчерпывающий характер этой теоремы для теории факторизации мероморфных функций в круге заключается в утверждении, что любая функция F (2), мероморфная в круге 12U1 и не входящая в класс JV Р. Неванлинны, входит в некоторый класс Л/^uJ и таким образом допускает факторизацию вида (31), с порождающей функцией с (см. [5], стр.594).

В работе [10] Г. У. Матевосяна строится аналог классов jV{cj] М. М. Джрбашяна для кругового кольца и получено представление этого класса, аналогичное (31).

3°. Следуя работе flj] М. М. Джрбашяна, обозначим л Я.. f^iC.

0 0 i- ?ei9r п=1 '.

00 vol+Z где числа £к удовлетворяют условию 2L (1−12*1) ,.

При 121*1, СК1Ш1 установлено [II], что.

2.

1 нг п-1 7 О jtf?) «>-Х). (34).

Далее в работе [il] М. М. Джрбашяна введен класс функций ИР (Л) (P>0-oL>-l) голоморфных в единичном круге I2U1, для которых интеграл.

•00 (35) г оъ существует. Этот класс функции является обобщением класса Ир Ф. Рисса голоморфных в единичном круге функций (см. i] и [3]) и совпадает с этим классом, если интеграл (35) равномерно ограничен при d.

Функции класса HpW) обладают следующими свойствами: 1°. Если отличен от тождественного нуля, и числовая функция Неванлинны функцииfe), то 1.

J (i-r)iemncfr• (36) о.

•>0.

2°. Если |(<0eHpU) и l j а-г)Аетг)с1г =+<*> о?) Q тогдаf (2.)= О .

В частном случае условия (37) выполняются, если числовая функция Л (г) нулей функцииfc2j удовлетворяет условию (см. [II], стр.7) а> 'iifn (4-rjn® — 'Eim (l-otpjn >^тр-,. <38>

6) fo^ П (г) n >? ig (39).

В той же работе [il] М. М. Джрбашяна, при помощи функции J 1^(2,путем существенного обобщения формулы Иенсена-Неван-линны, была установлена факторизационная теорема для мероморф-ных в круге 121*1 функций F (2), для которых 1.

I< l-rf % (г) clr * + (40).

IF О где ТрСПхарактеристическая функция FfeJ Р.Неванлинны.

Далее в работе К. М. Фишмана [12], заменой функции плотности (l-rf1 любой монотонно убывающей функцией (?(г) при помощи метода Джрбашяна получена аналогичная факторизационная теорема. В работе [13] Р. С. Галояна введено бесконечное произведение ТО-2'^) следующим образом.

Со" со где.

IH1 и доказано, что если последовательность комплексных чисел г h х o^|ZK|A|ZK+a.|-?.l) удовлетворяет условию.

DOГ v-Л J.

43).

44) тогда бесконечное произведение (41) абсолютно и равномерно сходится в каждой замкнутой части единичного круга, представляя аналитическую функцию, обращающуюся в нуль лишь на последовательности •.

В частном случае, если GXz) g?L не возрастает на [0,l), а последовательность удовлетворяет условию к-ц то имеет место представление 2Я*.

JLt^O^CiBft^tiplsjSlze^Jdfe) ¦ где ^i-J^JhZ, 3> Ыык) функция Бляшке, а ч|/(0) — неубывающая ограниченная функция на .

4°. В случае кругового кольца и г)-связной круговой области вопросами представления гармонических, аналитических и мероморф-ных функций занимались В. А. Зморович [14], С. А. Касьянук [15], М. Е. Дундученко [1б], П. М. Тамразов [17], И. А. Александров и А. С. Сорокин [18] .

Особый интерес представляет случай произвольной конечносвяз-ной области. В этом направлении отметим, прежде всего, работы Г. Ц. Тумаркина и С. Я. Хавинсона [19], Д. Хавинсона [20*), Т. С. Кузиной [2l] и др. В упомянутых работах исследованы различные классы функций гармонических и аналитических в конечносвязных областях и были получены параметрические представления функций классов Неванлинны Jf, В. И. Смирнова JV*, классов Hp, Ер и других.

В настоящей диссертации изучены в П-связной круговой области классы гармонических, аналитических и мероморфных функций.

UW0i.|tom (G). ftcje,.icorn (G), ^{(Jei., u) m, c}, представляющие собой распространение на многосвязные круговые области известных классов Uco > псо и.

И М. М .Джрбашяна и получены параметрические представления этих классов.

5°. Первая глава диссертации посвящена изучению классов функции в (m+JL)-связной области G, граница которой суть окружности: К-ОЛг'/Ш.

На этом пути в § I с помощью оператора и*0 -М.М.Джрбашяна получены формулы (1.9), (I.IO), (I.13) типа Коши, Шварца и Пуассона.

Построен класс гармонических в G функций Uu^,.^^ © типа классов UojМ.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется одно из эквивалентных условий (I.13) или (I.I3) или (I.I4) и (I.I4) или (I.I6) и (I.I6) или w fcfi.

