Однородные супермногообразия, связанные с комплексной проективной прямой и комплексным тором

Настоящая диссертация посвящена задачам классификации однородных комплексных супермногообразий. При этом супермногообразие называется однородным, если супералгебра голоморфных векторных полей транзитивна на нем, т. е. порождает касательное суперпространство в каждой его точке. Изучение однородных комплексных супермногообразий было начато в 80-х годах Ю. И. Маниным, который построил супермногообразия флагов, связанные с различными сериями классических линейных супералгебр Ли (см. [14]). Он также поставил и частично решил задачу классификации однородных комплексных супермногообразий вида (Gr4t2,0), где Gr^ — грассманово многообразие 2-плоскостей в С4 (см. [14, гл.5]). В связи с этим возникла более общая задача, поставленная A.JI. Онищиком в [17]: классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные комплексные супермногообразия вида (М, О), где М — заданное компактное комплексное однородное многообразие.

Как известно, с каждым комплексным супермногообразием (М, О) связано более просто устроенное комплексное супермногообразие (М, Ogr), называемое его ретрактом, которое расщепимо, то есть определяется некоторым голоморфным векторным расслоением Е над М. Легко показать (см., например, [11]), что ретракт однородного супермногообразия также является однородным. Поэтому общую задачу классификации однородных супермногообразий можно свести к следующим двум подзадачам (см. [17]):

Описать все однородные расщепимые супермногообразия, соответствующие голоморфным векторным расслоениям Е над М.

Для заданного расщепимого однородного супермногообразия (М, 0&) классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные супермногообразия, имеющие его в качестве ретракта.

Решение первой подзадачи можно дать в следующих терминах: рас-щепимое супермногообразие, соответствующее голоморфному векторному расслоению Е —? М, однородно тогда и только тогда, когда Е —> М является однородным расслоением, а двойственное расслоение Е* М порождается глобальными голоморфными сечениями. Вторая подзадача в настоящее время является довольно мало изученной, и в некоторых случаях ее решение будет дано в настоящей работе.

Укажем основные результаты по задаче классификации однородных супермногообразий, полученные в последние годы.

Пусть М — неприводимое односвязное компактное эрмитово симметрическое пространство. A.JI. Онищик в [26] классифицировал все супермногообразия с ретрактом (М, fi), где Q, — пучок голоморфных форм на М, и, в частности, доказал, что единственным однородным среди них является П-симметрический суперграссманиан, построенный в [14]. В случаях, когда М = CPm, т > 2 и М = GrN, s, 2 < s < N-2, однородные супермногообразия вида (М, О) были перечислены A.JI. Они-щиком и О. В. Платоновой в работах [19] и [20] и С. А. Игониным в [13] соответственно при определенных условиях на нечетную размерность супермногообразий. Далее, В. А. Бунегина и A.JI. Онищик полностью исследовали в [11] случай М = CP1 при условии, когда нечетная размерность супермногообразия п = 2 или 3, а в работе [23] построили однопараметрическое семейство однородных супермногообразий, ретрактом которых является комплексная проективная суперпрямая размерности 1|4. Кроме однородных супермногообразий, изучались также четно-однородные, т. е. супермногообраэия (М, О), четные голоморфные поля на которых порождают касательное расслоение над М.

Исходя из вышесказанного, актуальным является, во-первых, продолжение классификации для М = CP1 при п > 4 и, во-вторых, проведение классификации, когда в качестве М рассматривается однородное многообразие, отличное от рассматривавшихся выше. Как показано в [11], голоморфное векторное расслоение ранга п над М = CP1, определяющее однородное расщепимое супермногообразие, имеет вид, где все ki > 0 и через L^ обозначается голоморфное линейное расслоение степени к. В частности, ретракт любого однородного супермногообразия вида (М, О) нечетной размерности п определяется набором неотрицательных целых чисел (fci,., кп). В настоящей работе изучаются случаи п — 4 и 5. В случае п = 4 мы полностью решаем задачу классификации однородных супермногообразий с ретрактами, отвечающими наборам (1,1,1,1) (комплексная проективная суперпрямая) и (2,2,1,1), с точностью до изоморфизма. При этом вычисляются супералгебры Ли голоморфных векторных полей и группы 1-когомологий касательных пучков этих однородных супермногообразий. В случае п = 5 мы описываем семейство коциклов, задающее все однородные супермногообразия с ретрактом, отвечающим набору (1,1,1,1,1) (комплексная проективная суперпрямая), но классификацию с точностью до изоморфизма в этом случае провести не удается. Изучен также случай, когда М = Тт — m-мерный комплексный тор, а ретракт определяется тривиальным векторным расслоением произвольного ранга п.

