Псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах ли

Диссертация посвящена исследованию и применению псевдодифференциальных операторов на унимодулярных группах Ли.

Теория псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) в ее современном виде была создана в 60-е годы в работах Кона и Ниренбер-га [збХ Хермандера [1] и др. Сейчас эта одна из наиболее эффективных рабочих теорий математической физики и современного анализа.

Особенно важны п.д.о. для изучения эллиптических операторов. В частности, они делают возможным описание структуры различных функций от эллиптического оператора (например, обратного оператора, резольвенты, комплексных степеней), что имеет важные приложения в спектральной теории эллиптических операторов (см., например, [ю], [п], [к], [17], [зв]).

Велика роль п.д.о. в теории индекса операторов (см. |2о}".

И).

Естественным образом п.д.о. появляются при сведении на границу какой-либо граничной задачи для эллиптического уравнения [в].

Оператор с постоянными коэффициентами является модельным для эллиптического оператора Р (х, Оде) в окрестности точки ЭС-о. Аналогично этому некоторые операторы могут быть изучены, если в качестве модели принять операторы (чаще всего левоили правоинвариантные) на нильпотентных группах Ли.

Эту идею впервые применили Фоланд и Стейн для оператора с^ на группе Гейзенберга (см. [40}).

В последнее время идея использования инвариантных операторов на нильпотентных группах Ли как модельных операторов некоторых локальных задач широко разрабатывалась (см., например, обзор Метивье 2з], работы Мелина [24], [25], Ротшильд-Стейна [43],.

Хелфера-Нуригата [42}).

В известной работе ?1] Хермандер ввел класс псевдодифференциальных операторов в [?^, символы которых (Х (х} ^) удовлетворяют оценкам, равномерным по пространственной переменной X, т. е. оценкам.

Хермандер рассматривал более общие классы $ ' но мы для простоты ограничимся здесь рассмотрением случая р-) (Р~ 0). В дальнейшем этот класс был подробно изучен в работах Кумано-го ?2−5^. Он доказал (см. [V])" что множество ~ всех операторов классов образует алгебруточнее, если.

5, то / ^ При этом класс инвариантен относительно взятия транспонированного и формально сопряженного операторов. Другие вопросы теории псевдодифференциальных операторов в изучались во многих работах (см., например, [*6−17], цель которых, однако, состояла, главным образом в том, чтобы распространить на операторы в [Й, некоторые факты, относящиеся к теории операторов на компактном многообразии, например, фред-гольмовость эллиптических операторов и дискретность их спектра, асимптотическую формулу Вейля для функции распределения собственных значений и т. п. Алгебра же равномерных псевдодифференци 00 альных операторов, по построению тесно связанная с групповой равномерной структурой пространства, позволяет исследовать более тонкие вопросы, относящиеся к теории нефредгольмовых операторов и к исследованию непрерывного спектра. Таковы, например, применения этой алгебры в теории операторов с почти-периодическими и случайными коэффициентами (см., например, [18−23]). В качестве прямого приложения этой алгебры к спектральной теории можно указать, например, теорему о существенной самосопряженности равномерно гипоэллиптических операторов в ^ (см. £з8]). оо.

Алгебра имеет ряд важных подалгебр. Прежде всего ее подалгеброй является алгебра всех дифференциальных операторов вида ч где коэффициенты Яос (Х-) имеют ограниченные производные всех.

ОО порядков. Эту подалгебру можно выделить из I— условием Кд^) — 0 при +, где Кд№) ~ обобщенное ядро оператора / .

Заметим, что для ядра общего оператора выполнены оценки неявно вытекающие из (0.1). Интересные подалгебры в алгебре могут быть получены наложением явных условий на ядро Кд (помимо стандартных условий (0.1) на символ). Простейшая алгебра равномерно собственных операторов получается, если требовать.

К А (х, у)=0 Щ" 1Х~Ч*СА. (0.4).

Другое возможное требование:

•эе.

0.5) где число № фиксировано.

