О некоторых нелокальных краевых задачах для параболических уравнений и систем

Актуальность темы

Уравнения параболического типа встречаются во многих отделах математики и математической физики, и аспекты, в которых они исследуются, очень разнообразны. Наиболее часто встречаются уравнения второго порядка, описывающие процессы диффузии, тепломассоперено-са и многие другие процессы в физике.

В настоящее время активно развивается теория краевых задач для параболических уравнений и систем высокого порядка. Отметим здесь известные монографии Ладыженской O.A., Солонникова В. А. и Уральцевой H.H. [47], Крылова Н. П. [79, 80], Эйдельмана С. Д. [78], Лионса Ж. Л. и Мадженеса Е. [81] и ряда других авторов, где изложены основы теории параболических уравнений и систем. Достаточно полная библиография приведена в [79], [47]. Часто при проведении исследований привлекается теория полугрупп и результаты связанные с разрешимостью абстрактных параболических уравнений, операторно-дифференциальных уравнений, где участвуют генераторы аналитической полугруппы. Основы этой теории изложены в работах Прусс Ж., Симонетт Г., Энгел К. Ж., Нагел Р. [28], [45]. Одно из направлений теории параболических уравнений и систем уравнений, бурно развивающееся в последнее время, есть теория нелокальных краевых задач. Исследование нелокальных задач началось в начале прошлого столетия. В становлении этой теории большой вклад внесли А. В. Бицадзе, A.A. Самарский [69, 70]. Нелокальные задачи являются непосредственным обобщением классических краевых задач, однако при их изучении возникает ряд дополнительных трудностей. Это такие задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях. Простейшие параболические уравнения и системы записываются в виде щ — Lu = /, (0.0.1) где L — эллиптический матричный дифференциальный оператор. В абстрактной постановке оператор L заменяется на генератор аналитической полугруппы. В настоящее время имеется очень много работ посвященных исследованию уравнений такого вида. Например, очень хорошо изучена задача Коши для (0.0.1): Гривар П. [37], Прусс Ж., Симонетт Г. [28], Кунстмэн П. К., Вейс JI. [19], Янпинг Л., Джеймс X. [76], Стефанелли В. [77], Егоров И. Е. [53], Шелухин В. В. [54], Аширалиев А. [59], Бостан М. [61], Покорный Ю. В. [94], Бижевски JI. [104], [106], Хингмей X. [107], Сагадеева М. А. [108].

Прусс Ж. и Симонетт Дж. [28] рассматривают абстрактную задачу Коши t) + Au (t) =f (t), t> 0 и (0) = 0, где, А — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X. Задача рассматривается в весовом пространстве Lp с весом u (t) = tp¹~fJ, где 1/р < jj. Наиболее часто в приложениях возникают условия вида it (0) = аи (Т) (0.0.2).

В этом случае, если оператор L — эллиптический, определенный в некоторой области G, то, а — некоторая функция или просто постоянная величина. Условие (0.0.2) можно назвать условием типа периодичности, поскольку, при, а = 1 оно превращается в условие периодичности, которым и посвящено наибольшее количество работ. Отметим, например, работы Денч М., Джеззар С. [1], [2], [64], Кожанов А. И. [9], Власий О. Д., Пташник Б. Й. [1], Керефов A.A. [3], Кенгне Э. [2], Кеянтуо В., Лизама К. [63].

Кенгне Э. [2] исследует краевую задачу для системы псевдодифференциальных уравнений произвольного порядка с нелокальными условиями щ + Р{—гдх)и = 0,.

A{-idx)u (x, 0) + B{—idx)u{x, Т) = ср{х).

Здесь уравнение и краевые условия содержат псевдодифференциальные операторы, чьи символы определены и непрерывны в некоторой области. Установлены критерии существования и единственности решений и непрерывная зависимость решений от данных задачи.

Власий О.Д. и Пташник Б. Й. [1] исследовали корректность задачи с общими нелокальными краевыми условиями по временной переменной и условиями периодичности по пространственным координатам для уравнений с частными производными, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Были установлены условия существования решения рассматриваемой задачи. Для доказательства существования решения использовался метод разделения переменных. Были доказаны метрические утверждения об оценках снизу малых знаменателей, возникающих при построении решения задачи.

Среди работ, посвященных нелокальным краевым задачам и свойствам решений для параболических уравнений второго порядка отметим работы Камынин JI.H. [71], Керефов A.A. [3], [4], Шабровски Ж. [6], [7], Корбут Л. И. and Матийчук М. И. [68], Кожанов А. И [9], Пукальский И. Д. [8], [97], Пулькина JI.C. [66], Шахмуров В. Б. [12], Лукшин A.B., Резник Б. И. [72], Маловичко В. А. [60], Мехди Д. [73], Мокип А. Ю. [74], Олмстед В. Э. и Роберте К. А. [75], Колтуновский O.A. [5], Джураев Т. Д., Тахиров Ж. О. [48], Петруш-ко И.М. [82]-[85], Мо Джиа-ки, Лин Ван-тао [86], Кожанов А. И. [87], Слодиска М. [88], Карл С., Лакшмикантам В. [90], Джибиб М. З., Тхари К., Юрчук Н. И. [91], Митропольский Ю. А., Березовский A.A., Шхануков-Лафишев М.Х. [92], Мо Джиа-ки, Джу Янг [93], Кожанов А. И. [95], Шелухин В. В. [98], Силченко Ю. Т. [99], Тихомиров В. В. [100], Илларионов A.A. [101], Аммосов A.A. [102], Либерман Г. М. [36], Лосанова Ф. М. [67].

Приведем некоторые постановки нелокальных краевых задач. Керефов A.A. [4] изучает класс нелокальных задач типа Стеклова для нагруженного уравнения теплопроводности ut = uxx + ux{0,t) + f (x, t), (x, t) eQT = {0< i < T}, постановка которых имеет вид: найти решение и 6 C2,1(Qr) П C1,0(QT) уравнения, удовлетворяющее условиям u (l, t) = u (0,t): их (х, 1) = их (0, t) +u (Q, t), и (х, 0)=т (х), или u (l, t) = и (0, t), ux (xj)—ux (0,t)+u (0,t), и (х, 0) = аи (х, Г), где f (x, t) G C{QT) удовлетворяет условиям Гельдера по х, т (х) G С1 [0, Z], и, а = const.

Он доказывает теоремы существования используя сведение первой и второй задач к уравнению Вольтерра и интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, соответственно. Устанавливается единственность решений и с использованием полученных априорных оценок.

Шабровски Ж. [7] доказывает существование и единственность решений и G C2,1(D) П C (D) для линейного параболического уравнения п п.

