Простые условия регулярности и применение вычетного метода к решению некоторых задач математической физики

В связи с многочисленными линейными задачами уравнений в частных производных, не поддающихся по той или другой причине решению известным классическим методом Фурье, в работах М. Л. Расулова [i — б] был разработан вычетный метод решения широких классов задач: I) одномерных смешанных задач для системы уравнений с разделяющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими точки разрыва первого рода, при граничных условиях, не содержащих производных по времени;

2) одномерных смешанных задач для системы уравнений с неразделя-ющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими разрывы первого рода, при граничных условиях, не содержащих только производной по времени старшего порядка;

3) многомерные смешанные задачи для уравнений с разделяющимися переменными.

В цитированных выше работах получены вычетные представления решений классов задач D-3) в виде полных интегральных вычетов мероморфных функций, конструируемых с помощью решений соответствующих спектральных задач и задач Коши с комплексным параметром. Следует подчеркнуть, что наподобие методу Фурье, все эти представления получены с помощью формул разложения функций пространственных переменных в ряды полных интегральных вычетов решений спектральных задач, на чем базируется вычетный метод.

При решении задач класса I) вспомогательным средством является формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина [7 — 10] для случая спектральной задачи для системы уравнений с разрывными коэффициентами.

При решении задач класса 2) формулы разложения типа Биркгофа—Тамаркина оказались недостаточными. В связи с этим в работах i — 5*1 М. Л. Расулова впервые установлены так называемые формулы кратных разложений.

Что касается задач класса 3), то для получения вычетного представления их решений необходима была формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина для случая многомерных спектральных задач, что сделано в работе [б] .

Таким образом, основой вычетного метода в каждом отдельном случае задач D-3) является спектральная теория для соответствующей спектральной задачи, для которых установлены легко проверяемые условия (регулярности), при выполнении которых доказана справедливость необходимой форлделы разложения. Однако в силу достаточной общности рассматриваемых задач проверка выполнения упомянутых условий сопровождается соответствующими трудностями, обусловленными в первую очередь общностью рассматриваемых задач.

В связи с этим применение вычетного метода к задачам математической физики, эффективное решение которых возможно только вычет-ным методом, потребовало прежде всего упрощения условий (регулярности) за счет сужения класса рассматриваемых задач, при выполнении которых справедлива соответствующая формула разложения.

В настоящей работе для смешанных задач колебаний струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки найдены легко проверяемые условия, при выполнении которых доказана справедливость соответствующих формул разложения, на базе которых в главе П получены вычетные представления решений соответствующих смешанных задач при линейных граничных условиях общего вида.

Таким образом, выделены все разрешимые линейные смешанные задачи для уравнений струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки.

Работа состоит из двух глав.

1. Расулов М. Л. Исследование вычетного метода решения некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений. — Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Баку, Азгосуниверситет им. С. М. Кирова, 1948, 95 стр.

2. Расулов М. Л. Исследование вычетного метода решения смешанных задач для дифференциальных уравнений. Матем.сборн., 1952, выч. ЗО, № 3, стр.509−528.

3. Расулов М. Л. Вычетный метод решения смешанных задач для дифференциальных уравнений и формулы разложения произвольной вектор-функции. Матем.сборн., 1959, т.48, № 3, с.277−310.

4. Расулов М. Л. Вычетный метод решения смешанных и граничных задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Докторская диссертация, М., Матем. ин-т им. В. А. Стеклова АН СССР, I960, 95 стр.

5. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. М.," Наука", 1964, 462 стр.

6. Расулов М. Л. Применения метода контурного интеграла.-М, «Наука», 1975, 255 стр.

7. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Гостехиздат: 1954, 351 стр.

8. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложение произвольных функций в ряды. Петроград, 1917, 308 стр.

9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. Ш, М., Гостехиздат, 1949, 656 стр.

10. Титчмарш Е.

Введение

в теорию интегралов Фурье. М., Гостехиздат, 1948, 479 стр.

11. Маркушевич А. И. Теории аналитических функций. М., Гостехиздат, 1950, 703 стр.

12. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. М., Гостехиздат, 1933, 472 стр.

13. Эль-Кади А. Решение одной смешанной задачи для прямоугольной мембраны. Депонировано, а АзНИИНТИ, № 134, Аз-Д83, 17 стр.

14. Эль-Кади А. Решение одной задачи математической физики. Тематический сборник научных трудов «Исследования по дифференциальным уравнениям», изд. АГУ, Баку, 1984, с.114−118.

15. Эль-Кади А. ' Решение одной смешанной задачи для уравнения колебаний стержня. ДАН Азерб. ССР, томХЬ, № 12, 1984, с. 17−20.

16. Эль-Кади А. Решение одной смешанной задачи. ДАН Азерб. ССР, том, № I, 1985, с. 3−6.