Алгебры с условием (0.4) и с растущими по X символами использовались В. И. Фейгиным (см., например, в связи с необходимостью применять операторы к экспоненциально растущим функциям (это необходимо, в частности, при взятии композиции операторов с экспоненциально растущими по ЭС символами). Удивительно, однако, что алгебры вида (0.5), по-видимому, ранее не были выделены и изучены. Это связано презде всего с тем, что наличие в [?^ глобальной системы координат и глобального символа создает впечатление неестественности одновременного наложения условий и на символ и на ядро оператора. Однако такие одновременные условия становятся естественными и необходимыми при построении теории псевдодифференциальных операторов на пространствах, где имеется естественная равномерная структура, но нет естественной глобальной системы координат — например, на группах Ли.

В первой главе настоящей работы построена алгебра равномерных псевдодифференциальных операторов на группе Ли. Для простоты мы ограничиваемся рассмотрением связных унимодулярных групп Ли Сг, т. е. связных групп Ли, на которых мера Хаара является би-инвариантной (необходимым и достаточным условием для этого является совпадение пространств квадратично интегрируемых функций, построенных по левоинвариантной и нравоинвариантной мерам Хаара, т. е. по сути дела существование единственного естественного пространства (0)). Кроме того, в этой главе рассмотрены лишь собственные псевдодифференциальные операторы. Однако уже и собственные операторы образуют вполне содержательный объект изучения и достаточны для некоторых приложений в спектральной теории, например, для доказательства существенной самосопряженности равномерно эллиптических и равномерно гипоэллиптических дифференциальных операторов по схеме работы £зв].

Важным аспектом теории псевдодифференциальных операторов является возможность построения с их помощью теории пространств Соболева. Удобная схема такого построения предложена Хермандером в ?1] (см. также [п]). По этой схеме в нашей ситуации строятся равномерные пространства Соболева то), являющиеся обобщением обычных пространств. Локально эти пространства совпадают с локальными пространствами Соболева, но их роль состоит в том, что они позволяют учесть эффекты, связанные с поведением функций на бесконечности. Именно, в терминах пространств точно формулируется теорема о регулярности решений равномерно эллиптических уравнений на О, позволяющая доказать существенную самосопряженность соответствующих операторов.

Отметим, что в случае некоммутативной группы О имеется два варианта (левый и правый) теории равномерных псевдодифференциальных операторов и, в частности, два варианта пространств Соболева. При этом, вообще говоря, уже левое и правое пространства отличаются несмотря на то, что левое и правое пространства (О) совпадают в силу унимодулярности группы. Необходимое и достаточное условие совпадения левого и правого пространств |-| (Сг) одновременно является необходимым и достаточным условием совпадения левого и правого пространств при любом $ ^ и совпадения левого и правого классов равномерных псевдодифференциальных операторов. Это условие состоит в том, что группа Сг является центральным расширением компактной грушш, т. е. факторгруппа группы в по ее должна бЫТь компактной.

Вторая глава посвящена функциональному исчислению псевдодифференциальных операторов на группах Ли. Основным нетривиальным вопросом функционального исчисления псевдодифференциальных операторов является вопрос о структуре обратного оператора и комплексных степеней эллиптических операторов. Для операторов на компактном многообразии вопрос об обратном операторе элементарен (см., например, [п" }), а структура комплексных степеней описана в замечательной работе Сили [" 27] (см. также [п], где однако разобран лишь случай комплексных степеней дифференциального оператора). Алгебра L. инвариантна относительно взятия обратного оператора к эллиптическим операторам из этой алгебры. Этот факт, уже не являющийся элементарным, независимо и разными способами установлен в работах [12″ ] и После этого теория комплексных степеней строится так же, как у Сшш [27] (см. [il] - отметим также работу [зо], где развита формальная теория комплексных степеней). Ряд аспектов функционального исчисления в более узких алгебрах операторов в fR. обсуждается также в работе [ie].

В.Б.Жиков доказал (см. Ы> экспоненциальное убывание функции Грина (ядра оператора Д) для дифференциальных операторов вида (0.2) при. Незначительное уточнение его рассуждений позволяет установить то же самое для псевдодифференциальных операторов из с ядром, удовлетворяющим (0.5) (с UL-1).

Результаты описанного выше типа устанавливаются во П главе настоящей работы для псевдодифференциальных операторов на связных унимодулярных группах Ли. Оказывается, что в построении алгебр псевдодифференциальных операторов на группе Ли G" важную роль играет поведение функции Ш), равной объему шара радиуса ъ (относительно метрики^, построенной по левоинвариантной рима-новой метрике). Мы вводим весовые функции ^('L) «описывающие убывание ядра рассматриваемых операторов по формуле где Х» = X*- Xj ~ левоинвариантные векторные поля, образующие базис алгебры Ли. Основное условие на функцию ^ состоит, грубо говоря, в том, что Y (^) растет быстрее.