Lu=y2 aijuXiXj + biUXi —cu — ut = f в D := Q x (0, T] i, j=1 i=1 где ciij, bi, си/ зависят от x G О С Mn и i G (0, Т]. Уравнение дополняется краевым условием Дирихле u (x, t) = 0 на Г := dQ х [0,Т] и следующим нелокальным условием.

0) + F (x, •)) = ф (х) в П, где F отображает х C (D) в R. В качестве примера можно взять.

JV a) = / и{у, s) d (ix (y, s), (b) F =.

Jd i= i здесь {/?^j есть семейство знакоопределенных мер Бореля. Аналогичные результаты были получены в работе Шабровски Ж. [6], где нелокальное условие имеет вид и (ж, 0) + = ф (х) отображение F является при каждом фиксированном х функционалом над cm.

Камынин Л.Н. [71] рассматривает краевую задачу для линейного одномерного параболического уравнения второго порядка общего вида с неклассическими граничными условиями вида где Xi, i — 1,2, g (x, t), E (t) — заданные функции. Такого рода условие возникает, например, при изучении процесса передачи тепла в тонком нагретом стержне, если считать заданным общее количество тепла в части стержня, примыкающей к одному из ее концов. Здесь автор доказывает существование единственного, непрерывного вплоть до границы решения краевой задачи с граничными условиями указанного типа в предположении, что коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям Гельдера с ненулевым показателем.

Корбут Л.И. [68] исследовал двухточечные краевые задачи для параболических уравнений второго порядка чьи решения представляются в терминах функции Грина задачи Коши. В работе Колтуновского O.A. [5] рассмотрена задача где решение и удовлетворяет также некоторым естественным краевым условиям на боковой поверхности цилиндра.

Пукальский И.Д. [8] доказывает в весовом пространстве существование и единственность решений односторонней нелокальной краевой задачи для параболических уравнений второго порядка с вырождением вида.

Dl — Aij (t, x) D1XiD1Xj — Et1Ai (t, x) D1Xi — A0(t, x)]u (t, x) = f (t, x),.

В случае уравнений второго порядка наиболее общая постановка приведена в работе Кожанов А. И. [9]. Он изучил разрешимость краевой задачи для линейного параболического уравнения с нелокальными условиями вида а (х, t) b (x, и (х, t))ut — ихх + с (х, t) u = f (x, ?), и (х, 0) = ср (х)и (х, Т) + ip (x) и (0,х) 4- Ef=1qj (x)u (tj, x) — (р (х). и (х, 0) = Ви + щ (х), В — линейный оператор. В его работе доказано существование регулярного решения, а также решения обладающего свойством ограниченности. В качестве метода исследования использовался метод продолжения по параметру применительно к задаче ut — alj (x: t) uXiX. + ax, t) ux. + a (x, t) u = /(ж, i), u (x, 0) = Ви + щ (х), xGQ, (0.0.3) u (x, t) s = 0 в классе суммируемых регулярных решений.

Среди работ, посвященных нелокальным краевым задачам для параболических уравнений высокого порядка отметим работы Абдиназаров С. [49], Пукальский И. Д. [57], [50], Власий О. Д., Пташник Б. Ж. [1], Задорожна Н. М. [51], [65], Сач В. Н. [96], Левенштам В. Б. [109], Белоносов B.C. [27].

Например, Пукальский И. Д. [57] доказал корректную разрешимость следующей краевой задачи для параболических уравнений произвольного порядка в пространствах классических функций с весом.

D] - Y,{kl<2bAk (t, x) Dkx]u = (t, x) € Q = (0,T) x D, тп u{0, x) + ^^ Rju (tj, x) = ф (х), 3=1.

Biur = fi{t, x), где Rj = E|fc|.

26 — 1, i = 1,., b, 0 < ?1 <. < tm < T, Bi — некоторый набор граничных операторов. Решение ищется в классе C^b+a (Q).

Белоносов B.C. в своей работе [27] приводит для линейных параболических систем оценки решений вплоть до максимально возможного порядка, определяемого гладкостью коэффициентов системы и граничных условий, в предположении что начальные данные принадлежат Сг с произвольным г > 0. Указанные оценки получаются известным методом Шаудера.

В диссертации мы рассматриваем вопрос о разрешимости нелокальных краевых задач для параболических уравнений с операторными коэффициентами, включающих как частный случай системы параболических уравнений, и рассматриваем, в частности, и нелокальные краевые задачи для оператор-но-дифференциального уравнения вида (0.0.1). В наиболее общем случае, когда L: Е —> Е — плотно определенный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е или просто эллиптический оператор высокого порядка рассматривались в основном задачи с условиями вида п u (0) = YJck.

Шелухин В.В. [11] с помощью вариационного метода рассматривает задачу и' + C (t)u = F (i), teS = [0, Т], т чми) = /, i=0 где C (t): Х —"¦ Х[ — семейство заданных линейных операторов (Xi — банахово пространство), и дает его обоснование. Здесь краевое условие представляет собой обобщение начального условия и возникает в связи с проблемой долгосрочного прогноза погоды. Также аналогичные результаты он получил для автономного уравнения с нелокальным условием ftm u (t)da (t) = /, J о где С: Xi —" Х[ — линейный оператор, a (t) абсолютно-непрерывная функция, имеющая вид a (t) = J0? s®dr, где s (t) — кусочно-постоянная функция, принимающая на интервале [i?i, i?) значение = const, 0 = iq < ?i < < tm < T, so = 1. Также подобные задачи он исследовал на однозначную разрешимость, применяя метод Галеркина.

Естественным обобщением условия (0.0.4) является условие где сг — функция ограниченной вариации, которое в случае кусочно линейной функции, а было рассмотрено в вышеупомянутой работе Шелухина В. В. Условия вида (0.0.5) возникают, в частности, при постановке и исследовании обратных задач (Федоров В.Е.) [31], в частности, задач с финальным переопределением (Гольдман H.A.) [30], [62] и в работах [89].

Гольдман H.JI. [30] исследовал обратную задачу с финальным переопределением для квазилинейных параболических уравнений общего вида с неизвестной правой частью, связанных с нахождением тепловых источников по заданному в конечный момент времени распределению температуры.

Обобщим результаты, полученные другими авторами: исследовались нелокальные задачи для параболических уравнений второго порядка с нелокальными краевыми условиями произвольного вида. Для более общих уравнений и систем уравнений изучались начально-краевые задачи, задача Коши и задачи с условиями близкими к условиям (0.0.4). В целом, можно сказать, что в общем случае, в случае параболических уравнений и систем, а также их абстрактных аналогов, наиболее общие постановки вида (0.0.3), (0.0.5) практически не рассматривались.

Цель работы. Цель диссертационной работы — исследование вопросов разрешимости нелокальных краевых задач общего вида для параболических уравнений и систем высокого порядка и их абстрактных аналогов в пространствах Соболева-Бесова.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, теория интерполяции банаховых пространств, теории операторно-дифференциальных уравнений и функционального анализа.

