Анализ и моделирование цифровых и аналоговых схем

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» .

Кафедра конструирования и технологии РЭС Контрольная работа По курсу «Теоретические основы САПР «.

Выполнил Номер зачетной книжки Проверил.

Новополоцк 2008.

Задача № 1. Оценка статического риска сбоя.

Задание: для заданной схемы оценить риск статического сбоя по всем выходным переменным для заданного варианта изменения вектора входных переменных.

Исходные данные:.

Схема:

Заданный вариант изменения вектора входных переменных:

X=(a, b, c) c (0,0,1) на (1,1,1).

Решение:.

Для оценки риска статического сбоя необходимо разработать синхронную модель цифровой схемы в трехзначной логике. Математическая модель заданной схемы имеет вид:

При анализе трехзначных моделей значения всех переменных — входных и выходных вычисляются трижды:

1. Исходное значение вектора входных переменных X=(a, b, c) задано заданием; исходное значение вектора выходных переменных Y=(e, g) вычисляется по правилам двоичной логики;

2. Окончательное значение вектора входных переменных X=(a, b, c) задано заданием; окончательное значение вектора выходных переменных Y=(e, g) вычисляется по правилам двоичной логики;

3. Промежуточные значения входных переменных X=(a, b, c) определяются по следующему правилу: если исходное значение входной переменной совпадает с окончательным, то промежуточное равно исходному и окончательному. Если исходное значение входной переменной не совпадает с окончательным, т. е. имеет место переключение входного сигнала в течение такта модельного времени, то промежуточное равно 2 (неопределенное состояние переключения). Промежуточные значения выходных переменных Y=(e, g) рассчитываются по правилам трехзначной логики. Статический риск сбоя по выходной переменной имеет место в случае, если сочетание значений этой переменной в исходном, промежуточном и окончательном состоянии имеют вид 0−2-0 или 1−2-1.

Правила выполнения основных логических операций И, ИЛИ, НЕ в двоичной и трехзначной логике для произвольных переменных а и b приведены в таблице 1:

Таблица 1.

Результат анализа трехзначной модели заданной схемы приведен в таблице 2.

Таблица 2.

Таким образом, результат расчета по выходным переменным e и g показывает наличие статистического риска сбоя.

Задача № 2. Анализ цифровых схем по методу простой итерации и событийному методу.

Задание: выполнить анализ заданной схемы по методу простой итерации и событийному методу для заданного изменения вектора входных переменных.

Исходные данные:.

Схема:

Заданный вариант изменения вектора входных переменных:

X=(a, b, c, d, e) меняет свое значение с 100 на 11 101.

Решение:.

Для выполнения анализа схемы необходимо разработать ее синхронную модель в двоичной логике. Математическая модель заданной схемы имеет вид:

Для реализации анализа по методу простой итерации необходимо задать начальное приближение для вектора выходных переменных Y₀=(f, g, h, p, q). Для расчета начальных приближений вектора выходных переменных воспользуемся начальным значением вектора входных переменных X=(a, b, c, d, e)=(100), предварительно расположив уравнения в порядке прохождения сигналов по схеме:

Y₀=(f, g, h, p, q)=(1,0,1,1,1).

Метод простой итерации состоит в выполнении итераций по формуле:

Y_i= (Y_i-1, X),.

где Y_i — значение вектора Y на i-й итерации, т. е. при вычислении Y₁ в правые части уравнений модели поставляются значения выходных переменных из начального приближения Y₀, при вычислении Y₂ — значения из результата первой итерации Y₁ и так далее. Если Y_i=Y_i-1, то решение найдено; если.

Y_iY_i-1, то выполняется новая итерация; если итерационный процесс не сходится, то это свидетельствует об ошибках проектирования схемы устройства, вызывающих неустойчивость его состояния.

Результат анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 3.

Таблица 3.

Из таблицы 3 видно, что потребовалось два раза обращаться к каждому из пети уравнений модели, прежде чем результат второй итерации, совпадающий с результатом первой итерации, показал, что решение найдено.

Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a, b, c, d, е) с 100 на 11 101 для заданной схемы равно:

Y=(e, g, p, f, h, q)=(0,1,0,1,1).

При использовании событийного метода вычисления на каждой итерации выполняются только по уравнениям активизированных элементов, т. е. элементов, у которых хотя бы на одном входе произошло событие (изменилась входная переменная). В алгоритме событийного метода на каждом шаге вычислительного процесса имеется своя группа активизированных элементов.

В заданном варианте изменения вектора входных переменных изменяются только значения переменных а, b и е, следовательно, на первой итерации при реализации событийного алгоритма анализа должны быть пересчитаны только выходные переменные f и h, в правые части уравнений которых входят аргументами b и d. Если по результатам вычисления значения f и h совпадут с начальным приближением, то решение будет найдено, если хотя бы одна из этих переменных изменится, то на второй итерации должны быть пересчитаны те выходные переменных, в правые части уравнений которых входят изменившиеся в результате первой итерации переменные. Процесс продолжается до тех пор, пока в результате очередной итерации значения рассчитываемых переменных не совпадут с их предыдущими значениями, т. е. до выполнения условия Y_i=Y_i-1.

Результат анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 4.

Таблица 4.

Как видно из таблицы 4, на 6-ой итерации результат расчета переменной q совпал с ее предыдущим значением, следовательно решение найдено.

Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a, b, c, d) с 0110 на 0011 при расчете по событийному методу для заданной схемы совпадает с результатом анализа по методу простой итерации и равно:

Y=(e, g, p, f, h, q)=(0,1,0,0,0,1).