Ч?), но медленнее, чем экспонента. Аналогичные весовые функции описывают убывание ядра обратного оператора.

Опишем содержание работы по параграфам.

В § I вводятся основные классы собственных равномерных псевдодифференциальных операторов.

Пусть Ц — ^ '14 координатная окрестность точки ^ е 0, полученная левым сдвигом координатной окрестности единицы группы 6 eG. Локальные координаты Х^ на Ц^ вводятся переносом левыми сдвигами локальных координат на) е • Введем класс элементами которого являются семейства символов Ох,^С удовлетворяющие в выбранных выше на координатах оценкам где — любые мультииндексы, а Не зависят от <36 б и.

Через Ох) будем обозначать оператор, канонически построенный на Ц^ по символу Цусть.

Ы.~" °(Сх) состоит из таких семейств операторов Ц, ^¿-Сг, что их ядра Кр^ 6 С Удовлетворяют следующим оценкам:? Слр «где С^ не зависят от <| 6 Ст.

Введем класс, состоящий из таких семейств операторов Ау СГ (У$->СкЩ).. что ^ =.

Теперь дадим ^.

Определение 1.1.1. Будем писать, что если.

А * Со°Тй) ~~^ и выполнены следующие условия:

I) Существует такая постоянная Сд, что ?(д^К^-О при Сд, '. да диагональ в Сг* й > причем для любого.

Ь О выполнены оценки.

IX!XIк^мис, ПРИ где Р любые мультишщексы.

3) Если Д^ - * Со ограничение оператора Д на ^ .то семейство ^А^) принадлежит классу ВП&-).

Тут же доказывается, что множество.

Ьг является алгеброй с инволюцией (алгебраические операции — сумма и композиция) (см. лемму 1.1.2). Получено необходимое и достаточное условие для принадлежности классу ] 1^(0) дифференциального оператора Д = Я^Х* • (?) ^ (см' предложение 1.1.1).

В § 2 показано, что операторы указанного типа образуют алгебру с инволюцией. Точнее, имеют место.

Теорема 1.2.1. Пусть.

А «ШЭД Тогда.

Здесь *А «А — транспонированный л формально сопряженный к л операторы в т.

Теорема 1.2.2 (о композиции). Пусть.

В^иГЧб) .

Тогда АВ^и^Сб).

В § 3 строится специальное равномерное покрытие группы С, которое широко используется в дальнейшем. Пусть обозначает шар с центром в точке ^ и радиуса? >0.

Лемма 1.3.1. Для любого? >0 существует счетное покрытие & = й Щ: Ь) группы, а шараш хвдиуоа 2 такое, что покрытие группы & шарами ^(Зц 2 ?)? = 'имеет конечную кратность, т. е. существует такое натуральное А/, что любая точка ^ € & покрывается не более чем А/ шарами вида.

Это покрытие группы м" дает возможность построить на иг удобное разбиение единицы (см. предложение 1.3.1), согласованное с равномерной структурой на Сг и с левыми сдвигами. С помощью этого разбиения единицы доказывается.

Теорема 1.3.1. Если, А ^ (&)" то Д продолжается до линейного непрерывного оператора в пространстве / (¡-л).

Тут же доказана непрерывность операторов из пространстве (Сг) (предложение 1.3.2).

В § 4 введены равномерно эллиптические операторы. Определение 1.4.1. Оператор называется равномерно эллиптическим, если его ограничения на локальные координатные окрестности, А ^ ¦> ^ равномерно эллиптичны в том смысле, что найдутся тагае положительные постоянные Сц и М, не зависящие от, что символы операторов.

А,-А.

— у в выбранных локальных координатах на Ц^ для удовлетворяют неравенствам Класс равномерно эллиптических операторов, принадлежащих иШ обозначим через Еи/^^Сг) .

Тут же доказывается существование эллиптического оператора.

Л§- * Е1//5(&-) Для любого 5е (?^,.

Оператор называется параметриксом оператора если ВА" !4″ ^ «А В «где 1 тождественный оператор, а.