0.0.5).

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1) Получены новые весовые оценки решений задачи Коши и краевых задач для параболических уравнений и систем и для операторно-дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющие рассматривать нерегулярные данные Коши. В весовых пространствах исследован вопрос о поведении решений задачи Коши в зависимости от параметра, входящего в уравнение.

2) Для параболических уравнений и систем и для их абстрактных аналогов исследованы нелокальные задачи самого общего вида с достаточно произвольных оператором входящим в граничное условие. Эта задача при данных ограничениях на граничное условие ранее не рассматривалась. В отличие от известных работ, также показано, что при определенных значениях спектрального параметра задача всегда разрешима.

3) Для параболических уравнений и систем и для их абстрактных аналогов исследован вопрос о разрешимости задачи с интегральным нелокальным условием, определяемым интегралом Стилтьеса, в класс которых входят задачи наиболее часто возникающие в приложениях.

4) Получены приложения результатов к исследованию нелокальных с интегральным условием Стилтьеса для линейной системы уравнений Навье-Стокса.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения диссертации базируются на строгих математических доказательствах. Область приложения полученных результатов — теория дифференциальных уравнений в частных производных, в частности теория параболических уравнений и систем. Результаты также могут быть использованы в качестве спецкурса для студентов-математиков.

Содержание диссертации. Опишем содержание работы. Первая глава носит вспомогательный характер, состоит из трех параграфов. В первом параграфе даются определения и некоторые свойства операторов и функциональных пространств, которые будут использованы в работе, во втором параграфе некоторые сведения из теории интерполяции банаховых пространств. В третьем параграфе приведены вспомогательные теоремы, леммы и утверждения, которые будут использованы при доказательстве теорем разрешимости исследуемой задачи.

Во второй главе мы исследуем задачу Коши для абстрактного эволюционного уравнения вида (0.0.6) с параметром и без, а также и общие нелокальные краевые задачи для этого уравнения. Задача Коши имеет вид: щ — Ьи = /, (0.0.6) иг=о = Щ. (0.0.7).

Считаем, что оператор Ь: Е —> Е (Е — банахово пространство) из (0.0.6) — замкнутый линейный неограниченный оператор, такой, что для некоторого 9 е [тг/2, тг) Бд = {г е С: агдг < 0} с р (Ь) и.

И^-АГЧ УА6 50. (0.0.8).

Задача Коши (0.0.6), (0.0.7) хорошо изучена. В отличие от известных работ мы предполагаем, что данные Коши щ и правая часть при t 0 является в некотором смысле сингулярными: начальные данные принадлежат некоторому негативному пространству (пространство распределений), а правая часть принадлежит пространству Ьр с весом (а может быть достаточно большим). Задачи для параболических уравнений (в том числе для системы Навье-Стокса) с нерегулярными данными рассматривались в [34], [35].

Пусть Я/- = 0(Ьк) при к >0и Нкпополнение Е по норме \и\нк — НЬ^Ня при к < 0. С помощью метода вещественной интерполяции построим пространства (Н^ Нт) ел = В% ((1 — в) к + тв — в).

Через Ь (Х, У) (X, У — банаховы пространства) обозначаем пространство линейных непрерывных операторов, определенных на X со значениями в У. Пишем Ь{Х) вместо Ь (Х, Х), если X — У. Определим пространства Ьр>ь5о (0,ТН) (Н — банахово пространство), как пространство сильно измеримых функций, определенных на отрезке [0, Т] со значениями в Н таких, т что < В случае ¿->о = О обозначаем это пространство через ьр (0,тН).

Определение 0.0.1. Семейство операторов г С Ь (Х, У) (X, У — банаховы пространства) называется Я,-ограниченным, если для некоторого р Е [1, об) и некоторой постоянной ср > 0 справедливо неравенство n г=1 n г=1.

Р ([0,1], Х) для всех ЛГ, Т2,., Тдт £г и х±-, Х2,., ядг? где = ядп зт (2г7г?) — функции Радемахера на отрезке [0,1] (см. [20]).

Определение 0.0.2. Банахово пространство Е называется IIМИ-пространством {или выпуклым пространством), если преобразование Гильберта Р/ = Нт / сИ принадлежит классу Ь (ЬР (Ш, Е)) для некоторого, а значит и для всех) р Е [1, оо).

Вместе с условием (0.0.8) мы будем также использовать условие: семейство.

Л = {Л (Ь-А)-1: ХеБв} (0.0.9).

Л-ограничено для некоторого 9 > |.

Основные результаты параграфа § 2.1.1 — следующие теоремы:

Теорема 0.0.1. Пусть выполнено условие (0.0.8), г^о € и / Е.

1/д (0, ТВц) Г) Ь^5О (0,Т] Вц+д°) при до > 0. Тогда существует единственное решение задачи (0.0.6), (0.0.7) такое, что и Е И^(0, ГП ?,(0, ТВ*+1), причем Ьи, щ Е Ь9)^0(0,ТВ^+6°) и справедливы оценки ичкчода") + + р^^о.т-^0) + \ь5°ьи\ьч{0,т-, в'ч+'°) ^ С (||/|и,(0,Г-Д.) + + ЬИ^-х/*) — (0−0.10).

В случае £о + я > 0 уравнение (0.0.6) выполняется в обычном смысле. Однако, если одновременно 5+1 —1/д < 0 и 5 < 0, то фактически начальные данные являются распределениями и правая часть также плохо ведет себя при? —" 0.

Теорема 0.0.2. Пусть E—Q — выпуклое пространство и выполнены условия (0.0.9). Тогда для f е Lq (0, ТBsq) Г) Lg>i-S (0, ТЕ), и0 е Bq+1~1/q (1 < q < оо), где s < 0, s ^ 1/q — 1, существует единственное решение задачи (0.0.6), (0.0.7) со свойствами u (t) е Wj (0, ГBsq) П Lq (0, ТBJ+1), ut{t), Lu (t) €L9it-.(0,T-??).

Данная теорема аналогична теореме 0.0.1, однако основные рассмотрения проводятся в исходном банаховом пространстве Е.

Во § 2.1.2 рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения, зависящего от параметра.

L^u — щ — Lu 4- 7 п = /, (0.0.11) ut=Q = щ. (0.0.12).

Решение этой задачи представимо в виде и = щ + г¿-2, где щ, решения задач: /, iti|i=0 = 0, (0.0.13).

L7ti2 = о, u2t=0 = гго- (0.0.14).