Однако, при вычислении по методу простой итерации, потребовалось на каждой итерации вычислять все выходные переменные, т. е. объем вычислений составил 66=36 операций. Тот же результат при использовании событийного метода потребовал значительно меньшего объема вычислений, а именно выполнения 8 операций. Таким образом, трудоемкость событийного метода значительно меньше.

Задача № 3. Анализ цифровых схем по методам Зейделя.

Задание: выполнить анализ заданной схемы по методам Зейделя для заданного изменения вектора входных переменных.

Исходные данные:.

Схема:

Заданный вариант изменения вектора входных переменных:

X=(a, b, c, d, e) меняет свое значение с 100 на 11 101.

Математическая модель заданной схемы имеет вид:

При реализации анализа по методу Зейделя при вычислении очередного из элементов вектора Y_i в правую часть уравнений системы там, где это возможно, подставляются не элементы вектора Y_i-1, а те элементы вектора Y_i, которые уже вычислены к данному моменту, т. е. итерации выполняются по формуле: Y_i= (Y_i, Y_i-1, X)..

Результат вычислений по методу Зейделя без ранжирования, для исходного произвольного порядка уравнений модели представлен в таблице 5. Для организации вычислений использовалось значение начального приближения вектора выходных переменных Y₀, полученное в задаче 2.

Таблица 5.

Задача № 4. Моделирование аналоговых схем (метод узловых потенциалов).

Цель: освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.

Задание: для заданного варианта схемы задачи № 6 разработать модель топологии с использованием метода узловых потенциалов: построить матрицу «узел-ветвь», записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа.

Решение:.

В методе узловых потенциалов в вектор базисных координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла, принимаемого за опорный. Топологические уравнения — это уравнения закона токов Кирхгофа, записанные для узлов схемы, и уравнения связи вектора напряжений ветвей U с вектором узловых потенциалов:

AI=0;.

A^T+U=0,.

где А — матрица «узел-ветвь»; A^T — транспонированная матрица «узел-ветвь»; I — вектор токов ветвей. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы — ветвям схемы. В столбце i-той ветви записываются единицы на пересечении со строками узлов, при чем +1 соответствует узлу, в который ток i-той ветви втекает, а -1 соответствует узлу, из которого этот ток вытекает. Матрица «узел-ветвь» для схемы с введенными обозначениями узлов, полученной в задаче 6 и показанной на рисунке 10, имеет вид, представленный на рисунке 14 (узел 8 принят в качестве опорного).

Рисунок 14.

Запишем топологические уравнения по закону токов Кирхгофа.

— в общем виде:

AI=0;.

— в развернутой матричной форм.

— в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца токов ветвей схемы на матрицу «узел-ветвь»:

Запишем топологические уравнения по закону напряжений через узловые потенциалы:

— в общем виде:

A^T+U=0;— в развернутой матричной форме (в транспонированной матрице столбцы соответствуют строкам исходной матрицы «узел-ветвь»):

— в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца узловых потенциалов на матрицу «узел-ветвь» после приведения ее к виду U=-A^T :

Таким образом, модель топологии заданной схемы получена с использованием метода узловых потенциалов в виде двух систем уравнений — по закону токов Кирхгофа и по закону напряжений через узловые потенциалы.

Задача № 5. Моделирование аналоговых схем (метод переменных состояния).

Цель: освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.

Теория, методы и примеры решения: раздел 3.3.2.3 курса лекций.

Задание: для заданного варианта схемы задачи № 6 разработать модель топологии с использованием метода переменных состояния: построить граф, нормальное фундаментальное дерево и матрицу контуров и сечений. Записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа. Записать окончательную математическую модель схемы в виде системы уравнений, в которой ёмкостные токи и индуктивные напряжения выражены явно и заменены производными переменных состояния.

Решение:.

Базисными координатами в этом методе являются переменные состояния, т. е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запасы энергии в элементах электрической схемы. К таким переменным относятся независимые друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходными топологическими уравнениями являются те же уравнения, что и в табличном методе:

U_x+MU_вд=0; I_вд=M^ТI_x=0..

Матрицу М контуров и сечений в методе переменных состояния формируют на основе построения нормального дерева графа схемы. Нормальным деревом называют фундаментальное дерево, в которое включение ветвей производится не произвольно, а в следующем порядке: ветви источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные, источников тока. Использование нормального дерева облегчает дальнейшее преобразование исходных уравнений с целью получения нормальной формы Коши.

В графе схемы, приведенной на рисунке 12, построенное фундаментальное дерево является нормальным. Топологические уравнения в общем виде и в развернутой матричной форме были получены при решении задачи 6. Топологические уравнения в виде системы уравнений по законам Кирхгофа, полученные с использованием матрицы контуров и сечений, построенной в задаче № 6, имеют вид:

Для получения окончательной ММС используют компонентные уравнения. При их преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи I_С и индуктивные напряжения U_L через переменные состояния. Далее, заменяя I_C и U_L производными переменных состояния, получают окончательную ММС.

Запишем компонентные уравнения (уравнения сопротивления, емкости и индуктивности) в общем виде:

В заданной схеме нет индуктивных ветвей, поэтому уравнение индуктивности нам не понадобится.

В левых частях уравнений второй системы необходимо заменить I_Cj на С_jdU_Cj/dt, а в правые части вместо I_Ri подставить величины U_Ri, выраженные из уравнений первой системы путем деления на R_i. Окончательная форма ММС по методу переменных состояния имеет вид:

Таким образом, с использованием метода переменных состояния получена окончательная полная ММС заданной схемы, объединяющая в себе компонентные и топологические уравнения схемы.