Основной теоремой этого параграфа является Теорема 1.4.1. У оператора Д Е Л¹(С[) существует пара-метрике В б иг ^сс).

В § 5 строится теория равномерных пространств Соболева. Сначала определяется Ц (О) как пространство, состоящее из обобщенных функций 1? си, представимых в виде.

Vя,. л/, У/.. /2 >

Пусть выбран оператор .

Определение 1.5Л. Пространство Соболева П (Сд) определяется так:

Имеет место теорема об эллиптической регулярности во введенной шкале пространств.

Теорема 1.5.2. Пусть /1 €ЕУ/Т (х) — Тогда, если (Л бЦ

Тут же имеется простое описание пространств Соболева ((д-) при целых предложения 1.5.1 и 1.5.2).

По схеме Хермандера (см. также £и" ]" § 7) введена топология в пространствах Соболева, после чего доказана.

Теорема 1.5.3. Оператор Д^Ц/^СО) задает при любом непрерывное отображение к. №) — оз.

В § 5 главы I доказываются также, что сгла всюду плотно во всех пространствах Соболева (-^(О) «(предложение 1.5.5) и что скалярное произведение пространства продолжается до полуторалинейной двойственности С (предложение 1.5.6).

В § 6 доказана теорема, дающая простейшее приложение развитого аппарата к спектральной теории.

Теорема 1.6.1. Если Де где (п > и, то пара Д) Д* является существенно сопряженной, т. е. замыкания, А и Л операторов П ил сопряжеш в, при этом области определения^ операторов, А, А* совпадают с Н (Сг). Операторы, А и А* совпадают с продолжениями по непрерывности операторов И и /л до операторов из.

НЧФ — ¡—Ч<*.

В § 7 даются условия совпадения «левых» и «правых» пространств Соболева и классов операторов (см. теорему 1.7.1).

§ 8 содержит формулировки некоторых обобщений и уточнений излагаемых результатов.

Глава П состоит из шести параграфов.

В § I вводятся основные определения весовых функций, классов псевдодифференциальных операторов и функциональных пространств. В начале определяется положительная неубывающая вещественнознач-ная функция^: «Д^ которой существуют натуральное.

V и действительная постоянная о такие, что.

С ее помощью определяется пространство Шварца с весом состоящее из таких * с «» (а) что для любых К, ти ^ $ имеют место оценки мо [уМе.яЙ IXе6 к, к.

— ЬМр ! Ч^РК^Ш, А Д- 11А ^ 400 8е.

Класс VI (бг- ^ состоит из операторов Я., ядра которых Ко (я,-^ ] удовлетворяют следующим условиям:

2) для любых мультииццексов сС и и для любого существует такое С</?Л1 >0 9 что.

Введем теперь основной в этой главе класс псевдодифференциальных операторов, состоящий из таких операторов.

А. что Я,.

В § 2 доказываются теоремы об ограниченности операторов из введенных классов в пространствах и (Сх).

Предложение 2.2.1. Если Д е и/^С^)" то, А продолжается до непрерывного оператора.

Предложение 2.2.2. Оператор Д бпродолжается до непрерывного оператора.

А1.чат,.

В § 3 показывается, что операторы из введенных выше классов составляют алгебру с инволюцией. Именно, верны следующие Теорема 2.3.1. Если Д € «то.

Теорема 2.3.2 (о композиции). Если Д (ч^) и.

В &euro-Лт% Г), «» Л 6 € ЦТ ^) .

Здесь же доказывается.

Теорема 2.3.3. Пусть Д €, ¡-пеЩ, тогда, А продолжается до ограниченного оператора для любого.

В § 4 доказывается основная теорема этой главы об убывании функции Грина оператора.

А* тч^у).

Пусть^: [Д-^] (одоо] гладкая, неубывающая функция, удовлетворяющая следующим условиям: для всех > о .

В) Существуют о0>и и натуральное А/ такие, что 1.

М —77ГТ О.

С) При любом целом К >0 ш С к.

Тогда верна следующая.

Теорема 2.4.1. Пусть Д£^^ я пусть оператор

А ¦ НИ^ ^(^х) о^Р8™1 ПРИ 5- $о • Тогда, А обратим при любом (Я и существует такое? > $, что функция Грина оператора, А удовлетворяет оценкам.