Получены теоремы:

Теорема 0.0.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.0.1. Тогда решение задачи (0.0.13) удовлетворяет оценке:

INIW^T-^) + W^uWL^T^) + \tS°bul\Lq (0,T-Bsq+S<>) + (1 + ITDII^WIII^T-^46) + (1 + ШЫЬЧ (0,Т-В1) < C{\tSof\Lq{0⁰) + ||/|и,(0,Г-В')), где С не зависит от 7 с argj < 7 г —.

Теорема 0.0.4. При выполнении условий теоремы 0.0.1 решение задачи (0.0.14) удовлетворяет оценкам:

11¹¹ ь^вГ1-^) — СЬе1Ыв"1-Ъ> г-6-^<�е! < 0.

11С7([о, т1-^+1-<+в+в1−1/') — сЬе1Ыв'+1-^ г — 5 < < 0. где г = 0,1,2,. и постоянная С не зависит от 7 и щ, но зависит от параметра г.

В § 2.2.1 мы исследуем нелокальную краевую задачу общего вида: щ — Ьи + = /, (0.0.15) и{ 0) = Ви + щ, (0.0.16) где Ь: Е —> Е — плотно определенный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е и В — некоторый линейный оператор. Определим пространство.

Н = {у: ^ € С ([0, Г]- В*), г = 0,1,., 80}, где 7 г,<^)0!г)А — некоторые вещественные числа, с нормой до.

Ыя = Е (И"*"(Ч1к (ВДУ?> + «^"сдадм?'))г=0.

Пусть «г — + г < 5 + 1, 6 г > г — Д- - 7, — + г < 5 4- 1 — 7» > г для г = 0,1,.

Будем предполагать, что.

В?Ь{Н, ВЧ 9). (0.0.17).

Фиксируем во € (|, тг).

Теорема 0.0.5. Пусть выполнены условия (0.0.8) и (0.0.17) и / = 0. Тогда существует постоянная 70 > 0 такая, что при всех |7| >70 и агду < 7 г — во, для любого щ? Вч 4 существует единственное решение задачи (0.0.15), (0.0.16) такое, что щ е Ьч{0, Т в3ч), Ьи е Ьч{0, Т в8ч).

Функция и бесконечно дифференцируема при? > 0 и иЩ6 е ЬЖ ГВ8а+5~1+1), где 5 >

4 q.

Рассмотрим неоднородный случай. Положим.

Я = {ve L9)?ao (0,T-?91+a°): г* Е 1^(0, ГВ?1)}, где > max (l — — s), <5q > «o ~ s, s > max (ao, сщ) и предположим, что s+l—I.

В E 1/(Я, Bq q). (0.0.18).

Теорема 0.0.6. Пусть выполнены условия (0.0.8) и (0.0.18) и 0 < 62 < тт (?о, #1). Тогда существует постоянная 70 > 0 такая, что при V | —^| > 7о, | arg7| < 7 Г — 0О для каждых / Е Ьч{0, ТВ8Ч) П 0, Ги щ Е.

5+1 —.

Д^ 4 существует единственное решение задачи (0.0.15), (0.0.16) такое, что и.

Е Lq{0, ГSJ+1) П Lgjb (0, Тщ Е L,(0, Т- 5J) П Lq^ (0, ГJ3J+*).

Положим Н = {и е Lqtts (0,T-D (L)): щ Е Lq^(0,T-, Е), Фи Е С ([0,Т]-Бд ?)} и предположим, что веЦщв]'*) (0.0.19) для некоторых S > 0, > 1 — ?2 > 0. Положим.

1М|я = HLqttS{0, T-D (L)) + |Ыив1А (0,Г-Я) + «.

Теорема 0.0.7. Пусть выполнены условия (0.0.9), (0.0.19) и Е — выпуклое пространство. Тогда найдется постоянная 70 > 0 такая, что при i-i.

М > 7о и | arg7| < тг — 0О для любых f Е Lq (0,T]E), щ Е Bq 4 задача (0.0.15), (0.0.16) имеет единственное решение такое, что ueLq{0,T-D (L)), щ Е £,(0,ГЕ).

В § 2.2.2 рассматриваем задачу с интегральным краевым условием ut-Lu = /, [ u{r)da® = i?0. (0.0.20).

Jo т где сг — функция ограниченной вариации. Положим <£>(Л) = / е^с1сг (т). о.

Предположим, что Эдо > о, 7 < 0: |*>(А)| = I [ ехЧа (т)| > ¿-0|А|7, ХеСБ0. (0.0.21).

Теорема 0.0.8. Пусть выполнены условия (0.0.8), (0.0.21),^о Е и / Е £д (0, ТВ¹), где параметр 7 определен в лемме 1. Тогда существует единственное решение задачи (0.0.20) такое, что и Е £/д (0, Тщ Е.

Ья (0,Т-, Вц) и справедлива оценка и*1ив (0,Г-В|) + 11^||Ь,(0)Г-В7"+1) < СШь^Тф^У (0.0.22).

Теорема 0.0.9. Пусть Е — выпуклое пространство и выполнены условия (0.0.9), (0.0.21). Тогда для / Е 1¹^(0,ТЕ), и0 Е Б£~1/<7 (ц Е (1/д, 1]) существует единственное решение задачи (2.1.1), (1.5) такое, что при ^ < 0 ще Ьы 1-,(0, ТВ?), и Е 0, Ги при 7 = 0⁶ Е), и Е ?(?)).

Решение представимо в виде и — щ + г¿-2, где иц, Ьщ Е 1¹-^(0, Т- ?"), Е причем функциящ бесконечно дифференцируема при г > 0 и Е Ьч (0,Т-, В^-{+6°) (?0 > -1/^, г = 0,1,2,.). Ясли.

7 + /х Е (1/д, 1], то и2ь, Ьи2 Е ?91<1-ы-т)(0,Т- ??).

В третьей главе мы рассматриваем краевые задачи для параболических уравнений с операторными коэффициентами, которые включают в себя как частный случай параболические системы. Пусть Е — («-выпуклое банахово пространство и С С Кп — ограниченная область с границей Г. § 3.1 посвящен задаче: щ + А (х, Б) и = /, (0.0.23) г*|*=о = «о (®-). В^|Г = 0 0' = 1>2,., т), (0.0.24) где оператор, А в (0.0.23) имеет вид.

A{x, D)= Y, а|<2 m.

D = — i (dXl, dX2, .,<9Жп), a его область определения состоит из функций D (A) = {и € W? m{G Е): BjU = ^ bj0{x)Dpur = 0, j = 1, 2,., m}.

Ш<�т3.

Операторы Bj определены на Г х (0, Т) равенствами.

Bjf{x)= Y, h"(x)Daf, j = 1,., m. a|.

Считаем, что коэффициенты aa, bjp и граница Г обладают свойствами: аа G C (G]L (E)), а = 2m, bj/3 <Е С2т~т^{Т] L (E)), (rrij < 2т),.