На сегодняшний день существуют следующие подходы к задаче классификации комплексных супермногообразий с заданным ретрактом (M, OgT) (см. [18]). Согласно теореме Грина [24], классы изоморфных супермногообразий такого вида находятся в биективном соответствии с орбитами группы автоморфизмов соответствующего векторного расслоения Е на множестве когомологий Н1(М, Аи1(2)0&) со значениями в пучке Aut (2)Ogr автоморфизмов пучка Ogr, тождественных по модулю квадрата подпучка нильпотентных элементов. В некоторых случаях вычисление этих неабелевых когомологий удается свести к вычислению обычных (абелевых) когомологий со значениями в пучке TgT векторных полей на (М, Ogr). А именно, пусть п — нечетная размерность супермногообразия (М, Ogr), т. е. ранг расслоения Е. При п < 3 имеем изоморфизм пучков групп Ogr ~ 7 г (см. [11]). В настоящей работе рассматривается случай, когда dim (M, Ogr) = 1|п, где n < 5, и Я°(М, 7г) = 0. При этих условиях существует биекция между множеством Н1(М, Aut (2)Osг) и векторным пространством #J (M, 7 г 0 74). При этом как абелевы, так и неабелевы когомологии допускают два различных описания — при помощи комплекса Чеха, связанного с штейновым открытым покрытием многообразия М, и при помощи комплексов типа Дольбо, состоящих из дифференциальных форм на М. Конструкция нелинейного комплекса такого рода, приводящего к неабелевым когомологиям Z/1 (М, Aut^)Ogr), была дана в [29, 30]- этот подход позволяет применять теорию Ходжа к изучению неабелевых когомологий. Комплексы Чеха непосредственно используются в диссертации в случае М = CP1, а комплексы типа Дольбо — в случае М = Тт. При исследовании супермногообразий на однородность и четную однородность существенную роль играют критерии подъема на супермногообразие с его ретракта векторных полей (см. [26]) и действий групп Ли (см. [31, 32]). Эти критерии связаны с тем, что класс неабелевых когомологий, определяющий супермногообразие, всегда инвариантен относительно поднимающегося действия.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Перечислим основные результаты данной диссертации:

1) Для расщепимого супермногообразия (М, 0) размерности 1|п, где п < 5, с условием Н°(М, (7^г)г) — {0} дано описание множества Hl{M, Aut (2)0) в терминах пространств H1(M, T2q), q = 1,2 (теорема 1.6.3). В тех же терминах описано множество инвариантов Нг (М, Aut (2)O)0 относительно действия компактной группы Ли 65. Доказано, что действие группы (J5 поднимается на супермногообразие с ретрактом (М, О) тогда и только тогда, когда оно отвечает классу когомологий из Hl{M, Aut (2)0)(& (теорема 1.6.5).

2) Для расщепимого супермногообразия (CP1,0) найдены базисы пространств когомологий //" ''(CP1, Tq), р = 0,1, (теоремы 1.7.6 и 1.7.7) и пространств инвариантов ЯХ (М, относительно стандартного действия алгебры Ли з[г© (теорема 1.7.8).

3) Выведена формула для второго нетривиального дифференциала спектральной последовательности когомологий касательного пучка (теорема 1.8.3).

4) Дана классификация супермногообразий с ретрактом CP1'4 с точностью до изоморфизма (теорема 2.2.1).

5) Доказано, что любое супермногообразие с ретрактом CP1'4 четно-однородно и описаны все однородные супермногообразия этого типа (теорема 2.3.11).

6) Вычислены базисы супералгебр Ли векторных полей и составлены таблицы коммутаторов базисных элементов для всех однородных супермногообразий с ретрактом CP114 (раздел 2.3 и приложение).

7) Вычислены размерности пространств когомологий касательного пучка для всех супермногообразий с ретрактом CP114 (теорема 2.4.1).

8) Описаны все 0-однородные супермногообразия с ретрактом CP1'5 (теорема 2.6.3).

9) Найдены системы уравнений для коциклов, определяющих 0-одно-родные супермногообразия с ретрактом CP1'5, которые выделяют среди них однородные супермногообразия.

10) Дано описание всех 0-однородных супермногообразий с ретрактом СР5? п (теорема 3.2.2).

11) Дана классификация с томностью до изоморфизма всех однородных супермногообразий с ретрактом СР^п (теорема 3.3.2).

12) Доказано, что супермногообраэие однородно тогда и только тогда, когда оно может быть задано коциклом теоремы 3.3.1.

13) Описаны все супермногообразия с ретрактом Тт1п и доказано, что все они 0-однородны и что Ттп является единственным однородным супермногообразием этого типа (теорема 4.4.1).

В заключение я хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Онищику Аркадию Львовичу за постоянное внимание и всестороннюю поддержку в научной работе.