Основная идея доказательства теоремы об убывании функции Грина состоит в рассмотрении действия оператора в пространстве Соболева с весом, характеризующим убывание. Эта идея в случае операторов в использовалась в работе где однако рассматривались лишь случаи степенного и экспоненциального убывания. Близкие идеи, также связанные с применением весовых пространств для операторов в использовались в работах [48−5о]. Общие весовые пространства используемого здесь типа, но на дискретных группах, рассматривались в работах и [47], в которых изучалось убывание функции Грина разностных операторов. (.

В § 5 строится более широкая алгебра операторов игт полученная включением в исходную алгебру (Йг) всех операторов, бесконечно сглаживающих в шкале соболевских пространств. В этой алгебре теорема об обратном операторе становится тривиальной и благодаря этому можно описать структуру комплексных степеней. Попутно следуя схеме Сили [27], при условии эллиптичности с параметром для оператора ДyVl «мы строим параметрикс оператора с параметром Д~А1, норма которого убывает как.

С/lAl +. Если еще 6^/1)О]-^, где.

Д) спектр оператора Д, то строятся комплексные степени.

А2 оператора Л и доказана п.

I2 Cif/^V/'M.

Теорема 2.5.3, а) Имеет место включение ¿-ЦJL. (UT/. б) Семейство операторов f (образует группу, т. е.

AZ+W=A2-AW. при всех А=А, A4, в) Для любых sA6 R оператор-функция 2 и—^ / * представляет собой голоморфную оператор-функцию от Ъ в полуплоскости со значениями в банаховом пространстве mai-rfc)). г) В локальных координатах полный символ оператора л разлагается в асимптотическую сумму.

О, где ^-^^(oc^j/l)^ jj-0})%—- компоненты символа параметрикса оператора с параметром AI ^ ¿-•" ¿—m.fsc^, Я) однородна по порядка-jha, Г — подходящий контур в комплексной плоскости. После этого мы получаем теорему о мероморфном продолжении ядер комплексных степеней (теорема 2.5.4) и обычным образом выводим из нее асимптотику спектральной функции (теорема 2.5.5).

В § 6 результаты § 4 и § 5 уточняются в случае, когда функция растет не быстрее ^ +1) .В этом случае взятие обратного оператора и комплексных степеней не выводят за пределы алгебры, определяемой оценками ядра вида (0.6) с — .

Точнее, имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.6.1. Пусть Д 6 Elг&у) и пусть оператор, А • H KG) обратим при S-So. Тогда / обратим при всех se fR и EVL'^G, у)•.

Теорема 2.6.2. Пусть A? EVL" l (Q) ffz), где /tl> 0. Если оператор А~Л1 удовлетворяет условию эллиптичности с параметром и условию б" (А) 0 (-<*>, о] = /.

Ш глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся и доказываются несколько вспомогательных утверждений, используемых в дальнейшем. В частности, доказана.

Лемма 3.1.2. Пусть / - дифференциальный оператор порядка ht с коэффициентами OU «Если при Р (%в)—^ 00 «то оператор / компактен как оператор из HS (G) в.

Во втором параграфе Ш главы доказываются предложения о достаточных условиях фредгольмовости и обратимости в пространствах Соболева дифференциальных операторов из введенных ранее классов.

EUrCG).

Заметим, что в случае эти условия переходят в достаточные условия В. В. Грущина (см. [7]) для фредгольмовости и.

I ht обратимости эллиптических псевдодифференциальных операторов из£ в пространствах Соболева на [?^ .В дальнейшем, положим Д^ - ^ OLoC ^о), т. е. левоинвариантный оператор на Gj-, коэффициенты которого получены замораживанием коэффициентов оператора Д в точке go.

Теорема 3.2.1. Пусть дифференциальный оператор -^L&^jX^ удовлетворяет следующим условиям: И^м,.

I) / равномерно эллиптичен;

II) Существуют К^С^Ц^. такие, что если то существует ограниченный оператор, обратный к оператору.

А,&bdquo-: ТОЫТЙ) .пр~ а) д 0 при ->оо для любого.

Тогда оператор Д — ~^ П^ ^(С5) ФРеДгольмо: в* ^.

Теорема 3,2.2. Пусть дифференциальный оператор Д = удовлетворяет условиям теоремы 3.2.1, причем 2 5ир[^Сд. «~ >У, зависящее только от Ьд^ К и и, что если.