Г G С2т, аа (х) е Loo (6?- L (E)) + Lrk (GL{E)) (0.0.25) rk > Q, 2m — к > H < 2 т.

Здесь как обычно обозначение L (-S) используется для пространства линейных непрерывных операторов, определенных на Е со значениями в Е. Мы используем стандартное условие эллиптичности с параметром: рассмотрим отображение Ло (я,?) = Е &а (о-)?а G В (Е) (х € G) и предположим, что а.

2 m.

30л 6 (0, |): <7(А0(а-, О) с = е С: I агб*| < фА}: о СБфл С р (А0(х, О), х еС.

Пусть Вуо = Е Ыж)^, ж0 е г.

Условие дополнительности имеет вид: для любой точки хо? Г в локальной системе координат у (ось уп направлена по нормали к Г), отвечающей произвольной точке х$? Г краевая задача:

Л + А0(х0, .

АОМО) = Щ (з = 1, 2,., т) имеет единственное убывающее на бесконечности решение из С (Я± Е) для всех е Я" «1, ^ е В, и Л? 31Г-фА, таких, что | + |Л| ^ 0. Операторы.

Ао, В^о в (0.0.27) записаны в локальной системе координат у. Пространства В8, используемые ниже имеют тот же смысл, что и в главе 2. Они получаются при помощи интерполяции.

Например, при б е (0,1) Вд = (1)(А), Ьд (0, ТЕ))1-ал. Это пространство совпадает с подпространством соответствующего пространства Бесова функций, удовлетворяющих краевым условиям.

Теорема 0.0.10. Пусть выполнены условия (0.0.25)-(0.0.27). Тогда найдется 7 > 0 такое, что при всех /е-7* € Ьч (0, ТВд) ПЬд^-в (0, Т Ьч ((3, Е)), и0 € В*+1~1/я существует единственное решение задачи (0.0.23), (0.0.24) со свойствами ие-V е ТП Вд (0, ТБ*+1), е Wlq{Ъ, ТБ*) П Ьч (0, ГВ*+1).

В § 3.2 рассматриваем краевую задачу для параболического уравнения с параметром щ — А (х, Б) и + = /, /еЬр^Е), р> оо, (0 0 28).

В^и|Гх (о, г) = 0, 0 = 1,2,., п).

7 — некоторая неотрицательная постоянная, (сс,£)? С} — (7 х (0, Т)) с нелокальным условием: и (0) = Ви + и0(ж), (0.0.29) где г Эк к=1 .7=0 |а|<2го-1 для всех 1 < к < г, 0 < .7 < ¿-о = пип£&- ({¿-л} — некоторый набор чисел к<�г из полуинтервала (0,Т]). Справедлива следующая теорема.

Теорема 0.0.11. Пусть выполнены условия (0.0.25)-(0.0.27), / = 0, 5о = 2 т (5 + 1 — е (0, и е С5о+?(<3- В (Е)) для некоторого е > 0. Тогда для данного ?1 € (0, |) существует постоянная 70 > 0 такая, что при всех у, к, а, | > 7о- | а⁷| < | —? для каждого щ 6 Е) (2т (з +.

1 — i) G (0- существует единственное решение задачи (0.0.28),(0.0.29) такое, что щ? Lq (0,T] Bq), Au G Lq (0, TBsq). Функция и бесконечно дифференцируема при t > 0 и u{i)t6 G ЬЖТBsa+5~i+1) при 5 > —. ч q.

В частности, при O > г — s u^t5 G Lg (0,TW92m (GЕ)). Пусть оператор В имеет вид.

Етп.

L iuiti), U G (0, Т) для любого г, г=1 где LiU = ^ aaj (x)Dau. Положим = mini^. a|<2m (l-I) ' *.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 0.0.12. Пусть 62 > 0, s + fc € (0, s = + «ое (0,±-), г (^) Е CSo+e°(G] L{E)) для всех а, г иео > 0 — произвольная постоянная. Тогда для данного е Е (0, |) существует постоянная 70 > 0 такая, что при всех |7| > 7о, | arg7| < | —? для любых.

GV2(0,T-?^) = V2(0,T- ?)), f Е Lq (0,TBsq), ищ E W®°(Gi- -Б) существует единственное решение задачи (0.0.28), (0.0.29) такое, что ueLqjs2(0,TWqm (GЕ)), ut, Luebq^(0,TW^s+6^(G-E))nLq (0,TBsq). Рассмотрим нелокальное условие г и (0,х) =^7ju (tj) -fiiofz), х G G, 7? G для всех j. (0.0.30) э=о.

Предположим, что [¿-^(ж, i), 7/] = 0 для всех j, а, где [Л, ?] = AB —В, А коммутатор операторов, А к В.

Теорема 0.0.13. Пусть выполнены условия (0.0.25)-(0.0.27). Тогда для данного? G (0,) существует постоянная 70 > 0 такая, что при всех |7| >

70- | < | — ?1 и для любых функций f € Е), щ € Вд 4 задача.

0.0.28), (0.0.30) имеет единственное решение такое, что и е Ь9(0,Т- 1Ур2т (0-?)), и, е.

В § 3.3 рассматриваем следующую краевую задачу щ — Ьи = /, р>1, (М)бд = (Зх (0Л.

Гх (о, г) = 0, з = 1, 2,., п, г-Т.

0.0.31) и{т)йа{т) = «о- (0.0.32) о.

Дополнительно мы предположим, что справедливо условие: для некоторого 0 такого, что 0 6 (7г/2,7г), бя С р (Ь). (0.0.33).

Теорема 0.0.14. Пусть выполнены условия (0.0.25)-(0.0.27) — (0.0.33) и условие (0.0.21). Тогда для любой / € В)), 6 В¹, вЕ), ?1? (1/д, 1] существует единственное решение задачи (0.0.31), (0.0.32) такое, что при 7 = 0, и* еЬ¹-,(0,Т- ?,((?,?)), гх € ТИ^2т (С, ?7)), при 7 < 0, и*, Ьи € Ь^г-д (0,ТВ^). Решение обладает свойствами: € ТВ)) + А^о (0, ГВ)), где ¿-о > 1 — (д + 7) и <50 > (1 — М — 7) — если 7 + М? (1/д, 1].

В § 3.4 рассматриваем нелокальную задачу для линейной системы уравнений Навье-Стокса щ-Аи + ЧР = {х, г) е Я = С х (0,Т), (0.0.34).

Иуи = 0, (0.0.35) где (7 ограниченная область в Яп (п > 2). Краевые условия имеют вид: и3 = О, [ и (т)йа{т) = м0, (0.0.36).

Jo где 5 = Г х (0,Т), Г = <9(7 и сг — некоторая вещественная функция ограниченной вариации.