Жг)4 (РММ^Й JPK-®.

0 к*1 0 где P (e, r,(J)-^€§(re10), a к," °г,>гп' вещественные функции с конечным полным изменением на [ОД?*] .

Далее построен класс функций Ки>0,.-, и>т L^) «аналитических в G и удовлетворяющих условию (1.22) или (1.23). -Функции этого класса представляются в виде (1.24).

Далее в § 2 доказывается теорема типа Иенсена-Неванлинны (теорема 2.1°), строится класс n/V^IcJc-^iO^g} или мероморфных в (flft+i)-связной области G функций, аналогичный классам или JV/'-fw}, М. М. Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется условие.

Гк rflecjot0! или tJ0e—Q., cjKe Q., K-1,.-Vm, а функция T fe которую назовем cJ0)——^т-характеристической функцией функции, определяется следующим образом:

Пусть.

F (z)=Fo")-F1(z) — Fro (2), где функция Fk (2), мероморфна в области С, к (2к, Як):

Обозначим Fo*(ur) = F0(20+RoiLr) — F*(ur)= F* U.

CO — характеристическая функция функций.

F.T (иг) Обозначим m.

47) к.

IC-0.

Из определения (47) видно, что характеристическая функция Tujjj,.,^ в °^ласти G обладает всеми свойствами, которые имеют место для U) -характеристической функции М. М. Джрбашяна в области |аг|д1 .

Далее приводятся эквивалентные (46) определения класса ide/'jiO^F^. Показано, что класс • >сОт, с| не зависит от того, какие именно функции мы взяли в качестве функций.

Доказано, что F (2) 6 л/*-[и)е/./От>с} тогда и только тогда, когда в области С имеет место.

Pi а" '-Ц П Pi (К R" г. jwuu /г-гл" иь>Л ' Ro I Li^i-i* x.

U 1 p. fir. /Rk ^ Rk (48) exp, где BJtt^K.) «произведение М. М. Джрбашяна, К-Ог-, т вещественные функции на [ОДЯ], Д^р натуральное, ^ -вещественное число, Kw определяется формулой (27). Притом любую функцию F (2), мероморфную в G, можно представить в виде (48) с порождающими функциями Оос>—, и).

В § 3 главы I заменой функции плотности в (40) любой функцией cj (x)€-il. доказано, что.

Если F (z) любая мероморфная функция в, и j cJ (r2)7^®c/r.

Далее получено аналогичное представление для функций р (2), мероморфных в многосвязной области G .

Вторая глава диссертации посвящена построению классов функций в ItUl и изучению их свойств.

В § I определен класс функций Н (Р^), голоморфных в круге |2 |<-1, для которых существует интеграл.

Р 1 ^ Pit.

О о.

В этом классе по аналогии с формулами (36) и (37) М. М. Джрбашяна приведены теоремы единственности в классе Н (Р^) и теоремы о параметрическом представлении класса H (?, 6j). Доказано, что если Н (№) «то.

С помощью неравенства (51) решены интерполяционные задачи в классах Н (р, d) и в классах Ц (Z, cj) .

При доказательстве неравенства (51) и в § 3 главы I важную роль играет лемма 3.1, которая позволяет всякую функцию, аналитическую в, представить в следующем виде w^jC'^fe^co)j^e f (?e'e) fdfcle. (52).

В § 2 получена оценка снизу и сверху для произведения М. М, Джрбашяна. Эти оценки достигаемы.

В § 3 главы П получены оценки для роста функций с конечным интегралом типа Дирихле.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32] - [36] автора.

Автор приносит глубокую благодарность своему руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. С. Захаряну за постановку задач и руководство при выполнении диссертационной работы.

1. И. И. Привалов. Граничные свойства аналитических функций. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

2. М. М. Джрбашян. Обобщенный оператор Римана-Лиувилля и некоторые его применения. Известия АН СССР, серия математическая, 32 (1968), I075-IIII.

3. М. М. Джрбашян. Теория факторизации функций, мероморфных в круге. Математический сборник, т.29 (121), № 4 (8).1569.

4. Kbavinson i>• Factoribflution theorems for <�Ш*геп± Classes o# CUULtytiC. fu.ncti.on5 Ln madtlp^ Connected domains. v Pacii jMa-tV 19 837 IPS^22, 295−31*.

5. Г. Д. Левшина. Некоторые экстремальные и интерполяционные задачи для функций классов Нр (сО. Вестник МГУ, сер. матем. и мех., 4 (1979).

6. A-theorem Concerning TayEor’s Series, Gtiuurij. Mctih, vol ЧЧMS,.

7. V. Cowling, А гетлгк on Sounded functions, Amermaih. mon{?y, 66(1959), H9−12o.yam&shi-ta., Cow-tings theorem on a dirichte-6 4-Ln.de.ko&jmorpfii.G function in 0"e diSK, AmermeUh. montti, (mo) J/sf, 553−552.