ХРСи^)|<£ для любых, с К,, то оператор Д осуществляет изоморфизм этих пространств при любом $ € [Я, .

По материалам диссертации были сделаны доклады на научных семинарах по спектральной теории механико-математического факультета МГУ (руководитель — д.ф.-м.н. М.А.Шубин), по граничным задачам теории функции и интегральным уравнениям Тбилисского математического института (руководитель — академик АН ГССР Б.В.Хведелидзе), на международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными (Новосибирск, 1983 г.), на республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным операторам (Тбилиси, 1983 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах ?45^, ?4б],(б1]. В совместных статьях [32] и |~4б] автора и М. А. Шубина последнему принадлежат постановки задач и общие методические указания.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физ.-мат.наук М. А. Шубину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ШВА I. СОБСТВЕННЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА УНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ ЛИ.

1. Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы и гипоэллипти-ческие уравнения. — Сб. «Псевдодифференциальные операторы». М., «Мир», 1967, 297−367.

2. Kumano-go Н. Remarks on pseudo-differential operators.-J. Math. Soc. Japan, 1969, 21, ?1−13−439.

3. Kumano-go H. Algebras of psedo-differential operators.-J. Рас. Sci. Univ. Tikyo, Sec. 1A, 1970, 17, 31−50.

4. Kumano-go H. Pseudo-differential operators of multiple symbol and the Calderon-Vaillancourt theorem.-J.Math.Soc. Japan, 27, No.1 (1975), 113−119.

5. Kumano-go H. Pseudodifferential operators.-MIT Press 1981.

6. Grossman A., Loupias G., Stein E.M. An algebra of pseudodifferential operators and quantum mechanics in phase space. Ann. Inst. Fourier 1968, 18, 343−368.ченными символами. Функц. анализ и его приложения, 1970, 4, вып. 3, 37−60.

7. Рабинович B.C. ПсеЕдодифференциальные уравнения в неограниченных областях с конической структурой на бесконечности. -Шт. сб., 1969, 80, 77−97.

8. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы в R. ДАН СССР, 1971, 196, 316−319.

9. Туловский В. Н., Шубин М. А. Об асимптотическом распределении собственных значений псевдодифференциальных операторов в fRr Мат. сб., 1973, 92, 571−588.

10. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.:Наука, 1978.

11. Beals R. A general calculus of pseudo-differential operators. Duke Math. J., 1975, 42, No.1, 1−42.

12. Грушин В. В. Псевдодифференциальные операторы.

13. Фейгин В. И. Две алгебры псевдодифференциальных операторов в Rn и некоторые приложения. Труды Моск. матем. об-ва, 1977, 36, 155−194.

14. Guillemin V., Sternberg S. The mateleptic representation, Weyl operators and spectral theory.-J. of Funet. Anal., 1981, 42, No.2, 128−225.

15. Hormander L. The Weyl calculus of pseudo-differential operators.-Comm. Pure Appl. Math., 1979, 32, 359−44−3.

16. Heifer B. Theory spectrale pour des operateurs globalement elliptiques.-Recife 1981.

17. Левандорский С. З. Асимптотическое распределение собственных значений.-Изв. АН СССР, сер. мат., 1982, 46, 4, 310−352.

18. Шубин М. А. ПсеЕдодифференциальные почти-периодические операторы и алгебры фон Неймана. Труды Моск. мат. об-ва, 1976, 35, 103−164.

19. Шубин М. А. Почти периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными. УМН, 1978, 33, № 2, 347.

20. Шубин М. А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами. УМН, 1979, 34, № 2, 95−135.

21. Федосов Б. В., Шубин М. А. Индекс случайных эллиптических операторов. I, П. Мат. сб., 1978, 106, I, 108−140, № 3, 455 483.

22. Дедик П. Е., Шубин М. А. Случайные ПсеЕдодифференциальные операторы и стабилизация решений параболических уравнений со случайными коэффициентами. Мат. сб., 1980, 113, № I, 41−64.

23. Metivier G. Equation aux derivees partielles sur les groups de Lie nilpotents.-In: Seminaire Bourbaki, 34-e annee, 1981/82, n° 583, 1−25.