Задача вида (0.0.34)-(0.0.36), в случае, когда, а — функция скачков или кусочно-линейная рассматривалась в работе Шелухина В. В. [11], где рассматривался вопрос о существовании обобщенных решений задачи. Первая начально-краевая задача и задача Коши для системы (0.0.34), (0.0.35) хорошо изучена, в первую очередь в классических работах Солонникова В.А.

Обозначим через — замыкание в норме Ьр (Сх) гладких соленоидальных векторных полей с компактным носителем.

Положим В^в) = {и ЕВ^© П: иг = 0 при 2з > 1/д,.

У ^р{х)4< 00 ПРИ = гДе Р (х) = Нам понадобится следующий результат.

Теорема 0.0.15. Пусть /? Г- ?,( 0 такое, что выполнено условие (0.0.21) для всех, А со свойством |-7г — агд\ < е. Тогда существует единственное решение задачи (0.0.34)-(0.0.36) такое, чтощ 6 ГЬч{0)), и <Е ?^1-^(0, ТИ²(<3)).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре «Обратные краевые задачи» профессора С. Г. Пяткова, на международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (2009 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям (г. Стерлитамак, 2008), и на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (г. Якутск, 2008).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, из них 2 тезиса докладов и 4 статьях [110]—[115]. Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009;2010 годы) «мероприятие 2 (код проекта 3443).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из 6 частей: введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 82 страниц.

Список литературы

составляет 115 наименований. Формулы, теоремы и леммы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.

1. Власий О. Д., Пташник Б. Й. Нелокальная краевая задача для линейных уравнений с частными производными не разрешенных относительно старшей производной по времени // Украинский математический журнал. 2007. — Т. 59, № 3. — С. 370−381.

2. Kengne Е. On the well-posedness of a two-point boundary value problem for a system with pseudodifferential operators // Ukrainian math. J. 2005. V. 57, № 8. P. 1334−1340.

3. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений//Дифференц. уравнения. 1979. — Т. 5, № 1. — С. 74−78.

4. Колтуновский О. А. Первая краевая задача для одного класса нелинейных нагруженных параболических уравнений. Неклассические уравнения математической физики // Сборник научных работ. Новосибирск, 2002. — С. 110−116.

5. Chabrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. V.93. P. 109−131.

6. Chabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkc. Ekvacioj. Ser. Int. 1984. V. 27. — P. 101−123.

7. Pukal’s’kyi I. D. One-sided nonlocal boundary value problem for singular parabolic equations // Ukrainian Math. J. 2001. — V. 53, № 11. — P. 1851−1864.

8. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сибирский журн. индустр. мат. 2004. — Т. 7, № 1 (17). С. 51−60.

9. Шелухин В. В. Задача о прогнозе температуры океана по средним данным за предшес-твующей период времени // Доклады Академии наук. 1992. Т. 324, № 4, — С. 760−764.

10. Шелухин В. В. Вариационный принцип в нелокальных по времени задачах линейных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 191−207.

11. Agarwal R. P., Bohner М., Shakhmurov V. В. Maximal regular boundary value problems in Вanach-valued weighted space // Boundary value problems. 2005. V.9, № 1. — P. 9−42.

12. Agarwal R. P., Bohner M., Shakhmurov V. B. Linear and nonlinear nonlocal boundary value problems for differential-operator equations // Appl. Anal. 2006. V. 85, № 6−7. P. 701−716.

13. Byszewski L. Theorems about the existence of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem //J. Math. Appl. Anal. 1991. V. 162, № 2. P. 494−505.

14. Byszewski L., Lakshmikantham V. Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space // Appl. Anal. 1991. V.40, № 1. — P. 11−19.

15. Gil M. I. Nonlocal initial problem for nonlinear nonautonomous differential equations in a Banach space // Ann. Differ. Equations. 2004. — V. 20, № 2. P. 145−154.

16. Shakhmurov V. B. Maximal regular boundary value problems in Banach-valued function spaces and applications // Int. J. of Math. Sci. 2006. — № 6. P. 26.

17. Kunstman P. C., Weis L. Maximal Lp-regularity for Parabolic Equations, Fourier Multiplier Theorems and H°°-functional Calculus // Lect. Notes in Math. 2004. V. 1855. — P. 65−311.

18. Denk R., Hieber M. and Priiss J. R-boundedness, Fourier multipliers, and problems of elliptic and parabolic type // Memoirs of the AMS. 2003. — V.166, № 788. 114 p.

19. Denk R., Krainer T. R-boundedness, pseudodifferential operators, and maximal regularity for some classes of partial differential operators // Manuscripta Math. 2007. V. 124, № 3. — P. 319−342.

20. Denk R., Hieber M., and Priiss J. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data // Math. Z. 2007. — V. 257, № 1. P. 93−224.

21. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. — 664 с.

22. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства // перевод с англ. М.: Мир, 1980. — 264 с.

23. Grisvard P. Commutative de deux functeurs d’interpolation et applications // J. Math, pures et appliq. 1966. V.45, № 2. — P. 143−206.

24. Pyatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. VSP: Utrecht, Boston, Koln, Tokyo. 2002. 348 p.

25. Белоносов В. С. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гельдера и некоторые их приложения // Математический сборник. 1979. Т. 110, № 152. — С. 163−188.

26. Гольдман H. А. Свойства решений параболических уравнений с неизвестной правой частью и сопряженные задачи // Докл. РАН. 2008. Т. 420, № 2. — С. 151−156.

27. Fedorov V. Е., Urazaeva А. V. An inverse prolem for linear Sobolev type equations // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. — V. 12, № 4. — P. 387−395.

28. Grisvard P. Equations operationnelles abstraites dans les espaces de Ba-nach et problemes aux limites dans des ouverts cylindriques // Annali S.N.S. Pisa. 1967. V.21. — P. 307−347.

29. Amann H. Compact embedding of vector-valued Sobolev and Besov spaces // Glasnik matematicki. 2000. V.35 (55). — P. 161−177.

30. Amann H. Navier-Stokes Equations with Nonhomogeneous Dirichlet Data // J. of Nonlinear Math. Phys. 2003. V. 10. — P. 1−11.

31. Amann H. Semilinear parabolic equations involving measures and low regularity data // Transactions of the american mathematical society. 2004, — V.356, № 3. P. 1045−1119.

32. Либерман Г. M. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. Международная математическая серия. 2002. Т. 1. — С. 233−254.

33. Grisvard P. Equations differentielles abstraites // Ann. Scient. Ее. Norm. Sup. 1969. S. 4, V. 2 (3). — P. 311−395.

34. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. — С. 288.

35. Amann H. Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary value problems. Function spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis. Teubner-Texte Math 133. Teubner, Stuttgart. 1993. P. 9−126.

36. Kalton N., Kunstman P., Weis L. Perturbation and Interpolation Theorems for the H°°-C&culus with Applications to Differential Operators // Math. Ann. 2006. V. 336, № 4. — P. 747−801.

