Иррациональное число

1. Иррациональное числом

Иррационамльное числом — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби, где m — целое число, n -натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой «i» в полужирном начертании без заливки —. Таким образом:, т. е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a: b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.

По теореме Пифагора: a? = 2b?.

Так как a? четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).

Поскольку a: b несократима, b обязано быть нечетным.

Так как a четное, обозначим a = 2y.

Тогда a? = 4y? = 2b?.

b? = 2y?, следовательно b? четное, тогда и b четно.

Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н.э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин: результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н.э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н.э. — 971 г. н.э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к р, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667−1754) и Леонард Эйлер (1707−1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что р не может быть рационально, а также что en иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что рІ иррационально, откуда иррациональность р следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллемв 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность р. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

Свойства Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.

Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

Каждое трансцендентное число является иррациональным.

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.

Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Теоремы Корень из 2 — иррациональное число Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби, где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

иррациональный трансцендентный число теорема

.

Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби. Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.

log 23 — иррациональное число Допустим противное: log 23 рационален, то есть представляется в виде дроби, где m и n — целые числа. Поскольку log 23 > 0, m и n могут быть выбраны положительными. Тогда, Но 2m чётно, а 3n нечётно. Получаем противоречие.

e — иррациональное число Другие иррациональные числа Иррациональные числа ж (3) — v2 — v3 — v5 — ц — б — e — р — д Иррациональными являются:

для любого натурального n, не являющегося точным квадратом

ex для любого рационального

ln x для любого положительного рационального

р, а также рn для любого натурального n

2. Трансцендемнтное числом

Трансцендемнтное числом (от лат. Transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Свойства Множество трансцендентных чисел континуально.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число - иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).

Примеры Основание натуральных логарифмов .

Число .

Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел вида .

и, для любого ненулевого алгебраического числа (по теореме Линдемана-Вейерштрасса).

История Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e (основания натуральных логарифмов).

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном Конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если, - алгебраическое число, и - алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что - трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

3. Число р

Число пи — одна из фундаментальных математических констант, равная отношению длины окружности к ее диаметру в пространстве с евклидовой (плоской) метрикой. Название числа происходит от греческой буквы «пи» (р), которой оно традиционно обозначается.

Число пи является иррациональным, то есть, не может быть выражено как отношение двух целых чисел и представляется бесконечной непериодической десятичной дробью. Число пи является трансцендентным, то есть, не является корнем какого-либо полинома с целыми коэффициентами.

Точное значение числа пи невозможно записать. На протяжении всей истории математики не прекращается работа по уточнению значения числа пи. О том, насколько далеко продвинулись математики, можно судить по количеству десятичных знаков числа пи, которое им удалось определить.

Четыре тысячи лет назад надежно были известны всего два первых знака числа пи. В начале XXI века с помощью многопроцессорных суперкомпьютеров определено более триллиона знаков десятичной записи сила пи. Во всей этой огромной последовательности цифр не выявлено никакой закономерности, позволяющей надежно или хотя бы вероятностно предсказывать дальнейшие знаки числа пи.

История уточнения числа пи (р)

25/8 = 3,125 — Вавилония, начало XIX в. до н. э.

256/81? 3,160 — Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)

339/108? 3,139 — Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)

223/71 (3,1408) < р < 22/7 (3,1428) — Архимед, Греция, 250 г. до н. э.

3,1416 — Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.

3,1 415 926 < р < 3,1 415 927 — Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.

3,14 159 265 359 — Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.

16 знаков — Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.

35 знаков — Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)

100 знаков — Джон Мэчин, Англия, 1706 г.

200 знаков — Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)

527 знаков — Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)

2037 знаков — Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)

16 167 знаков — Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)

1 001 250 знаков — Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)

1 011 196 691 знаков — братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)

206 158 430 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.

1 241 100 000 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)

10 000 000 000 050 знаков — Александер Йи и Сингеру Кондо, Япония, 16 октября 2011 (десктоп 2? Intel Xeon X5680 @ 3,33 ГГц, 96 Гбайт RAM, 30 HDD общей емкостью 59 Тбайт, 191 день счета) Волшебен не круг — волшебно ПИ число, Мир сводило с ума и сводит оно. Все материя — круг, шар, колесо, ПИ число-это в мир трансцендентный окно. Примечание: Значение числа «ПИ» известно с точностью до 500 миллиардов знаков, его первые цифры — 3.1 415 926 535. В нем нет ни одной циклической последовательности и никогда не будет, сколько бы еще знаков ни вычислили.

1. Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

2. www.vokrugsveta.ru — статья профессора Виталия Целищева «Все есть число?» в журнале «Вокруг света» № 9 (2816) за сентябрь 2008 г.

3. lenta.ru — сообщение на сайте Лента.ру «р вычислили с точностью до 10 триллионов знаков» от 20.10.2011.

4. numberworld.org — сайт авторов расчета 10 триллионов знаков числа р.

5. В. Г. Спринджук, «Иррациональность значений некоторых трансцендентных функций», Изв. АН СССР. Сер. матем., (1968).