24. Melin A. Parametrix constructions for right-invariant differential operators on nilpotent groups.-Preprint, 1982.

25. Melin A. Lie filtrations and. pseudodifferential operators. Preprint, 1983.

26. Calderon A.P., Vaillancourt R. A class of bounded pseudodifferential operators.-Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1972, 69, 1185−1187.

27. Seeley R. T. Complex powers of an elliptic operator.—Proc. Symp. in Pure Math., 10, 1967, 288.307.

28. Seeley R. T. Analytic extension of trace associated with elliptic boundary problems.-Amer.J.Math., 91,1969,963−983.

29. Шубин M.А. Псевдоразностные операторы и их обращение. ДАН СССР, 1984, 276, В 3, 567−570.

30. Kumano-go H., Tsutsumi С. Complex powers of hypoelliptic pseudo-differential operators with applications.-Osaka J. Math., 1973, 10, No.1, 147−174.

31. Богородская Т. Е., Шубин M.А. Вариационный принцип для плотности состояний случайных псевдодифференциальных операторов и его приложения. Функ. анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып. 2, 66−67.

32. Меладзе Г. А., Шубин М. А. Собственные псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах Ли.-Рукопись депонирована в ВИНИТИ, 8.12.1983, В 6661−83 ДЕП.

33. Guivarc’h Y. Croissance polynomial et periodes des fonctionsharmoniques.-Bull. Soc. Math. Prance, 1973, 101,339−379.

34. Beals R. Characterization of pseudodifferential operators and applications.-Duke Math.J., 1977, 44, No.1, 45−58.

35. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I. Изв. АН СССР, серия матем., 29 (1965), 567−589.

36. Kohn J.J., Nirenberg L. An algebra of pseudodifferential operators.-Comm. Pure Appl. Math. 18(1965), 269−305.

37. Грушин B.B. Псевдодифференциальные операторы. Моск. институт электронного машиностроения. М., 1975.

38. Шубин М. А. О существенной самосопряженности равномерно гипо-эллиптических операторов. Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1975, 2, 91−94.

39. Лонтрягин Л. С. Непрерывные группы. М., Наука, 1973.

40. Holland G.B., Stein Е.М. Estimates for the b complex and analysis on the Heisenberg group—Comm. Pure Appl. Math.27(1974), 429−522.

41. Heiffer. Hypoellipticite pour des operateurs differentiels sur les groups de Lie nilpotents.-С.I.M.E.(1977)".

42. Heiffer B. Nourrigat. Caracterisation des operateurs hypo-elliptiques homogenes invariants a gauche sur un groupe nilpotents- -Comm. in Partial Diff. Equ. 4(1979)"899−958.

43. Rotschild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups.-Acta Math., 1 370 976), 247−320.

44. Шубин М. А. Теоремы о совпадении спектров псеЕдодифференциаль-ного почти-периодического оператора в пространствах L2(Rn)и B2(Rn). Сиб. матем. ж., 1976, 17, В I, 200−215.

45. Меладзе Г. А., Шубин М. А. Комплексные степени псевдодифферен-циалъных операторов на унимодулярных группах Ли.-Рукопись депонирована в ВИНИТИ 18.04.1984, № 2420−84 ДЕП.

46. Меладзе Г. А. Фредгольмовость дифференциальных операторов на группах Ли. рукопись депонирована в ВИНИТИ 9.07.1984,4847−84 ДЕП.

47. Шубин М. А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина. -Изв. АН СССР, сер. мат., 1984.

48. Луцкий Я. А. Двойные псевдодифференциальные операторы в пространствах экспонещиально растущих обобщенных функций. ДАН СССР, 1977, т. 235, ft 3, 527−530.

49. Луцкий Я. А., Рабинович B.C. Псевдодифференциальные операторы в пространствах обобщенных функций экспоненциального поведения на бесконечности. Функц. анализ и его прилож., 1978, т. 12, вып. I, с. 79.

50. Левендерский С. З., Рабинович B.C. Об экспоненциальном убывании на бесконечности решений многомерных уравнений типа свертки в конусах. Изв. вузов. Математика, 1979, ft 3, с. 38−44.

51. Меладзе Г. А. О фредгольмовости и обратимости дифференциальных операторов на унимодулярных группах Ли. Сообщ. АН ГССР, 115, ft 3, 1984.