37. Frohlich A. The Stokes operator in weighted Z^-spaces II: weighted resolvent estimates and maximal Lp-regularity // Math. Ann. 2007. — V. 339, № 4. P. 287−316.

38. Abels H. Bounded Imaginary Powers and ii°°-Calculus of the Stokes Operator in Unbounded Domains. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Basel/Switzerland: Birkhauser Vcrlag. 2005. V. 64. P. 1−15.

39. Solonnikov V. A. Lp-estimates for solutions to the initial boundary value problem for the generalized Stokes system in a bounded domain // J. of Math. Sci. 2001. V. 105, Ж 5. — P. 2248−2484.

40. Haase M. The Functional calculus for sectorial operators. Operator Theory: Adv. and Appl. Birkhauser Verlag. 2006. — V. 169. — P. 392.

41. Engel К. J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer-Verlag. Graduate Texts in Mathematics. 1999. — V. 194. P. 586.

42. Дубинский Ю. А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Мат. сб. 1973. — Т. 90 (132), № 1. С. 3−22.

43. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М: Наука, 1967. — С. 736.

44. Dzhuraev Т. D., Takhirov J. О. Nonlocal boundary-value problem for a nonlinear parabolic equation // Dokl. Akad. Nauk Resp. Uzb., Mat. Tekh. Nauki Estestvozn. 1998. № 12. — P. 3−6.

45. Abdinazarov S. On a nonlocal boundary value problem for a high order equation of parabolic type with non classical boundary conditions // Izv. Akad. Nauk UzSSR, Ser. Fiz.-Mat.Nauk. 1987. № 4. — P. 3−7.

46. Pukal’skii I. D. The Green function of a nonlocal boundary value problem with degenerations // Differ. Equations 34. 1998. — № 6. P. 837−840.

47. Zadorozhna N. M., Ptashnyk B. J. A nonlocal boundary value problem for parabolic equations with variable coefficients // Ukr. Math. J. 1995. V. 47, №.7. P. 1050−1057.

48. Ashyralyev A. A note on the nonlocal boundary value problem for elliptic-parabolic equations // Nonlinear Stud. 2006. V. 13, № 4. — P. 327−333.

49. Egorov I. E. On smoothness of a solution to a nonlocal boundary value problem for an operatordifferential equation with variable time direction // Mat. Zamet. YAGU. 1995. V. 2, № 1. P. 98−104.

50. Shelukhin V. V. On the solution of linear evolution equations by a variational method // Sov. Math. Dokl. 1991. V.43, № 3. — P. 735−737.

51. Shelukhin V. V. A problem with time-averaged data for nonlinear parabolic equations // Sib. Math. J. 1991. V. 32, № 2. — P. 309−320.

52. Yuan Di WANG. Theorems about the Existence of Solutions to Problems with Nonlocal Initial Value // Acta Mathematica Sinica, English Series. 2001. V. 17, № 2. P. 197−206.

53. Pukal’skii I. D. Boundary-value problem for linear parabolic equations with degeneracies // Ukrainian Mathematical J. 2005. — V. 57, № 3. — P. 453−465.

54. Mitropol’skii Yu. A., Berezovskii A. A., Berezovskii M. A. A problems with free boundaries for nonlinear parabolic equations // Ukrainian Mathematical J. 1997. V. 49, № 10. P. 1533−1547.

55. Ashyralyev A. Nonlocal boundary-value problems for abstract parabolic equations: well-posedness in Bochner spaces // J. of Evolution Equations. 2006. V. 6. — P. 1−28.

56. Malovichko V. A. Nonlocal boundary problems for degenerate parabolic equations // Ukr. Math. J. 1982. V.34, № 4. — P.514−517.

57. Bostan M. Periodic solutions for evolution equations // Electronic J. of Differential Equations, Monograph 03, 2002, pp.1−41. ISSN: 10 726 691. URL: http://ejde.math.swt.edu or http://ejde.math.unt.edu ftp ejde.math.swt.edu (login: ftp).

58. Гольдман H. JI. Определение правой части в квазилинейном параболическом уравнении с финальным наблюдением // Дифференциальные уравнения. 2005. — Т. 41, № 3. — С.366−374.

59. Keyantuo V., Lizama С. Mild Well-posedness of Abstract Differential Equations // H. Amann, W. Arendt, M. Hieber, F. Neubrander, S. Nicaise, J. von Below (eds): Functional Analysis and Evolution Equations. The Giinter Lumer. Volume 2007. P. 371−387.

60. Denche M., Djezzar S. A modified quasi-boundary value method for a class of abstract parabolic ill-posed problems // Hindawi Publishing Corporation. Boundary Value Problems. Article ID 37 524. Volume 2006. P. 1−8.

61. Zadorozhna N. M., Mel’nik О. M., Ptashnik В. I. Nonlocal boundary-value problem for parabolic equations // Ukrainian Mathematical J. 1994. — V. 46, № 12. — P. 1795−1802.

62. Пулькина JI. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности // Неклассические задачи математической физики. ИМ СО РАН. Новосибирск. 2005. С. 231−239.

63. Лосанова Ф. М. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения параболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. — Т.9, № 2. С. 54−58.

64. Korbut L. I., Matiichuk M. I. Representations of solutions of nonlocal boundary-value problems for parabolic equations // Ukrainian Mathematical J. 1994. V. 46, № 7. — P. 1039−1044.

65. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач // ДАН. 1969. Т. 185, № 4. — С. 739−740.

66. Самарский А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифф. урав. 1980. — Т. 16, № 11. — С.1925;1935.

67. Камынин Л. Н. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журн. выч. мат. и мат. физики. 1964. Т. 4, № 6. — С. 1006−1024.

68. Lukshin А. V., Reznik В. I. Unique solvability of the inverse problem for the heat equation with nonlocal boundary conditions // Computational Math, and Modeling. 2007. V. 18, № 1. — P. 29−41.

69. Mehdi D. On the numerical solution of the diffusion equation with a nonlocal boundary condition // Mathematical Problems in Engineering. 2001. P. 81−92.

70. Mokin A. Yu. On a Family of Initial boundary value problems for the Heat equation // Diff. Equations. 2009. V.45, № 1. — P. 126−141.

71. Olmstead W. E., Roberts C. A. The one-dimensional heat equation with a nonlocal initial condition // Appl. Math. Lett. 1997. — V. 10, № 3. — P. 89−94.

72. Yanping Lin, James H. Lin. Semilinear integrodifferential equations with nonlocal Cauchy problem // Nonlinear Analysis. Theory. Methods & Applications. 1996. V. 26, № 5. — P.1023−1033.

73. Stefanelli U. On some nonlocal evolution equations in Banach spaces // J. evol. equ. 2004. V.4, № 1. — P. 1−26.

74. Эйдельмаи С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. С. 443.

75. Krylov N. V. Lectures on elliptic and parabolic equations in Sobolev spaces. Graduate Studies in Mathematics. 2008. — V. 96. — P. 357. Providence: AMS.

76. Крылов H. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера: Учебное пособие для математических специальностей вузов: пер. с анг. Новосибирск: Научная книга, 1998. — С. 178.

77. Lions J. L., Magenes E. Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications. 1972. — V. I, II, III (Springer, Berlin).

78. Петрушко И. M. О поведении вблизи границы области решений вырождающихся параболических уравнений. Неклассические уравнения математической физики. Сб. научных работ. Новосибирск: Из-во Института математики СО РАН. 2002. — С. 150−156.

79. Петрушко И. М., Капицына Т. В. О первой смешанной задаче для вырождающихся параболических уравнений. Неклассические уравнения математической физики. Сб. научных работ. Новосибирск: Из-во Института математики СО РАН. 2005. — С. 207−218.

80. Петрушко И. М. О граничных значениях решений параболических уравнений второго порядка вырождающихся на границе области // ДАН СССР. 1991. Т. 316, № 3. — С. 550−553.

81. Петрушко И. М. Существование граничных значений для решений вырождающихся эллиптических уравнений // Матем. сб. 1999. — Т. 90, № 7. С. 41−72.

82. Mo Jia-qi, Lin Wan-tao. The nonlinear singularly perturbed initial boundary value problems of nonlocal reaction diffusion systems // Acta mathe-maticae applicatae sinica, English Series. 2006. — V. 22, № 2. — P. 277 286.

83. Kozhanov A. I. On a nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation // Diff. equations. 2004. V. 40, № 6. — P. 815−826.

84. Slodicka M. Recovery of an unknown flux in parabolic problems with nonstandard boundary conditions: error estimates // Appl. of Math. 2003. V. 48(2003), issue 1. — P. 49−66.

85. Bouziani A. On the weak solution of a three-point boundary value problem for a class of parabolic equations with energy specification // Abstract and Applied Analisys. 2003. V. 2003, № 10. — P. 573−589.

86. Carl S., Lakshmikantham V. Generalised quasilinearization method for reaction-diffusion equations under nonlinear and nonlocal flux conditions // J. Math. Anal. Appl. 2002. 271. — P. 182−205.

87. Djibibe Z. M., Tgharie K., Jurchuk N. I. Continuous dependence of solutions to mixed boundary value problems for a parabolic equation // Electronic J. of Diff. equations. 2008. V. 2008, № 17. P. 1−10.

88. Mitropol’skii Yu. A., Berezovskii A. A., Shkhanukov-Lafishev M. Kh. Nonlinear nonlocal problems for a parabolic equation in a two-dimensional domain // Ukr. Math. J. 1997. V.49, № 2. — P. 244−254.

89. Mo Jia-qi, Zhu Jiang. The nonlinear nonlocal singularly perturbed problems for reaction diffusion equations // Applied Math, and Mechanics. 2003. V. 24, № 5. — P. 527−531.

90. Pokornyi Yu. V., Lazarev K. P., Bakhtina Zh., Provotorov V. V. On Il’in-Moiseev type solvability conditions for nonlocal vector boundary value problems // Diff. equations. 2008. V.44, № 3. — P. 446−448.

91. Kozhanov A. I. A nonlinear loaded parabolic equation and a related inverse problem // Math. Notes. 2004. — V. 76, № 6. — f. 784−795.

92. Sushch V. N. Distributed control in a class of nonlocal boundary value problems // J. of Math. Sciences. 1999. V. 96, № 1.

93. Pukal’skii I. D. Nonlocal boundary value problems for nonuniformly parabolic equations // Diff. equations. 2003. V.39, № 6. — P. 817−829.

94. Shelukhin V. V. On a quadratic functional in a nonlocal boundary value problem for the heat equation // Mat. Zametki. 1991. — V.49, issue 1. P. 135−143.

95. Sil’chenko Yu. T. A parabolic equation with nonlocal conditions // J. of Math. Sciences. 2008. V. 149, № 6. — P. 1701−1707.

96. Tikhomirov V. V. Solvability of the mixed initial boundary value problem for a parabolic equation with a nonlocal condition of first kind // Comutational Math, and Modeling. 2005. — V. 16, № 1. — P. 72−82.

97. Illarionov A. A. Nonlocal overdetermined boundary value problem for stationary Navier-Stokes equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008. V. 48, № 6. — P. 996−1000.

98. Amosov A. A. Global solvability of a nonlinear nonstationary problem with a nonlocal boundary condition of radiative heat transfer type // Diff. equations. 2005. V.41, № 1. — P. 96−109.

99. Byszewski L., Tabor A. An application of the Kuratowski measure of noncompactness to an investigation of the existence of solutions of an abstract integro-differential problem // Nonlinear Studies. 1999. — V. 6, № 1. P. 111−122.

100. Byszewski L. Uniqueness criterion for solution of absrtact nonlocal Cauchy problem // Jour, of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1993. V.6, № 1. — P. 49−54.

101. Byszewski L. Existence and uniqueness of a classical solution to a functional-differential abstract nonlocal Cauchy problem // Jour, of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1999. — V. 12, № 1. — P. 9197.

102. Byszewski L. On a mild solution of a semilinear functional-differential evolution nonlocal problem // Jour, of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1997. V. 10, № 3. P.265−271.

103. Xue Xingmei. Existence of solutions for semilinear nonlocal Cauchy problems in Banach spaces // Electronic Jour, of Diff. Equat. 2005. — V. 2005, № 64. — P. 1−7.

104. Сагадеева M. А. Нелокальная задача для уравнения соболевского типа с относительно р-ограниченным оператором / / Вестник Челябинского государственного университета. 2008. — №. 6. — С. 5462.

105. Левенштам В. Б. Принцип усреднения в случае задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений с переменной главной частью // Сибирский мат. журнал. 2000. — Т. 41, № 4. — С. 839−857.

106. Уварова (Суркова) М. В. Об одной нелокальной краевой задаче для эволюционного уравнения // Материалы XLVII Межд. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: тезисы докладов. Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2009. — С. 26.

107. Уварова (Суркова) М. В. О некоторых нелокальных параболических краевых задачах // Вестник Самарского университета, 2009. — № 8 (74). С. 94−108.

108. Пятков С. Г., Уварова (Суркова) М. В. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса // Матем. зам. ЯГУ. 2010. Т. 17, вып.1. — С. 124−137.

109. Уварова (Суркова) М. В. О некоторых нелокальных краевых задачах для эволюционных уравнений // Матем. труды. 2010. — Т. 13, N2 2. С. 179−207.